4.2平方根与立方根 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理算术平方根定义、平方根定义及开平方运算，立方根定义、性质及开立方运算，通过对比两者符号表示、被开方数范围等区别构建知识体系，辅以思维导图形成学习支架。 资料针对基础薄弱学生设计，以思维导图直观呈现知识结构培养几何直观，分题型练习覆盖求值、解方程等提升运算能力与推理意识，结合植物细胞体积实例渗透应用意识。课中辅助知识梳理，课后助力查漏补缺，有效实现提分目标。

4.2平方根与立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1. 算术平方根的定义：若一个非负数( x )的平方等于( a )，即，则这个非负数( x )叫做( a )的算术平方根，记作，读作“根号( a )”。特别地，( 0 )的算术平方根是( 0 )，即。 2. 平方根的定义：若一个数( x )的平方等于( a )，即，则这个数( x )叫做( a )的平方根，记作（）。正数有两个平方根，它们互为相反数；( 0 )的平方根是( 0 )；负数没有平方根。 3. 开平方运算：求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 二、立方根 1. 立方根的定义：若一个数( x )的立方等于( a )，即，则这个数( x )叫做( a )的立方根，记作，读作“三次根号( a )”。 2. 立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；( 0 )的立方根是( 0 )。任何实数都有且只有一个立方根。 3. 开立方运算：求一个数( a )的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 三、平方根与立方根的区别 1. 符号表示：平方根用（）表示，算术平方根用（）表示；立方根用表示（( a )为任意实数）。 2. 被开方数范围：平方根中被开方数；立方根中被开方数( a )可以是任意实数。 3. 结果个数：正数有两个平方根（互为相反数），( 0 )有一个平方根；任何实数都有且只有一个立方根。 4. 运算结果符号：正数的平方根有正有负，算术平方根为非负；正数的立方根为正，负数的立方根为负，( 0 )的立方根为( 0 )。 型 习 练 题 算术平方根的相关求值 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 3．若x，y为实数，且，则的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025 4．一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 5．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 平方根的相关求值 6．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是 （    ）． A． B． C． D． 8．若，则下列说法正确的是（   ） A．是5的算术平方根 B．是5的平方根 C．5是的算术平方根 D． 9．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 10．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 立方根的相关求值 11．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 12．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 15．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 无理数整数部分的有关计算 16．的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 利用平方根解方程 21．求的值： (1) (2) 22．求下列各式中的x． (1) (2) 23．求下列各式中的值： (1)； (2)． 24．求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 25．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 平方根与立方根综合计算 26．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 27．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 28．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 29．已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 30．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2平方根与立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方根 1. 算术平方根的定义：若一个非负数( x )的平方等于( a )，即，则这个非负数( x )叫做( a )的算术平方根，记作，读作“根号( a )”。特别地，( 0 )的算术平方根是( 0 )，即。 2. 平方根的定义：若一个数( x )的平方等于( a )，即，则这个数( x )叫做( a )的平方根，记作（）。正数有两个平方根，它们互为相反数；( 0 )的平方根是( 0 )；负数没有平方根。 3. 开平方运算：求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 二、立方根 1. 立方根的定义：若一个数( x )的立方等于( a )，即，则这个数( x )叫做( a )的立方根，记作，读作“三次根号( a )”。 2. 立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；( 0 )的立方根是( 0 )。任何实数都有且只有一个立方根。 3. 开立方运算：求一个数( a )的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 三、平方根与立方根的区别 1. 符号表示：平方根用（）表示，算术平方根用（）表示；立方根用表示（( a )为任意实数）。 2. 被开方数范围：平方根中被开方数；立方根中被开方数( a )可以是任意实数。 3. 结果个数：正数有两个平方根（互为相反数），( 0 )有一个平方根；任何实数都有且只有一个立方根。 4. 运算结果符号：正数的平方根有正有负，算术平方根为非负；正数的立方根为正，负数的立方根为负，( 0 )的立方根为( 0 )。 型 习 练 题 算术平方根的相关求值 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，重点区分算术平方根的非负性和平方根与立方根的区别． 根据平方根、立方根的计算法则计算即可求解． 【详解】解：∵ 表示4的算术平方根，其值为2，而非， ∴ A错误； ∵ 表示9的平方根，即，但选项仅写等于3，不完整， ∴ B错误； ∵ ，算术平方根为非负数， ∴ C错误； ∵ 表示27的立方根，且， ∴ ，D正确； 故选：D． 2．若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根的非负性，代数式求值， 根据被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 3．若x，y为实数，且，则的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”． 根据绝对值和算术平方根的非负性，由和为0推出每个部分为0，求出、后计算代数式的值． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 5．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 平方根的相关求值 6．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 7．下列运算正确的是 （    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据算术平方根为非负数，负数没有实数平方根，但立方根可以为负数准确分析是解题的关键． 根据平方根和立方根的性质逐项分析判断即可； 【详解】表示算术平方根，结果为4，而非，错误； 负数没有实数平方根，错误； ，，故正确； ，，而，且，故错误； 故选． 8．若，则下列说法正确的是（   ） A．是5的算术平方根 B．是5的平方根 C．5是的算术平方根 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根及算术平方根，根据平方根的定义及算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】∵， ∴是5的平方根（平方根定义）． 选项A：算术平方根特指非负平方根，但可能为，故A错误． 选项B：正确，符合平方根定义． 选项C：若5是的算术平方根，则，即，与矛盾，故C错误． 选项D：仅表示正平方根，但可能为负，故D错误． 故选：B． 9．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 10．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平方根为：和， ∴ 这个正数为． 故选：A． 立方根的相关求值 11．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 12．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，注意算术平方根的非负性和立方根的符号，根据平方根和立方根的定义，算术平方根为非负数，立方根为唯一实数，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选A． 13．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 14．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 15．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 无理数整数部分的有关计算 16．的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了估算，通过估算的范围，确定 的整数部分. 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ； ∴ ，因此整数部分为6， 故选：D. 17．是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的整数部分，再根据小数部分的定义求解． 【详解】解：∵，，， ∴的整数部分为3， ∴， ∴． 故选：B． 18．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的整数部分的有关计算，求代数式的值． 通过估算和的范围，确定的整数部分和的小数部分，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为 12， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 19．已知，其中m是整数，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算及整数部分的确定．通过比较平方数，确定的整数部分m． 【详解】解：∵，，且， ∴， 因此，． 故选：B． 20．实数的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估计．根据可得，即可求得的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 利用平方根解方程 21．求的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，利用立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再在方程两边同时除以4，最后开平方，即可作答． （2）先开立方，再移项，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 22．求下列各式中的x． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）， ， 解得． 23．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 24．求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可； （2）直接开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 25．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）利用平方根的意义求解即可； （2）利用立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 平方根与立方根综合计算 26．已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 27．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 28．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 29．已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键．根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，进而代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的立方根是． 30．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 学科网（北京）股份有限公司 $