第15章 综合实践（最短路径问题）-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年八年级上册数学授课课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦人教版八年级上册“轴对称”中的最短路径问题，涵盖牧马人饮马、造桥选址等核心内容。课堂导入通过复习线段公理、垂线段最短及轴对称作图，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 其亮点在于以问题链驱动探究，从异侧到同侧饮马问题的转化，用轴对称和平移解决路径最短问题，体现几何直观与推理能力。例题结合村庄供水、正方形网格等实际情境，小结明确原理与方法，帮助学生形成模型意识，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

轴对称 第十五章 数学 人教版 八年级上册 §综合与实践 最短路径问题 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 复习引入 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ 复习引入 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”. A B ① ② ③ P l A B C D 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 练习：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值. B 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ B A A B N M 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） B A ● ● ? N M N M N M 折 移 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 思维火花 各抒己见 1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. B A Ｍ Ｎ 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） B A Ｍ Ｎ A' B' 1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了 2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） B A Ｍ Ｎ 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. AM+MN+BN长度有没有改变呢？ 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 问题解决 B A A1 M N 如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. Ｎ１ Ｍ１ 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN. 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择. 探究新知 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 1.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． x y O B A B' P 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP= 10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 A 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′, 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小. 例题与练习 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 课堂小结 原理 线段公理和垂线段最短 牧马人饮马问题 解题方法 造桥选址问题 关键是将固定线段“桥”平移 最短路径问题 轴对称知识+线段公理 解题方法 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） 谢谢 ! 谢谢聆听 数学 人教版 八年级上册（鼎成中考） $