综合与实践 最短路径问题(Word导学案)-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“轴对称”中的最短路径问题，涵盖将军饮马问题和造桥选址问题。以“将军饮马”历史情境导入，关联旧知“两点之间线段最短”“垂线段最短”，搭建学习支架引导学生抽象数学问题。 通过情境化探究活动，渗透轴对称、平移的转化思想，以问题链（基础问题到变式、拓展探究）培养学生几何直观的数学眼光、推理意识的数学思维和模型意识的数学语言，习题分层设计（含当堂反馈与变式），助力学生强化应用意识与创新能力。

第15章 轴对称 综合实践 最短路径问题 【素养目标】 1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识。（重点、难点） 2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想。 【情境导入】 大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马 →宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味话题。 我们以前学过： ① 两点的所有连线中，线段最短。 ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。 我们称这种问题为最短路径问题。 今天我们将探究新情境下的最短路径问题。 【合作探究】 活动探究一：将军饮马问题 如何把这个问题抽象为数学问题？ 问题1：如图，点 是直线 异侧的两个点，如何在 上找到一个点，使得这个点到点 、点 的距离的和最小？ 依据是什么？ 问题2: 如果 位于直线 的同侧时，如何使得这个点到点 、点 的距离的和最小。 问题3: 根据上面的分析，当点 在 什么位置时， 与 的和最小？ 作图过程： 思考： 你能用所学的知识证明： 最短吗？ 变式探究：如图，将军牵马从军营 处出发，到河流 饮马，再到草地 吃草，最后回到 处，试分别在边 和 上各找一点 、 ，使得走过的路程最短。 拓展探究：如图，牧民从 地出发，先到草地边 某一处牧马，再到河边 饮马，最后回到 处。 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 活动探究二： 造桥选址问题 情境探究： 如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 . 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ 问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直。 那么 最小能否进一步转化？ 当点 在直线 的什么位置时， 最小？ 问题2: 能否通过图形的变化（轴对称、平移等）将这个问题简化？ 分析过程： 问题3: 你能找到所要求的 点的位置吗？ 当堂反馈 1. 如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 在小正方形的顶点上。 (1) 在图中画出与 关于直线 成轴对称的 ; (2) 的面积是 _________ ; (3) 在直线 上找一点 ，使得 最短。 第1题图 第2题图 2. 如图，已知 的大小为 是 内部的一个定点，且 ，点 分别是 上的动点， 则 周长的最小值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【变式】如图，四边形 中， , ，在 , 上分别找一点 , ，使 的周长最小时，则 的度数为 ( ) C. 100° D. 参考答案 活动探究一：将军饮马问题 问题1：连接 ，交直线 于点 ，则 最小。 依据： 两点之间， 线段最短。 问题2: 如图，我们可作出点 关于 的对称点 ，利用轴对称的性质， 可以得到 . 则 . 问题3: 在连接 两点的所有线段中，线段 最短。 因此，线段 与直线 的交点 的位置即为所求，即此时 最小。 作图过程： (1) 作点 关于直线 的对称点 ； (2) 连接 ，与直线 相交于点 . 则点 即为所求。 思考： 证明：如图，在直线上任取一点（与点不重合），连接 . 由轴对称的性质知： . , 在 中， , , 即 最短。 变式探究：如图所示，分别作点 关于 的对 称点 ，连接 分别交 于 ，则路线 即为所求。 拓展探究： 解： 作点 关于直线 的对称点 , 作点 关于直线 的对称点 , 连接 , 分别交 于 两点，牧民沿折线 可得走可使所走的路径最短。 活动探究二： 造桥选址问题 问题1: 的长度是固定的，即求 最小值。 问题2: 可以通过平移实现 问题3: (1) 将 平移至 , (2) 连接 ，交直线 于点 ，则点 即为所求。 即在点 处建桥 . 当堂反馈 1.解：（1）如右图所示； (2) 12.5 ; (3) 如图，连接 交 于点 即为所求。 2. C 【变式】 C 学科网（北京）股份有限公司 $