精品解析：河南许昌市鄢陵县张桥镇第三初级中学2025-2026学年上学期开学学情检测八年级数学

2025-2026学年上学期开学学情检测 八年级数学（人教版） （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 6，11，5 B. 2，8，5 C. 3，4，6 D. 2，3，7 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 统计学是一门通过数据来研究和解决问题的科学．以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查黄河的水质情况 B. 检测某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某市中学生课外阅读的情况 D. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程组的解中，则k等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 9. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴，则_______． 12. 如图，在中，与的平分线交于点P．若，则________． 13. 如图，是ABC的高，，且，则______． 14. 若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 15. 如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等． 16. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 三、解答题：（本大题共9小题，第17-18每题8分，第19-25每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程组： （2）求不等式组的解集并把解集表示在数轴上： 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 19. 某农业种植园引进了一种新型辣椒，为了解该品种辣椒的挂果情况，随机抽查若干株，记录下它们的挂果数量x（单位：个），并绘制如下统计图表： 挂果数量x（个） 频数（株） 百分比 8 16 a 24 12 合计 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）已知种植园共种植新型辣椒株，估计挂果数量在“”的辣椒有多少株？ 20. 如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 先化简，再求值：，其中，是二元一次方程组的解． 22. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 23. 随着自媒体的高速发展，不少自媒体都为家乡带来了巨大经济价值．今年五一假期，重庆荣昌因“卤鹅哥”林江的爆红和区政府“教科书级”的流量承接举措，成为全国文旅焦点．据不完全统计，五一期间荣昌区增加了数十亿元的收入．开州人民也不甘示弱，积极发挥自身影响力，大力宣传开州区本地特色农产品和旅游资源，某自媒体团队直播带货开州龙珠茶和蜂蜜，已知龙珠茶售价的4倍与蜂蜜售价的2倍之和为2160元，且龙珠茶售价比蜂蜜售价的2倍还多340元． （1）请求出龙珠茶和蜂蜜的售价各是多少元/斤？ （2）由于价格合理、质量有保障，直播间掀起了购买热潮，再次开播前，该自媒体团队准备了龙珠茶和蜂蜜一共50斤，如果计划将这50斤产品全部售完后销售额不低于16600元，请问至少准备多少斤龙珠茶？ 24. 在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示． （1）平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； （2）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示三角形的面积），求点、的坐标． （3）在（2）的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期开学学情检测 八年级数学（人教版） （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 6，11，5 B. 2，8，5 C. 3，4，6 D. 2，3，7 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标符号，牢记符号特征是解题关键． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符号特征为， ∴点A位于第四象限． 故选：D． 3. 统计学是一门通过数据来研究和解决问题的科学．以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查黄河的水质情况 B. 检测某批次汽车的抗撞击能力 C. 了解某市中学生课外阅读的情况 D. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，掌握普查和抽样调查的特点是解题的关键．普查适用于范围小、要求准确度高或无破坏性的情况，而抽样调查适用于范围大、有破坏性或无法全面调查的情况，据此判断即可求解． 【详解】解：A、调查黄河的水质情况，适宜采用抽样调查方式，不符合题意； B、检测某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查方式，不符合题意； C、了解某市中学生课外阅读的情况，适宜采用抽样调查方式，不符合题意； D、调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，适宜采用普查方式，符合题意； 故选：D． 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：．∵， ∴，故该选项不符合题意； ．∵， ∴，故该选项错误，符合题意； ．∵， ∴ ，故该选项不符合题意； ．∵， ∴ ，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据25＜29＜36估算出的大小，然后可求得的范围． 【详解】解：∵25＜29＜36， ∴ 即5＜＜6． ∴5−2＜＜6−2，即3＜＜4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，明确被开方数越大对应的算术平方根也越大是解题的关键． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8. 若方程组的解中，则k等于（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用后整理可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除以5可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律问题，解决问题的关键是判断点在第254个循环中的第1个点的位置． 根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第 254个循环中的第1个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为； 根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环， ， ∴点在第 254个循环中的第1个点的位置， ∴故点的纵坐标为0 ， 又 ∵的横坐标为的横坐标为的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 10. 有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②正确． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴可知，两点的横坐标相同，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：点，点，轴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相同是解题的关键． 12. 如图，在中，与的平分线交于点P．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，则由角平分线的定义推出，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∵与的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，是ABC的高，，且，则______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】∵是ABC的高， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 15. 如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P运动到与C点重合时，，此时． 【详解】解：①当P运动到时，如图所示： 在和中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，如图所示： 在和中， ， ∴）， 即． 综上所述，的长度是或． 故答案为：或． 16. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 【答案】 ①. 91 ②. 819 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出一次方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题． 【详解】解：∵整数（其中，且为整数）是“大吉数”， ∴能被13整除； ∵， ∴能被13整除， ∴， ∴， ∴； ∵，是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴，能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴当时，，此时， 当时，不存在满足条件； 当时，不存在满足条件； 当时，，此时， 综上：或， ∴或； ∴或； ∴的最大值为819． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9小题，第17-18每题8分，第19-25每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程组： （2）求不等式组的解集并把解集表示在数轴上： 【答案】（1） （2）， 数轴上表示解集如图： 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集： （1）加减法解方程组即可； （3）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：（1）， ，得：，解得：， 把代入②，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为： 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 【答案】（1） 如下图所示 （2）；；；ASA；相等 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）以点为圆心作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧并交于点，作射线并分别交、于点、，即可获得答案； （2）首先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，进而可得，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，并由此得出结论． 【小问1详解】 解：用尺规作的角平分线分别交、于点、； 【小问2详解】 已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离相等． 故答案为：；；；ASA；相等． 19. 某农业种植园引进了一种新型辣椒，为了解该品种辣椒的挂果情况，随机抽查若干株，记录下它们的挂果数量x（单位：个），并绘制如下统计图表： 挂果数量x（个） 频数（株） 百分比 8 16 a 24 12 合计 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）已知种植园共种植新型辣椒株，估计挂果数量在“”的辣椒有多少株？ 【答案】（1） （2） 补全图形如下， （3）挂果数量在“”的辣椒约有株 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本容量，样本估算总体数量的计算是关键． （1）运用某项求样本容量， （2）根据计算得到（株），由此即可补全图形； （3）根据样本估算总体数量即可求解． 【小问1详解】 解：频数为株，百分比为， ∴， ∴（株）， ，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（株）， 【小问3详解】 解：（株）， ∴挂果数量在“”的辣椒约有株． 20. 如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵上的高线与上的高线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出，结合，利用，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 21. 先化简，再求值：，其中，是二元一次方程组的解． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为， ∴原式． 22. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平移变换，画平移图形，由平移方式确定点的坐标，三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先由点和点O的坐标，确定平移的方式，再由平移方式得到点D和点E的坐标，据此即可作图； （2）根据平移方式即可求解； （3）先由割补法求出的面积，再由即可求出的面积，再由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到，点B对应点O， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴ 【小问2详解】 解：由题意得，向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到， ∴点Q的坐标为，即； 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵过点作直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴或 即或． 23. 随着自媒体的高速发展，不少自媒体都为家乡带来了巨大经济价值．今年五一假期，重庆荣昌因“卤鹅哥”林江的爆红和区政府“教科书级”的流量承接举措，成为全国文旅焦点．据不完全统计，五一期间荣昌区增加了数十亿元的收入．开州人民也不甘示弱，积极发挥自身影响力，大力宣传开州区本地特色农产品和旅游资源，某自媒体团队直播带货开州龙珠茶和蜂蜜，已知龙珠茶售价的4倍与蜂蜜售价的2倍之和为2160元，且龙珠茶售价比蜂蜜售价的2倍还多340元． （1）请求出龙珠茶和蜂蜜的售价各是多少元/斤？ （2）由于价格合理、质量有保障，直播间掀起了购买热潮，再次开播前，该自媒体团队准备了龙珠茶和蜂蜜一共50斤，如果计划将这50斤产品全部售完后销售额不低于16600元，请问至少准备多少斤龙珠茶？ 【答案】（1）龙珠茶售价是500元/斤，蜂蜜售价是80元/斤 （2）30斤 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组及不等式的应用，找到等量关系与不等关系是解答本题的关键． （1）设龙珠茶售价为元/斤，蜂蜜售价为元/斤，根据题意列出方程计算即可； （2）设需准备斤龙珠茶，则需准备斤蜂蜜，根据题意得，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设龙珠茶售价为元/斤，蜂蜜售价为元/斤． 根据题意得，， 解得， 答：龙珠茶售价是500元/斤，蜂蜜售价是80元/斤． 【小问2详解】 解：设需准备斤龙珠茶，则需准备斤蜂蜜． 根据题意得，， 解得， 答：至少需要准备30斤龙珠茶． 24. 在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示． （1）平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； （2）平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示三角形的面积），求点、的坐标． （3）在（2）的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为，点的坐标为； （3）直线上存在一点，使得，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质确定出平移的方向和距离，进而可得点D的坐标； （2）设D点纵坐标为y，由平移的性质可得，，根据三角形面积之间的关系，列方程方程求解即可得的值，从而可得点、的坐标； （3）用待定系数法求直线的解析式，根据，结合平移的性质可得，设点的坐标，用勾股定理解列方程求解，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， ∵，，，平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设点的纵坐标为， ∵点在轴的正半轴上，点在第二象限内，，， ∴线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， 连接， ，，， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴，， 答：点的坐标为，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线上存在一点，使得，设点， 由平移的性质可知，， ∵，点在直线上， ∴， 作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得或 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， ∴点的坐标为或， 答：直线上存在一点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查点的坐标平移，平移的性质，勾股定理，求一次函数的解析式． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】 （1）证明：如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）证明：如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $