第二章 几何图形的初步认识 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

第二章综合练习题 一．选择题（共24小题） 1．下列现象中，能说明“线动成面”的是（　　） A．一个圆面沿着它的一条直径所在直线旋转一周得到球 B．滑动笔尖得到一条直线 C．用扫帚扫地时，扫帚的刷毛扫过的区域 D．天空划过一道流星 2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 3．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线 4．下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为3cm；（3）线段AB和线段BA是同一条线段；（4）射线AB和射线BA是同一条射线；（5）直线AB和直线BA是同一条直线．其中错误的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，昆明大观公园位于昆明西山之麓，滇池之滨，园里新建一座三孔桥，将整个园区的景致尽收眼底，这与建一座直的桥相比，增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风景，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 6．如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 7．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠AOB＝20°，∠COD＝100°，则∠AOC＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．80° 8．把2.36°用度、分、秒表示正确的是（　　） A．2°3′6″ B．2°30′6″ C．2°21′6″ D．2°21′36″ 9．如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角是（　　） A．∠BAC B．∠CDA C．∠BAD D．∠BAE 10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合．∠1＝28°，∠2的大小是（　　） A．27° B．57° C．58° D．60° 12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（　　） A．25° B．35° C．40° D．85° 13．如图，将一张长方形纸片沿OC，OD折叠使顶点A落在点A'处，顶点B落处在点B'处，若∠AOC＝32°，∠A'OB'＝40°，则∠BOD的度数为（　　） A．38° B．40° C．42° D．76° 14．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 15．已知平面上的三个点，每过两点画一条直线，那么能画出的直线条数是（　　） A．0条 B．1条 C．3条 D．1条或3条 16．如图，点M、N在线段AB上，点N是AB的中点，，则线段AB的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 17．如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝10cm，BD＝4cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（　　） A．3cm B．13cm C．2cm或13cm D．3cm或9cm 18．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 19．已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．7cm或3cm 20．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB C．CD＝ADAB D．AD（CD+AB） 21．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 22．两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　） A．1cm B．11cm C．1cm 或11cm D．2cm或11cm 23．A站与B站之间还有3个车站，那么往返于A站与B站之间的车辆，应安排多少种车票？（　　） A．4 B．20 C．10 D．9 24．我们知道，若线段上取一个点（不与两个端点重合，以下同），则图中线段的条数为1+2＝3条；若线段上取两个点，则图中线段的条数为1+2+3＝6条；若线段上取三个点，则图中线段的条数为1+2+3+4＝10条…请用你找到的规律解决下列实际问题：杭甬铁路（即杭州﹣﹣宁波）上有萧山，绍兴，上虞，余姚4个中途站，则车站需要印的不同种类的火车票为（　　） A．6种 B．15种 C．20种 D．30种 二．填空题（共7小题） 25．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　 度． 26．如图，∠BOD＝118°，∠COD是直角，OC平分∠AOB，则∠AOB的度数为 　 　 ． 27．已知∠α的余角等于58°26′，则∠α＝　 　 ． 28．下列三个生活、生产现象：①从A地到B地修建公路，只要尽可能沿着线段AB修建，就能缩短路程；②建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别固定一根木桩，然后拉一条直的细线作参照线；③用两个钉子可以把一根木条固定在墙上．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有　 　 .（填序号） 29．如图，已知直线AE，O是直线AE上一点．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝30°，∠DOE＝　 　 ． 30．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，则∠AOB＝　 　 ． 31．如图，点A、C、D在同一条直线上，AC＝7cm，CD＝6cm，点B、E分别是AC、AD的中点，则BE的长是 　 　 cm． 三．解答题（共29小题） 32．已知∠AOB＝90°， （1）如图1，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，若∠EOD＝60°，求∠DOC的度数； （2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠DOC＝30°，求∠EOD的度数． 33．如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线． （1）若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数； （2）若∠AOB＝α，求∠MON的度数． 34．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 35．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线，点C与点E、F在直线AB的两侧． （1）若∠BOE＝140°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE＝2α°，求∠COF的度数． 36．在下面的方格纸上画出将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形． 37．如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 38．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21，BCAB． （1）求线段AC的长． （2）若点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 39．如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）： （1）作射线AB； （2）作直线AC与直线BD相交于点O； （3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等． 40．如图所示：点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8m，BC＝12m，CD＝6m．求BM的长． 41．如图，已知，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD． 解：∵，∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝2∠AOC＝ 　 　 °， ∴∠AOB＝∠　 　 +∠　 　 ＝120°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD 　 　 ＝60°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠　 　 ＝ 　 　 ． 42．如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）试说明∠AOF＝∠EOD； （2）求∠EOC+∠AOF的度数． 43．如图所示，线段AB＝8cm，C为线段AB上一点，又知M是线段BC的中点，N是线段AC的中点，求MN的长． 44．已知线段AB＝14，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：DB＝1：2：4，AMAC，且DNBD，求MN的长． 45．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数． 46．如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，若A，D，E三点在一条直线上，求∠BCD的大小． 47．如图，OC，OD，OE是∠AOB内三条射线，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB． （1）已知∠BOD＝80°，∠AOE＝25°，求∠COD的度数； （2）若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数． 48．如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O处，且∠BOD，∠AOC均小于180°． （1）当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ①∠AOD　 　 ∠BOC（填“＞”或“＜”或“＝”）． ②∠AOC和∠BOD的数量关系是：　 　 ． （2）当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①∠AOD和∠BOC的大小关系是否成立　 　 （填“是”或“否”）． ②∠AOC和∠BOD的数量关系是否成立　 　 （填“是”或“否”）． （3）当两三角尺的位置是图（3）位置时，若∠BOD＝140°，OE、OF分别是∠AOD，∠BOC的平分线，求∠EOF的度数． 49．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． （1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好平分∠ACB，请你猜想此时CB是否平分∠ECD，并简述理由； （2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由； （3）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，设∠BCE＝∠β，试用含∠β的式子表示∠ACD的度数，并说明当∠β的值逐渐增大时，∠ACD的度数会发生怎样的变化； （4）如图③，将两个同样的含30°角的直角三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由． 50．如图，点M，C，N在线段AB上，给出下列三个条件：①，②，③． （1）如果　 　 ，那么　 　 .（从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，填序号）根据上面的填空，说明结论成立的理由． （2）在（1）的条件下，若AM＝3cm，MN＝5cm，求线段BN的长． 51．如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点 　 　 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，求AC的长． 52．线段的计算和角的计算有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： （1）【探索发现】课上，老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，当AB＝20时，求线段CD的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段→转化已知线段… ∵C，D分别是线段OA，OB的中点， ∴， 　 　 ①． ∴ 　 　 ② 　 　 ③． ∵AB＝20，∴CD＝ 　 　 ④． 可以利用线段中点的定义，线段的和、差，等式的性质来解决． （2）【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知∠AOB＝120°，OC是角内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，请你求∠DOE的度数． （3）【拓展延伸】如果（2）中其他条件不变，将射线OC绕点O旋转到∠AOB的外部，则∠DOE的度数 　 　 ． 53．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数． 54．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长． 55．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°． （1）若∠BOC＝20°，求∠AOB的度数． （2）∠COD与∠AOB互补吗？请说明理由． 56．如图，P是线段AB上一点，AB＝24cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts． （1）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长； （2）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长； （3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且2BQ﹣AQ＝2PQ，求PQ的长． 57．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）如图1，当α＝30度时，求∠GFC′的度数； （2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值． 58．已知一副三角板按图1所示摆放，∠AOB＝∠OCD＝90°，∠OAB＝45°，∠COD＝60°，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧． （1）保持△AOB不动，将△COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则∠BOC﹣∠AOD＝　 　 ； （2）保持△AOB不动，将△COD绕点O逆时针方向旋转n°（n＜180°），试探究∠BOC与∠AOD的数量关系； （3）如图3，若△COD按每分钟15°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时，△AOB按每分钟9°的速度也绕点O逆时针方向旋转，多少分钟时，OD边第一次与OB边重合？ 59．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝6cm，则线段DE的长为 　 　 cm． ②设AC＝acm，则线段DE的长为 　 　 cm． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠MON＝60°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠AOB的度数． 拓展探究： （3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，若∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON与∠AOB的数量关系． 60．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　 　 表示的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝　 　 ，AC＝　 　 ，BC＝　 　 ．（用含t的代数式表示）． （4）直接写出点B为AC中点时的t的值． 第二章综合练习题 参考答案与试题解析 一．选择题（共24小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D C A C C D C B C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 B A B D D D C D D A C 题号 23 24 答案 B D 一．选择题（共24小题） 1．下列现象中，能说明“线动成面”的是（　　） A．一个圆面沿着它的一条直径所在直线旋转一周得到球 B．滑动笔尖得到一条直线 C．用扫帚扫地时，扫帚的刷毛扫过的区域 D．天空划过一道流星 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行判断即可． 【解答】解：A、一个圆面沿着它的一条直径所在直线旋转一周得到球，说明面动成体； B、滑动笔尖得到一条直线说明点动成线； C、用扫帚扫地时，扫帚的刷毛扫过的区域说明线动成面； D、天空划过一道流星说明点动成线． 故选：C． 【点评】此题考查了点线面体之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 3．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面 B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线 【分析】根据两点确定一条直线解答即可． 【解答】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，说明线动成面，不符合题意； B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，说明点动成线，不符合题意； C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，说明两点之间，线段最短，不符合题意； D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，说明两点确定一条直线，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是两点确定一条直线，熟知经过两点有且只有一条直线是解题的关键． 4．下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为3cm；（3）线段AB和线段BA是同一条线段；（4）射线AB和射线BA是同一条射线；（5）直线AB和直线BA是同一条直线．其中错误的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：（1）两点确定一条直线，但两点确定一条线段是错误的，因此（1）不正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段AB和线段BA是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线AB和射线BA是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线AB和直线BA是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（1）（2）（4），共3个， 故选：C． 【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键． 5．如图，昆明大观公园位于昆明西山之麓，滇池之滨，园里新建一座三孔桥，将整个园区的景致尽收眼底，这与建一座直的桥相比，增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风景，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】利用“两点之间线段最短”分析可得出答案． 【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键． 6．如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【分析】根据线段的性质，可得答案． 【解答】解：由于两点之间线段最短， ∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小， 故选：C． 【点评】本题考查了线段的性质，利用线段的性质是解题关键． 7．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠AOB＝20°，∠COD＝100°，则∠AOC＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．80° 【分析】由邻补角关系求出∠COB的度数，先求出∠AOC即可． 【解答】解：∵点B，O，D在同一直线上，∠COD＝100°， ∴∠BOC＝80°， 又∵∠AOB＝20°， ∴∠AOC＝80°+20°＝100°， 故选：C． 【点评】本题考查了邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是关键． 8．把2.36°用度、分、秒表示正确的是（　　） A．2°3′6″ B．2°30′6″ C．2°21′6″ D．2°21′36″ 【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 【解答】解：根据角的换算可得2.36°＝2°+0.36×60′ ＝2°+21.6′ ＝24°+21′+0.6×60″ ＝2°21′36″． 故选：D． 【点评】此题主要考查度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制． 9．如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角是（　　） A．∠BAC B．∠CDA C．∠BAD D．∠BAE 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【解答】解：由题意知，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴旋转角是∠BAD和∠CAE．C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB． 【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB， ∵AB＝3， ∴BE＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 11．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合．∠1＝28°，∠2的大小是（　　） A．27° B．57° C．58° D．60° 【分析】先求出∠EAC的度数，再求出∠2的度数即可． 【解答】解：由题意得，∠BAC＝60°，∠EAD＝90°， ∵∠1＝28°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣28°＝32°， ∴∠2＝∠EAD﹣∠EAC＝90°﹣32°＝58°， 故选：C． 【点评】本题考查了余角和补角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（　　） A．25° B．35° C．40° D．85° 【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝25°可以得到∠AOB′的度数． 【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′， ∴∠BOB′＝60°． ∵∠AOB＝25°， ∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝60°﹣25°＝35°． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前、后的夹角是旋转角． 13．如图，将一张长方形纸片沿OC，OD折叠使顶点A落在点A'处，顶点B落处在点B'处，若∠AOC＝32°，∠A'OB'＝40°，则∠BOD的度数为（　　） A．38° B．40° C．42° D．76° 【分析】根据翻折的性质，只要证明∠2+∠3＝90°即可；根据∠2+∠3＝90°及对角线知识可求得∠CED． 【解答】解：根据折叠的性质得∠AOC＝∠A′OC＝32°，∠BOD＝∠B′OD， ∵∠A'OB'＝40°， ∴∠BOB′＝180°﹣2×32°﹣40°＝76°， ∴∠BOD∠BOB′＝38°． 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的知识，即相等的边，相等的角有哪些，找准这些关系对解决题目有很大帮助． 14．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单． 15．已知平面上的三个点，每过两点画一条直线，那么能画出的直线条数是（　　） A．0条 B．1条 C．3条 D．1条或3条 【分析】根据两点确定一条直线，分为当三个点在同一直线上时，当三个点不在同一直线上时两种情况进行分析即可解答． 【解答】解：存在两种情况： ①当三个点不在同一直线上时，能画3条直线， ②当三个点在同一直线上时，能画1条直线； 故选：D． 【点评】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 16．如图，点M、N在线段AB上，点N是AB的中点，，则线段AB的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】先求解AN＝9，由点N是AB的中点，可得AB＝18即可． 【解答】解：∵AMAN＝3， ∴AN＝9， ∵点N是AB的中点， ∴AN＝BNAB＝9， ∴AB＝18， 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段的中点，熟练掌握线段中点的性质是解决本题的关键． 17．如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB＝10cm，BD＝4cm．若点E在直线AB上，且AE＝3cm，则DE的长为（　　） A．3cm B．13cm C．2cm或13cm D．3cm或9cm 【分析】根据题意，点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案， 【解答】解：∵点E在直线AB上， ∴点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧； 当点E在点A左侧，如图所示： ∵AB＝10cm，AE＝3cm ∴DE＝BA+AE﹣BD＝10+3﹣4＝9cm； 当点E在点A左侧，如图所示： ∵D为BC的中点，BD＝4cm， ∴CD＝BD＝4cm， ∵AB＝10cm， ∴AC＝2cm， ∵AE＝3cm ∴点E在点C右侧，则CE＝AE﹣AC＝1cm， ∴DE＝CD﹣CE＝4﹣1＝3cm； 综上所述，DE的长为3cm或9cm， 故选：D． 【点评】本题考查线段的和差关系，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 18．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】先设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，AB＝3x，MB＝MC+BC＝2+x，根据线段中点的定义得AM＝MBAB，据此可得2+x3x，由此解出x即可得线段AB的长． 【解答】解：设BC＝x，则AC＝2BC＝2x， ∴AB＝AC+BC＝2x+x＝3x，MB＝MC+BC＝2+x， ∵点M为AB的中点， ∴AM＝MBAB， ∴2+x3x， 解得：x＝4， ∴AB＝3x＝12． 故选：C． 【点评】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，熟练掌握线段的计算，理解线段中点的定义是解决问题的关键． 19．已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．7cm或3cm 【分析】根据线段中点的定义求出BM、BN，再分线段BC不在线段AB上和在线段AB上两种情况讨论求解． 【解答】解：∵M是AB的中点，N是BC的中点， ∴BMAB10＝5cm， BNBC4＝2cm， 如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5+2＝7cm， 如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3cm， 综上所述，线段MN的长度是7cm或3cm． 故选：D． 【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 20．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB C．CD＝ADAB D．AD（CD+AB） 【分析】根据线段中点的定义对A进行判断；根据图形直接对B进行判断；根据ACAB，则CD＝AD﹣AC＝ADAB可对C进行判断；根据AD＝AC+CDAB+CD可对D进行判断． 【解答】解：A、由点C是线段AB的中点，则AB＝2AC，正确，不符合题意； B、AC+CD+DB＝AB，正确，不符合题意； C、由点C是线段AB的中点，则ACAB，CD＝AD﹣AC＝ADAB，正确，不符合题意； D、AD＝AC+CDAB+CD，不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了比较线段的长短：线段上一点把这条线段分成两条线段，这两条线段的和等于原线段．也考查了线段中点的定义． 21．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可． 【解答】解：A，∠α与∠β互余，故本选项正确； B，∠α＝∠β，故本选项错误； C，∠α＝∠β，故本选项错误； D，∠α与∠β互补，故本选项错误， 故选：A． 【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 22．两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　） A．1cm B．11cm C．1cm 或11cm D．2cm或11cm 【分析】设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分两种情况：①BC不在AB上时，MN＝BM+BN，②BC在AB上时，MN＝BM﹣BN，分别代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：如图，设较长的木条为AB＝12cm，较短的木条为BC＝10cm， ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴BM＝6cm，BN＝5cm， ①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝6+5＝11cm， ②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝6﹣5＝1cm， 综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或11cm， 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 23．A站与B站之间还有3个车站，那么往返于A站与B站之间的车辆，应安排多少种车票？（　　） A．4 B．20 C．10 D．9 【分析】根据A站到B站之间还有3个车站，首先弄清楚每两个站之间的数量，再根据往返两种车票进行求解． 【解答】 解：如图所示，其中每两个站之间有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB． 应安排10×2＝20（种）． 故选：B． 【点评】此题考查了几何在实际生活中的应用，特别注意每两个站之间车票应当是往返两种． 24．我们知道，若线段上取一个点（不与两个端点重合，以下同），则图中线段的条数为1+2＝3条；若线段上取两个点，则图中线段的条数为1+2+3＝6条；若线段上取三个点，则图中线段的条数为1+2+3+4＝10条…请用你找到的规律解决下列实际问题：杭甬铁路（即杭州﹣﹣宁波）上有萧山，绍兴，上虞，余姚4个中途站，则车站需要印的不同种类的火车票为（　　） A．6种 B．15种 C．20种 D．30种 【分析】相当于一条线段上有4个点，又火车票是要说往返的． 【解答】解：故有2（1+2+3+4+5）＝30． 故选：D． 【点评】注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况． 二．填空题（共7小题） 25．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　72　 度． 【分析】观察图形可得，图形由四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， 故最小旋转角为72°． 故答案为：72． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 26．如图，∠BOD＝118°，∠COD是直角，OC平分∠AOB，则∠AOB的度数为 　56°　 ． 【分析】由∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得到∠BOC的度数，再由角平分线定义即可计算． 【解答】解：∵∠BOD＝118°，∠COD是直角， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝118°﹣90°＝28°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOB＝2∠BOC＝56°． 故答案为：56°． 【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义． 27．已知∠α的余角等于58°26′，则∠α＝　31°34′　 ． 【分析】根据互余，即两角的和为90°，由此即可得出∠α的度数． 【解答】解：∵∠α的余角等于58°26′， ∴∠α＝＝90°﹣58°26′＝31°34′． 故答案为：31°34′． 【点评】本题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90度是关键． 28．下列三个生活、生产现象：①从A地到B地修建公路，只要尽可能沿着线段AB修建，就能缩短路程；②建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别固定一根木桩，然后拉一条直的细线作参照线；③用两个钉子可以把一根木条固定在墙上．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有　②③　 .（填序号） 【分析】根据线段的性质和直线的性质即可得到结论． 【解答】解：①依据：两点间线段最短； ②依据：两点确定一条直线； ③依据：两点确定一条直线； 故答案为：②③． 【点评】本题考查了线段的应用，两点确定一条直线的应用，理解两点间线段最短及两点确定一条直线是解题的关键． 29．如图，已知直线AE，O是直线AE上一点．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝30°，∠DOE＝　60°　 ． 【分析】根据角平分线的定义得出∠AOC的度数，再求出∠EOC的度数，利用角平分线的定义求解即可． 【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线， ∴， 又∵∠AOB＝30°， ∴∠AOC＝2∠AOB＝60°， ∴∠COE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OD是∠COE的平分线， ∴， 故答案为：60°． 【点评】本题考查角平分线以及角的计算，理解角平分线的定义是解题关键． 30．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，则∠AOB＝　136°　 ． 【分析】根据角度之间的和差计算可得出结论． 【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠COD＝44°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣44°＝46°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝46°+90°＝136°． 故答案为：136°． 【点评】本题主要考查余角和补角，角的和差计算，属于基础题，根据图形得出角度之间的和差关系是解题关键． 31．如图，点A、C、D在同一条直线上，AC＝7cm，CD＝6cm，点B、E分别是AC、AD的中点，则BE的长是 　3　 cm． 【分析】先求出AD，再根据线段中点的性质得AE、AB的长，最后根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：∵AC＝7cm，CD＝6cm， ∴AD＝AC+CD＝7+6＝13（cm）， ∵点B、E分别是AC、AD的中点， ∴， ∴， ∴点B、E分别是AC、AD的中点时，则BE的长是3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查了本题考查两点间的距离，线段的和差，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三．解答题（共29小题） 32．已知∠AOB＝90°， （1）如图1，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，若∠EOD＝60°，求∠DOC的度数； （2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠DOC＝30°，求∠EOD的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，由∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE，OD平分∠BOC，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得∠BOD＝∠DOC＝30°，得到∠BOC＝60°，∠AOC＝150°，根据OE平分∠AOC，得∠AOE＝∠EOC＝75°，由∠EOD＝∠EOC﹣∠DOC即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∵∠EOD＝∠BOE+∠BOD＝60°， ∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝60°﹣45°＝15°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠DOC＝15°； （2）由题意可得： ∴∠BOD＝∠DOC＝30°，则∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°， ∵OE平分∠AOC， ∴， ∴∠EOD＝∠EOC﹣∠DOC＝75°﹣30°＝45°． 【点评】本题主要考查角的和差，角平分线的定义，理解图示中角的关系，掌握角平分线的定义，角的和差计算方法是解题的关键． 33．如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线． （1）若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数； （2）若∠AOB＝α，求∠MON的度数． 【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠APM，∠NOC＝∠BON，再根据∠MON＝∠MOC+∠NOC即可求出∠MON的度数； （2）根据角平分线性质可知∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，再根据∠MON＝∠MOC+∠NOC即可计算∠MON的度数． 【解答】解：（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°， 即∠MON的度数为50°； （2）根据角平分线性质可知∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC∠AOC∠BOC∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MONα． 【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 34．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 【分析】（1）根据图示知AMAC，AC＝AB﹣BC； （2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC． 【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15， ∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5． 又∵点M是AC的中点． ∴AMAC5，即线段AM的长度是． （2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3， ∴CNBC15＝6． 又∵点M是AC的中点，AC＝5， ∴MCAC， ∴MN＝MC+NC，即MN的长度是． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质． 35．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线，点C与点E、F在直线AB的两侧． （1）若∠BOE＝140°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE＝2α°，求∠COF的度数． 【分析】（1）由点O是直线AB上的一点，∠BOE＝140°，求得∠AOE＝40°，由OF是∠AOE的平分线，求得∠EOF＝∠AOF＝20°，而∠COE＝90°，则∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝70°． （2）因为∠BOE＝2α°，所以∠AOE＝180°﹣2α°，则∠EOF∠AOE＝90°﹣α°，求得∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝α°． 【解答】解：（1）∵点O是直线AB上的一点，∠BOE＝140°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝40°， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF＝∠AOF∠AOE＝20°， ∵∠COE＝90°， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝70°， ∴∠COF的度数是70°． （2）∵∠BOE＝2α°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣2α°， ∴∠EOF∠AOE＝90°﹣α°， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣（90°﹣α°）＝α°， ∴∠COF的度数是α°． 【点评】此题重点考查角的计算、角平分线的定义等知识，正确地求出∠EOF的度数是解题的关键． 36．在下面的方格纸上画出将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形． 【分析】根据旋转的性质作出图形即可． 【解答】解：如图，△A'B'C即为所求． 【点评】本题考查图形的旋转作图，掌握相关知识是解决问题的关键． 37．如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据线段的画出和线段的中点的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图所示，线段BC即为所求， ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm， ∴CD＝8+6+10＝24cm， ∵点E为CD的中点， ∴DEDC＝12cm， ∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，利用了线段中点的性质，线段的和差． 38．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21，BCAB． （1）求线段AC的长． （2）若点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 【分析】（1）求出线段BC用AB+BC可得结论； （2）利用线段中点的意义，求出线段OC，用OC﹣BC即可． 【解答】解：（1）∵AB+BC＝AC． 又∵，AB＝21， ∴AC＝AB+BC＝21+7＝28； （2）∵O是AC的中点， ∴， ∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7． 【点评】本题主要考查了线段中点的意义，两点之间的距离，正确使用线段的中点的意义是解题的关键． 39．如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）： （1）作射线AB； （2）作直线AC与直线BD相交于点O； （3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等． 【分析】（1）（2）按要求作图； （3）根据作一条线段等于已知线段作图即可． 【解答】解：（1）作射线AB，如图所示； （2）作直线AC与直线BD相交于点O，如图所示； （3）作法：以A为圆心，线段AC′的长为半径，在射线AB上画弧，交射线AB于C′，线段AC′就是所求． 【点评】本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，还考查了角平分线的定义，难度不大，属于基础题． 40．如图所示：点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8m，BC＝12m，CD＝6m．求BM的长． 【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长 【解答】解：∵点M是AB的中点， ∴BM＝AMAB8＝4（cm）， 答：BM的长为4cm． 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质推出BM＝AMAB． 41．如图，已知，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD． 解：∵，∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝2∠AOC＝ 　80　 °， ∴∠AOB＝∠AOC +∠BOC ＝120°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD AOB ＝60°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC ＝ 　20°　 ． 【分析】根据题目中的解答过程，结合图形进行填写即可． 【解答】解：∵，∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝2∠AOC＝80°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°， ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD∠AOB＝60°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°． 故答案为：80，AOC，BOC，AOB，AOC，20°． 【点评】此题主要考查了角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分的计算是解决问题的关键． 42．如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）试说明∠AOF＝∠EOD； （2）求∠EOC+∠AOF的度数． 【分析】（1）由∠AOE＝∠FOD，得到∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF，即可证明； （2）由角平分线定义，余角的性质，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠AOE＝∠FOD， ∴∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF， ∴∠AOF＝∠EOD； （2）解：∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠DOB， ∵∠AOE＝90°， ∴∠BOE＝90°， ∴∠BOD+∠DOE＝∠EOF+∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠EOF， ∴∠BOC＝∠EOF， ∵∠EOC＝∠EOB+∠BOC， ∴∠EOC＝∠EOB+∠EOF， ∴∠EOC+∠AOF＝∠EOB+∠EOF+∠AOF， ＝∠EOB+∠AOE＝90°+90°＝180°． 【点评】本题考查角平分线定义，余角的性质，关键是应用角平分线定义，余角的性质得出有关的等式． 43．如图所示，线段AB＝8cm，C为线段AB上一点，又知M是线段BC的中点，N是线段AC的中点，求MN的长． 【分析】先根据M是线段BC的中点，N是线段AC的中点得出NCAC，CMBC，再把AB＝8cm代入即可得出结论． 【解答】解：∵M是线段BC的中点，N是线段AC的中点，AB＝8cm， ∴NCAC，CMBC， ∴MN＝NC+CM（AC+BC）AB8＝4（cm）． 【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 44．已知线段AB＝14，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：DB＝1：2：4，AMAC，且DNBD，求MN的长． 【分析】求出AC，CD，BD，求出CM，DN，根据MN＝CM+CD+DN或MN＝CM+CD﹣ND求出即可． 【解答】解：∵AB＝14，AC：CD：BD＝1：2：4， ∴AC＝2，CD＝4，BD＝8， ∵AMAC，DNDB， ∴CM＝1，DN＝2， ∴MN＝CM+CD+DN＝1+4+2＝7或MN＝CM+CD﹣ND＝1+4﹣2＝3． 则MN的长是7或3． 【点评】本题考查了求出两点间的距离的应用，关键是求出各个线段的长． 45．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数． 【分析】先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB ∴∠BOE＝45° 又∵∠EOF＝60° ∴∠FOB＝60°﹣45°＝15° ∵OF平分∠BOC ∴∠COB＝2×15°＝30° ∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120° 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键．注意：也可以根据∠AOC的度数是∠EOF度数的2倍进行求解． 46．如图，在△ABC中，∠B＝35°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，若A，D，E三点在一条直线上，求∠BCD的大小． 【分析】先求解∠BAC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，证明，CA＝CD，∠CDE＝∠CAB＝115°，可得∠CAD＝∠CDA＝180°﹣115°＝65°，再进一步求解即可． 【解答】解：∵∠B＝35°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣30°＝115°， 由旋转可得，CA＝CD，∠CDE＝∠CAB＝115°， ∴∠CAD＝∠CDA＝180°﹣115°＝65°， ∴∠ACD＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝50°﹣30°＝20°． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 47．如图，OC，OD，OE是∠AOB内三条射线，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB． （1）已知∠BOD＝80°，∠AOE＝25°，求∠COD的度数； （2）若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DOA的度数，即可求出∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求出∠COD的度数即可； （2）根据角平分线的定义及角的和差得出∠BOD＝2∠EOC，再根据∠BOD与∠EOC互余，即可求出∠EOC的度数． 【解答】解：（1）∵OE平分∠DOA， ∴∠DOA＝∠AOE， ∵∠AOE＝25°， ∴∠DOA＝50°， ∵∠BOD＝80°， ∴∠AOB＝∠BOD+∠DOA＝80°+50°＝130°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝80°﹣65°＝15°； （2）∵OE平分∠DOA， ∴∠AOE， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC， ∴∠EOC＝∠AOC﹣∠AOE ， 即∠BOD＝2∠EOC， ∵∠BOD与∠EOC互余， ∴∠BOD+∠EOC＝90°， 即2∠EOC+∠EOC＝90°， ∴∠EOC＝30°． 【点评】本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角和补角，根据图形找出角之间的数量关系是解题的关键． 48．如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O处，且∠BOD，∠AOC均小于180°． （1）当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ①∠AOD　＝　 ∠BOC（填“＞”或“＜”或“＝”）． ②∠AOC和∠BOD的数量关系是：　∠AOC+∠BOD＝180°　 ． （2）当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①∠AOD和∠BOC的大小关系是否成立　是　 （填“是”或“否”）． ②∠AOC和∠BOD的数量关系是否成立　是　 （填“是”或“否”）． （3）当两三角尺的位置是图（3）位置时，若∠BOD＝140°，OE、OF分别是∠AOD，∠BOC的平分线，求∠EOF的度数． 【分析】（1）①利用角度转换即可解答； ②利用角度转换即可解答； （2）①利用角度转换即可解答； ②利用角度转换即可解答； （3）根据角平分线的定义，进行角度的计算即可． 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD， 即∠AOD＝∠BOC， 故答案为：＝； ②∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB+∠BOC+∠BOD＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°； 故答案为：∠AOC+∠BOD＝180°； （2）①∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD， 即∠AOD＝∠BOC， 故答案为：是； ②∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD﹣∠COD+∠BOD ＝360°﹣∠AOB﹣∠COD ＝180°， ∴∠AOC+∠BOD＝180°， 故答案为：是； （3）根据（1）可知∠AOD＝∠BOC， ∵OE、OF分别是∠AOD、∠BOC的平分线， ∴∠DOE＝∠AOE＝∠COH＝∠BOF， ∴∠DOE+∠AOE+∠AOB＝2∠AOE+90°＝140°， ∴∠DOE＝∠AOE＝∠COH＝∠BOF＝25°， ∴∠EOF＝∠DOB﹣∠DOE﹣∠BOF＝140°﹣25°﹣25°＝90°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． 49．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． （1）如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好平分∠ACB，请你猜想此时CB是否平分∠ECD，并简述理由； （2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由； （3）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，设∠BCE＝∠β，试用含∠β的式子表示∠ACD的度数，并说明当∠β的值逐渐增大时，∠ACD的度数会发生怎样的变化； （4）如图③，将两个同样的含30°角的直角三角板中60°锐角的顶点A叠放在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，并说明理由． 【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE＝90°，CE平分∠ACB得∠ACE＝∠ECB＝45°，进而得∠DCB＝45°，据此可得出结论； （2）由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，然后根据同角的余角相等可得出结论； （3）由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠ACE＝90°﹣∠β，据此可得∠ACD＝180°﹣∠β，进而可得当∠β的值逐渐增大时，∠ACD的度数的变化情况； （4）①当AC在∠BAE的内部时，由∠DAC＝∠BAE＝60°得∠DAE＝60°﹣∠CAE，据此可得∠DAB与∠CAE的关系； ②当AC在∠BAE的外部时，由∠DAB＝∠DAC+∠CAE+∠BAE可得出∠DAB与∠CAE的关系． 【解答】解：（1）CB平分∠ECD，理由如下： 依题意得：∠ACB＝∠DCE＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB＝45°， ∴∠DCB＝∠DCE﹣∠ECB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DCB＝∠ECB＝45°， ∴CB平分∠ECD； （2）∠ACE＝∠DCB，理由如下： 依题意得：∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB； （3）依题意得：∠ACB＝∠DCE＝90°， ∵∠BCE＝∠β， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝90°﹣∠β， ∴∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝90°﹣∠β+90°＝180°﹣∠β， 即：∠ACD＝180°﹣∠β， ∴当∠β的值逐渐增大时，∠ACD的度数逐渐减小； （4）∠DAB＝120°﹣∠CAE或∠DAB＝120°+∠CAE，理由如下： 依题意得：∠DAC＝∠BAE＝60°， ①当AC在∠BAE的内部时，如图： ∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝60°﹣∠CAE， ∴∠DAB＝∠DAE+∠BAE＝60°﹣∠CAE+60°＝120°﹣∠CAE； ②当AC在∠BAE的外部时，如图： ∠DAB＝∠DAC+∠CAE+∠BAE＝120°+∠CAE． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，准确识图，熟练掌握同角的余角相等是解答此题的关键． 50．如图，点M，C，N在线段AB上，给出下列三个条件：①，②，③． （1）如果　①②　 ，那么　③　 .（从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，填序号）根据上面的填空，说明结论成立的理由． （2）在（1）的条件下，若AM＝3cm，MN＝5cm，求线段BN的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义以及和差关系进行解答即可； （2）由（1）可得MN＝MC+CN＝AM+BN，代入计算即可． 【解答】解：（1）如果①②，那么③， ∵，， ∴AM＝MCAC，CN＝NBBC， ∴MN＝MC+CN（AC+BC）AB， 即， 故答案为：①②，③； （2）由（1）得，MN＝MC+CN＝AM+BN， 当AM＝3cm，MN＝5cm时，即5＝3+BN， ∴BN＝2cm． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． 51．如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点 　是　 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，求AC的长． 【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解； （2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； （2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点， ∴AC＝124cm或AC＝126cm或AC＝128cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，解题关键是要读懂题目的意思再求解． 52．线段的计算和角的计算有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： （1）【探索发现】课上，老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，当AB＝20时，求线段CD的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段→转化已知线段… ∵C，D分别是线段OA，OB的中点， ∴， OB ①． ∴ OB ② AB ③． ∵AB＝20，∴CD＝ 　10　 ④． 可以利用线段中点的定义，线段的和、差，等式的性质来解决． （2）【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知∠AOB＝120°，OC是角内部的一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，请你求∠DOE的度数． （3）【拓展延伸】如果（2）中其他条件不变，将射线OC绕点O旋转到∠AOB的外部，则∠DOE的度数 　60°或120°　 ． 【分析】（1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据角平分线的定义表示出∠DOC和∠COE，然后根据进行计算即可得解； （3）根据角平分线的定义表示出∠DOC和∠COE，然后分三种情况作出图形，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意可得：，， ∴， ∵AB＝20， ∴CD＝10． 故答案为：OB，OB，AB，10． （2）∵，， ∴， ∵∠AOB＝120°， ∴； （3）第一种情况：如图， ∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线， ∴，， ∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD， ＝60°； 第二种情况：如图， ∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线， ∴，， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE ＝60°； 第三种情况：如图， ∵，， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE ＝120°． 综上，∠DOE的度数为60°或120°． 【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，同时要注意分情况讨论． 53．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数． 【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC＝∠B，则可求． 【解答】解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°， 所以△ACE是等腰直角三角形． 所以∠CAE＝45°； 根据旋转的性质可得∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝20°． ∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°． ∴∠EDC＝45°+70°＝115°． 所以∠B＝∠EDC＝115°． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段． 54．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长． 【分析】由旋转的性质得：AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，再根据勾股定理即可求出BD． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点， ∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴BD． ∴BD的长为． 【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键． 55．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°． （1）若∠BOC＝20°，求∠AOB的度数． （2）∠COD与∠AOB互补吗？请说明理由． 【分析】（1）由∠BOC＝20°，∠AOC＝90°，从而得到∠AOB的角度； （2）由题意，设∠COD＝x，表示出∠AOB＝180°﹣x，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝20°，∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝110°； （2）∠COD与∠AOB互补，理由如下：∠COD与∠AOB互补，理由如下： 设∠COD＝x， ∠BOD＝90°， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣x， ∵∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝90°﹣x+90°＝180°﹣x， ∴∠COD+∠AOB＝x+180°﹣x＝180°， ∴∠COD与∠AOB互补． 【点评】本题考查了余角、补角的定义，正确认识图形是解题的关键． 56．如图，P是线段AB上一点，AB＝24cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts． （1）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长； （2）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长； （3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且2BQ﹣AQ＝2PQ，求PQ的长． 【分析】（1）根据时间和速度可得：BD＝2tcm＝4cm，PC＝tcm＝2cm，则BD+PD＝2（PC+AC），可得PB＝2AP即可求解； （2）由PD＝2AC，BD＝2PC可知，BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，即可求解； （3）分类讨论，当点Q在线段PB上，AP上，点A的左边，点B的右边时，分别求解即可． 【解答】解：（1）当t＝2时，根据C，D的运动速度知：BD＝2tcm＝4cm，PC＝tcm＝2cm，则BD＝2PC， ∵PD＝2AC， ∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP， ∵AB＝24cm，AB＝AP+PB， ∴AP＝8cm； （2）由题意得：BD＝2tcm，PC＝tcm， ∴BD＝2PC， ∵PD＝2AC， ∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP， ∴AP＝8cm； （3）分四种情况： ①当点Q在线段PB上时，如图1， ∵2BQ﹣AQ＝2PQ，BQ＝PB﹣PQ＝16﹣PQ，AQ＝8+PQ， ∴2（16﹣PQ）﹣（8+PQ）＝2PQ， ∴PQcm； ②当点Q在线段AP上时，如图2， ∵2BQ﹣AQ＝2PQ， ∴2（16+PQ）﹣（8﹣PQ）＝2PQ， ∴PQ＝﹣24（舍）； ③当点Q在点A的左边时，如图3， ∵2BQ﹣AQ＝2PQ， ∴2（16+PQ）﹣（PQ﹣8）＝2PQ， ∴PQ＝40cm； ④当在点B的右边时，如图4， ∵2BQ﹣AQ＝2PQ， ∴2（PQ﹣16）﹣（8+PQ）＝2PQ， ∴PQ＝﹣40（舍）； 综上所述，PQ的长为cm或40cm． 【点评】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系是解题的关键． 57．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）如图1，当α＝30度时，求∠GFC′的度数； （2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值． 【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°； （2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN，由长方形的对边是平行的，得∠GFE＝∠DEF＝α°，由此可以求得∠FGD′＝∠EGB＝2α°，∠GFN＝4α°，由∠GFC′+∠FGD′＝180°可以求出α°，即可以得到α的值． 【解答】解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF， ∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝30°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°， ∴∠FGD′＝∠EGB＝60°， ∴∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°； ∴当α＝30度时，∠GFC′的度数是120°； （2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN， ∵长方形的对边是平行的， ∴∠GFE＝∠DEF＝α°， ∴∠EGB＝∠GFE+∠DEF＝2α°，∠GFN＝4∠GFE＝4α°， ∴∠FGD′＝∠EGB＝2α°， ∵∠GFC′+∠FGD′＝180°， ∴4α°+2α°＝180° ∴α°＝30°． ∴α的值是30． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键． 58．已知一副三角板按图1所示摆放，∠AOB＝∠OCD＝90°，∠OAB＝45°，∠COD＝60°，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧． （1）保持△AOB不动，将△COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则∠BOC﹣∠AOD＝　30°　 ； （2）保持△AOB不动，将△COD绕点O逆时针方向旋转n°（n＜180°），试探究∠BOC与∠AOD的数量关系； （3）如图3，若△COD按每分钟15°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时，△AOB按每分钟9°的速度也绕点O逆时针方向旋转，多少分钟时，OD边第一次与OB边重合？ 【分析】（1）由∠BOC＝∠BOA﹣∠COA，∠AOD＝∠COD﹣∠COA，得∠BOC﹣∠AOD＝（∠BOA﹣∠COA）﹣（∠COD﹣∠COA）＝∠BOA﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°． （2）设∠COA＝α，分三种情况讨论：①当0°＜α≤60°时，②当60°＜α≤90°时，③当90°＜α≤180°时，把∠BOC和∠AOD用含α的式子表示，再计算即可． （3）先求出OD按每分钟15°的速度旋转，OB按每分钟9°的速度，再按照追击问题得150÷（15﹣9）＝25（分钟）． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠BOA﹣∠COA， 又∠AOD＝∠COD﹣∠COA， ∴∠BOC﹣∠AOD＝（∠BOA﹣∠COA）﹣（∠COD﹣∠COA）＝∠BOA﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30°． （2）设∠COA＝α， ①当0°＜α≤60°时，如图a，由（1）得∴∠BOC﹣∠AOD＝30°． ②当60°＜α≤90°时，如图b， ∠BOC＝90°﹣α，∠AOD＝α﹣60°， ∴∠BOC+∠AOD＝90°﹣α+α﹣60°＝30°． ③当90°＜α≤180°时，如图c， ∠BOC＝60°﹣α，∠AOD＝90°﹣α， ∴∠AOD﹣∠BOC＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°． 综上所述，∠BOC﹣∠AOD＝30°，或∠BOC+∠AOD＝30°，或∠AOD﹣∠BOC＝30°． （3）∵△COD按每分钟15°的速度旋转， ∴OD按每分钟15°的速度旋转， 同理，OB按每分钟9°的速度， ∵∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+60°＝150°， ∴150÷（15﹣9）＝25（分钟）． 答：25分钟时，OD边第一次与OB边重合． 【点评】本题考查了余角和补角的知识，利用数形结合，列出算式计算是解题关键． 59．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝6cm，则线段DE的长为 　8　 cm． ②设AC＝acm，则线段DE的长为 　8　 cm． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠MON＝60°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠AOB的度数． 拓展探究： （3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，若∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON与∠AOB的数量关系． 【分析】（1）①由AC＝6cm，AB＝16cm，即可推出BC＝10cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD＝DC＝3cm，BE＝EC＝5cm，即可推出DE的长度； ②由AC＝acm，AB＝16cm，即可推出BC＝（16﹣a）cm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE（AC+BC）（a+16﹣a）16＝8cm； （2）由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，即可推出∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB，可得结论； （3）由∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，可以得到∠MOD∠AOD，∠CON∠BOC，根据∠AOB＝α，∠COD＝30°，∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD∠AOD∠BOC∠COD∠COD∠AOB∠COD，可得结论． 【解答】解：（1）①∵AC＝6cm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝16﹣6＝10（cm）， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CD＝3cm，CE＝5cm， ∴DE＝CD+CE＝3+5＝8（cm）； 故答案为：8cm； ②∵AC＝acm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CDacm，CE（14﹣a）cm， ∴DE＝CD+CEa（16﹣a）＝8（cm）； 故答案为：8cm； （2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠COB， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB， ∵∠MON＝60°， ∴∠AOB＝120°； （3）∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON， ∴∠MOD∠AOD，∠CON∠BOC， ∵∠COD＝30°， ∴∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD ∠AOD∠BOC∠COD∠COD （∠AOD+∠BOC+∠COD）∠COD ∠AOB∠COD ∠AOB+10°． 【点评】本题主要考查角的计算、角平分线和线段的中点的定义，解题的关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的定义和角之间的和差关系． 60．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　1　 ，c＝　7　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　4　 表示的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝　3t+3　 ，AC＝　5t+9　 ，BC＝　2t+6　 ．（用含t的代数式表示）． （4）直接写出点B为AC中点时的t的值． 【分析】（1）利用|a+2|+（c﹣7）2＝0，得a+2＝0，c﹣7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1． （2）先求出对称点，即可得出结果． （3）AB原来的长为3，所以AB＝t+2t+3＝3t+3，再由AC＝9，得AC＝t+4t+9＝5t+9，由原来BC＝6，可知BC＝4t﹣2t+6＝2t+6． （4）点B为AC的中点，故有AB＝BC，由 （3）中式子即可得出t值． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0， ∴a+2＝0，c﹣7＝0， 解得a＝﹣2，c＝7， ∵b是最小的正整数， ∴b＝1， 故答案为：﹣2，1，7． （2）由题意得，（7+2）÷2＝4.5， 对称点为7﹣4.5＝2.5， 2.5+（2.5﹣1）＝4， 故答案为：4． （3）由题意，得， AB＝t+2t+3＝3t+3， AC＝t+4t+9＝5t+9， BC＝4t﹣2t+6＝2t+6， 故答案为：3t+3，5t+9，2t+6． （4）点B为AC的中点，故有AB＝BC得， 3t+3＝2t+6， 得t＝3． 【点评】此题主要考查了数轴上两点的间的距离，关键要掌握利用数轴上点来表示数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/30 16:50:31；用户：韩明月；邮箱：15733134870；学号：27749961 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $