第2章 有理数 典例精选与跟踪训练 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数概念与运算，通过典例与分层训练整合概念辨析、实际应用及新定义题型，渗透数形结合与转化思想，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3题|有理数混合运算步骤、实际问题正负数建模|从概念（正负数）到运算（加减乘除），再到应用（行程/销售）| |跟踪训练-单选|8题|概念辨析（非负数、乘方等）、科学记数法|概念生成（有理数分类）→原理推导（运算法则）| |跟踪训练-填空|6题|绝对值化简、数轴距离计算、除法法则符号规律|概念应用（相反数/绝对值）→性质拓展（大小比较）| |跟踪训练-解答|6题|分类讨论（集合划分）、新定义运算转化、除方与乘方互化|运算深化（混合运算）→模型意识（实际问题）|

第2章有理数 典例精选 1．计算 (1) (2) (3) (4) 2．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 3．某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：，，，，，，，，. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是，今天耗油多少L． 跟踪训练 一、单选题 1．用科学记数法表示1230000，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 5．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中，①零是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③一定是负数；④自然数一定是正数；⑤正分数一定是有理数．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 8．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 二、填空题 9．化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 10．我国魏晋时期的数学家刘徽在建立负数概念上有重大贡献，他在《九章算术》中说：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是说，在解决问题过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果“气温为零上”记作，那么“气温为零下”记作______． 11．若，则的值为_______． 12．在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 13．通过字母表示数，我们可以借助符号描述有理数的除法法则：当有理数a、b同号时，；当有理数a、b异号时，；____（请借助符号把该法则补充完整）． 14．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 三、解答题 15．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接． 16．计算： (1)； (2)． 17．把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 18．当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 19．我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 20．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“5的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”． 一般地，把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ______；______； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ______，______； 【归纳及应用】 （3）有理数a的圈n次方（，），可以写成乘方幂的形式为： _______； （4）计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 3．(1)没有回到A地. 检修小组最后的位置在A地东面处 (2)第7次记录距离A地最近，距离A地 (3)这一天检修小组总路程为，今天耗油 【分析】（1）将所有行走记录相加，根据结果是否为0判断是否回到A地，根据结果的正负和绝对值判断最终位置； （2）依次计算每次移动后距离A地的距离，比较大小得到最近的次数和距离； （3）总路程为所有行走记录的绝对值之和，再乘以单位耗油量得到总耗油量． 【详解】（1）解：根据题意，将所有行动记录相加得：， ∵，且结果为正， ∴收工时检修小组没有回到A地，在A地东面处； （2）解：依次计算每次记录后距离A地的距离: 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； 第9次：； 比较可得， ∴第7次记录距离A地最近，距离为； （3）解：总路程为所有行动记录的绝对值之和： ， 总耗油量为： 答: 这一天检修小组的总路程为，今天耗油． 跟踪训练答案 1．B 【详解】解：． 2．C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 3．A 【详解】解：选项A：，， ，符合要求； 选项B：，， ，不符合要求； 选项C：，， ，不符合要求； 选项D：，， ，不符合要求． 4．C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 【详解】解：4 筐萝卜的总质量为千克． 5．B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 6．A 【分析】根据有理数、整数、相反数、自然数的基础概念，逐个判断每个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：①∵整数包含负整数，负整数比0小， ∴零不是最小的整数，①错误； ②∵有理数包含正数、0、负数三部分， ∴一个有理数还可能是0，不一定是正数或负数，②错误； ③∵是a的相反数，当a为负数时，是正数，当时，， ∴不一定是负数，③错误； ④∵自然数包含0，0不是正数， ∴自然数不一定是正数，④错误； ⑤∵有理数分为整数和分数，分数包含正分数和负分数， ∴正分数一定是有理数，⑤正确； 综上，正确的说法只有1个． 7．D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 8．C 【分析】根据题意列出算式，即可得出答案． 【详解】解：左手伸出三根手指，表示， 右手大拇指掐住第 11指关节，表示11， 则表示的十进制数字是． 9． / 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值；根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较绝对值的大小，再得到结果． 【详解】解： ， ∴， ∴； ，， ∴， ∴． 10．℃ 【详解】如果“气温为零上”记作，那么“气温为零下”记作． 11． 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 12．或3 【详解】解：（1）当所求点在点A的左侧时，可得所求点表示的数为； （2）当所求点在点A的右侧时，可得所求点表示的数为， 故与点相距5个单位长度的点表示的数是或3． 13．当，时， 【分析】本题考查有理数除法法则的概念，完整的有理数除法法则分为同号两数相除、异号两数相除、零除以非零有理数三种情况，题干给出前两种情况，只需补充剩余的零除以非零数的情况即可． 【详解】根据有理数除法法则，除数不能为零，零除以任何一个不为零的有理数结果都为零，因此用符号描述该法则为：当，时，． 14． 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 15．见解析， 【分析】先化简题目中的各个数，再在数轴上表示出来，最后根据数轴按从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：，，，， 将各数在数轴上表示如下： 可得． 16．(1)（或或） (2) 【详解】（1）解： ， （2）解：． 17．(1) (2) (3)0，2005 (4) 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：分数集合：； （3）解：非负整数集合：； （4）解：非负有理数集合：． 18．(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）略； （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了新定义、有理数的混合运算、相反数，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算的值，再根据相反数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为． 20．（1），；（2），；（3）；（4）． 【分析】本题考查了除方运算的定义和转化方法，以及有理数的混合运算． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）仿照示例计算即可； （3）仿照示例规律即可； （4）根据将原式进行转化，再计算即可． 【详解】解：（1）， ． 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， ．． 故答案为：，； （3）由除方运算转化规律，得， ， ．， ∴． 故答案为：； （4） ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $