22.3 相似三角形9大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 分层设计科学，从基础巩固到中考衔接，覆盖相似三角形判定、性质及应用，梯度合理，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|相似三角形判定（平行、两角等）、性质、简单应用|基础题型为主，如选择、填空，强化单一知识点，培养推理意识| |B组能力进阶|综合判定与性质、动点问题、实际测量|情境复杂，如三等分点、矩形与相似结合，发展几何直观| |C组思维拔高|折叠、动态相似、重心综合|需分类讨论，如等腰三角形折叠，提升创新意识| |拓展链接中考|中考真题题型|对接中考考点，如标杆测量、菱形与相似综合，强化应用意识|

分层作业 22.3 相似三角形 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 题型02 两角分别相等判定相似 题型03 三边成比例判定相似 题型04 两边成比例及夹角相等判定相似 题型05 补充条件使三角形相似 题型06 相似三角形的性质 题型07 相似三角形的判定与性质综合 题型08 相似三角形的应用 题型09 与重心有关的问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 1．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ，即， ． 2.（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 3. （25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4. （25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】 证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】略． 题型02 两角分别相等判定相似 5．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 6. （26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 7. （26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【难度】0.83 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【详解】略 8. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 题型03 三边成比例判定相似 9．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 10．如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.71 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则的各边长分别为1、、．则 ②的各边长分别为1、、； ③的各边长分别为2、、（为各边长的2倍）； ④的各边长分别为5、、（为各边长的倍）； ⑤的各边长分别为2、、（为各边长的倍）； ⑥的各边长分别为3、、． 根据三组对应边成比例的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 11. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【难度】0.85 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 12. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用三边对应成比例判定相似 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 题型04 两边成比例及夹角相等判定相似 13. （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 14. （25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 15. （2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【难度】0.59 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 16. 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明： ，，，， ，， ，， ， ， ． 【难度】0.75 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 题型05 补充条件使三角形相似 17. （26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 18. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 19. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.7 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 20. （2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 题型06 相似三角形的性质 21. （2026·河南驻马店·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（     ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】结合平行四边形的性质以及点E为的中点证明，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点O， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【难度】0.71 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 23. （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件列比例式求解对应边的长度即可． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 24. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 题型07 相似三角形的判定与性质综合 25. 如图，在中， ，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 26. （25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 27. 如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 【详解】解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 28. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为________． 【答案】2 【难度】0.74 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据网格结构特征可得，进而证明，利用相似三角形对应边的比等于对应边上的高之比即可求解． 【详解】解：由网格图可知， 与 均在竖直网格线上， ， ， 等于边上的高 与边上的高之比， 观察网格可知，边上的高为4，边上的高为6，， ， 解得． 题型08 相似三角形的应用 29. （26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 30. （26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】要想求出地上阴影部分的面积，只需求出底面圆的直径，首先画出该立体图形主视图，不难发现线段即为底面圆的直径，根据题目已知数据可以得到，，．由“”字型相似容易得到，通过相似三角形对应线段成比例可以求出，最后代入圆的面积公式即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，依题意知，，，， 由得，即， 故． 32. （26-27九年级上·全国·单元复习）一棵树（）和一根木杆（）在同一时刻的投影如图所示，木杆高3米，影子长2米；若树的影子长6米，则树高多少米？ 【答案】9米 【难度】0.7 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【详解】解：由题意，， ∴ ，即， ， 故树高9米． 题型09 与重心有关的问题 33. 在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】重心的有关性质 【分析】根据三角形重心的性质，三角形的重心将中线分为长度比为的两段，重心到顶点的距离为对应中线长度的，代入中线的长度即可计算得到结果． 【详解】解：是的重心，是边上的中线， ， ， ． 34. （25-26八年级下·上海奉贤·期末）在矩形中为的重心，如果，那么它的对角线的长是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】重心的有关性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】先利用三角形重心的性质得到边上中线的长度，再结合矩形对角线的性质计算对角线的长． 【详解】解：如图，设，交于点O，取的中点E，连接交于点G， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴． 35. （2026·江苏泰州·二模）已知为的中线，点O为的重心，若，则的长为_______． 【答案】4 【难度】0.8 【知识点】重心的有关性质 【分析】利用重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的倍，结合已知的长度即可计算的长． 【详解】解：∵为的中线，O为的重心，， ∴， ∴． 36. （25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式、重心的有关性质、中点坐标 【分析】取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心，根据中点坐标公式可得，，利用待定系数法求出直线和的解析式，再求出两直线的交点坐标即可得解． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心， ，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ，即的重心坐标为． B组 能力进阶 1. 如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，求出的长，再证明，求出的长即可. 【详解】解：∵D、E为边的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2. （25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理可得，再分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当，如图， 则， 即 ∴； 当，如图， 则， 即， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 3. （25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，点G为和的交点，点F为和延长线的交点．下列说法错误的是（   ） A． B．点G为的重心 C．四边形是平行四边形 D． 【答案】D 【难度】0.53 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，确定，即可判断A；利用平行四边形的判定即可判断C；结合平行四边形的性质及重心的定义即可判断B，无法证明，即可判断D 【详解】解：∵E是中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为的中线， ∵为的中线， ∴点G为的重心，选项B正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意 4. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【难度】0.55 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平移的性质求解、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 5. （2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行判定相似 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【难度】0.65 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 7. （26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，，，是的平分线，交于点．求的长． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、相似三角形的判定与性质综合、三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线定义得出，由平行线的性质得出，等量代换得出，根据等腰三角形的判定定理得，由，找出“8”字模型相似三角形，由相似三角形的性质列出比例式，得出，根据，计算得出的长度． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 9. （26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． C组 思维拔高 1．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、三角形角平分线的定义、利用平行判定相似 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 3．（2027·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 4. （25-26八年级下·上海金山·期末）如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、重心的有关性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】由菱形的性质可得，由三角形重心的性质可得为的中线，，则，由矩形的性质可得，即，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵四边形为菱形， ∴， ∵的重心在线段上， ∴为的中线，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 5. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 拓展 链接中考 1．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 2．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 3．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作于点，利用相似三角形的性质求出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ∴， ，， ，， ， 设， ∵ ∴，即， ， ∵， ∴，即， ， ， 解得 ，， ∴， ， 在中， ． 5．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 6．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作于N，则四边形是矩形，则可得，．根据矩形的性质和折叠的性质可得，，根据勾股定理可得，进而可得．证明，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证明，则可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：设与的交点为M， ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 作于N，则四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. （2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SSS间接证明三角形全等（SSS）、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 8．（2026·上海·中考真题）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． (2)证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【难度】0.42 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式，用代换，变形得到乘积等式． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 22.3 相似三角形 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 题型02 两角分别相等判定相似 题型03 三边成比例判定相似 题型04 两边成比例及夹角相等判定相似 题型05 补充条件使三角形相似 题型06 相似三角形的性质 题型07 相似三角形的判定与性质综合 题型08 相似三角形的应用 题型09 与重心有关的问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 1．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 3. （25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 4. （25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 题型02 两角分别相等判定相似 5．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 6. （26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 7. （26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 8. 如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 题型03 三边成比例判定相似 9．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 12. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 题型04 两边成比例及夹角相等判定相似 13. （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 14. （25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 15. （2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 16. 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 题型05 补充条件使三角形相似 17. （26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 18. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 19. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 20. （2026·江苏徐州·一模）如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 题型06 相似三角形的性质 21. （2026·河南驻马店·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（     ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 22. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 23. （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 24. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 题型07 相似三角形的判定与性质综合 25. 如图，在中， ，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 26. （25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 27. 如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 28. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为________． 题型08 相似三角形的应用 29. （26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 30. （26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 31. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 32. （26-27九年级上·全国·单元复习）一棵树（）和一根木杆（）在同一时刻的投影如图所示，木杆高3米，影子长2米；若树的影子长6米，则树高多少米？ 题型09 与重心有关的问题 33. 在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 34. （25-26八年级下·上海奉贤·期末）在矩形中为的重心，如果，那么它的对角线的长是______． 35. （2026·江苏泰州·二模）已知为的中线，点O为的重心，若，则的长为_______． 36. （25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． B组 能力进阶 1. 如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 2. （25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 3. （25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，点G为和的交点，点F为和延长线的交点．下列说法错误的是（   ） A． B．点G为的重心 C．四边形是平行四边形 D． 4. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 5. （2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 6. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 7. （26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，，，是的平分线，交于点．求的长． 8．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 9. （26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． C组 思维拔高 1．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 3．（2027·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 4. （25-26八年级下·上海金山·期末）如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 5. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 拓展 链接中考 1．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 6．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 7. （2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 8．（2026·上海·中考真题）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 22.3相似三角形 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01平行判定相似 题型02两角分别相等判定相似 题型03三边成比例判定相似 题型04两边成比例及夹角相等判定相似 题型05补充条件使三角形相似 题型06相似三角形的性质 题型07相似三角形的判定与性质综合 题型08相似三角形的应用 题型09与重心有关的问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 1.B 2.A 4.证明：过点C作CM‖AB,交DF于点M. 1/9 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D EM C F 则△FCM一△FBD, BF BD ·CFCM ,点D为AB的中点， .'BD=AD. BF AD ·CFCM, .CM‖AB ∴△ECM一△EAD, AD ·CM EC②， BF AE 由①和②可知， CF-EC· 题型02两角分别相等判定相似 5.B 6.相似 7.证明：，DEBC, ∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴.△ABC-△ADE 8.(I)证明：.CD=CE, ∴.∠CED=∠CDE ·.∠CED=∠EAC+∠ACE,∠CDE=∠BAD+∠B, 又∠DAC=∠B, ∴.∠ACE=∠BAD 又.'∠DAC=∠B, .∴.△ABD一△CAE (2)解：.'△ABD一△CAE, 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ABAD AC CE' AB=6,AC=号， ,AD=5, 品 2 .CE=15 4 .CD=CE=15 题型03三边成比例判定相似 9.A 10.B 11.相似 12.(1)证明：D、E、F分别是OA、OB、OC的中点， DE=AB,EF-c,DF=号AC,E光克 DE_EF_DF_1 ∴.△DEF一△ABC: (2)解：，D、E、F分别是OA,OB,OC的中点， DE-AB,EF-,DF-TAC,OG=20F,OA=20D,OB=20E, OF OD DF 1 OF OE EF1 OD OE DE1 OC-OA-AC-2'OC-OB BC2'OA OB AB 2' .∴△ODF△OAC,△OEF~△OBC,△ODE一△OAB. 题型04两边成比例及夹角相等判定相似 13.C 14.D 15.①②或①③ 16.证明：.·AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, .AE=AC-CE=8-5=3,AD=AB-BD=6-2=4, .AE-3-1AD-4-1 ·AB62AC821 AE_AD_1 AB AC 2' .∠A=∠A, 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AED一△ABC. 题型05补充条件使三角形相似 17.D 18.D 19.∠ABC=∠D(答案不唯一) 20.2V3 题型06相似三角形的性质 21.C 22.D 23.4 24.15V6 题型07相似以三角形的判定与性质综合 25.D 26.A 27.3 28.2 题型08相似三角形的应用 29.B 30.6 31.0.81πm 32.解：由题意，AB‖CD, ∴.△CDE△ABE AB_BE AB_6 …CDDE' 即32' ∴AB=9, 故树AB高9米. 题型09与重心有关的问题 33.4 34.6 35.4 36. B组 能力进阶 1.A 2.D 3.D 6471 4.99 0万 5. 6.3或4.8 7.解：BD是∠ABC的平分线， 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD=∠CBD, :CD‖AB, ∴.∠ABD=∠D, ∴.∠CBD=∠D, ∴.BC=DC=5, CD‖AB, ∴.△ABE一△CDE, AEAB ∴CECD .AB=10,CD=5, AE_10=2, 05 CE号A .AC=7.5, AE+EC-AE+AE-7.5, .AE=5 8.证明：，四边形EFGH是矩形， .EH‖BC, ∴△AEH~△ABC: (2)解：设正方形EFGH的边长为x,则EH=EF=x,AN=AD-EF=4-x. .△AEH一△ABC, ADBC 即4后解得x ANEH4-x-x 5 2 :EH的长为5 9.解：设AB=xm,BD=ym, '.EF=2m,PF=4m, ∴.PB=PF+FD+BD=4+17.5+y=21.5+ym, EF AB, ∴.△EFP-△ABP, EF PF 'AB PB 519 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2= 4 x21.5+y CD=2m,DQ=3m, .'.QB=QD+DB=3+ym, CD AB .△CDQ-△ABQ, CD_DQ ·ABBQ' 23 x 3+y' .3 4 3+y21.5+y 解得y=52.5(检验成立)， .2 3 3+52.5 解得X=37(检验成立). 答：塔的高度AB为37米。 C组 思维拔高 4V10-8 3 1.D 2.B 3.2或 3 4.3 5.解：在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴.AC=AB+BC2=V6+82=10, 由题意，有AP=2t,CQ=t, .PC=10-2t, ∴.①当∠PQC=90°时，如答图1， .∠B=∠PQC=90°∠ACB=∠PCQ 图1 ∴.△PQC一△ABC, 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .P℃-CQ AC BC' 90- 铝 ②当∠CPQ=90时，如答图2， D P .'∠ACB=∠QCP∠B=∠QPC Q 图2 .△CPQ-△CBA, CP_CQ BC AC ,即024- 810 饰空 40 25 综上所述，t为13秒与行秒时，△CPQ与△CAB相似. 拓展 链接中考 1.C 2.B 3.C 4.D 23 5. 6.43V5 7.(1)证明：连接PN,如图1， 在△PQN和△NMP中， PQ=MN,QN=PM,PN=NP, ∴.△PQN≌△NMP|SSS, .∠QPN=∠MNP ∴.PM‖QN(内错角相等，两直线平行)· M 图1 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由题意，墙面l⊥地面，AB⊥OD,PQ⊥L,DB⊥L, .PQ DB,AB CD. ∴.∠PQB=∠DBQ=∠QPD=90, ∴四边形PQBD是矩形， ∴.PQ=BD=10, 又.'∠AOB=∠COD,∠CDO=∠ABO=90°， ∴.△OAB~△OCD, ·AB-OB ·CDOD1 .AB=57,OB=OD-BD=190, :CD=57×200=60. 190 ∴.CD的长度为60cm 8.(1)证明：.四边形ABCD为菱形， ,∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,AB=DC, .∠FBC=∠CAB, ∴.∠FBC=∠BCA, ∴.FB=FC, AF=2BF, ∴AF=2CF, ∵AB‖DC, ∴.∠CEF=∠ABF, ,:∠EFC=∠AFB, ..△AFB△CFE, AF ABAB CE CE40 CE =2, AB=DC, =2,即DC=2CE 故CE=DE. (2)证明：，据(1)可知∠FBC=∠BCA, ∴.∠BFA=∠FBC+∠BCA=2∠FBC, .∠FBC=∠CAB, 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BFA=2∠CAB, .'∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,∠BAH=∠DAC+∠CAB, ∴.∠BAH=2∠CAB, ∴.∠BFA=∠BAH, ,BH平分∠ABE, ∴.∠ABH=∠GBF, .∴.△BFG一△BAH, BF BG BA BH' 'BA=CD. 器器 ∴.CD·BG=BH·BF」 919