22.3 相似三角形的判定（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本练习以“分层进阶+考点全覆盖”为特色，通过A/B/C三级梯度设计，实现从相似三角形判定定理基础应用到综合探究再到中考衔接的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|三大判定定理（两角、两边夹角、三边）|基础选择/填空，直接应用判定条件，如“添一个条件使三角形相似”| |B组能力进阶|网格相似、多结论判断、中档证明|结合图形变换（如折叠），如“正方形网格中相似三角形判定”| |C组思维拔高|动态问题、综合证明、跨知识应用|含动点探究（如“线段旋转后求长度”），培养创新意识| |拓展链接中考|中考真题题型|对接中考考点，如“五边形中相似三角形判定”，强化应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 22.3相似三角形的判定 参考答案 A组 巩固过关 题型01 两角对应相等，两个三角形相似 1.c 【分析】本题考查了相似三角形的判定.熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.利用相似三角形 的判定对各选项进行判断作答即可. 4_6_5 【详解】解：由题意知：A中232.5，能判定相似，选项正确，故不符合题意： 46 B中23，S8°=580即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意： C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C 2.C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可. 【详解】解：A、:∠C=∠C,∠DEC=∠B=60°， ∴.△DEC∽△ABC,故选项不符合题意： B、,∠C=LC,∠CDE=∠B .△CDEACBA,故选项不符合题意； C、由图形可知，只有∠B=∠B,不能判断△BDEPABAC,故选项符合题意： D、∠A=∠A,∠AED=∠B=60°， .△AED∽△ABC,故选项不符合题意. 3.△ACD和△CBD 1/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可. 【详解】解：∠ACB=90°，CD⊥AB ∴.∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°， .∠CAD=∠BAC, .△ABC∽△ACD ,∠A=∠BCD=90°-∠B,∠BDC=∠BCA=90°， .△ABC∽aCBD 故答案为：△ACD和△CBD 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理. 题型02 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 4.B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点 是解题的关键， 【详解】解：由图可知∠B是公共角， 当添加∠BAD=∠C时，由两角对应相等能判定△ABD∽aCBA,该选项A符合题意； AD AB 当添加ACBC时，∠B公共角，不是对应边成比例，无法判断。ABDP6CBA:该选项B符合恩意： 当添加∠ADB=∠BAC时，由两角对应相等能判定△ABD∽aCBA,该选项C不合题意： 当添加AB=BD·BC时，∠B公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定△ABD∽aCBA,该选项D不 合题意： 故选：B 5.c 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键. 直接利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可. 【详解】解：AB=AC=4,∠B=75°， .∠C=∠B=75° .∠A=30° 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知C选项符合题意. 故选C 2/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48 6.5 cm 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例. AB BD 若△ABDADBC,则DBBC,代入相关长度，即可求解. 【详解】解：：D是∠ABC的平分线上一点，则∠ABD=∠DBC, 若△ABDADBC, AB BD 则DBBC· ..AB =15cm,BD =12cm 1512 12BC' 48 .BC= 48 故答案为：5cm· 题型03 三边对应成比例，两个三角形相似 7.C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键， 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为√2,2，V10； ②中三角形的三边长为V√2，V5,3: ③中三角形的三边长为2,2√2,25； ④中三角形的三边长为3，V17,4V2: 2_2返-25-2. V22V10 ∴①和③中的三角形相似. 故选：C 8.C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.①两角分别 3/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相等的两个三角形相似：②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似：③三边成比例的两个三角形相似. 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可 465 【详解】解：由题意知，A中2325，能判定相似，故不符合题意： 4_6 B中23,580=580，能判定相似，故不符合题意： C中35°=35°，只有一组角相等不能判定相似，故符合题意： D中40°=40°，且对项角相等，能判定相似，故不符合题意； 故选：C 9.△GED 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断 即可得出结论 【详解】解：△ABC的三边长分别为：AB=VP+12=√2，BC=1,AC=V+22=√5： △DEF的三边长分别为：DE=2,EF=V2+1P=V5,DF=V4?+1P=√7， BC AB AC ED*FE FD' .△ABC与△DEF不相似； △DEG的三边长分别为：DE=2,EG=V22+22=22,DG=√42+22=25： BC AB AC 1 DE EG DG 2' ∴.△ABC∽△DEG. △DEH的三边长分别为：DE=2,EH=V22+32=3,DH=V32+4=5, BC AB AC ·DEEHDH' .△ABC与△DEH不相似： △DEI的三边长分别为：DE=2,EI=V22+4=2V5,D1=V42+42=42, BC AB AC ·DE EI DI' ∴.△ABC与△DEI不相似： 故答案为：aGED 4/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型04 判断三角形相似 10.D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可. 【详解】解：A、∠A=∠A,∠B=∠B,符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴.可 以判定△ABC∽△AB'C',故此选项不符合题意； AB BC AC B、BBC=4C,符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，·可以判定 △ABC△AB'C',故此选项不符合题意； AB BC C、A心B=BC,且对应边的夹角∠B=∠B,符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判 定规则，可以判定△ABCAAB'C,故此选项不符合题意： AB AC D、ArB=AC,相等的∠C=∠C不是AB与AC的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定 △ABC∽aA'B'C',故此选项符合题意。 11.D 【详解】解：A、由∠BAD=∠CAE可得：∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠DAE,则根据 “两个角对应相等的两个三角形相似”可判定△ABCn△ADE,故不符合题意： AB AD AB BC B、由BCDE可得：AD一DE,则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似” 可判定△ABC∽△ADE,故不符合题意； C、由∠C=∠E根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定△ABC∽△ADE,故不符合题意： AB AD D、由ACAE,∠B=∠D不能判定ABCAADE,故符合题意. 12.c 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论. 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， .两个直角三角形不一定相似，故A错误： B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为90°，45°，45°，对应角都相等， ∴.两个等腰直角三角形相似，故C正确： D、有一个角是30°的等腰三角形，30°可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， 5/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .不一定相似，故D错误。 题型05 添一个条件使两个三角形相似 13.C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应 相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个 三角形相似. 【详解】解：由∠ADE=∠C,∠A=∠A,可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ACB, 故A不符合题意； AD AE 由ADAB=ABAC可得AC-AB,再由∠A=∠A:可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个 三角形相似证明△ADE∽△ACB,故B不符合题意； 由DE∥BC,可得∠ADE=-∠B,再由∠A=∠A,可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明 △ADEAABC,故D不符合题意； 由AD.BC=AB·DE结合现有条件，无法证明△ADE与△ABC相似，故C符合题意： 故选：C BC AC 14.∠CBD=∠A或∠CDB=∠ABC或CDBC或BC2=ACCD 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似.根据∠C为△ABC与△BDC的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对 应角相等，或夹∠C的两组对应边成比例， 【详解】解：，∠C为△ABC与△BDC的公共角， 当∠CBD=∠A或∠CDB=∠ABC时，△ABCOABDC: BC AC 当CD-BC时，△ABCABDC' BC AC 故答案为：∠CBD=∠H或∠CDB=∠ABC或CDBC或BC2=ACCD· AB AC 15.∠B=∠D（或∠C=∠E或ADAE） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比 例且夹角相等)是解题的关键 6/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 先由∠DAB=∠EAC推出∠BAC=∠DAE,再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形 的判定定理证明△ABC∽△ADE」 【详解】解：情况1：添加条件∠B=∠D, .∠DAB=∠EAC, ∴.∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC .∠DAE=∠BAC,∠B=∠D, ∴△ABC∽aADE(两角分别相等的两个三角形相似)， 情况2：添加条件∠C=∠E, .∠DAB=∠EAC. ∴.∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC .∠DAE=∠BAC,∠C=∠E, ∴.△ABCAADE(两角分别相等的两个三角形相似). AB AC 情况3：添加条件AD=AE, .∠DAB=∠EAC, ∴.∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC AB AC '∠DAE=∠BAC'ADAE' ∴，△ABC∽aADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)， AB AC 故答案为： ∠B=∠D(或∠C=∠E或AD=AE）· 题型0k 与三角形相似有关的多结论题 16.A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可。 【详解】，DE∥BC, ∴.△DEF∽△CBF,△ADE∽△ABC, DF DE EF DE AE AD CF CB BF'BC AC AB' 7/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF AE CFAC· 故选A, 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是 解题的关键 17.D 【分析】根据折叠性质得出DE⊥BC,DE⊥AF,得出AFI‖BC,证明△ADGADCE,即可得出结论. 【详解】解：由折叠得：DE⊥BC,DE⊥AF AF∥BC,故A、B都一定正确； ,DE⊥BC,DE⊥AF ∴.∠AGD=∠DEC=∠ADC=90°， .∠DAG+∠ADG=∠CDE+∠ADG=90°， ∴.∠DAG=∠CDE, :△ADGADCE,故C一定正确： 无法得出AB=FC,故D不一定正确。 18.①②④ AD AE 【分析】对于O,根据矩形的性质证明ABBF,在根据相似三角形的判定，即可证明结论： 对于②，根据△ADE∽△BAF,可证明∠DOF=90°，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； 对于③，先求出DE的长，再证明△ADO∽aEDA,即可求得OD的长； 对@.作点G关于BC的对称点G,连结rG·DG,证明OW+号FG=DF+PG),再求出 DF+FG的最小值，即可求得答案. 【详解】解：四边形ABCD是矩形 .∠DAE=∠B=∠DCF=90°， .AB=23,AD=2, ,D=2=5 AB233, .BF =3AE AE3 BF 3 AD AE ABBF· 8138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADE∽△BAF, 故①正确： :△ADE∽ABAF, .∠ADE=∠BAF, ∠DAE=90°， .∠DAO+∠BAF=90°， ∴∠DAO+∠ADE=90°， ∠D0A=90°， .∠DOF=90° 点M是DF的中点， :.OM=1DF 2 ∠DCF=90°， SCA-DF ..CM=OM, 故②正确； 当FB=GB时， 点G是边AB的中点， GB=4B=5, :.FB=3, :BF =3AE, AE=5B那=l, 3 ∠DAE=90°， .DE=AD2+AE2=22+1=5, ·∠DOA=∠DAE=90°，∠ADO=∠EDA, ..ADOAEDA. ..AD_OD DE AD 2 OD 52 9/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得OD= 4V5 5, 故③错误； 作点G关于BC的对称点G,连结FG,DG, G B G':.FG=FG' 由②知，OM=5DF, 2 OMFGDFG-(DF+FG)-(DF+FG) 2 2 2 :DF+FG≥DG, 当点F在DG上时，DF+FG的值最小，最小值为线段DG的长， 此时，BG=BG=V3,AG=3N3 ∴.DG'=√AD2+(AG2=V22+(3V3)2=V31, √3I OM+)FG的最小值为) 故④正确： 正确结论的序号有①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，将 OM+2FG转化为DF+FG求解是关键. 2 题型07 三角形相似的证明综合题 19.(1) 证明：，∠ACB=90°， .∠BCD+∠ACD=90°， CD⊥AB .∠A+∠ACD=90°， .∠BCD=∠A: 10/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 证明：：∠ACB=90°， ∴.∠CBE+∠BMC=90°， .MN⊥BM, .∠AMN+∠BMC=90°， .∠CBE=∠AMN. 又由(1)可知：∠BCD=∠A, ∴.△AMN∽△CBE 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： (1)根据同角的余角相等即可得证： (2)根据同角的余角相等，得到∠CBE=∠AMN,结合(1)中的结论，即可得证. 【详解】(1)略 (2)略 20. 证明：在线段AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作DE∥BC,交AC于点E,如图： C'DE∥BC .∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, .△ADE∽△ABC, AB BC AC ·AD DE AE' AB BC CA 4B-BC-CA AD=AB' BCBC AC CA ·DEB'C,AECA, .'DE B'C,AE=A'C", 在△ADE和△A'B'C'中， 「AD='B DE=B'C AE=A'C' 11/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ADE≌aA'B'C'(SSS). .△ABC∽△AB'C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，先在线段AB(或它的延长 线)上截取AD=AB,得出△ADE∽△ABC,再证明△ADE≌aA'BC'(SSS),进而得出答案. 【详解】略 21.(1)证明：，AE2=AF.AC, AEAF ∴ACAE' .'∠EAF=∠CAE, .△EAF∽ACAE】 .∠AEF=∠ACE: ,∠AED=∠B, .∠ACE=∠B」 .·∠AEC=∠AED+∠CEF=∠B+∠BAE, .∠BAE=∠CEF. ∴.△ABEAECF (2)证明：由(1)得△EAF∽aCAE,∠B=∠ACB. AE AC EF EC'AB=ACi AD AC EFEC' .'AD=AE, ∠B=∠ACE=∠AED=∠ADE, .△ABC∽△AED. AB BC AEDE' AB=AC, :.DE·AC=AEBC 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； (I)由AE2=AF·AC得△EAFACAE,由三角形外角得∠BAE=∠CEF即可解答： AE AC (②)由AEAF∽ACAE得EF=EC,题意证△MBC∽△MAED即可解答. 12/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 B组 能力进阶 1.A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用 相似比求解线段比例 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接AC,DB D B 由网格可知，AC与DB平行且AC=2DB, 易证△AECABED AE AC2 因此BEBD1' 即AE:BE=2:l: 故选：A. 2.C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可. 【详解】解：如图， 30 1.5 1.5A.根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似 75°75 三角形.故本选项错误； B.由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不 13/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是相似三角形.故本选项错误： C.由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似.故本选项正确： D.由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形.故本选 项错误， 3.D 【分析】先根据∠I=∠2得出∠BAC=∠DAE,再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【详解】解：，1=∠2， .∠I+∠CAD=∠2+∠CAD .∠BAC=∠DAE, A、若∠C=∠E,则△ABCAADE,故本选项不符合题意： B、若∠B=∠ADE,则△ABCAADE,故本选项不符合题意： AB AC C、若ADAE,则AABC∽△ADB,故本选项不符合题意； AB BC D、若AD-DE,无法得到ABC6ADE?故本选项符合题意： 4.A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似.对每个选项，先分别将△ABC的三条边和△DEF的三条边按从小到大的顺序排序， 确定对应边的匹配关系.分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三 角形相似. AB 3 BC 8 3 AC 9 3 【详解】解：A、,DE2'EF162DF62, 3 AB BC AC ∴DE=EFDF, :,△ABC∽aDEF.故此选项符合题意： AB 3 BC 8 3 AC 9 B、:EF2'DE162'DF6, 3 AB BC AC EF DE FD' .△ABC∽AFED ,AABC与△DEF对应顶点不匹配，不满足△ABCADEF, 故此选项不符合题意： 14/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 1 BC2 1 AC 1.5 3 C、DEF2'EF222'DF=48' AB BC AC ·DEEF≠DF,故此选项不符合题意： AB 1 BC3 1 AC 2 1 D、EF=2'DE33'DF63 AB≠BC=AC EF DE DF 故此选项不符合题意 故选：A. 5.D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可， 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .ADIl BC, ∴.∠DAE=∠AEB, ,'∠B=∠AED, .△ABE∽△DEA, 故选项A不符合题意： .∠BAE=∠DEC,∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE, .∠B=∠AED」 .∠DAE=∠AEB, ∴.△ABE∽△DEA, 故选项B不符合题意； BE AE ∠AEB=∠DAE'AEAD· ∴.△ABE∽△DEA, 故选项C不符合题意： BE AB 添加条件AEDE,没有夹角∠B=∠AED的条件，无法证明△ABE∽△DEA 故选项D符合题意. 64。 6.20cm或5cm 【分析】本题考查相似三角形的判定.两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分△ABC ∽△AB'C'和△ABC∽aA'C"B两种情况，根据对应边成比例列式计算即可. 15/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC AB 【详解】解：当AABC∽aABC时，ACAB, 1512 即AC16' 解得A'C'=20cm, AC AB 当AABC∽aACB时，ABAC, 1512 即16C, 解得A'C=4 m. 64 故答案为：20cm或5cm. 7,∠C=∠E(答案不唯一) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键. 首先根据1=∠2可推出∠BAC=∠DAE,在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度 夹起来的两组对应边成比例即可判定△ABC∽aADE即可得到答案. 【详解】解：①添加∠C=∠E, ,1=∠2， ∴.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, ∴.∠BAC=∠DAE」 .△ABCP△ADE: ②添加∠B=∠D, 1=∠2， ∴.∠I+∠DAC=∠2+∠DAC, .∠BAC=∠DAE .△ABC∽△ADE: AB AC ③添加ADAE' ,∠1=∠2， .∠I+∠DAC=∠2+∠DAC, .∠BAC=∠DAE. ∴.△ABCAADE: 故答案为：∠C=∠E(答案不唯一). 16/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17 【分析】连接AD并延长，过点E作EG⊥AD交AD于点G,过点F作FH⊥AD交AD延长线于点H,得 到AD1BC,AD平分∠BAC,D=CD-BC=3,求出AD=NAB-BD=4然后证明出 AG GE AE A4GAM0C得到DCD1C代数求出4C吃子，Gg·DGE4D-4G,然后明曲 △EGD2DHF(AS,得到DH=GE=1,GD=HF-号，录后利用匀股定理求解即可。 【详解】解：如图所示，连接AD并延长，过点E作EG⊥AD交AD于点G,过点F作FH⊥AD交AD延 长线于点H, :△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点， 六AD⊥BC,AD平分∠BAC,BD=CD=2BC=3, .AD=AB2-BD2=4, CE=2AE,AE+CE=AC. AE 1 …AC3: .EG⊥AD. .GE∥BC, .△AGEP△ADC」 AG_GE AE AG GE 1 ·4D=CD=4C,即4=3=3 .4G=4 ’GE=1 .DG=AD-AG= 3 .EG⊥AD,FH⊥AD, .∠EGD=∠H=90°， 17/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EDG+∠GED=90°， ,线段DE绕点D顺时针旋转0°得到线段DF, .∠EDG+∠HDF=9O°，DE=DF, .∠GED=∠HDF, .△EGD≌aDHF(AAS), 六DH=GE=1' GD=HF=8 3 .AH=AD+DH=4+1=5, .AF-A+H7 3 9.证明：，∠ABD=∠C,∠A=∠A,.△ABD∽△ACB 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论. 【详解】略 10.(1) △OAC与△OBD的相似比为2 (2) BD的长为I 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键. OA (I)根据相似三角形的对应边成比例得到AOAC与△OBD的相似比即为OB的值： OA AC (2)根据相似三角形的对应边成比例可得OBBD,据此求出BD的长. 【详解】(1)解：：△OAC∽△OBD A04 CAORD1的似比是为8器-兰-2 (2)△OAC∽△OBD,OA=4,AC=2,OB=2, ..O4_Ac 。42 OB BD: 即2BD' 解得BD=1. 11.(I)证明：AE·AB=AD·AC, AE AD AC AB' 又，∠A=∠A, .△ADE∽△ABC: 18/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 回号 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键. AE AD (1)根据己知条件得到AC=AB,再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即 可： AE AD ②)先求出AE=AB=10,再根据D:4柜=6：5，求出D12,根据4CB求出AC=0 3,即 可得出答案 【详解】(1)略 (2)解：，点E为AB中点，AB=20, 4B-号8=0， ·AD:AE=6:5, ,AD=12, AE AD 根据解析(1)可知： AC AB 1012 .AC20 解得：4C=50 3, :CD=4C-AD=50-12=14 3 3 12.(1) 证明：：∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE=a, .∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=9O°，即∠ABD=∠CAE, 又G,H分别是边AB,AC的中点， :o=G=4G-40,E-c1=4-4C .∠ABD=∠BDG,∠ACE=∠HEC, .∠DGA=∠ABD+∠BDG=2∠ABD,∠EHA=∠ACE+∠HEC=2∠ACE. ∴.∠DGA=∠EHA, .△ADGAAEH: (2) 证明：如图，连接FG、FH, 19/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B F :F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点， GF-AC.GFUAC HF-2,HEMAR .∠AGF+∠BAC=180°，∠AHF+∠BAC=180° ∴.∠AGF=∠AHF 由(1)可知， GD-4B,HE=4C,2DcA=∠BHA且∠DGF=∠DGA+AGK,∠PHE=∠EA+AHr :.GF=HE,GD=HF,∠DGF=∠FHE, :.△DGF≌aFHE(SAS), ..DF=EF: 3)2a 【分析】(I)根据直角三角形两锐角互余易得∠ABD=LCAE,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得∠DGA=∠EHA,即可证得结论： (2)连接FG、FH,根据三角形中位线的性质可证得GF=HE,GD=HF,∠DGF=∠FHE,即可根 据SAS证得△DGF≌aFHE,最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论： (3)根据全等三角形的性质和平行线的性质可得∠GDF=∠HFE,∠HFC=∠GBF,结合三角形外角的 定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：由(2)可知，△DGF2aFHE,HF∥AB, .∠GDF=∠HFE,∠HFC=∠GBF, ∴.∠GDF+∠GFD+∠DGF=∠HFE+∠GFD+∠DGA+∠AGF=I8O°， ∠AGF=∠GBF+∠GFB=∠HFC+∠GFB :.∠DGA=180°-∠AGF-∠GFD-∠HFE, 由(1)可知∠DGA=2∠ABD=2a, :.∠DFE=180°-(LGFB+∠HFC)-∠GFD-∠HFE 20/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°-∠AGF-∠GFD-∠HFE =∠DGA =2a C组 思维拔高 一、单选题 1.【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.根据根据题意当 AB BC AC 4 3BCAC时，△ABC∽△4BC即可求解。 AB BC AC 【详解】解：根据题意可知，当ABBC AC时，△ABC∽△4B,G, 由图可知，AB=15,AB=27,BC=25,BC=45,AC=20,AC=x, 152520 2745x, .x=36」 故选：C 2.【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相 等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选 项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选 项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题 意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项D不符合题意： 21/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 3【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可. 【详解】选项A:∠A=40°，∠B=80°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=60°. ∴.∠C=∠F. 又∠B=∠E, △ABC∽△DEF,故此选项不符合题意； 选项B::AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm, AB AC EF ED 又∠A=∠E, △ABC∽△EFD,故此选项不符合题意： 选项C:AB=12cm,AC=15cm,ED=16cm,EF=20cm, AB AC EDEF· 又：∠A=∠D,不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意： D:AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5 cm,DE=6cm,EF=4cm.FD=8cm. AB CA BC 1 EF DE FD 4 .△ABC∽△EFD,故此选项不符合题意。 故选C, 4.【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分别利用网格求出三角形的三边长，根据三边对应成比例的两三 角形相似解答即可· 【详解】解：由题可知AB=VP+P=√2，BC=2,AC=P+32=√0， “三边的比值为V2:2:10=1:√2：V5, A.三边长分别为1，P+2=5,√22+2=22，比值为1：V5:22,不相似： B.三边长分别为1，√P+1P=√2，VP+2=√5，比值为1：2：5，相似： C.三边长分别为VP+1P=√2，VP+2=√5,3，比值为2：5：3，不相似； 22/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.三边长分别为2，VP+2=V5,√22+32=3，比值为2：5：，不相似： 故选：B. 5. 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键， 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与△AOE相似的 三角形的个数。 【详解】解：，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E, .∠BEA=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°， .∠AOE=90°-LOAE=LC, ∴.△AOE△ACD .∠AOE=∠BOD,∠AEO=∠BD0=90°， ∴△AOE△BOD,∠OAE=∠OBC, 又：∠AEO=90°=∠BEC, .△AOE∽△BCE, ∴.图中与△AOE相似（不含△AOE)的三角形有3个， 故选：C 6. 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个 三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可， 【详解】解：①当∠DPC=∠A时，∠C=∠C,△ABC∽aPDC, B P ②当∠PDC=∠A时，∠C=∠C,△ABC∽△DPC, A D ③当∠APD=∠B时，∠A=∠A,△ABCP△APD 23/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ④当∠APD=∠C时，∠A=∠A,△ABC∽△ADP, B 综上：一共有4个， 故选：D 二、填空题 7. 【答案】∠C=∠A.(答案不唯一) 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 有一对对顶角∠A0B与∠COD,添加∠C=∠A,即得结论. 【详解】解：：∠AOB=∠COD(对顶角相等)，∠C=∠A, .△AOBACOD 故答案为：∠C=∠A.(答案不唯一) 8. 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长1，结合勾股定 理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运 用是解此题的关键。 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为1， 则①的三边长为1，√P+P=V2,√P+2=5, ②的三边长为1，VP+22=5,√22+2=22， ③的三边长为2，√22+2=22，V22+42-25, ④的三边长为VP+2=5,P+22=5,4, ⑤的三边长2，VP+22=5,P+2=5, ⑥的三边长为1,1，P+1P=V2, 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 24/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：③. 9. 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和 相似三角形的判定定理， 【详解】解：，AD∥BC, ∴△ADG∽△ECG①. 又，AB∥CD .△ECGAEBA②， ,△ADGAEBA③」 由平行四边形的性质可得△ABC兰aCDA④， 共有4对相似三角形. 故答案为：4. 10 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出∠ABC=∠C=70°是解题关键.根据 题意得出∠ABC=∠C=70°，进而由∠C=∠C,∠BDC=∠ABC,得出答案. 【详解】解：AB=AC,∠BAC=40°， .∠ABC=∠C=70°， .∠BDC=70°时， ∠C=∠C,∠BDC=∠ABC, .△ABC∽△BDC 故答案为：70， 11. 2 【答案】2或7 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论.由于折叠前后的图形不变，要考 虑△BFC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论， 【详解】解：根据△B'FCAC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况： ①△B'FC∽△ABC时， BF CF AB BC' 25/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AB=AC=3,BC=4,B'F=BF, 'F4-BF .3 4 解得BF=12 7； ②△B'CFn△BCA时， BF CF BACA AB=AC=3,BC=4,B'F=CF,BF=B'F, 而BF+FC=4,即2BF=4, 解得BF=2. 2 故BF的长度是2或 2 故答案为：2或7 12 【答案】 是 △ECF,△BAF 【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论： (2)根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出. 【详解】(1)如图， E 4 C 5 3 B 矩形ABCD .OC=D0,∠BCD=90°， .∠1=∠4， DE=BE, ∴.∠1=∠2， ∴.∠2=∠4， BE平分∠CBD, .∠2=∠3 26/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠3=∠4」 ∴.∠3+∠5=∠4+∠5=∠BCD=90°， .∠BFC=90° .BF L AC: 故答案为：是： (2)∠2=∠4，∠BF0=LCFE, ∴.△OBF∽△EFC. 矩形ABCD. CD∥AB, ∴.∠4=∠CAB .∠2=∠CAB, 又∠AFB=∠OFB, ∴.△AFBn△BFO: 故答案为：△ECF,△BAF 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角.熟练掌握矩形的性质，是解题的关键 三、解答题 13.【答案】(1)△ABC与△A'B'C相似，理由见解析 (2)△ABC与△A'B'C相似，理由见解析 【分析】(1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解： (2)根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解： 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】(1)解：△ABC与△A'B'C相似，理由如下： 88方5 AB AC 小BAC, 又：∠A=∠A=40°. .△ABC∽△AB'C': (2)解：△ABC与△A'B'C相似，理由如下： :88e8 27/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC AC ABBC AC ∴.△ABC∽△A'B'C 14.【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、重心的性质与判定、中位线定理，相似三角形德邦判定，根据相 关性质正确作图是解题的关键。 (I)连接AC交BD于点F,由平行四边形的性质得点F为BD的中点，所以EF是△BCD的中位线，则 有EF∥CD,即可得出△BEF∽aBCD: (2)连接AC交BD于点F,连接DE交AC于点H,连接BH并延长交CD交于点G,由平行四边形的性 质得点F为BD的中点，结合点E为BC的中点，可得点H为△BCD的重心，再由重心的性质可得BG为 △BCD的中线，即点G为CD的中点，所以EG是△BCD的中位线，则有EG∥BD,即可得出 △ECG∽△BCD 【详解】(1)解：如图，点F即为所求： 4 D E C (2)解：如图，点G即为所求： D G B 15 【答案】(1)详见解析 8 (2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形 的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键。 (1)根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=90°，从而得到∠A=∠DFE=90°，再根据折叠的性质可得 ∠BEF+∠BFE=90O°，从而得到∠BEF=∠CFD,即可求证： (2)根据折叠的性质可得AD=DF=10,再由勾股定理可得CF=8,在Rt△BEF中，利用勾股定理列式， 即可求解， 28/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=C=90°， 根据折叠性质知，∠A=∠DFE=90°.】 :.∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFD=90°， ∴.∠BEF=∠CFD .△EFB∽△FDC: (2)解：由折叠性质知，AD=DF=10, .CD=6, .CF=√DF2-CD2=V102-62=8, ∴.BF=BC-CF=10-8=2, 在R△BEF中，BE2+BF2=EF2,即BE2+22=(6-BE)2, 解得：BE=8 3· 16. 【答案】(1)见解析 (22V5 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌 握相关图形的性质是解决问题的关键。 (I)由平行的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED,可证得结论： (2)由平行可知∠ABE=90°，在Rt△ABE中，由含30°直角三角形的性质结合勾股定理可求得AB. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥DC. ∴.∠C+∠ADE=180°，∠BAE=∠AED, ∠BFE=∠C,∠AFB+∠ADE=180°， .∠AFB=∠EDA, ∴.△ABFn△EAD: (2)解：，BE⊥CD .∠ABE=90°， AE=4,∠BAE=30°， :BE=号4B=2, 2 29/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：AB=VAE2-BE2=2√5 17. 【答案】(1)见解析 FB FA (②∠B=∠CDE或∠BAF=∠ECD或EDCE 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解题关键。 (I)先根据平行线的性质可得∠DAE=∠ACF,再根据三角形的全等的判定可得△DAE≌△ACF,然后根 据全等三角形的性质即可得证： (2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC=∠DEA,从而可得∠AFB=∠CED,再根据相似三角形的判定 添加条件证明即可。 【详解】(1)证明：AD‖BC, .∠DAE=∠ACF, 在△DAE和△ACF中， ∠DAE=∠ACF AD=CA ∠ADE=∠CAF .△DAE≌ACF(ASA), ∴DE=AF; (2)证明：：△DAE≌△ACF, ∴∠AFC=∠DEA. ∴180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB=∠CED, 当∠B=∠CDE时， .ABFACDE: 或当∠BAF=∠ECD时， .ABFACDE: FB FA 或当ED-CE时， ∴.AABF∽aCDE, FB FA 故答案为：∠B=∠CDE或∠BAF=∠ECD或EDCE 18. 30/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (②)V2 7 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得∠E=∠A,∠BDE=∠ACD,即可求证： (2)过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G,可求得△DGE≌aCAD(AAS),进而求得BG=DA=1, 根据解直角三角形得出BE的长： (3)过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M,过点D作BC的垂线，交BC于点N,根据等边三角 形的性质和判定与平行线的性质可求出△MDF≌△CEF,设AF=a,AD=AM=MD=CE=x,根据等腰 三角形的性质和线段的关系可求得BD=6a,BN=3a,EN=a,根据解直角三角形可求得DN=3V3a,再根 据勾股定理求得DE=2W7a,进而求得DF,即可求解. 【详解】(I)证明：AB=AC,DC=DE,DC=BC, ·.∠ABC=∠ACB,∠E=∠DCE,∠ABC=∠CDB,即∠ABC=∠ACB=LCDB, :∠ABC=∠E+∠BDE,∠ACB=∠DCE+∠ACD,∠BDC=∠A+∠ACD ,∠E=∠A,∠BDE=∠ACD ∴.△DBEACDA. (2)解：如图过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G, G :AB=AC,∠ABC=45 ∴.∠A=90° 由(I)可知∠BDE=∠ACD, :DE=DC,∠EGD=∠A=90° ADGE≌ACAD(AAS). :DG=CA=AB ∴BG=DA=EG=1, :∠EGD=90°，∠EBG=45° .BE =2BG=2 (3)解：如图过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M,过点D作BC的垂线，交BC于点N, 31/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A F B ENC:AB=AC,∠ABC=60° △ABC为等边三角形， BC∥MD,AD=CE ∴.∠MDA=∠ABC=60°，∠M=∠ACB=60° ,△ADM为等边三角形，即AD=AM=MD=CE, 又：BC∥MD .∠M=∠FCE,∠MDF=∠CEF ∴.AMDF≌ACEF. AF=a,AD=AM=MD=CE=x,MF=CF=a+x,AB=BC=AC=2a+x,BD=2a+2x, 又BC=BE+EC,即2a+x=BE+x, .BE=2a, DN⊥BC,∠ABC=60°， :.BN=BD=a+x, 2 .CN=EN BN-BE=a+x-2a=x-a, DN⊥BC,DE=DC, .EC=x=2CN=2(x-a), ..x=2a,BD=6a,BN =3a,EN =a, .DN =33a, 在RtADEN中，DE=VEW2+DW2=27a, DFDE-VT AFa√万 DF=7a7· 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角 形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键 32/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180°时，可证明 CD∥BM,由平行线的性质得到∠CDN=∠AME,∠AEM=∠CND,则可证明△MAE∽△DCN,据此 可判断A、B:由平行线的性质可得∠1+∠B=180°，则∠B+∠4=180°，同理可判断C;D中条件结合已 给条件不能证明△MAE∽△DCN. 【详解】解：A、,∠B+∠4=180°， .CD∥BM, .∠CDN=∠AME, .AE∥BC, .∠AEM=∠CND .△MAE△DCN,故A不符合题意： B、CD∥AB, ∴.∠CDN=∠AME, AE∥BC, .∠AEM=∠CND ∴.△MAE△DCN,故B不符合题意； C、,AE∥BC, .∠1+∠B=180°， ∠1=∠4， .∠B+∠4=180°， .CD∥BM, .∠CDN=∠AME, :AE∥BC, :.∠AEM=∠CND, .△MAE∽△DCN,故C不符合题意： D、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN,故D符合题意； 故选：D. 33/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用 AD是角平分线，证明△AFB≌△AFE(ASA),得AB=AE,证明△ADB≌△ADE(SAS),故∠ADB=∠ADE, EF GD 结合BB是中线，G为DC的中点，得EG是。CAD中位线，故BD,代入数值整理得DF-44D,在 △CEG和△CBE中，∠C为公共角，但∠CEG和∠CBE,∠CGE和∠CEB均不相等，相应边不成比例，故 △CEG和△CBE,即可作答. 【详解】解：，AD是角平分线， ∴.∠BAD=∠EAD, AD⊥BE, .∠AFB=∠AFE=90°， 又，AF=AF, ∴.△AFB≌△AFE(ASA). 故A选项正确，不符合题意： ,△AFB≌△AFE, ∴.AB=AE, ,∠BAD=∠EAD,AD=AD, ∴.△ADB≌△ADE(SAS), ∴.∠ADB=∠ADE, 故B选项正确，不符合题意； ,BE是中线， .CE=EA, :G为DC的中点， .'.CG=GD .EG是△CAD中位线， :EG-号AD,BGI4D EF GD ∴.FBBD 又，△AFB≌△AFE, .BF=FE, .BD=GD, 34/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF是△BEG的中位线， .DFG .DF-4D AD=BE. r饭， 故C选项正确，不符合题意； 在△CEG和△CBE中，∠C为公共角， 但∠CEG和∠CBE,∠CGE和∠CEB均不一定相等，相应边不成比例， 故△CEG和△CBE不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D 3.△MCB 【分析】由矩形的性质得∠A=∠D=∠C=90°，从而得到∠DNM+∠DMN=90°，由折叠的性质可得： ∠BMN=∠A=9O°，从而得到∠DNM=∠BMC,由此推断出△NDM∽aMCB 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=∠C=90°， .∠DNM+∠DMN=90°」 由折叠的性质可得：∠BMN=∠A=90°， .∠NMD+∠BMN+∠BMC=180°. .∠NMD+∠BMC=90°， ∴.∠DNM=∠BMC. ∴.△NDM∽aMCB, 故答案为：aMCB】 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性 质、相似三角形的判定，是解题的关键， 4. 证明：BE=3,EC=6, ∴.BC=9 :四边形ABCD是正方形， 35/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=CB=9,∠B=∠C=90°， B93 BE 3 EC62,CF-2: AB BE ·ECCF 又：∠B=∠C=90° ,∴.△ABE∽AECF 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键.根据正 AB BE 方形的性质，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9,进而得出EC=CF,根据两边成比例且夹角相等的两个 三角形相似即可证明. 【详解】略 5. (1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠ADE=∠DCF=90°」 .∠CDF+∠DFC=90°， AE⊥DF, .∠DGE=90° .∠CDF+∠AED=90°， ∴.∠AED=∠DFC, .△ADE∽△DCF; (2)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,AD∥BC,∠ADE=∠DCF=90°， .AE=DF, .AADE2△DCF(HL), :.DE=CF, 又CH=DE, ∴.CF=CH, 点H在BC的延长线上， .∠DCH=∠DCF=90°， DC =DC, ∴.aDCF≌aDCH(SAS). 36/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠H=∠DFC, AD∥BC, .∠ADF=∠DFC=∠H: (3)3 【分析】(I)由矩形的性质可得∠ADE=∠DCF=90°，则∠CDF+∠DFC=90°，再由AE⊥DF,可得 ∠DGE=90°，则∠CDF+∠AED=90°，根据等角的余角相等得∠AED=∠DFC,即可得证： (2)利用“HL”证明△ADE≌△DCF,可得DE=CF,由CH=DE,可得CF=CH,利用“SAS”证 明aDCF≌aDCH,则∠DHC=∠DFC,由正方形的性质可得AD∥BC,根据平行线的性质，即可得证： (3)延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG,由菱形的性质可得AD=DC,AD∥BC,则 ∠ADE=∠DCG,推出△ADE≌aDCG(SAS),由全等的性质可得∠DGC=∠AED=60,DG=AE,进而推 出△DFG是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG, A 四边形 是菱形， B ABCD .AD=DC,AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DCG :.AADE≌ADCG(SAS) :∠DGC=∠AED=60°，DG=AE, AE=DF, :.DG=DF, ∴△DFG是等边三角形， ..FG=FC+CG=DF=11, .FC=11-CG=11-8=3 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定， 全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键. 37/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 38/38 分层作业 22.3 相似三角形的判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 两角对应相等，两个三角形相似 题型02 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 题型03 三边对应成比例，两个三角形相似 题型04 判断三角形相似 题型05 添一个条件使两个三角形相似 题型06 与三角形相似有关的多结论题 题型07 三角形相似的证明综合题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )两角对应相等，两个三角形相似 1．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段检测）观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． ( 题型0 2 )两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 4．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项符合题意； 当添加时，公共角，不是对应边成比例，无法判断，该选项符合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定，该选项不合题意； 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，则下列图形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 直接利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知C选项符合题意． 故选C． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． ( 题型0 3 )三边对应成比例，两个三角形相似 7．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 8．（2025九年级·全国·专题练习）观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合题意； B中，，能判定相似，故不符合题意； C中，只有一组角相等不能判定相似，故符合题意； D中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合题意； 故选：C． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． ( 题型0 4 )判断三角形相似 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 11．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 12．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． ( 题型0 5 )添一个条件使两个三角形相似 13．（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：由，，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 由可得，再由，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 由，可得，再由，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 由结合现有条件，无法证明与相似，故C符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 15．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． ( 题型0 6 )与三角形相似有关的多结论题 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 17．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 18．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据矩形的性质证明，在根据相似三角形的判定，即可证明结论； 对于②，根据，可证明，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； 对于③，先求出的长，再证明，即可求得的长； 对于④，作点G关于的对称点，连结，，证明，再求出的最小值，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 点M是的中点， ， ， ， ， 故②正确； 当时， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故③错误； 作点G关于的对称点，连结，， ， 由②知，， ， ， 当点F在上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，，， ， 的最小值为， 故④正确； 正确结论的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，将转化为求解是关键． ( 题型0 7 )三角形相似的证明综合题 19．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 20．（24-25九年级上·河南南阳·期末）求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 【答案】 证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．先在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 【详解】略 21．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 4．（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 【详解】解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，．求： (1)与的相似比． (2)BD的长． 【答案】(1) 与的相似比为 (2) 的长为 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例得到的相似比即为的值； （2）根据相似三角形的对应边成比例可得，据此求出的长． 【详解】（1）解：， 与的相似比是为． （2）， ，即， 解得． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 12．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，即， 又∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； (2) 证明：如图，连接、， ∵，，分别是边，，的中点， ∴，，，， ∴， ∴ 由（1）可知， ，，，且 ∴，，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得，即可证得结论； （2）连接、，根据三角形中位线的性质可证得，，，即可根据证得，最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论； （3）根据全等三角形的性质和平行线的性质可得，，结合三角形外角的定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴ ． 一、单选题 1．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】选项A：，， ， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项B：，，，， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项C：，，，， ． 又，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项D：，，，，，， ， ，故此选项不符合题意． 故选C． 4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分别利用网格求出三角形的三边长，根据三边对应成比例的两三角形相似解答即可． 【详解】解：由题可知，，， ∴三边的比值为， A.三边长分别为，，，比值为，不相似； B.三边长分别为，，，比值为，相似； C.三边长分别为，，，比值为，不相似； D.三边长分别为，，，比值为，不相似； 故选：B． 5．如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 6．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【详解】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 二、填空题 7．如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 8．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 9．如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵， ∴①． 又∵， ∴②，    ∴③． 由平行四边形的性质可得④， 共有4对相似三角形． 故答案为：4． 10．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 11．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 12．如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 【详解】（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 三、解答题 13．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 14．如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、重心的性质与判定、中位线定理，相似三角形德邦判定，根据相关性质正确作图是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出； （2）连接交于点，连接交于点，连接并延长交交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，结合点E为的中点，可得点为的重心，再由重心的性质可得为的中线，即点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求： （2）解：如图，点G即为所求： 15．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 16．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 17．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 18．在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可求证； （2）过点作的垂线，交延长线于点，可求得，进而求得，根据解直角三角形得出的长； （3）过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出，设，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， ． （2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形，即， 又， ∴， ， ∴设，则， 又，即, ∴， ， ， ∴， ， ， ∴，即， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 1．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 5．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 22.3相似三角形的判定 目录 A组巩固过关 题型01两角对应相等，两个三角形相似 题型02两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 题型03三边对应成比例，两个三角形相似 题型04判断三角形相似 题型05添一个条件使两个三角形相似 题型06与三角形相似有关的多结论题 题型07三角形相似的证明综合题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 两角对应相等，两个三角形相似 (2425九年级上·重庆渝中·阶段检测)观察下列每组三角形，不一定相似的是() 2.5 1/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又40° C D 35° 40> 2.(25-26八年级下山东课后作业)如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6,AC=8.将△ABC沿图中的 DE剪开.剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() A. 60 B 60° 60° 人60° B B 2 E C E 人60° 人60° D 5 3.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,则图中与 △ABC相似的三角形是 B 题型02 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 4.(25-26九年级上·江苏南通期末)如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD,下列无法判定 △ABDACBA的条件是() 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AB A. ∠BAD=∠C B.AC"BC C.∠ADB=∠BAC D.AB2=BD·BC 5.(25-26九年级上河北石家庄阶段检测)如图，已知△ABC,则下列图形与△ABC相似的是() 4 759 309 159 175 6.(2025九年级全国专题练习)如图，D是∠ABC的平分线上一点，AB=15cm,BD=12cm.若要使 △ABD∽△DBC,则BC的长为 题型03 三边对应成比例，两个三角形相似 7. (25-26九年级上重庆·阶段检测)如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(）· ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 8.(2025九年级全国·专题练习)观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是 ) 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 458 C. 2.5 40° 350 D 35 40 9.(2025:河北邯郸三模)如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上.将点 F,G,H,I分别与点D,E连接，得到△FED,△GED,△HED和△ED,这四个三角形中与△ABC相似的是 面型04 判断三角形相似 10. (25-26八年级下·吉林长春期末)下列条件中，不能判定△ABCAAB'C的是() AB BC AC A.∠A=∠A'LB=∠B B.4B=BC-AC Q.C.H∠BB D..CC 11.(25-26八年级下山东泰安期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠B-∠D,添加下列一个条件不能使 △ABCP△ADE的是() A.∠BAD=∠CAE B.BC-DE ABAD AB AD C.∠C=LE D.AC AE 12.(25-26八年级下·山东泰安·期末)下列说法正确的是（) 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等腰直角三角形相似 D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似 题型05 添一个条件使两个三角形相似 13.(25-26九年级上：山西长治阶段检测)如图，点D、E分别是△ABC在边AB、AC上，添加下列条件 ()仍不能判断△ADE与△ABC相似. A.∠ADE=∠C B.AD·AB=AE·AC C.ADBC=AB·DE D.DE∥BC 14.(24-25八年级下·全国课后作业)结论开放如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，D是边 AC上的一点，连接BD,若使△ABC与△BDC相似，只需添加一个条件： 15.(25-26九年级上河南鹤壁期末)如图，∠DAB=∠EAC,添加一个条件：，使△ABCAADE (写一个即可) D B 题型0k 与三角形相似有关的多结论题 16.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，DE∥BC, BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是() 5/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C DF AE AD EC C. AB DE DF EF A. CF AC B. AB AC DB BC D. BF FC 17.(25-26九年级下·吉林长春开学考试)将四边形4BCD(∠D=90)按如图所示的折纸方法展开后，下 列结论不一定正确的是（) D A A F 折叠 折叠 展开 B A.AFBC B.AF⊥DE C.△ADG∽ADCE D.AB=FC 18.(2025吉林长春·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=25,AD=2,点G是边AB的中点，点 E,F分别是边AB,BC上的点（不与端点重合），且满足BF=5AE,连结AF、DE、DF、FG,设 AF、DE交于点O,点M是DF的中点，连结OM、CM.给出下列结论：①△ADE∽△BAF;② CM=OM@当B=GB时，0D=3,①0M+号FG的最小值是E述结论中，正确结论的序围 有 E G 题型07 三角形相似的证明综合题 19.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D,M在边AC上， BM与CD交于点E,作MN⊥BM交AB于点N 6117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B N M (I)求证：∠BCD=∠A: (2)求证：△AMN∽△CBE. 20.(24-25九年级上河南南阳期末)求证：三边成比例的两个三角形相似. AB BC CA 如图：己知在△ABC和△A'BC中，ABB'CCA,求证：△ABCAAB'C'. A D B B' C'DE∥BC .∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, .△ADE∽△ABC, AB BCAC AD DE AE' :得瓷会.0 BCBC AC CA DE B'C AE CA' .DE B'C',AE=A'C', 在△ADE和△AB'C'中， 「AD='B DE =B'C" AE=A'C" 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ADE≌aA'B'C'(SSS)」 .△ABC∽AA'B'C' 21,(25-26九年级上上海普陀期末)己知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点 F,∠AED=∠B,AE2=AF·AC. E (I)求证：△ABEAECF, AD AC (②)如果EF=EC,求证：DEAC=AE,BC: B组 能力进阶 一、单选题 1.(25-26九年级上·贵州毕节阶段检测)如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，B, C,D都在格点上，线段AB与CD相交于点E,AE:BE=() B A.2:1 B.3V5 C.32 D.4:1 2.(25-26九年级上河北张家口·期末)下列与下图中的三角形相似的是() 1.5 75 8117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 750 C 2 D 30° 2 30° 1.5 1.5A.根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似 5°758 三角形.故本选项错误； B.由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不 是相似三角形.故本选项错误： C.由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似.故本选项正确； D.由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形.故本选 项错误. 3.(2025九年级全国专题练习)如图，已知1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABCAADE的是() AB AC AB BC A,∠C=∠E B.∠B=∠ADE C.AD AE D.ADDE 4.(26-27九年级浙江暑假作业)若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABCADEF的是() A.AB=3,BC=8.AC=9,DE=2,FE=,DF=6 B.AB=3,BC=8,AC=9,DE=16, ,FE=2,DF=6 2 C.AB=1,BC=2,AC=1.5,DE=2,FE=22,DF=4 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.AB=1,BC=V3,AC=2,DE=3√3，FE=2,DF=6 5.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在ABCD中，E为边BC上一点，下列给出的条件不能判定 △ABE∽△DEA的是(）· E A,∠B=∠AEDB.∠BAE=∠DEC BEAE D BEAB AE DE 二、填空题 6.(25-26九年级上·上海宝山阶段检测)在△ABC和△AB'C中，如果∠A=45°，AB=12cm, AC=15cm,∠A=45°，A'B'=16cm,那么A'C'=时，△ABC与△A'B'C'相似. 7.(25-26九年级上·陕西延安·期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠I=∠2，只需添加一个条件即可证明 △ABC与△ADE相似，这个条件可以是 一·（写出一个即可） 8.(2026江苏扬州一模)如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在AC上且 CE=2AE,将线段DE绕点D顺时针旋转9O°得到线段DF,连接AF,则AF的长为 三、解答题 9.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD,己知∠ABD=∠C. 求证：△ABD∽△ACB, 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 10.(25-26九年级上全国课后作业)如图，△0AC∽△0BD,0A=4,AC=2,OB=2.求： D (1)△OAC与△OBD的相似比. (2)BD的长. 11.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且 AE·AB=AD·AC,连接DE,BD B (I)求证：△ADE∽△ABC (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长. l2.(2026·安徽合肥·一模)如图，△ABC中，分别以AB,AC向外作RtAADB和Rt△AEC,其中 ∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠ACE=C,F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点，连接DF, DG,EF,EH. (I)求证：△ADGAAEH: (2)求证：DF=EF; (③)∠DFE的度数为一（用含的代数式表示）· 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 一、单选题 1.如图，当x的值为多少时，△ABC△ABC() 27 15 20 25 B 45 A.20 B.27 C.36 D.45 2.已知在△ABC中，∠A=78,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是() B A. 人78° B 78 3.依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是() A.∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60° B.∠A=∠E=45°，AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm C.∠A=∠D=45°，AB=12cm,AC=15cm,ED=16cm,EF=20cm D.AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5 cm,DE=6cm,EF=4cm.FD=8cm 4.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC相似的是() B 5.如图，在△ABC中，AD1BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点O,则图中与△AOE相似 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (不含△AOE)的三角形有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，在△ABC中，AB=4cm,AC=3cm,BC=6cm,D是AC上一点，AD=2cm,点P从C出发 沿C→B→A方向，以lcm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与 △ABC相似的点P的个数为() C A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 7.如图，线段ACBD交于点O,请你添加一个条件： 使△AOBACOD O B 8.如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 (填序号) ③ ⑤ ④ 9.如图，点E是口ABCD的边BC延长线上的一点，AE和CD交于点G,AC是口ABCD的对角线，则图 中相似三角形共有 对 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重合），当 13/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDC= _度时，△ABC∽△BDC. B 11.将三角形纸片△ABC按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B,折痕为EF.已知 AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF=一 E 12.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交于点F. E C B (I)若BE平分∠CBD,则BF与AC是否垂直？ (填“是”或“否”)： (2)图中与△OBF相似的三角形有 (写出两个即可) 三、解答题 13.根据下列条件，判断△ABC与△ABC'是否相似，并说明理由. (1)∠A=40°，AB=8cm,AC=15cm,∠A'=40°，AB'=16cm,A'C'=30cm. (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A'B'=16cm,B'C"=12.8cm,A'C'=25.6cm 14.如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，E为BC的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下 作图（保留作图痕迹)· B B E C 图1 图2 (I)如图1，在BD上作一点F,连接EF,使得△BEF∽aBCD 14/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在CD上作一点G,连接EG,使得△ECG∽△BCD 15.如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F,折痕 交AB边于点E, D B C (I)求证：△EFB∽△FDC; (2)若AD=10,CD=6,求BE的长. 16.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点，且 ∠BFE=∠C (I)求证：△ABFP△EAD: (2)若AE=4,∠BAE=30°，求AB的长. 17.如图在四边形ABCD中，AD∥BC,点F,E分别在线段BC上，AC上，且 ∠FAC=∠ADE,AC=AD (I)求证：DE=AF (2)请增加一个条件，使△ABF∽△CDE,则此条件可以是 18.在△ABC中，AB=AC,D为直线AB上一点，E为直线BC上异于点C的一点，连接DC,DE,使 DC=DE 15/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (I)如图I,若点D在线段AB上，BC=DC,求证△DBE∽aCDA: (2)如图2，若点D在线段AB上，∠ABC=459,AD=1,求BE的长： (3)如图3，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE交CA于点F,∠ABC=60°，AD=CE AF ，求DF的值。 拓展 链接中考 1.(2025河北中考真题)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点 M,N,若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() M E 2 D B C A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB C.1=∠4 D.∠2=∠3 2.(2024青海西宁·中考真题)如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD=BE,且ADLBE, 垂足为F,G为DC的中点，连接DE,EG.下列结论错误的是() E A.△AFB≌AAFE B.∠ADB=∠ADE 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 C.FD=BE 4 D.ACEGACBE 3.(2023黑龙江大庆·中考真题)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学 活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记 为点M,若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 A: M 4.(2024广东广州中考真题)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6」 CF=2.求证：△ABE∽△ECF. B E 5.(2023山东·中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF, 垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF D D G G入 E E B F F B 图1 图2 图3 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使 CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H. 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°， 求CF的长， 17/17