22.1 成比例线段+22.2 相似图形6大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，覆盖成比例线段与相似图形全知识点，从基础巩固到中考衔接，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|相似图形定义、比例性质等单一知识点|基础选择填空，如相似图形辨析题，强化概念理解| |B组能力进阶|平行线分线段成比例、相似多边形性质综合应用|解答题为主，如动态几何问题，提升推理能力| |C组思维拔高|动态几何、规律探究等复杂问题|含创新题型，如矩形嵌套规律题，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题整合|对接中考考点，如敦煌藻井相似比题，强化应用意识|

分层作业 22.1 成比例线段+22.2 相似图形 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 相似图形的定义 题型02 比例的性质 题型03 成比例线段 题型04 黄金分割 题型05 平行线分线段成比例 题型06 相似多边形的性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 相似图形的定义 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】相似图形、相似多边形的性质、相似多边形 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】相似图形 【分析】此题考查了相似图形的定义．根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形），对各选项逐一分析，利用排除法确定正确选项． 【详解】解：相似图形的定义是对应角相等、对应边成比例的图形， A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； B选项：两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； C选项：两个正方形的所有内角均为，各角都相等，且各边均相等，对应边的比值一定相等， ∴一定相似； D选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； 故选：C． 3. （25-26八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】矩形性质理解、相似图形、等腰三角形的定义、利用菱形的性质证明 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 题型02 比例的性质 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】比例的性质、判断分式变形是否正确 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 6．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、比例的性质 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 7. （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 8. （2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍． 【答案】1.2 【难度】0.85 【知识点】数学常识、比例的性质 【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解． 【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得， ， 解得， 故答案为：1.2． 题型03 成比例线段 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 10. （26-27九年级上·全国·课后作业）在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比例线段 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 11.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】成比例线段 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 12. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】比例线段 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 题型04 黄金分割 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15.地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 16. （25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】黄金分割、公式法解一元二次方程 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型05 平行线分线段成比例 17. （2026·浙江衢州·一模）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 18. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 19.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 20. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：.． 题型06 相似多边形的性质 21. （2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 22. （2026·广西柳州·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】 图形的放大与缩小、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 23. （2026·广东佛山·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平行投影、相似多边形的性质 【分析】投屏后画面形状保持不变，投影矩形与原屏幕矩形为相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求解投影长边长． 【详解】解：投屏后画面形状保持不变， 投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为， 原矩形相邻两边长之比为， 即长边短边， 可得， 解得， ∴投影画面的长边长为． 24. （25-26八年级下·山东·课后作业）如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和求出即可． 【详解】解：四边形四边形， ， ． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 2. （25-26九年级上·江苏常州·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】正多边形概念辨析、相似多边形的性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论. 【详解】解：如图2， ∵正八边形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵内部阴影是正八边形， ∴， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， 所以正八边形与阴影部分的面积比为 ， 故选：B. 3. （25-26九年级上·江苏泰州·期末）下列四个命题中正确的是（   ） A．经过三个点可以确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 C．边长相等的多边形是正多边形 D．相似多边形面积的比等于相似比的平方 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的基本概念辨析、相似多边形的性质、三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查圆的确定条件、三角形内心的性质、正多边形的定义、相似多边形的性质，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解： ∵当三个点共线时，无法确定一个圆， ∴A选项错误 ∵三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，到各顶点距离相等的是外心， ∴B选项错误 ∵正多边形的定义是各边相等且各角相等的多边形，仅边长相等的多边形（如菱形）不符合正多边形的定义， ∴C选项错误 ∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴D选项正确， 故选：D． 4. （24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题、相似多边形的性质、公式法解一元二次方程 【分析】根据翻折变换的性质得到，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 则， ∵矩形和矩形相似， ∴，即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ∴原来的矩形的宽与长的比值为． 5. （25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了学生对相似多边形的性质知识的理解掌握及运用的情况，根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 相似多边形的对应边成比例，根据已知对应边与的长度比求出比例关系，再应用至与求解． 【详解】解：因为五边形与五边形相似，且与为对应边， 与为对应边，所以对应边成比例，即， 代入，得， 解得． 故答案为：． 6. （2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【难度】0.65 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 7. （25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【难度】0.55 【知识点】比例的性质、根据三角形中线求面积、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【难度】0.55 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 9. （25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.5 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、相似多边形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为．． C组 思维拔高 1．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】作于K，先证是的中位线，得，，再证是等腰直角三角形，求出后，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于K， ∵，即， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴K为中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】图形类规律探索、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、相似多边形 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 3．已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 【答案】 或/或 【难度】0.4 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、比例的性质 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积. 【详解】解：， ，，， ， 当时， 两边同时除以得：， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点， 当时， 可得：， 解得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时， 可得：， ∴， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点 当时，解得， 可得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 4. （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【难度】0.4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5. （2026·安徽阜阳·三模）如图，县城P的周围有四个村庄A，B，C，D，测得，，A，P，D与A，B，C分别共线，P，A，B，C，D在同一平面上，求县城P到村庄A的距离．参考数据：． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、其他问题（解直角三角形的应用）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】分别过点C，B作于点E，于点F，构造分别含的直角三角形，求出的长，再利用三角形中位线定理求出的长，进而可得的长，即可计算得到的长． 【详解】解：如图，分别过点C，B作于点E，于点F，则． 在中，，， ， ， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：县城P到村庄A的距离约为． 拓展 链接中考 1．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】化为最简二次根式、相似多边形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 3. （2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、折叠问题、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】连接交于点O，由三线合一得，． 由折叠的性质可知，，，，，可得，由平行线分线段成比例求出，再根据三角形中位线的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 4．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 5．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、求角的正切值 【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得： ∴， 则 ∴ 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 22.1成比例线段+22.2相似图形 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01相似图形的定义 题型02比例的性质 题型3成比例线段 题型04黄金分割 题型05平行线分线段成比例 题型06相似多边形的性质 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01相似图形的定义 1. B 2.C 3 B 4.D 题型02比例的性质 5.D 6.C 7. 8.1.2 题型03成比例线段 9.C 10.D 11.2cm. 12.9 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04黄金分割 13.D 14.A 15.34.38°~55.62 16.4V5-4 题型05平行线分线段成比例 17.D 18.C 19.6 题型06相似多边形的性质 21.D 22.C 23.1.8m 24.95 B组 能力进阶 1.B 2.B 3.D 45-1 2 6.195 2 7.【详解】(1)解：在Rt△BAD中，∠BAD=90°，AB=3,AD=4, ∴.BD=AB2+AD2=V9+16=5, .D为BC中点 ∴.BC=2BD=10: (2)解：连接EC, 设S△ABE=S, .AE=1,AD=4, ∴.ED=AD-AE=3, ∴.AE:ED=1:3,且△ABE与△DBE同高， SADBE=3S, ,'D为BC中点，△DBE与△DCE同高， SADCE=SADBE=3S, .S△BcE=6S, ,△ABF与△CBF同高，△AEF与△CEF同高， :A5=S匹-SAE `FC SACBF S△cF 2/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由等比性质： AF_S△ABF-S△AE=S△ABE=S=1 FC SACBF-SACEF SACBE 6S 6' .∴.AF:FC=1:6 8.【详解】(1)解：过点D作DE‖PM交AB于E, M .PM‖AG D ∴.DE‖AC ·AE=CD BE BD' ,点D为BC中点， .AE=CD_1 AB BC 2' ∴点E是AB中点， .AP:PD=2:1,且DE‖PM, .AM-AP ME PD .AM_AP2 ·AEAD3 点E是AB中点， ·AM=2=1 'AB 6 3 (2)证明：过点D作DF‖PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G, M D 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF‖PM,DG‖PN, ..AM=AP AN-AP ·AFAD'AGAD 又.PM‖AC,PN‖AB, .DF‖AC,DG‖AB, .AF-CD AG_BD AB BC'AC BC' .AM=AM.AF_AP CD ANAN AG AP BD AB AF AB AD BC'AC AG AC AD BC AM AN AP.CD BDAP AB AC AD BC BC AD 9.【详解】(1)证明：，口ABCD, AD‖BC,AD=BC. .CE=DF, ..AF=BE, ,AD‖BC,AF=BE ∴.四边形ABEF是平行四边形， :AD‖BC, ∴.∠AE=∠BEA, ,AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠FAE ∴.∠BAE=∠BEA, ∴.AB=BE, .口ABEF是菱形， .AE⊥BF: (2),四边形ABEF是菱形， .'.AB=EF=BE=AF=4. .AD‖BC,CE=DF, ∴四边形CEFD是平行四边形， ∴.EF=CD=4, ,四边形ABCD与四边形CEFD相似， ABBC ∴CEEF 416 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=4+CE CE 41 ∴.CE2+4CE-16=0, 解得：CE=25-2或CE=-2V5-2(不符合题意，舍去)， .CE的长为2V5-2.. C组 思维拔高 1111 1.B 2.A 3. 4或22或4 4.30 5解：如图，分别过点C,B作CE⊥PD于点E,BF⊥PA于点F,则BF‖CE 一D B 在Rt△PCE中，∠CPE=53°，PC=22.5km,sin∠CPE=CE PC Cos∠CPE=P C .CE=PCsin53°≈22.5×0.80=18km, PE=PCcos53°≈22.5×0.60=13.5km. .AB=BC,BF‖CE, 器说1 ..AF=EF, ∴.BF是△AEC的中位线， :BF=号CE=9km. 在Rt△PBF中，∠BPF=37,tan∠BPF=BE PE ·PF=BF ≈9 tan37.0.75 =12km, .EF=PF+PE=12+13.5=25.5km, ∴.AF=25.5km, .PA=AF+PF=25.5+12=37.5km. 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：县城P到村庄A的距离约为37.5km ⊙ 拓展 链接中考 1.A 2.B 3.20 3V7 4.4 7 616 分层作业 22.1 成比例线段+22.2 相似图形 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 相似图形的定义 题型02 比例的性质 题型03 成比例线段 题型04 黄金分割 题型05 平行线分线段成比例 题型06 相似多边形的性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 相似图形的定义 1．（26-27九年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 3. （25-26八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 4．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 题型02 比例的性质 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 7. （26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 8. （2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍． 题型03 成比例线段 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 10. （26-27九年级上·全国·课后作业）在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 11.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 12. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 题型04 黄金分割 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 15.地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 16. （25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 题型05 平行线分线段成比例 17. （2026·浙江衢州·一模）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 18. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 19.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 20. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 题型06 相似多边形的性质 21. （2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 22. （2026·广西柳州·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 23. （2026·广东佛山·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 24. （25-26八年级下·山东·课后作业）如图，四边形四边形，则的度数是 ______． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2. （25-26九年级上·江苏常州·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 3. （25-26九年级上·江苏泰州·期末）下列四个命题中正确的是（   ） A．经过三个点可以确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 C．边长相等的多边形是正多边形 D．相似多边形面积的比等于相似比的平方 4. （24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 5. （25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 6. （2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 7. （25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 9. （25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． C组 思维拔高 1．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 3．已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 4. （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 5. （2026·安徽阜阳·三模）如图，县城P的周围有四个村庄A，B，C，D，测得，，A，P，D与A，B，C分别共线，P，A，B，C，D在同一平面上，求县城P到村庄A的距离．参考数据：． 拓展 链接中考 1．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 3. （2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 4．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 5．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $