22.1.1 成比例线段-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 第22章 图形的相似 22.1 成比例线段 第1课时成比例线段 典例探究 基础导 学 考点① 线段的比 【例1】 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC 1.对于四条线段a,b,c,d,如果两条线段的 =90°，AD是BC的高，若AC=5cm,BC= 长度比等于另外两条线段的长度比，那么这四 13 cm 条线段叫做 ,也称这四条线段 成比例. (1)求是的值：(2)求C的值。 2.如果号-行那么d- ,如果ad= bc(a,b,c,d都不等于零)，那么 3如果号=后那么结 a-b ’b (合比性质) 4如果号-后-…一(6+d+…+n≠0)， 那么+中 (等比性质) 【拓展】黄金分割：一般地，点C把线段AB 分成两条线段AC和BCAC>BC),如果号 C那么称线段AB被点C黄金分制，点C叫 做线段AB的黄金分割点，AC和AB的比叫做 黄金比，其中AC-5,1≈0.618. AB 2 规律与方法：(1)线段的比值是一个没有单 A C B 位的数值；(2)解决直角三角形的计算问题，要充 分利用勾股定理、面积公式等有关知识。 ·64· 第22章图形的相极 考点②比例线段 规律与方法：运用比例的基本性质时，要重视 【例2】判断下列线段是不是比例线段 对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项 (1)2 cm,4 cm,6 cm,8 cm; 之积等于两外项之积”. (2)1.5cm,2.5cm,3.5cm,4.5cm; (3)4.2cm,2.4cm,1.4cm,7.2cm; 【例4】如果号-音-号且6+d+f0,那 (4)3 cm,3 cm,9 cm,1 cm. 么号誓行号成立吗？为什么 规律与方法：运用设比例系数求解是一种常 用的方法，当出现类似的条件时，可以设出比例系数 k,从而使问题变得简单， 【变式训练2】(1)已知x:y:之=1：3：5， 规律与方法：找是否成比例的线段，较方便 则2一2+42 的方法是检查较小的两个数据的比与较大的两 5.x+3y-2z 个数据的比是否相等， 2若-号则号 y y 如果号 【变式训练1】如果a=2,b=9,c=6,d= 3,那么 () A.a,b,c,d成比例 B.a,c,b,d成比例 C.a,d,b,c成比例 D.a,c,d,b成比例 课后演练 考点③比例的基本性质 【例】若红-名求之 【基础过关】 1.下列各组的四条线段中，成比例的线段是 A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.1cm,√2cm,W2cm,2cm C.2 cm,3 cm,5 cm,1 cm D.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm ·65· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 2.已知号-音a,b6,d均为正数)，在(1) 的第四比例项d是多少？ 名2)2-(3)店-， 6=d;(4)a,b b 7,62名-c- 6)名-+，(6)哈+看-号中，成立 的有 () A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 3.在同一时刻，物高与影长成比例，如果高为 2m的测竿的影长为6m,那么影长为30m的 旗杆的高度是 () 10.已知4十也_a+9_6十c=k,求k的值 cb a A.5 m B.10m C.15m D.90m 4已知号=芳-=后，且3y=2x+6,则x=一， y- ,之= 5.(1D如果号-号-号-(6+d+f≠0，且a+c +e=3(b+d+f),那么k=_ (2)已知=号=号≠0，则的的值为 【能力提升】 6.(甘孜州中考)若工=2，则二义= 2 1.(德阳中考)宽与长的比是52一的矩形叫黄 金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世 7.设点C为长度为2cm的线段AB的黄金分割点， 界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效 则AC的长度为 果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 8.已知三个数1,2，w3,请你再添上一个数，使它 ABCD是黄金矩形(AB<BC),点P是边 AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数 们能构成一个比例式，则这个数是 为 () 9.已知四条线段a,b,c,d的长度如下： A.3 B.2 C.1 D.0 (1)a=8 cm,6=4 cm,c=2.5 cm,d=5 cm, 12.（山西中考)黄金分割是汉字结构最基本的 规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字 判断它们是否是成比例线段？ “晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线 (2)a=6cm,b=12cm,c=10cm,那么b,c,a 的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ 66· 第22章图形的相似 上，且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在 第2课时 平行线分线段成比例 AB的黄金分割点C处，且%-5，若 2 NP=2cm,则BC的长为 cm 基 础 导 学 (结果保留根号)， 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例； 如图：1 13.已知a、b、c为三角形的三条边，且a+b十c= 60cm,号-冬-号，求△ABC的三边长。 在上图中，如果1∥L2∥l3的条件下，可分 别推出如下结论之一： 《设器，筒称上比下等了产上比下网， 【创新探究】 (@爱简称上比全等于“上比全， 4若-店--6，求一次函数y=虹 ③器简称下比全等于下比全 十k与x轴、y轴围成的三角形面积. (④是品品，简称“左比右等于“左 比右” 2.平行线分线段成比例定理的推论：平行 于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延 长线)，所得的对应线段成比例. 主要的基本图形： ★注意：平行线分线段成比例定理中，平行 线本身不参与作比例. 3.如果一条直线截三角形的两边（或两边 的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直 线 于三角形的第三边， ·67【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38 【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 40