江苏省赣榆高级中学等校2026-2027学年高三上学期8月学情检测数学试题

**基本信息** 高三8月学情检测数学卷，聚焦集合、函数、立体几何等核心内容，通过函数切线问题、竞赛活动概率模型、椭圆柱创新情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配高三开学初基础巩固与能力摸底需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、充分必要条件、函数奇偶性|基础概念辨析，突出数学抽象| |多选题|3/18|函数性质、不等式、函数奇偶性与周期性|多选项辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|等差数列、最值问题、方程解的个数|简洁设问，检测数学思维灵活性| |解答题|5/77|函数切线与值域、概率应用模型、椭圆柱几何问题|综合情境设计，如竞赛活动概率（模型意识）、椭圆柱外接球（空间观念），体现创新应用|

2026~2027学年第一学期8月学情检测 高三数学参考答案 一、 单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A B C A A D 二、多项选择题：共3小题， 每小题6分，满分18分。 题号 9 10 11 答案ABC BC ACD 三、填空题：共5小题，每小题5分，满分15分。 12.9 13.2W5+3 14.(0,1 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。 15.仙)函数f(:)的定义域为(0，+∞)，对f(x)求导得f'()=1-g x r2, 则f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=1-1-a=-a, 直线x-6y=0变形为y=x,斜率为石 1 1 由两直线垂直时斜率乘积为-1，得(-a)×=-l,解得a=6. 包由@)得f()=x-mx+6,求导并整理得fx)=115---6_x-3x+2), x x2 r2 当x∈[2,4]时，x2>0,x+2>0, 所以当x∈[2,3)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(3,4]时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 因此fx)在x=3处取得区间内的最小值f3)=3-1n3+=5-1n3, 3 计算端点值/)=2-h2+5-n2,f4)=4-n4+ -2ln2, 42 E比较f2)和f(④)的大小：fQ)f4)=(5-1h2)-(-2n2=n2-3, 由于n2>ne-,故f2)>f(4,即区间内最大值为f(2)=5-n2, 综上所述，f(x)在2,4]上的值域为[5-ln3,5-ln2] 16.(1)f(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1}+1+b-a,其图象对称轴为x=1, a>0,∴f(x)在[2,3]单调递增， .f(3)=4即9a-6a+1+b=3a+b+1=4,.3a+b=3. 又f(0)=1,则有1+b=1即b=0,所以a=1,b=0, 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. a创由)得g)四.-2x+1-+-2, 则g()上k2在[1,1上有解，即g)k2=2+-2-k2≥0在[1，川上有解， 2x 令-2（行12则ks1+在1可止有解 所以6+分引12 又+2-（日小，2，改当-2时1+日- 取到最大值1， +引=1，所以s1, 所以实数的取值范围是(-∞，1]， 17.(1)解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A.则P(A)=pq; ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为P=pq=p(1-p)=-p3+p2, 令fe)*,ea.f)3r+2x=3(引， 当0<x<号时，()>0，当号<x<1时，f()<0, 所以a在0引上单调递道，在剖]上单调递减心以=f) 赠p时.=自))去 学生甲在n轮活动中获得奖品的个数ξ~B(m,P),由(nP)x=4,知n=27. 故理论上至少要法行27轮游戏，此时p-子，9- (2)解：设选出的是第k个箱子，连续三次取出题目的方法数为100(100-1)(100-2). 设数学题为M,物理题为W，第三次取出的是物理题W有如下四种情形： (W,W,W)取法数为(100-k)100-k-1)100-k-2), (W,M,W)取法数为k(100-k)100-k-1), (M,W,W)取法数为k(100-k)100-k-1), (M,M,W)取法数为k(k-1)100-k), 从而，第三次取出的是物理题的种数为 (100-k)100-k-1)100-k-2)+k(100-k)100-k-1)+k(100-k)100-k-1)+k(k-1)100-k) =(100-1)100-2)(100-k). 则在第k个箱子中第三次取出的是物理题的概率为Pk= 100-k 100 而选到第k个箱子的概率为 00 故所求的概率为 P-言02…0间艺0w-刘如云4-0”别 -1002-200 18.()h(x)=f(x)+g(x)=x2-2ar+2+a-1, 若a=2,令h(x)=x2-4x+2+2x-1=0, 若x≤1，方程可化为x2-6x+4=0,解得x=3-√5或x=3+√5（舍去）； 若x>1,方程可化为x2-2x=0,解得x=2或x=0(舍去)， 综上，h(x)的零点为2和3-√5 (i）h(x)=x2-2ax+2+ax-1= x2-3ax+2+a,x<1 1x2-ar+2-a,x21 当a0时，A在]上单调选减，在二+小上单调港增， 令h(x)m=h -2+0-9,解得a=2或0-号 (舍去)； 当a>0时，若1，即a≥2， 则()在引上单调递减，在行+ 上单调递增， 令A=4) =2-a- =-9 4 解得a=-2+4vV3或a=-2-4√5（舍去）； 若<1即号a2, 则h(c)在(-o,上单调递减，在L,+o0)上单调递增， 令h(x)=h()=3-2a=-9,解得a=6(舍去)； 若0<<1,0<a 3 则在一]上单调流在到宁上 令-得}-2 2a2=-9, 解得a=-2或a=22 (均不合题意，舍去)， 综上，实数a的值为-2或-2+4v5 (2)函数F(x)=lg[f(x)+7]=lg(x2-2ax+9)在[a,+o)上有定义， 又F(x)在[a,+∞)上单调递增，a2-2a2+9>0,解得-3<a<3 若存在区间[m,n川s[a,+o), 使得F(x)在[m,n上的值域是[+lgm,l+lgn], lg(m2-2am+9）=lg(10m) 即 lg(n2-2an+9）=lg(10n) 则m,n是一元二次方程x2-2ax+9=10.x, 即x2-2(a+5)x+9=0在[a,+o)上的两个不等的正根， △=4(a+5-36>0 需满足a+5>0 。2-2a+5a+9≥0解得-2<asV54-5.实数a的取值范围为(2,5网-5] -3<a<3 19.(I)因为AB'/平面PMN,AB'c平面BAB',平面BAB'n平面PMN=PF, 所以4B1/PE,又由丽=4B可得BM=4B,故BF-A=l, 因此半焦距长c=0=2-1=1,半长轴长a40=2, 所以离心率e=C=」 a 2 (2)由于椭圆长轴，短轴，直线00两两垂直，故以点0为原点，椭圆长轴，短轴所在直 线，直线00分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxz, 0平面内椭圆的标准方程为+片1，B2,00,E1,0.0).L0,0hP包 一+ F B M 由BP1平面NF得有6r5w25-2,所以-3， 3 设xOy平面内直线MN:x=y+1(MN与AB不重合)，M(x,y),N(x2,y2), 与椭圆方程联立，消去x得，(（32+4)y2+6y-9=0,△=144(+1)>0， 6t 9 故y+%=3+4:4=3+4 12F+1=3, Sw=2FFE-⅓=V+⅓-4y=3r+4 令u=√P+1≥1，则4u=3w2+1,得u=1或（舍），所以t=0, 3 3 即MN:x=1,代入椭圆方程解得=一2，片 即唑标系o四：内-0，N号0 W=Q30,-(号2，F平=6.2，设平面Pw法向量为i=). [i.MN=3y=0 则 nm=x+3y+2z=0令z=1得i=(-20,1), .FP 4 记直线PF与平面PMN所成的角为8，则sin8=cosi,FF= 4√65 E V13x565, 所以直线PF与平面PMW所成的角的正弦值为4V65 65 (3)设△PFF外接圆为圆O,半径为R,△MFF外接圆为圆O2,半径为R2, 则O在平面PFF内FF垂直平分线上即z轴上，同理O,在y轴上， 设三棱锥P-MFE外接球球心为O,半径为R, 因为平面PFE21平面MFE,所以O,O1平面PFF,O,O1平面MFF, 设0(0,0，m)，02(0,n,0), 所以O(0,m,m）,R2=FO,=1+n2+m2,R2=FO=1+m2,R=E0=1+n2. 所以R2=R2+R-1. 31 对于aPFE,an∠FPE=tan(∠FPB-∠乐PB)=BP,BP 2 31 3 IBP+(BP 3 1+BPP 3 当且仅当BP= 5时取等，即∠FPE为锐角，最大为爱： BP FF 由正弦定理， è1 R=2sin ZFPF2 sin =2 6 对于△MEE,因为ME+MF=4,所以 cos∠FME,= IME+ME-4 (MEI+IME)-4 2MF MF 1 6 2MF MF WEIME- 6 MF+MF 2 当且仅当M=M=2时取等，即∠FME,为锐角，最大为 2 FE ≥1-25 由正弦定理， R2 2 sin ZFMF,sin元 3； 所以=风+龙-14+号1-号，当且仅当B=5,M=2时取等， 所以三棱锥P-M5外接球表面积的最小值为4红×3-52 3 2026~2027学年第一学期8月学情检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项最符合题意。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．设，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法不正确的有是（    ） A．若函数为奇函数，则； B．函数在上是单调减函数； C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．将的图像向右平移个单位，可得的图像 10．已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 11．定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若成等差数列，则正数的值为______. 13．已知实数，则的最小值是______. 14．已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 16．已知函数，函数在区间上的最大值为4，. (1)求的解析式； (2)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 17．某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． (1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 18．已知函数，函数， (1)设. （ⅰ）若，求的零点； （ⅱ）若的最小值为，求的值； (2)若函数在上有定义，且存在区间使得在上的值域是，求的取值范围. 19．我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”．如图所示的椭圆柱中底面长轴，母线，分别为下底面椭圆的左右焦点，动点在线段上（不与重合），为下底面过点的一条动弦（不与重合），当时，直线平面． (1)求底面椭圆的离心率； (2)若，三棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥外接球表面积的最小值． 高三年级数学试题 第1页（共3页） 高三年级数学试题 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年第一学期8月学情检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={-2,0,1,2,4),B={xlnx<1},则A∩B=() A.1) B.{L,2 C.{L,2,4} D.{-2,0,1,2 2.设x∈R,则“x-2<1”是“x2+x-6<0”的（) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.己知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2-4,则f(-l0g23)=() A-28 6.-26 0. 28 9 9 4.已知命题“xeR,使2x+(a-l)x+2>0”是假命题，则实数a的取值范围是(） A.a≤-1或a≥3 -1≤a≤3 Ca<-1或a>3 及.-1<a<3 5.设a=log49,b=212,c= 8) 则() A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>h D.c>a>b 6.函数f(x)=(e-e)sinl2x的图象可能是（) 10 ON -10 10 -10 10 A C. D 7.如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=√5，BC=CD=1,将△ABD沿BD折起，当二面角 A-BD-C的值属于区间 π2π 3’3 时，直线AB和CD所成角为a,则Cosa的最小值为() 高三年级数学试题第1页（共4页） A.3 B.25-3 8 8 C. 3-互 D. 5 8 4 1og2x,0<x≤2 8.设f(x) S空2<x<10”若存在实数，，，，满足<<巧<1且 (s)=f)=f)=f(x),则色-，-的范围是（) XX A(3,4) B.(6,12) c.(9,12) D(9,21) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法不正确的有() A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0: /H1 B.函数在（←@U儿+）上是单调减函数 C.若函数y=f(2x+1)的定义域为[2,3]，则函数f(x的定义域为 别 D.将y=(2x)的图像向右平移)个单位，可得y=f(2x-)的图像 10.己知实数a,b,c满足a>b>c>0,则下列不等式正确的有() A88 B.atexatb C.bacb>cbb c a b a D.a-bac 11.定义在R上的函数f(x)和g(x),f(x+2)为奇函数，8(x)为偶函数，且 f(x+1)+8(3-x)=4,则() A.f(6)=0 B.g(2)=2 C.f(x)的图象关于x=4对称 D.8为g(x)的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 0 12.若log3(9x),log(27x),log,（3x)成等差数列，则正数x的值为 13.如果当x>2时，4x+3x ≥a恒成立，.则实数a的取值范围是 x-2 高三年级数学试题第2页（共4页） 14. Inx,x>0 已知函数（闪-+4,50：若函数y-V代a)有6个零点。则实数g的取值范国 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知f()=x-1x+30,f)在x=4处的切线与8x+3y+2=0垂直， (1)求实数a的值： (2)求f(x)在区间[2,4上的值域. 16.已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),函数在区间[2,3]上的最大值为4，f(0)=1. (I)求f(x)的解析式： ②没8)=儿巴，若不等式8)上k:2在[-2，]上有解，求实数k的取值范围。 17.某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第 k(k=1,2,…,100)个箱子中有k个数学题，100-k个物理题.每一轮竞赛活动规则如下：任选一 个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活 动中，三个题目全部答对获得一个奖品！ ()已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概 率为P,答对每一个物理题的概率为9. ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率： ②己知P+q=1,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时卫、9的 值。 (2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率。 高三年级数学试题第3页'（共4页） 18.已知函数f(x)=x2-2ar+2,函数g(x)=a-1,aeR (①)设h(x)=f(x)+g(x). (i)若a=2,求h(x)的零点； (i)若h(x)的最小值为-9，求a的值： (2)若函数F(x)=g[f(x)+7]在[a,∞)上有定义，且存在区间[m,n川s[a,+o)使得F(x)在[m, 上的值域是+lgm,1+gn,求a的取值范围， 19.我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”.如图所示的椭圆柱O0中底面长 轴AB=A'B\=4,母线AA=BB=4,F,E分别为下底面椭圆的左右焦点，动点P在线段 BB'上（不与B重合），MN为下底面过点F的一条动弦（不与AB重合），当BB=4BP时，直线 AB'/I平面PMN. (1)求底面椭圆的离心率： (2)若BP=PB,三棱锥P-MR的体积为2，求直线PR与平面PMN所成角的正弦值： (3)求三棱锥P-MFF外接球表面积的最小值. B 高三年级数学试题第4页（共4页）