江苏苏州市2026-2027学年高三上学期期初考试数学模拟卷3

**基本信息** 立足高三开学检测，以地震震级计算、新能源车电池容量等现实情境及立体几何折叠、概率模型等综合题，考查抽象能力、推理能力与模型意识，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数虚部、立体几何充要条件、函数图像|第4题地震震级公式应用，体现数学眼光观察现实| |多选题|3/18|向量运算、函数性质、圆柱与椭圆|第11题圆柱与正方体综合，考查空间观念| |填空题|3/15|等差数列、圆的对称、集合新定义|第14题集合新定义，培养创新意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率模型、圆锥曲线|18题就餐概率模型，19题圆锥曲线综合，凸显推理能力与应用意识|

苏州市2026-2027学年数学高三上学期期初考试模拟卷3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则的虚部为　　 A．1 B． C．2 D． 2．已知，是直线，是平面，且，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则　　 A．3 B． C． D． 4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（精确到0.1，参考数据：　　 A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 5．函数的部分图像如图（粗实曲线），则　　 A．8 B．6 C．4 D．2 6．已知双曲线的渐近线与抛物线的交点都在圆上，则圆与轴正半轴的交点坐标为　　 A． B． C． D． 7．近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇．有关资料显示，某品牌蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间存在关系，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当时，；当时，．则电池的容量为　　 A． B． C． D． 8．函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，正方形的是边长为2，，分别是边，的中点，则　　 A． B． C． D． 10．对于函数，，和，，，下列结论正确的有　　 A．与在时有相同的函数值 B．与有相同的最小值 C．与的图象有相同的对称中心 D．与在区间都为增函数 11．如图，圆柱的上下底面圆周与正方体上下底面的正方形相切，平面与圆柱侧面的交线为椭圆，与椭圆交于、两点，则　　 A．圆柱体积与正方形体积之比为 B．圆柱的母线与所成的角为 C．椭圆的离心率 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列8，5，2，的第10项为　 　． 13．圆与圆关于直线对称，写出两圆的一条公切线：　　． 14．定义集合，，，，，，，比如：若，，则，，，，把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即，，，，，，，．已知集合，2，3，4，5，，则 （1）集合（6）中的元素个数为 　 　； （2）若中的元素个数为56，则的值为 　　． 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15．△的内角、、满足，且． （1）求的大小； （2）若，，求的长度． 16．在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，，，，与的距离为，点，分别在棱，上，且，． （1）求证：平面； （2）求四棱台的高； （3）求异面直线与所成的角的余弦值． 17．如图1，在平行四边形中，，，将它沿折起后，到的位置，连接（图，使得平面平面．在图2中完成下列问题： （1）证明：． （2）若是中点，过的平面与平行求与平面所成角的正弦值． 18．某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为；前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． （1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； （2）求同学与同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； （3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 19．如图，直线，分别与抛物线交于，和，，与轴分别交于，和，，直线与的交点为，，，，2，． （1）当为的焦点，且直线与轴垂直时，．求抛物线的方程； （2），，是否成等比数列？请给予说明； （3）在问题（1）的条件下，若，求△面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2026-2027学年数学高三上学期期初考试模拟卷3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则的虚部为　　 A．1 B． C．2 D． 解：， 的虚部为1． 故选：． 2．已知，是直线，是平面，且，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：根据题意，分两步来判断： ①由线面垂直的判定，当，时， 不足以判断，故是是的不充分条件， ②，若，由线面垂直的定义可得， ，即是的必要条件， 则是的必要不充分条件， 故选：． 3．已知，则　　 A．3 B． C． D． 解：由，得， 所以． 故选：． 4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（精确到0.1，参考数据：　　 A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 解：由题意知，． 故选：． 5．函数的部分图像如图（粗实曲线），则　　 A．8 B．6 C．4 D．2 解：根据题意，函数，则有， 由函数图像可知，函数定义域为且， 故方程的解为，， 则有，即，解可得：， 又由函数图像经过点，即，变形可得． 故选：． 6．已知双曲线的渐近线与抛物线的交点都在圆上，则圆与轴正半轴的交点坐标为　　 A． B． C． D． 解：已知双曲线， 则其渐近线的方程为：， 联立， 解得：， 则圆过，，三点， 设圆与轴正半轴的交点的横坐标为， 由圆的性质可得：， 即． 故选：． 7．近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇．有关资料显示，某品牌蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间存在关系，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当时，；当时，．则电池的容量为　　 A． B． C． D． 解：根据题意，得， 两式相比，得， 化简得， 解得，所以， 故选：． 8．函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 解：因为， 易得为奇函数且在上单调递减， 若，不等式恒成立， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 解得． 故选：． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，正方形的是边长为2，，分别是边，的中点，则　　 A． B． C． D． 解：因为正方形的是边长为2，，分别是边，的中点， 则以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，， 对于，因为， 所以，故错误； 对于，，故正确； 对于，因为， 所以，故正确； 对于，因为，所以， 即，故正确． 故选：． 10．对于函数，，和，，，下列结论正确的有　　 A．与在时有相同的函数值 B．与有相同的最小值 C．与的图象有相同的对称中心 D．与在区间都为增函数 解：函数的周期为2，对称中心为． 由， 得，，满足， 故函数的图象的对称中心也为． 对于、，， 满足，故正确； 对于、在，上的最小值为， ，， 由，得或， 在，和上单调递增，在，上单调递减， 可知在，上的最小值为或，与的最小值不同，故错误； 对于、和的图象都关于点对称，故正确； 对于、若，，则，可知在区间上为减函数，故错误． 故选：． 11．如图，圆柱的上下底面圆周与正方体上下底面的正方形相切，平面与圆柱侧面的交线为椭圆，与椭圆交于、两点，则　　 A．圆柱体积与正方形体积之比为 B．圆柱的母线与所成的角为 C．椭圆的离心率 D． 解：设正方体的棱长为1，则， 可得圆柱的上下底面半径为，高， 则，，故正确； 由圆柱的上下底面圆周与正方体上下底面的正方形相切， 得圆柱的母线平行于正方体的棱， 则即是圆柱的母线与所成的角， 平面，平面，， 在△中，有， ，故错误； 由题意得，椭圆的长轴长，则， 短轴长，则， ， 椭圆的离心率，故正确； 如图，建立直角坐标系， 椭圆的标准方程为，则，，，， ，即直线的方程式为， 联立，解得或， 即， ， 而． ，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列8，5，2，的第10项为　　． 解：由等差数列8，5，2，可知，该数列为首项，公差的等差数列， 所以． 故答案为． 13．圆与圆关于直线对称，写出两圆的一条公切线：　答案不唯一）　． 解：圆的圆心坐标为， 设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距，可知两圆外离，且， 设与平行的公切线方程为，即， 则由到直线的距离，可得，解得， 两圆的一条公切线为，或． 再由两圆的对称性可知，，也为两圆的公切线． 故答案为：答案不唯一）． 14．定义集合，，，，，，，比如：若，，则，，，，把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即，，，，，，，．已知集合，2，3，4，5，，则 （1）集合（6）中的元素个数为 　5　； （2）若中的元素个数为56，则的值为 　　． 解：（1）设（6）中的元素为，，，，2，3，4，5，，且， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， 所以（6）中的元素为，，，，，元素个数为5． （2）已知，2，3，4，5，，设中的元素为，，，，，， ，，2，，6，且， 方程，的正整数解的个数为，这里，． 因为中的元素个数为56，所以， 由，，所以，解得． 故答案为：（1）5；（2）9． 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15．△的内角、、满足，且． （1）求的大小； （2）若，，求的长度． 解：（1）△的内角、、满足，且， 因为，且， 所以， 又因为， 所以， 即，因为，所以； （2）在△中，由正弦定理得：， 则， 因为，所以， 在△中，由余弦定理得， 解得． 16．在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，，，，与的距离为，点，分别在棱，上，且，． （1）求证：平面； （2）求四棱台的高； （3）求异面直线与所成的角的余弦值． 解：（1）取的中点，连接，， 则是梯形的中位线，所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）分别取，的中点，， 如图所示：因为侧面为等腰梯形， 所以， 因为侧面底面， 侧面底面， 所以底面， 因为， 所以，， ，平面， 所以平面， 平面， 所以， 即， 且，所以为与的距离， 所以， 解得，所以四棱台的高为2； （3）以，，所在直线分别为，，轴如图建立空间直角坐标系， 则，0，，，，0，，， 所以，，，，， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 17．如图1，在平行四边形中，，，将它沿折起后，到的位置，连接（图，使得平面平面．在图2中完成下列问题： （1）证明：． （2）若是中点，过的平面与平行求与平面所成角的正弦值． 解：（1）证明：过作，垂足为， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为为平行四边形，所以，又，所以， 又因为，、平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）设，连接， 因为，平面，平面平面，所以， 由于是中点，故为的中点， 由（1）知，根据题意，， 且、平面，所以平面， 设，在△中，有， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，， ，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则， 即， 取、、， 则平面的法向量为， 设与平面所成角为，则： ， 所以与平面所成角的正弦值为． 18．某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为；前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． （1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； （2）求同学与同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； （3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 解：（1）记事件为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”， 则； （2）记事件为“某同学第天在甲餐厅就餐”， ，2，， 则， 记事件为“同学与同学第二天在同一餐厅就餐”， 则； （3）记事件为“某同学第天在甲餐厅就餐”， ，2，， 则， 所以， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即， 记学校2000名学生第天在甲餐厅就餐的学生人数为，则，， 所以， 当时，， 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人． 19．如图，直线，分别与抛物线交于，和，，与轴分别交于，和，，直线与的交点为，，，，2，． （1）当为的焦点，且直线与轴垂直时，．求抛物线的方程； （2），，是否成等比数列？请给予说明； （3）在问题（1）的条件下，若，求△面积的最小值． 解：（1）易知抛物线的焦点， 因为当为抛物线的焦点，且直线与轴垂直时，， 当时，， 所以， 解得， 则抛物线的方程为； （2）证明：设，，，，，，，， 因为，，，均在抛物线上， 所以， 若， 可得直线的方程为， 令， 解得， 即； 若， 此时， 则， 同理得， 所以， 所以， 则，，成等比数列； （3）由（1）知，抛物线的方程为， 由（2）知，若， 此时， 所以或（舍， 所以， 在（1）的条件下， 所以， 则△的面积， 当且仅当时，等号成立． 则△的面积最小值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $