江苏省苏州市2026-2027学年高三上学期期初调研仿真模拟数学试题

**基本信息** 苏州市2027届高三期初数学模拟卷，严格对标高考要求，通过基础题与综合题的梯度设计，诊断开学初学生数学抽象、逻辑推理及数据应用等核心素养水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、数列、向量等基础内容|注重概念辨析，如向量投影坐标考查数学表达| |多选题|3/18|概率、等差等比数列综合|结合互斥与独立事件，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|双曲线离心率、圆的距离问题|基础与中档结合，如等差数列前n项和创新设问| |解答题|5/77|立体几何证明、统计回归、圆锥曲线、导数零点|统计题（17题）以体测数据建模体现数据意识，导数题（19题）零点证明呼应高考压轴题逻辑推理要求|

苏州市2027届高三第一学期期初调研仿真模拟卷 命题表 题号 难度 知识点 一、选择题 1 容易 解不含参数的一元二次不等式,由指数函数的单调性解不等式,并集的概念及运算 2 容易 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算 3 适中 用和、差角的正弦公式化简、求值,给值求值型问题,已知正（余）弦求余（正）弦 4 适中 向量垂直的坐标表示,求投影向量 5 适中 抛物线中的三角形或四边形面积问题,切线长 6 适中 正切函数图象的应用,求函数零点或方程根的个数 7 适中 弧长的有关计算,圆锥表面积的有关计算,锥体体积的有关计算 8 适中 由导数求函数的最值（不含参）,利用导数研究不等式恒成立问题,用导数判断或证明已知函数的单调性,由对数（型）的单调性求参数 二、多选题 9 适中 计算条件概率,独立事件的乘法公式 10 适中 求等比数列前n项和,判断等差数列,由定义判定等比数列,求等差数列前n项和 11 困难 空间位置关系的向量证明,立体几何中的轨迹问题,已知线线角求其他量,多面体与球体内切外接问题 三、填空题 12 容易 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 13 容易 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 14 困难 求等比数列前n项和,等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和 四、解答题 15 适中 空间位置关系的向量证明,锥体体积的有关计算,面面角的向量求法 16 适中 用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,已知数量积求模 17 容易 求回归直线方程,根据样本中心点求参数,根据回归方程进行数据估计 18 适中 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的直线过定点问题,根据韦达定理求参数 19 困难 利用导数证明不等式,根据函数零点的个数求参数范围,求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数图象及性质 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2027届高三第一学期期初调研仿真模拟卷 数 学 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3 .测试范围：同高考要求 一、选择题（每题5分，共8题，计40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，或， 因此或. 2．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到的范围，求出，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】 ， ． 4．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案. 【详解】，故，解得，所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：A. 5．已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 6．已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令得，或或时，不是函数零点，当且且时，，同一坐标系内，画出与在上的图象，数形结合得到答案. 【详解】令得，， 当或或时，，但，故不是函数零点， 当且且时，， 同一坐标系内画出与在上的图象，如下： 可以看出上，与在上共有3个交点， 故零点个数为3个，分别为. 故选：D 7．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由侧面积比得半径比，由侧面展开图圆心角之和及弧长公式得母线长等于两半径之和，联立解得半径，结合勾股定理求高，代入体积公式求比. 【详解】设两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为，侧面展开圆心角分别为，高分别为. 圆锥侧面积公式为，已知，母线相等，因此，即. 侧面展开弧长等于底面周长，得，即. 已知，代入得， 结合，解得. 圆锥的高满足，因此， 圆锥体积公式，体积比为. 因此体积比为. 8．函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简结合对数函数单调性得出，再构造，根据导函数得出函数单调性即可求解. 【详解】由题设在上恒成立， 知，此时在上都单调递增， 所以只需在上的零点相同， 即，所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 故选：D 二、多选题（每题6分，共3题，计18分，选对的得部分分，不选或选错的得0分） 9．在一个有限样本空间中，，且 与 相互独立， 与 互斥，则(    ) A． B． C． D．若，则 与 互斥 【答案】AD 【分析】选项A：利用相互独立事件的概率乘法公式，代入已知概率直接计算验证.选项B：运用概率的一般加法公式，结合独立事件的计算结果判断选项正误.选项C：由A与C互斥推出，进而得到，再通过条件概率公式推导的取值完成判断.选项D：将条件概率等式展开变形，代入化简求解，依据互斥事件的概率特征判断B与C是否互斥. 【详解】有限样本空间中，，且 与 相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为 与 互斥，所以，， 所以 ，所以C不正确； 若，则 而，所以，而样本空间中有有限个元素， 所以 与 互斥，所以D正确． 10．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 【答案】AC 【分析】对于A，利用等差数列的定义判断；对于B，举反例，，再结合等比中项的性质即可判断；对于C，举例，，再结合等比数列的定义即可判断；对于D，利用反证法判断是否为关于的一次函数即可判断． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，， 对于A，由， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，取，，则，前项分别为，，， 又，所以此时数列不为等比数列，故B错误； 对于C，取，，则，，则， 所以此时数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对于D，若存在，，使得数列为等差数列，则是关于的一次函数， 若，则，显然不可能是关于的一次函数； 若，则，显然不可能是关于的一次函数， 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误． 11．如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（    ） A．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B．存在这样的点使EP⊥平面 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】以为原点，求得点位于上底面内，过点作，得到，结合抛物线的定义，可判定A正确；设，求得平面的法向量，结合，求得的值，可判定B不正确；设三棱锥的外接球的球心为，根据，列出方程求得球心的坐标，可判定C正确；求得点在以为圆心的圆弧上，结合对称性，求得，转化为，可判定D错误. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，可得点位于上底面上， 对于A，连接，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即点到距离即为， 过点作，可得点到的距离即为， 所以，即点到定点的距离等于到定直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线在上底面内的一部分，所以A正确； 对于B，设，其中，则， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 若平面，则，即，解得， 因为，所以不存在这样的点 使EP⊥平面，所以B不正确； 对于C，当点与点重合时，则三棱锥即为三棱锥， 因为点是的中点，所以,且， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 由，可得， 整理得，即， 由，可得， 整理得，所以， 由，可得， 代入，可得，即， 再将代入，可得，所以，所以， 所以外接球的半径为，所以C正确； 对于D，由，其中，且， 可得， 因为与的夹角为，可得， 所以，即，其中， 所以点在以为圆心，半径为的圆弧上， 连接，由对称性知，当点位于上时，取得最小值， 过点作于点，在直角中，， 所以，所以， 在平面中，过点作于点，则， 所以D错误. 三、填空题（每题5分，共3题，计15分） 12．双曲线的离心率是______ ． 【答案】 【分析】把双曲线方程化成标准形式，再求出离心率即得. 【详解】双曲线，即，其实半轴长，半焦距， 所以所求离心率. 故答案为： 13．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 14．等差数列前项和，对且，设，存在，使得．则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时，___________． 【答案】3 【分析】先根据求出数列的通项公式，进而写出的表达式，利用的条件可求出和的所有可能值，最后利用等比数列求和公式即可得到答案． 【详解】当时，， 又当时，，故通项为， 对，， 存在，使得，故是正偶数， 因此只能，此时，等比数列前三项和为， 综上，满足条件的仅有3，故前三项和取得最大值时． 四、解答题（第15题13分，第16,17题15分，第18,19题19分，计77分） 15．已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， 则， ， ． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）略 （2）四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为． 16．设△ABC的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求. 【详解】（1）在△ABC中，由及正弦定理得 ， 即， 因为、，则，即，可得，故. （2）由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 17．某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 (1)求经验回归方程； (2)根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 【答案】(1)； (2)估计提高分为10.5，至少应为6小时 【分析】（1）先求出，代入公式计算，进而求，即得经验回归方程； （2）根据经验回归方程估计出时的体测成绩的提高分，再由规定列不等式计算即得. 【详解】（1）由数据得，． 于是． 又． 所以． 从而． 故经验回归方程为． （2）当时，． 所以估计每周锻炼6小时时体测成绩提高分为10.5． 若训练效果明显，则，由，解得． 由于每周锻炼时间按整数小时估计，所以至少应为6小时． 18．已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【详解】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）略 【点睛】直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在，若斜率不存在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方程中两个参量之间的关系即可得到定点. 19．已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)或. (2)（i）； （ii）证明：由（i）可知， 下面证明：， ①要证明，只需证明， 又，即证，所以原式等价于证明， 由，得，则， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. ②要证明，只需证明， 由（i）知，则，即, 又因为，所以， 因为在上单调递减，所以成立， 综上，. 【分析】（1）去绝对值将写成分段函数的形式，对求导，求出和根据题目信息和导数的几何意义列式即可求出的值； （2）（i）令，分离参数得到，令，通过求导得到的单调性，让与函数有三个交点，即可求出的取值范围；（ii）先证明即可证明. 【详解】（1），所以， 则. 因为曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，所以，解得或. （2）（i）令，则. 令，则，所以， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 当，，当，， 又有三个零点，所以的取值范围为. （ii）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2027届高三第一学期期初调研仿真模拟卷 数 学 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3 .测试范围：同高考要求 一、选择题（每题5分，共8题，计40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D．或 2．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 8．函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共3题，计18分，选对的得部分分，不选或选错的得0分） 9．在一个有限样本空间中，，且 与 相互独立， 与 互斥，则(    ) A． B． C． D．若，则 与 互斥 10．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 11．如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（    ） A．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B．存在这样的点使EP⊥平面 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题（每题5分，共3题，计15分） 12．双曲线的离心率是______ ． 13．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 14．等差数列前项和，对且，设，存在，使得．则以为首项，为公比的等比数列前三项和取得最大值时，___________． 四、解答题（第15题13分，第16,17题15分，第18,19题19分，计77分） 15．已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 16．设△ABC的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 17．某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 (1)求经验回归方程； (2)根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 18．已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 19．已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $