江苏苏州市2026-2027学年高三上学期期初考试数学模拟卷2

**基本信息** 立足高三开学初学情，以复数、数列等基础模块为载体，通过概率应用、立体几何证明等综合题考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配一轮复习起点检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数运算、等比数列、集合关系|基础概念辨析，如第3题结合充分必要条件考查集合关系| |多选题|3/18|统计样本分析、数列递推|第9题通过样本数据考查均值、方差与分位数，体现数据意识| |填空题|3/15|向量投影、解三角形|第13题在锐角三角形中综合正弦定理与面积公式，强化几何直观| |解答题|5/77|立体几何证明、概率分布、椭圆方程、曲线性质探究|第16题以知识竞赛为情境考查概率分布与期望，落实数学建模；第19题探究曲线周期性与中心对称，发展创新意识，贴合高考探究性命题趋势|

苏州市2026-2027学年数学高三上学期期初考试模拟卷2 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数，则　　 A． B． C．3 D．5 2．已知各项均为正数的等比数列，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知集合，0，，，2，，以下判断正确的是　　 A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 4．已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为　　 A． B． C． D． 5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．“，使”的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 7．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数，后三位数字构成三位数，记，大于100的概率是　　 A． B． C． D． 8．函数，若，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则　　 A．估计这次考试全班成绩的平均分为84 B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C．样本的分位数是87 D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 10．已知数列满足，，，则　　 A． B．若，则 C． D．若数列满足，记为的前项和，则 11．已知函数和，以下判断正确的是　　 A．函数在区间，内有唯一的零点 B．，时， C．，时， D．存在正实数，当时，对于任意大于1的正实数， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则在上的投影向量 为 　　 （用坐标表示）． 13．在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为 　 　． 14．已知函数，其中，，记函数的最小值为，若，，都有，则的取值范围为 　 　 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知正四棱柱底面边长为3，点、分别在直线、上，，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 16．某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立． （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大． 17．已知椭圆的上顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于点，并与圆相切，已知点，直线与椭圆交于点，证明：与相切． 18．已知椭圆，为的右焦点，短半轴长为1，为上动点，的最小值为． （1）求的方程； （2）已知点，点为外一点，直线交于，两点， 为原点，若，求直线的方程； 记直线，，的斜率分别为，，，若，求△的面积． 19．已知曲线S：sin（x+y）＝cosx+siny，x，y∈R． （1）定义：若对于曲线f（x，y）＝0上任意一点P（x，y）沿向量＝（T，T′）平移得到点Q（x+T，y+T′）仍在曲线上，其中T与T′是不同时为0的常数，则称曲线f（x，y）＝0沿向量＝（T，T′）的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由； （2）证明：曲线S是中心对称图形； （3）当x∈[0，π]，时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线l1：x+y﹣﹣θ＝0，l2：x+y﹣+θ＝0，l3：x﹣y+＝0，l4：x﹣y﹣＝0，围成矩形ABCD，其中θ为锐角，cosθ＝﹣1，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2026-2027学年数学高三上学期期初考试模拟卷2 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数，则　　 A． B． C．3 D．5 解：， 则． 故选：． 2．已知各项均为正数的等比数列，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：因为等比数列各项均为正数，，所以， 所以． 故选：． 3．已知集合，0，，，2，，以下判断正确的是　　 A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 解：因为集合，0，，，2，， 则，则错误； 因为，，0，1，2，， 则是的充分不必要条件，错误； 是的充分不必要条件，错误； 是的充要条件，正确． 故选：． 4．已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为　　 A． B． C． D． 解：因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 所以与直线垂直的直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 故选：． 5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 解：若，，，则或或与相交，故错误； 若，，，则或，故错误； 若，在内作，则， 又，， 又，，得，故正确； 若，，，则或与相交或与异面，故错误． 故选：． 6．“，使”的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 解：因为：，使， 当时，，解得，符合题意； 当时，则△，解得，即， 当时，显然成立； 故：，使成立时：， 结合选项可得“，使”的一个充分不必要条件是：． 故选：． 7．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数，后三位数字构成三位数，记，大于100的概率是　　 A． B． C． D． 解：先求小于100的概率，百位必相邻，且较大数的十位小于较小的数的十位，个位无限制，分两步： （1）取百位的概率为． （2）取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给，作十位， 而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等， 此步符合要求的概率为， 小于100的概率为， 大于100的概率是． 故选：． 8．函数，若，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 解：根据题意，函数， 则，则函数的图象关于直线对称，则有， 在区间上，，易得在上为增函数， 又由， 则有，即． 故选：． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则　　 A．估计这次考试全班成绩的平均分为84 B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C．样本的分位数是87 D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 解：根据题意，依次分析选项： 对于，全班成绩的平均分为，正确； 对于，7人成绩中，有3人成绩大于平均分，则要求概率，正确； 对于，，则样本的分位数是第6个数据，即88，错误； 对于，由于加入的数据为84，正好等于7个数据的平均数， 则加入后，数据的波动变小，故新样本方差小于原样本方差，正确． 故选：． 10．已知数列满足，，，则　　 A． B．若，则 C． D．若数列满足，记为的前项和，则 解：已知数列满足，，， 则， 即， 又， 即数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 即， 即， 对于，， 即， 即正确； 对于，， 又， 则， 解得， 即正确； 对于，， 即错误； 对于，， 则， 则， 即正确． 故选：． 11．已知函数和，以下判断正确的是　　 A．函数在区间，内有唯一的零点 B．，时， C．，时， D．存在正实数，当时，对于任意大于1的正实数， 解：因为函数和， 由于， 当时，，，则， 当时，， 故当时，，，则， 故必有，使， 因此选项正确，选项错误． 对于任意正数， 当时，， 取，当时，对于任意大于1的正实数，， 因此选项正确，而当时，故选项错误． 故选：． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则在上的投影向量 为 　　 （用坐标表示）． 解：， 则，， 故则在上的投影向量为． 故答案为：，． 13．在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为 　 　． 解：在锐角三角形中，，，的对边分别为，，， 若，，， 由， 可得：， 即， 即， 即， 化简可得：，又， 可得：， 由，可得， 因为，， 所以，即， 所以锐角三角形为等边三角形， 所以△的面积为． 故答案为：． 14．已知函数，其中，，记函数的最小值为，若，，都有，则的取值范围为 　 　 ． 解：，， 设，则，令，， 当，则，所以，得，则在单调递减， 当，则，所以得， 则在单调递增，所以， 即，所以恒成立， 只需大于的最大值，令， 则，可得， 则的最大值为，所以，因为， 则，因为，当且仅当， 即时等号成立，所以． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知正四棱柱底面边长为3，点、分别在直线、上，，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：， 因为，所以， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则三棱锥的体积，解得， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 16．某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立． （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大． 解：（1）设三个项目乙获胜的事件分别为，，， 乙同学总得分40分记为事件，则，，， 且， ． （2）由题可知，20，40，60， ， ， ， ， 甲总得分的分布列： 0 20 40 60 ． （3）甲获胜的概率为， 乙获胜的概率为，因为，所以甲获胜概率更大． 17．已知椭圆的上顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于点，并与圆相切，已知点，直线与椭圆交于点，证明：与相切． 解：（1）设椭圆焦距为， 若焦点在轴， 易知椭圆的长轴长为，短轴长为， 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为， 所以，， 则椭圆的方程为； 若焦点在轴， 易知椭圆的长轴长为，短轴长为， 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为， 所以，， 则椭圆的方程为， 综上所述，若焦点在轴，椭圆的方程为； 若焦点在轴时，椭圆的方程为； （2）证明：若焦点在轴，椭圆的方程为， 若直线斜率不存在， 此时点在轴上，显然满足题意； 若直线斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时， 易知， 联立，消去并整理得， 此时， 所以， 因为直线与圆相切， 所以， 直线， 此时圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切； 若焦点在轴，椭圆方程为， 若直线斜率不存在， 此时在轴上，显然满足题意； 若直线斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时， 易知， 联立，消去并整理得， 此时， 所以， 因为直线与圆相切， 所以， 直线， 此时圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切， 综上所述，当椭圆的焦点在轴上时，直线与圆相切； 焦点在轴上时且直线斜率存在时，直线与圆不相切． 18．已知椭圆，为的右焦点，短半轴长为1，为上动点，的最小值为． （1）求的方程； （2）已知点，点为外一点，直线交于，两点， 为原点，若，求直线的方程； 记直线，，的斜率分别为，，，若，求△的面积． 解：（1）设椭圆半焦距为，短半轴长为1，依题意有， 则，解得， 所以椭圆方程为． （2）由（1）可得椭圆右焦点，则设直线的方程为， 联立，消去得， 设点，，，，则， 因为，所以，化简得， 所以，即， 即，解得， 则直线的方程为：或． ①当直线斜率为0时，不妨设，，， 则，，， 因为，所以，则，所以； ②当直线斜率不为0时，设，，由得， ， ， 则，则， 所以， 所以，解得， 所以点在定直线上，平行直线， 点到直线的距离，所以， 综上可知，△的面积为． 19．已知曲线S：sin（x+y）＝cosx+siny，x，y∈R． （1）定义：若对于曲线f（x，y）＝0上任意一点P（x，y）沿向量＝（T，T′）平移得到点Q（x+T，y+T′）仍在曲线上，其中T与T′是不同时为0的常数，则称曲线f（x，y）＝0沿向量＝（T，T′）的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由； （2）证明：曲线S是中心对称图形； （3）当x∈[0，π]，时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线l1：x+y﹣﹣θ＝0，l2：x+y﹣+θ＝0，l3：x﹣y+＝0，l4：x﹣y﹣＝0，围成矩形ABCD，其中θ为锐角，cosθ＝﹣1，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 解：（1）因为sin[（x+2mmπ）+（y+2mπ）]＝sin（x+y），cos（x+2mπ）＝cosx，sin（y+2mπ）＝siny， 所以当P（x，y）在曲线S上时，Q（x+2mmπ，y+2nπ）（m，n∈Z，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性， 向量＝（2mπ，2nπ）（m，n∈Z，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可）， 则符合要求的一个向量＝（2π，2π）． （2）证明：因为cos（2π+2mπ﹣x）＝cosx，sin（π+2mπ﹣y）＝siny，sin[（2π+2mπ﹣x）+（π+2nπ﹣y）]＝sin（x+y）（m，n∈Z）， 所以当sin（x+y）＝cosx+siny时，sin[（2π+2mπ﹣x）+（π+2nπ﹣y）]＝cos（2π+2mπ﹣x）+sin（π+2nπ﹣y）， 故当P（x，y）在曲线S上时，必有P′（2π+2m﹣x，π+2mπ﹣y）在曲线S上， 而P与P′关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为（m，n∈Z），（m，n取一个符合要求的值也可）； （3）证明：先证明曲线S上的点在直线l1的上方或直线l1上， 设P（x，y）是曲线S上任意一点，即证． 由sin（x+y）＝cosx+siny可得， 令，则z∈[0，π]，cos（x+z）＝cosx+cosz，原命题即证x+z≥π+θ． 用反证法证明，假设x+z＜π+θ，则， 由cos（x+z）＝cosx+cosz可得， 由于x+z＝π时原式不成立，故x+z≠π，则， 若x+z＞π，则，所以， 又， 故，得，矛盾， 故x+z＜π，即z＜π﹣x，又x≥0，z≥0，因此cosz＞cos（π﹣x）＝﹣cosx， 从而cos（x+z）＝cosx+cosz＞0，可得，因此，， 所以cos（x+z）≤cosx＜cosx+cosz，这与已知矛盾，故假设不成立， 由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于l1的直线为， 由，得，将其分别代入曲线S的方程两边， 左边＝，右边＝， 故点既在曲线S上又在直线l1上，从而曲线S上的点在直线l1的上方或直线l1上， 由于点到直线l1的距离， 到直线l2的距离，故d1＝d2， 到直线l3的距离， 到直线l4的距离，故d3＝d4， 所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线l2的下方或直线l2上， 同理可证，曲线S上的点也在直线l3，l4之间，或直线l3，l4上， 因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上，又由于矩形ABCD和曲线的对称中心重合， 因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $