江苏苏州市2026-2027学年高三上学期数学期初考试自编模拟卷1

**基本信息** 苏州市高三期初数学模拟卷，以巴黎奥运会观看数据、二十四节气书签等真实情境为载体，融合复数、统计、导数等知识，通过分层设问考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数虚部、向量单位向量、统计百分位数等|结合巴黎奥运会数据考查统计分析，体现数学观察现实世界的能力| |多选题|3/18|二项式定理、曲线性质、抛物线几何关系|多选项设计区分思维层次，如曲线对称性与面积综合考查推理能力| |填空题|3/15|函数最值、正四面体内切球、正方体截面|立体几何与函数结合，考查空间观念与运算能力| |解答题|5/77|解三角形、概率（节气书签）、立体几何翻折、数列证明、函数凹凸性|二十四节气书签抽奖模型考查概率应用，函数新定义（凹凸性）体现创新思维，三问递进设计提升能力梯度|

苏州市2026-2027学年数学高三上学期期初考试模拟卷1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D．2 【解答】， ， 则， 则，其虚部为2． 故选：． 2．与向量反向的单位向量是　　 A． B． C． D． 【解答】设与向量反向的单位向量是， 则． 故答案为：． 3．巴黎奥运会期间，中国视听大数据显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为　　 A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55 【解答】将数据从小到大排序：0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，共17个， ， 故这组数据的第25百分位数为排序后的第5个数，即2.21． 故选：． 4．若函数为自然对数的底）的一条切线与轴平行，则切点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】设切点坐标为，，函数，所以， 因为切线与轴平行，所以， 解得，，故切点坐标为． 故选：． 5．在平行六面体中，，，，则直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】以，，为基底，则， 则， ， ， 所以， 则直线，所成角的余弦值为． 故选：． 6．一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移关于时间的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，不可能是　　 A． B． C． D． 【解答】由的图象知，最小正周期，所以， 由，则函数的图象过，，即， 解得，；即，；由得， 所以，由，则， 解得，；或，； 可得，；或，； 当时，，当时，，当时，． 故选：． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】 由双曲线，可知渐近线方程为， 因为，，所以在△中，，，，， 可得．， 即，，，则， ，又因为点在渐近线上，所以，解得，可得． 故选：． 8．已知双曲线的焦点为，，过点的直线与双曲线交于，两点．若，，则双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【解答】因为双曲线的焦点坐标为， 设双曲线的方程为，所以， 当过点的直线与双曲线右支交于，两点如图所示， 由，，设， 则，由双曲线的定义知，所以，， 在△中，，， ， 在△中，， 即，解得，， 所以双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为：； 当过点的直线与双曲线两支交于，两点如图所示， 由，，得， 与双曲线定义不符，故此种情况不成立， 综上，双曲线的渐近线方程为． 故选：． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知的二项式系数和为64，则　　 A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【解答】：由题意可得，解得，故正确； ：二项式的展开式的通项公式为，，1，，6， 令，解得，则常数项为第4项，故错误； ：因为，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，最大值为，故正确； ：令，则展开式的所有项的系数和为，故正确． 故选：． 10．已知曲线，则以下说法正确的是　　 A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 【解答】当，时，曲线的方程为，即， 表示圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 同理，当，时，曲线的方程化为， 当，时，曲线的方程化为， 当，时，曲线的方程化为， 作出曲线，如图所示， 选项：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故错误； 选项：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故正确； 选项：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为，则曲线与坐标轴围成的面积为， 当，时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故正确； 选项：由题意可知曲线的周长为，故错误． 故选：． 11．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴的交点为，过的直线与分别交于，两点，则以下选项正确的是　　 A．坐标为 B．当时， C．若，则 D．过点作与垂直的直线与交于、两点，则四边形面积的最小值为32 【解答】对于，抛物线：，焦点坐标，故正确； 对于，设，，，，， 由题意知，直线斜率不为零，设直线， 联立，消去得，则，， 所以， 因为，所以，所以， 即，解得，所以，故正确； 对于，， 因为，所以，，故错误； 对于，设，，，，设直线，同理推出， ， 当且仅当时等号成立，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在，上的最小值为 　　． 【解答】因为， 所以， 当，时，，单调递增， 当，时，，单调递减， 所以， 又因为，， 所以函数在，上的最小值为． 故答案为：． 13．已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为 　 　 ． 【解答】因为正四面体中，， 所以底面正三角形的中心到底面正三角形的顶点的距离为， 所以设该正四面体的外接球半径为，内切球的半径为， 则，且，可得，， 所以该四面体内半径最大的球的表面积为． 故答案为：． 14．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 　 　． 【解答】由题意正方体的棱长为2， 正方体的中心是内切球球心，设为，到平面的距离为， 设到平面的距离为，因为， 所以， 所以， 所以， 正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为的圆， 所以，所以圆的面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，求△的周长的最大值； （3）若△的面积为，为的中点，且，求的长． 【解答】（1）， ， 又据余弦定理， ， ， ； （2）由及已知得， 又（当且仅当时，等号成立）， ，可得（当且仅当时，等号成立）， ，最大值为； （3）， ， 解得， ， 又， 据勾股定理得． 16．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖． （1）求只抽3次即获奖的概率； （2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 【解答】（1）设事件可取1，2，3，表示第次抽到春季卡， 可取1，2，3，表示第次抽到夏季卡，事件表示抽3次即获奖， 则，（C）， 所以． （2）设事件表示获奖，则， 且，，，为互斥事件， （D）， 由（1）， ， ， ， 又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量表示参加活动获奖的人数， 若促销的30天中预计有360人参加活动，则， 所以，即估计获奖人数的平均值为30， 又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，， 所以商家准备60套书签作为奖品较为合理． 17．如图，梯形中，为上一点，，，，且，，将△沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，，得到四棱锥，为的中点． （1）若为的中点，证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：在梯形中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 取的中点，连接，， 因为是的中点， 所以，， 又，且为的中点， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面． （2）解：翻折前，， 翻折后， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，1，，，0，，，0，， 所以，1，，，0，，，1，，，，， 设，1，，，，则，，， 因为， 所以，解得， 所以，1，， 所以，，， 易知平面的一个法向量为，1，， 设直线与平面所成角为， 则，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18．已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若数列满足，证明：为自然对数的底）． 【解答】（1）解：设等差数列公差为，，，，成等比数列， ，即，解得或（舍去）， 数列的通项公式； （2）证明：设， 当时，，单调递减， （1），，由（1）可知， 则有，不等式恒立． （3）证明：， 要证， 只需证， 由（2）可知（当且仅当时等号成立）， 又，，， 则 ， ． 19．对，，，，，若函数在，有不等式，则称函数是在，上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在，上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在，上可导，为在，上的导函数，为在，上的导函数，当时，函数是在，上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在，上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 【解答】（1）由题，即， 所以为的凸函数； （2）设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为； 证明：（3）即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2026-2027学年数学高三上学期期初考试模拟卷1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D．2 2．与向量反向的单位向量是　　 A． B． C． D． 3．巴黎奥运会期间，中国视听大数据显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为　　 A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55 4．若函数为自然对数的底）的一条切线与轴平行，则切点的坐标为　　 A． B． C． D． 5．在平行六面体中，，，，则直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 6．一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移关于时间的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，不可能是　　 A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 8．已知双曲线的焦点为，，过点的直线与双曲线交于，两点．若，，则双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知的二项式系数和为64，则　　 A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 10．已知曲线，则以下说法正确的是　　 A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 11．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴的交点为，过的直线与分别交于，两点，则以下选项正确的是　　 A．坐标为 B．当时， C．若，则 D．过点作与垂直的直线与交于、两点，则四边形面积的最小值为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在，上的最小值为 　　． 13．已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为 　 　 ． 14．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，求△的周长的最大值； （3）若△的面积为，为的中点，且，求的长． 16．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖． （1）求只抽3次即获奖的概率； （2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 17．如图，梯形中，为上一点，，，，且，，将△沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，，得到四棱锥，为的中点． （1）若为的中点，证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由． 18．已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）若数列满足，证明：为自然对数的底）． 19．对，，，，，若函数在，有不等式，则称函数是在，上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在，上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在，上可导，为在，上的导函数，为在，上的导函数，当时，函数是在，上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在，上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 学科网（北京）股份有限公司 $