2025-2026学年第一学期苏州市工业园区学业水平阳光指标调研卷（练习卷）高三数学

2025-2026学年第一学期苏州市工业园区学业水平阳光指标调研卷（练习卷） 高 三 数 学 2026.2 注意事项： 1. 试卷满分150分，调研时间120分钟 2. 请把选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡的指定位置，把非选择题的答案用0.5mm黑色墨水的签字笔写在答题卡上的指定位置 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2 和18的等比中项为 A．- 6 B．6 C．12 D．- 6或6 2．设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为第三象限角， 若， 则 A． B． C． D． 4．记的内角的对边分别为，，，，则 A． B． C． D． 5．已知，，则 A． B． C． D． 6．设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 7．在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为 A． B． C． D． 8．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则 A．65 B．70 C．75 D．80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分。 9．设函数，其中.则下列说法正确的是 A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 10．已知函数，数列满足，且，则 A． B． C． D． 11．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则 A．直线的斜率为 B．为的平分线 C．的面积为 D．H，M，P三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上且位于第二象限内， 的面积为，过原点且平行于的直线与和的角平分线分别交于点，且 ，则双曲线的离心率为 ▲ . 13．已知数列各项的排列规律如下：，，，，，，，，，，，其前项的和为，则时的最大值为 ▲ . 参考公式： 14． 对于任意实数，关于的不等式在总有解，则的范围 是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. ▲ ▲ ▲ 16．（15分） 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. ▲ ▲ ▲ 17．（15分） 5个相同的小球，分别以1－5标号，现将这5个小球随机放到编号分别为1，2，3，4的四个盒子中. (1)求四个盒子都有球的概率； (2)求1号盒子有球的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且；则，记有球盒子的个数为，求. ▲ ▲ ▲ 18．（17分） 已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； (3)当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. ▲ ▲ ▲ 19．（17分） 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 (1)求函数在上的值域； (2)已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. ▲ ▲ ▲ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年第一学期学业水平阳光指标调研卷 高三数学参考答案 2026.2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B A B A BCD AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据等比中项定义即可得到答案. 【详解】2和18的等比中项为. 故选：D. 2．A 【分析】化简复数，根据复数 是纯虚数求出，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 . 因为复数 是纯虚数，所以，解得. 所以“”是“复数 是纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 3．B 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由为第三象限角，得, 由， 得，解得，则， 故选：B 4．A 【分析】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 5．B 【分析】先由对数函数的性质可得，再构造函数，由指数函数的单调性可得，进而可得，再由指数函数单调性可得. 【详解】因为，，所以，即. 所以，即. 又因为函数在R上是单调递减函数，因为，所以， 所以，即， 所以，又因为，所以， 由函数是R上单调递增函数，所以，故. 故选：B 6．A 【分析】根据椭圆的光学性质可得，求出，，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】设切线交轴于点， 由椭圆的光学性质可得， 则， 又， 则在中，， ， 由椭圆的定义得， 即，解得， 所以该椭圆的离心率是. 故选：A. 7．B 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在矩形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 故选：B. 8．A 【分析】根据函数的周期性和对称性求解. 【详解】由，，知函数关于，点对称， 结合当时，，作出函数图象如图， 为向上攀爬的类周期函数，由图象可得， 由可得， ， 由可得， ， 所以，则有， 因为，所以， 所以， 故选:A. 9．BCD 【分析】对于A根据判断；对于B求导判断函数的单调性即可；对于C由的正负性和单调性可得；对于D根据韦达定理以及计算. 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】对于，对函数求导，则根据导函数的正负判断单调性，当时，，即可判断；对于B，令，对其求导根据正负可以判断函数单调性，即可判断；对于，根据缩放法，可得，进而可以求解；对于，举反例即可判断. 【详解】对于A，， 对于，当时，单调递增，且， 所以， 于是，从而， ，即， 不断递推可得，，故正确； 对于B，，先比较右边大小， 设函数在上单调递减，而， 从而，从而，即，故错误； 对于，， 两边减去1，得，即 ，将上式相乘则可得， 从而，得，故正确； 对于，当时，则， 则与相矛盾，故不正确. 故选： 11．ABD 【分析】先根据及抛物线的性质求出P点的坐标，对于A，可根据P点坐标直接求出PF的斜率；对于B，求出FQ的斜率，并结合PF的斜率分别求出、，据此可判断为的平分线；对于C，联立直线QF和抛物线C的方程，求出M的坐标，再结合点到直线的距离即可求解的面积；对于D，比较HM、HP的斜率即可判断是否三点共线． 【详解】如图所示， 抛物线的焦点为，准线为， 已知，所以的横坐标为，解得， 所以，解得，因此， 对于A，直线PF的斜率，故A正确； 对于B，是到准线的垂足，所以，又，， 所以FQ的斜率，故， 由得，所以， 所以为的平分线，故B正确； 对于C，QF的方程为，联立抛物线， 得，解得或（舍去），所以， PF的方程为， 点到直线PF的距离, 面积，故C错误； 对于D，，，， 则，，斜率相等， 所以H，M，P三点共线，故D正确． 故选：ABD． 12．5 【分析】设，根据中位线定理及角平分线的定义可得，根据双曲线的定义及三角形的面积公式、余弦定理可求出，由勾股定理可求出c，进而可求出离心率. 【详解】设，如图， 因为，为的中点，所以为的中点，且, 又为的角平分线，所以，所以， 所以为等腰三角形，所以，即，所以. 由双曲线的定义可知，所以， 所以的面积为， 所以. 在中，由余弦定理得， 将代入上式整理得，解得. 所以，解得， 所以，且，所以， 所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：5. 13． 【分析】将数列表示为三角数阵的形式，计算出前行所有数的总和，以及时对应项数，即可得解. 【详解】将数列写成以下形式： 第行所有数的和为， 前行所有数之和为， 当时，， 若再加上第行第一个数，总和为， 加上第行前两个数，则总和大于， 故的最大值为. 故答案为：. 14． 【分析】根据函数单调性的性质，结合对数函数的单调性、绝对值不等式的公式解法分类讨论进行求解即可. 【详解】因为函数在上都单调递增， 所以函数在上也单调递增， 所以. 当时，显然关于的不等式在总有解， 当时，，或； 当时， 要想关于的不等式在总有解， 只需； 当时， 要想关于的不等式在总有解， 只需， 所以，而，所以， 综上所述：， 所以的范围是 15．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； （2）， 所以，因此 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得，可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面； （2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分步计数原理，结合古典概型运算公式、组合的定义进行求解即可； （2）根据对立事件的概率公式，结合古典概型运算公式进行求解即可； （3）根据期望的公式，结合（2）中的结论、二点分布的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为5个小球随机放到编号分别为1，2，3，4的四个盒子中， 所以不同放法有种. 因为5个小球随机放到编号分别为1，2，3，4的四个盒子，四个盒子都有球， 所以必有一个盒子里放2个， 于是不同放法有种， 所以四个盒子都有球的概率； （2）若1号盒子没有球，则5个小球随机放到编号分别为2，3，4的三个盒子中， 所以不同放法有种， 所以1号盒子没有球的概率为， 因此1号盒子有球的概率； （3）由（2）可知，每个盒子有球的概率， 随机变量服从两点分布，且；则， 因为有球的盒子的个数可以看成4个两点分布随机变量的和， 即，其中表示第个盒子是否有球，， 且， 所以. 18．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由（1）知函数单调递增，进而有且对恒成立，利用基本不等式可求得实数m的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. （3）当时，由（1）可知函数在上单调递增， 不等式可化为， 因恒成立，则可得且对恒成立. 又由 . 当且仅当，即或时取等号， 故实数m的取值范围为. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）整数的最小值为1 【分析】（1）求导，利用导数可得函数的单调性，进而可求得值域； （2）（i）要证不等式成立，需证，令，需证，构造函数，利用导数证明即可； （ii）不等式等价于，令，可得，构造函数，利用导数，可得整数的最小值. 【详解】（1）由，可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以，又， 所以函数在上的值域为； （2）（i）由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得， 要证，需证，又在上单调递增， 故只需证，又， 所以只需证，即证， 即证， 令，则， 不等式等价于， ， 只需证， 即证， 令， 求导得 令， 求导得 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立， 故. （ii）不等式恒成立， 等价于，又， 所以等价于， 令，则等价于， 即， 即等价于， 所以等价于， 令，求导得 ， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以整数的最小值为1. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $