2027年高考数学一轮复习检测卷（上海卷01）

**基本信息** 2027年上海高考数学一轮复习检测卷，以新零售销售额回归分析、“攀登函数”新定义等情境设计，融合数据处理与创新思维，适配基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合、等比数列、三角函数等|基础题如集合运算，中档题如椭圆离心率计算| |选择题|4题/18分|复数、概率、立体几何等|第14题考相互独立事件概率，第16题正方体动点轨迹问题| |解答题|5题/78分|线性回归、导数、双曲线、新定义函数|第17题结合新零售数据考回归分析，第21题引入“攀登函数”新定义|

2027年高考一轮复习检测卷（上海专用） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 0或 2.40 3. 4. 5. 6. 7. 4 8 . 9. 2020 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A C A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．【改编】（14分） 【详解】（1）由表中的数据和参考数据得 ， ，∴ y与x的相关系数近似为0.999，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系……（5分） （2）由（1）得， ， y关于x的回归方程 将2027年对应的 代入回归方程得 故预测2027年我国百货零售业的销售额为377.5亿元． ……（10分） （3）从这5个数据中任取2个数据，结果有: ，共10个． 所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有: ，共3个， 所以所求概率为．……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）在 中, , 由余弦定理得, ，即， 所以有 ，， 在 中，. 由正弦定理得， ,即 ，解得，又，， 所以有 , 于是有 . 连结，则三角形为正三角形, 所以 , 又, 所以, 又因 底面 平面,所以 ，是平面内两相交直线, 所以有 面, 又 平面, 所以 .……（8分） （2）由(1)知, 又 底面 平面， 所以 , 又是平面内两相交直线, 所以 平面， 平面，所以 ， 所以 即为二面角 的平面角, 因二面角 大为 , 所以 , 由 , 又 底面 平面， 所以 知 , 所以 , 图2 因 , 所以 , 又因为中点, 所以, 由 , 设 到平面的距离为, 则 , 解得 , 也就是到平面的距离为 ， 又 , 所以三棱锥 的体积 .……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为：，即.……（7分） （2）恒成立，即在上恒成立， 设，， 令，得， 在上，， 所以函数在上单调递减， 所以，， 故有.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）设，则， 易知双曲线的一条渐近线的方程为， ， 将的方程中得，解得， ∴双曲线的方程为.……（6分） （2）由（1）得，显然直线的斜率存在且不为0， 设，直线的方程为， ， ，即， 联立，得， 则， ， 则， 消去整理得，即， ∴直线的方程为.……（12分） （3）不妨设，由（2）知， 则， 点到直线的距离， .……（18分） 21．【新考向】（18分） 【详解】（1）解方程：，即，得实根，取， 计算，令，得极值点. 在区间内，，即存在使得， 因此是攀登函数.……（4分） （2）（i）解方程，即，实根为(，因，故). 求导可得，令，解得或， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以函数的大致图象如图， 根据攀登函数定义，需存在使得或. 取，区间为， 结合图象可知，因为对恒成立，所以对任意，， 故需存在，使得，则即可， 又，则有，即， 设函数， 则，所以在上单调递增， 又，所以时，成立. 综上，的取值范围是.……（10分） （ii）当时，，解方程得根. 由， 若时，只有两个根，与方程至少有三个根矛盾，不合题意， 所以，因为,所以， 若，可得只有两个根， 因为且, 即存在,使得 故的最大值为.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（上海专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，且，则实数a的值为____________. 2．已知等比数列满足，则__________. 3．已知，则___________． 4．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 5．已知函数是偶函数，则实数=________. 6．的展开式中的系数是______．（用数字作答） 7．设、．已知，则的最大值为_____． 8．已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 9．等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有______个. 10．已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 11．已知函数（，），且，，是的导函数，则的最大值为______． 12．在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_____. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 14．甲、乙两人在某大学都选修了一门AI课程，学习结束后有一次课程考试，甲、乙通过这次考试的概率分别为0.75，0.8，两人是否通过考试相互独立，则这两人至少有一人通过这次考试的概率为（   ） A．0.6 B．0.88 C．0.95 D．0.96 15．若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的周长是（    ）    A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．【改编】（14分）前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为2023~2026年百货零售业的销售额（单位:亿元，数据经过处理，1~4分别对应2023~2026年） 年份代码 1 2 3 4 销售额 95 165 230 310 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明; （2）建立关于的回归方程，并预测2027年我国百货零售业的销售额; （3）从2023~2026年这4年的百货零售业销售额及2027年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率． 参考数据: ， 参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 18．（14分）如图，四棱锥中，底面，，，，，是上一点，且，是中点． (1)求证：； (2)若二面角大小为，求棱锥的体积． 19．（14分）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求的取值范围. 20．（18分）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 21．【新考向】（18分）对于函数，为的实数根，其中，若存在  ，使得或者，则称为“攀登函数”. (1)分析函数是否为“攀登函数”； (2)函数为“攀登函数”， （i）求的取值范围； （ii）当时，设函数，其中，表示中的较大者，分析是否存在，使得为“攀登函数”，若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由. 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（上海专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，且，则实数a的值为____________. 【答案】0或 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 2．已知等比数列满足，则__________. 【答案】40 【详解】设等比数列的公比为， 由题意得，即，解得. 故（或） 故答案为：40 3．已知，则___________． 【答案】 【详解】. 故答案为： 4．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 【答案】 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 5．已知函数是偶函数，则实数=________. 【答案】 【详解】由于为偶函数， 所以，即， 解得：，经验证符合题意， 故答案为： 6．的展开式中的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 的展开式中的系数是． 故答案为：－8． 7．设、．已知，则的最大值为_____． 【答案】4 【详解】因为、，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 8．已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 【答案】 【详解】因为，可得，解得. 故答案为：. 9．等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有______个. 【答案】2020 【详解】依题意，，解得， 因此，， 由于二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，， 所以不同的数值有2020个. 故答案为：2020 10．已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________． 【答案】 【详解】由题设，且，又，， 所以，可得，则. 故答案为： 11．已知函数（，），且，，是的导函数，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由，得， 又，所以，则， 由，得， 所以，或，， 所以，或，， 因为，所以，所以． 则，则， 其中，当且仅当时取等号， 故的最大值为， 故答案为：. 12．在中，，，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率_____. 【答案】 【详解】在中，由余弦定理得， 则，即， 由于椭圆以A，B为焦点，则，即， 又椭圆经过点C，所以，则，即， 所以该椭圆的离心率. 故答案为：.    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，取，则，，此时，C错； 对于D选项，，D错. 故选：A. 14．甲、乙两人在某大学都选修了一门AI课程，学习结束后有一次课程考试，甲、乙通过这次考试的概率分别为0.75，0.8，两人是否通过考试相互独立，则这两人至少有一人通过这次考试的概率为（   ） A．0.6 B．0.88 C．0.95 D．0.96 【答案】C 【详解】由题意两人都没通过的概率为， 所以这两人至少有一人通过这次考试的概率为， 故选：C 15．若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接、、、、、、，如下图所示：    因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面， 平面，，同理可得， ，平面，同理可证平面， 设过点且垂直于的平面为平面，则与平面、平面都平行， 平面，平面平面，平面平面， ，为的中点，则为的中点， 同理可知，平面分别与棱、、、交于中点， 易知六边形为正六边形，且其边长为， 因此，满足条件的所有点构成的平面图形的周长是. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．【改编】（14分）前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为2023~2026年百货零售业的销售额（单位:亿元，数据经过处理，1~4分别对应2023~2026年） 年份代码 1 2 3 4 销售额 95 165 230 310 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明; （2）建立关于的回归方程，并预测2027年我国百货零售业的销售额; （3）从2023~2026年这4年的百货零售业销售额及2027年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率． 参考数据: ， 参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【详解】（1）由表中的数据和参考数据得 ， ，∴ y与x的相关系数近似为0.999，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系……（5分） （2）由（1）得， ， y关于x的回归方程 将2027年对应的 代入回归方程得 故预测2027年我国百货零售业的销售额为377.5亿元． ……（10分） （3）从这5个数据中任取2个数据，结果有: ，共10个． 所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有: ，共3个， 所以所求概率为．……（14分） 18．（14分）如图，四棱锥中，底面，，，，，是上一点，且，是中点． (1)求证：； (2)若二面角大小为，求棱锥的体积． 【详解】（1）在 中, , 由余弦定理得, ，即， 所以有 ，， 在 中，. 由正弦定理得， ,即 ，解得，又，， 所以有 , 于是有 . 连结，则三角形为正三角形, 所以 , 又, 所以, 又因 底面 平面,所以 ，是平面内两相交直线, 所以有 面, 又 平面, 所以 .……（8分） （2）由(1)知, 又 底面 平面， 所以 , 又是平面内两相交直线, 所以 平面， 平面，所以 ， 所以 即为二面角 的平面角, 因二面角 大为 , 所以 , 由 , 又 底面 平面， 所以 知 , 所以 , 图2 因 , 所以 , 又因为中点, 所以, 由 , 设 到平面的距离为, 则 , 解得 , 也就是到平面的距离为 ， 又 , 所以三棱锥 的体积 .……（14分） 19．（14分）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为：，即.……（7分） （2）恒成立，即在上恒成立， 设，， 令，得， 在上，， 所以函数在上单调递减， 所以，， 故有.……（14分） 20．（18分）已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的面积. 【详解】（1）设，则， 易知双曲线的一条渐近线的方程为， ， 将的方程中得，解得， ∴双曲线的方程为.……（6分） （2）由（1）得，显然直线的斜率存在且不为0， 设，直线的方程为， ， ，即， 联立，得， 则， ， 则， 消去整理得，即， ∴直线的方程为.……（12分） （3）不妨设，由（2）知， 则， 点到直线的距离， .……（18分） 21．【新考向】（18分）对于函数，为的实数根，其中，若存在  ，使得或者，则称为“攀登函数”. (1)分析函数是否为“攀登函数”； (2)函数为“攀登函数”， （i）求的取值范围； （ii）当时，设函数，其中，表示中的较大者，分析是否存在，使得为“攀登函数”，若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）解方程：，即，得实根，取， 计算，令，得极值点. 在区间内，，即存在使得， 因此是攀登函数.……（4分） （2）（i）解方程，即，实根为(，因，故). 求导可得，令，解得或， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以函数的大致图象如图， 根据攀登函数定义，需存在使得或. 取，区间为， 结合图象可知，因为对恒成立，所以对任意，， 故需存在，使得，则即可， 又，则有，即， 设函数， 则，所以在上单调递增， 又，所以时，成立. 综上，的取值范围是.……（10分） （ii）当时，，解方程得根. 由， 若时，只有两个根，与方程至少有三个根矛盾，不合题意， 所以，因为,所以， 若，可得只有两个根， 因为且, 即存在,使得 故的最大值为.……（18分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $