重难点专训01 函数奇偶性、周期性综合应用四大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“六步解题法”为核心，系统整合函数奇偶性、周期性的判定、转化及应用，构建从概念到压轴题的完整突破体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|6步流程|定义域判定→条件翻译→周期推导→自变量化简→数形辅助→规范书写|从性质定义到综合应用，形成“概念-转化-应用”逻辑链| |4类题型|43题（填空/选择/解答）|函数值求解：周期压缩+奇偶转正；性质判断：奇偶周期联动；不等式：单调性转化；零点参数：数形结合|按“基础-高频-中档-压轴”分层，题型与方法一一对应| |分层过关练|23题（巩固+创新）|巩固题夯实通法，创新题拓展思维|从知识掌握到能力提升，契合一轮复习螺旋上升需求|

重难点专训01 函数奇偶性、周期性综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 函数值求解（填空基础必考） 2 题型2 函数性质判断（选择高频） 3 题型3 函数不等式综合（中档大题核心） 6 题型4 零点与参数范围（压轴难点） 9 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 步骤1：定义域优先判定 先验证定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶，终止奇偶性分析。 步骤2：条件翻译等式化 将题干文字条件全部转化为数学等式： 奇偶性：f(-x)=f(x)（偶）、f(-x)=-f(x)（奇） 对称轴：f(a+x)=f(a-x) 对称中心：f(a+x)=-f(a-x) 周期条件：f(x+T)=f(x) 步骤3：迭代变形求周期 通过替换自变量（x→x+a、x→x-a），消去正负变量，推导得出 f(x+T)=f(x)，确定函数周期。 步骤4：自变量区间化简（核心得分步骤） 利用周期性将大自变量、远距离自变量压缩到已知解析式区间；利用奇偶性将负自变量转正，统一自变量范围。 步骤5：数形辅助验证（选填提速） 根据奇偶性定图像对称、周期性定区间重复，快速绘制简易图像，排除错误选项、判断零点和单调性。 步骤6：规范书写结论（大题专用） 证明奇偶性需完整化简 f(-x)；证明周期需推导恒等式，并按需说明最小正周期，收尾明确结论。 题型通法及变式提升 题型1 函数值求解（填空基础必考） 题型特征：已知奇偶性、对称性、局部区间解析式，求超大自变量、负自变量函数值。 高分解题流程： 1.先判对称、推周期，确定最小正周期 T； 2.超大自变量对 T 取余，f(n)=f(n-kT)，压缩到已知区间； 3.负自变量用奇偶性转正，偶函数优先用 f(x)=f(|x|)； 4.代入已知区间解析式计算结果。 1．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 2．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 3．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 4．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 5．（2026·上海·模拟预测）已知向量、满足，，且.若函数，则的最小值为__________；若为偶函数，则__________. 6．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 7．（2025·上海闵行·一模）若（，），且，则_______. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 9．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 10．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 11．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 12．（2026·上海·一模）已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 13．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 14．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 题型2 函数性质判断（选择高频） 考查方向：判断奇偶性、周期、对称轴、单调性、零点个数、最值。 秒杀技巧： 奇偶+对称快速定周期，直接套用前文6组结论，无需推导； 奇函数必过 (0,0)，无定义域除外；周期函数零点呈周期性重复； 奇偶区间单调性：奇函数对称区间单调性相同，偶函数对称区间单调性相反；周期区间单调性完全重复。 1．（2025·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．（2024·上海青浦·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 4．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 5．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 7．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 8．（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（    ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 9．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 10．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 12．（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（     ）． A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 题型3 函数不等式综合（中档大题核心） 题型特征：已知 f(x) 奇偶性、周期性、单调性，解 f(m)<f(n) 型不等式。 通用解题模板： 1.偶函数统一处理：全部转化为 f(|m|)<f(|n|)，消去负号，杜绝分类讨论； 2.利用周期将自变量化简到同一个单调区间； 3.根据单调性去掉 f，转化为代数不等式求解； 4.结合周期拓展，写出完整解集。 1．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 2．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 4．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 5．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 6．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 7．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 9．（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 10．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 11．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 题型4 零点与参数范围（压轴难点） 核心结论： 奇函数+周期 T：x=0 有定义时，一个周期内至少1个零点； 奇函数+对称轴（T=4a）：一个完整周期内存在4个零点； 函数零点具有周期性：若 是函数 的零点（即 ），则对任意整数 ， 均为 的零点。 参数范围技巧：依托奇偶、周期绘制多周期函数图像，数形结合分析图像交点、不等式边界，快速锁定参数范围。 1．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 2．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 3．（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 4．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 5．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 6．（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 重难专题分层过关练 巩固过关 一、单选题 1．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 4．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 6．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 7．（2024·上海松江·二模）已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________. 8．（2025·上海闵行·一模）当且仅当时，函数有意义，则实数a的取值集合是_____. 9．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 三、解答题 10．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 11．（2024·上海闵行·一模）已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 12．（2025·上海虹口·一模）已知，，设. (1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围. 13．（2023·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 创新提升 一、单选题 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）周末，小赵同学临时起意想去电影院看电影，当他打开订票软件时，只剩下第1至12排最左边的12个座位，电影院的俯视图如图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小赵想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择第（     ）排的座位？ A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024·上海普陀·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 3．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 4．（2023·上海闵行·三模）数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，．记的前项和为，若对任意都成立，则的最大值是__________． 5．（2024·上海奉贤·三模）1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 三、解答题 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． (1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 7．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． (1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； (2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； (3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 8．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 函数奇偶性、周期性综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 函数值求解（填空基础必考） 2 题型2 函数性质判断（选择高频） 8 题型3 函数不等式综合（中档大题核心） 17 题型4 零点与参数范围（压轴难点） 24 重难专题分层过关练 34 巩固过关 34 创新提升 42 解题方法及技巧提炼 步骤1：定义域优先判定 先验证定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶，终止奇偶性分析。 步骤2：条件翻译等式化 将题干文字条件全部转化为数学等式： 奇偶性：f(-x)=f(x)（偶）、f(-x)=-f(x)（奇） 对称轴：f(a+x)=f(a-x) 对称中心：f(a+x)=-f(a-x) 周期条件：f(x+T)=f(x) 步骤3：迭代变形求周期 通过替换自变量（x→x+a、x→x-a），消去正负变量，推导得出 f(x+T)=f(x)，确定函数周期。 步骤4：自变量区间化简（核心得分步骤） 利用周期性将大自变量、远距离自变量压缩到已知解析式区间；利用奇偶性将负自变量转正，统一自变量范围。 步骤5：数形辅助验证（选填提速） 根据奇偶性定图像对称、周期性定区间重复，快速绘制简易图像，排除错误选项、判断零点和单调性。 步骤6：规范书写结论（大题专用） 证明奇偶性需完整化简 f(-x)；证明周期需推导恒等式，并按需说明最小正周期，收尾明确结论。 题型通法及变式提升 题型1 函数值求解（填空基础必考） 题型特征：已知奇偶性、对称性、局部区间解析式，求超大自变量、负自变量函数值。 高分解题流程： 1.先判对称、推周期，确定最小正周期 T； 2.超大自变量对 T 取余，f(n)=f(n-kT)，压缩到已知区间； 3.负自变量用奇偶性转正，偶函数优先用 f(x)=f(|x|)； 4.代入已知区间解析式计算结果。 1．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 2．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 3．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 4．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 5．（2026·上海·模拟预测）已知向量、满足，，且.若函数，则的最小值为__________；若为偶函数，则__________. 【答案】 【详解】 ， 所以， ， 因为为偶函数，而的定义域为， 所以， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：；. 6．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 7．（2025·上海闵行·一模）若（，），且，则_______. 【答案】5 【详解】函数的定义域为， 由题意得，， 则， 因为，故， 因为，则. 故答案为： 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【答案】150 【详解】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1， 当以 1，1，3 分组时，组数为，当2，2，1分组时，组数为， 所以可以组成的函数个数为. 9．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，分、和三种情况分别求解即可. 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 10．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 11．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 12．（2026·上海·一模）已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 【答案】2026 【详解】定义域为R的函数满足恒成立， 则有， 又恒成立，则有， 且，所以有， 函数的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点， 则有，所以. 13．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 14．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 题型2 函数性质判断（选择高频） 考查方向：判断奇偶性、周期、对称轴、单调性、零点个数、最值。 秒杀技巧： 奇偶+对称快速定周期，直接套用前文6组结论，无需推导； 奇函数必过 (0,0)，无定义域除外；周期函数零点呈周期性重复； 奇偶区间单调性：奇函数对称区间单调性相同，偶函数对称区间单调性相反；周期区间单调性完全重复。 1．（2025·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 2．（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 3．（2024·上海青浦·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 【答案】D 【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，故，即0是函数的一个零点； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，且， 即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点， 又函数是定义在R上的奇函数， 故函数在和也内各有一个零点， 综合上述可知函数有5 个零点，都不在上 故选：D 4．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 5．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【答案】D 【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立， 则，整理得， 则有且恒成立，由，则由可得， 此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误； 对B：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数， 但，不满足在上严格递增，故B错误； 对C：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则， 当时，， 即对任意整数，都有， 当时， ， 故当时，， 故满足在处取得最小值，但，故C错误； 对D：由题意可得， ， 因为为非常值函数，所以存在使得， 由恒成立，可得和对任意正整数成立， 若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立， 故必有，即或， 若，则，则为周期函数，且周期为； 若，则， 故， 则为周期函数，且周期为； 综上可得为周期函数，故D正确. 7．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 8．（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（    ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【详解】为“级导同函数”，即， 若，则，满足， 若，则，，可得(其中是常数)， 所以（其中为常数），， 所以或. 命题①，充分性：为偶函数， 若，则，既不是奇函数，也不是偶函数， 所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足； 必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足. 所以命题①正确； 命题②，若经过一二象限，则， 由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；所以命题②错误. 9．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【详解】对于①，取，，则， 因为和的正周期分别为和， 而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误； 对于②，若，其中，， 可得； 若，其中，即， 整理得，令， 则，则，其中，下证恒成立. 假设存在，，考虑 ， 因为，所以当足够大时，有， 这与矛盾， 所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确， 综上，①是假命题，②是真命题． 10．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 11．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 12．（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（     ）． A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为， 若，则对任意，均有，充分性成立； 若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以，必要性成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件，故A错误. 对于B，若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以充分性成立； 若具有最小值，设，则，，使得， 即，所以函数具有“性质”，必要性成立， 则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的充分必要条件，故B错误. 对于C，函数具有“性质”，则，，使得， 所以，且， 由不等式的性质可知，即，必要性成立； 若，取，而， 所以，所以函数不具有“性质”，充分性不成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的必要非充分条件，故C错误. 对于D，（方法一）若函数具有“性质”，则，，使得， 推不出，所以充分性不成立； 若函数具有“性质”，则，，使得，则， 若不在的值域内，则不存在，使得，所以必要性不成立. （方法二）充分性：举反例，取常函数， 令，则， 所以，，使得，函数具有“性质”， ，所以函数不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，充分性不成立； 必要性：举反例，取一个值域为的函数，令，则， 取，则，，使得，函数具有“性质”， 假设存在，使得，则，与值域矛盾， 所以假设不成立，所以不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，必要性不成立. 综上，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件，故D正确. 题型3 函数不等式综合（中档大题核心） 题型特征：已知 f(x) 奇偶性、周期性、单调性，解 f(m)<f(n) 型不等式。 通用解题模板： 1.偶函数统一处理：全部转化为 f(|m|)<f(|n|)，消去负号，杜绝分类讨论； 2.利用周期将自变量化简到同一个单调区间； 3.根据单调性去掉 f，转化为代数不等式求解； 4.结合周期拓展，写出完整解集。 1．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 2．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 3．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 4．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 【详解】（1）由已知，函数的定义域为 函数是偶函数，对任意的，都有， ， ， ，，， 是上的严格增函数，， ，； （2）  又是上的严格增函数，， ，当且仅当时等号成立，的最小值为2， ，对任意的正实数和实数，恒成立. 5．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 6．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. (2)当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 7．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 8．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【详解】（1）是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 9．（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 10．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 11．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 题型4 零点与参数范围（压轴难点） 核心结论： 奇函数+周期 T：x=0 有定义时，一个周期内至少1个零点； 奇函数+对称轴（T=4a）：一个完整周期内存在4个零点； 函数零点具有周期性：若 是函数 的零点（即 ），则对任意整数 ， 均为 的零点。 参数范围技巧：依托奇偶、周期绘制多周期函数图像，数形结合分析图像交点、不等式边界，快速锁定参数范围。 1．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合． (1)若，求集合； (2)若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围； (3)若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 【详解】（1）因为，所以， 由，得，解得，所以． （2）存在实数k，m使得集合，则的解集为， 即的解集为， 所以方程有重根及． 因此恒成立，故有， 则是二次方程的两个不相等的实数解， 所以，所以实数b的取值范围是． (3)证明：记，则，在上严格递减， ①若直线l是曲线在点处的切线， 则有，所以． 故时，，所以函数在上严格递减，； 时，，所以函数在上严格递增，； 所以的解集为，集合是单元素集合； ②若集合是单元素集合，故时，， 而函数的图象是一条连续曲线，所以． 则在的附近其他自变量对应的函数值都小于， 故函数在处取得极大值，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，直线l是曲线在点处的切线． 综上，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件． 2．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 【详解】】(1)次，理由如下： 当且仅当和时取等号，内成立且仅在两零点处等号成立 所以缠绕次数为次； （2）设， 因为在上“3次自倒缠绕函数”， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时取等号，所以是的三个变化零点. 注意到，所以是的一个零点.， ①当时，， 在上严格增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上严格递减，1是的唯一零点， 不合题意， ③当时，令， 由韦达定理可知，有两正根，且， 所以存在两正根，且， 当时，严格减; 当时，严格增， 当时，严格减， 所以， 因为， 设，因为， 所以在(0，1)上严格减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 所以恒成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （3）取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时取等号. 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且是在上“次缠绕函数”. 3．（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【详解】（1）当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. (3)证明：必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 4．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【详解】（1）， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. （2）,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . （3）任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 5．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 【详解】（1）假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得， 取，则，矛盾． 故不存在这样的函数． （2）因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，或，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为， 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为， 故的最小值为． （3）由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得； 若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得，因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 6．（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【详解】(1)由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． (3)由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 重难专题分层过关练 巩固过关 一、单选题 1．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 2．（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为函数的两个零点，故有， 即恒成立， 故，，则，， 由a，b，c为某三角形的三边长，且， 故，且，则， 因为必然成立， 所以，即，解得， 所以， 故的取值范围是：. 故选：B. 3．（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 4．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 5．（2025·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 6．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 7．（2024·上海松江·二模）已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题意，令，，，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，且值域为， ，此时分段函数存在最小值2，符合题意； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，即， 解得，这与矛盾，故不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025·上海闵行·一模）当且仅当时，函数有意义，则实数a的取值集合是_____. 【答案】 【详解】由题意可知，的解集为， 当时，有，则，，不符合题意； 当时，在上单调递减，则，得. 则实数a的取值集合是. 故答案为： 9．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 三、解答题 10．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 11．（2024·上海闵行·一模）已知 (1)若，求函数的值域； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，函数， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数的值域是. （2）当时，，由，得， 则，整理得， 而，，因此， 所以实数的取值范围. 12．（2025·上海虹口·一模）已知，，设. (1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围. 【详解】(1)函数是非奇非偶函数，理由如下 当，时，，由， 所以既不关于 轴对称，也不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （2）当且函数的最小正周期为时，，， 由在 中，，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，所以， ， 由于，，，所以， 即的取值范围是. 13．（2023·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 【详解】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，    设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上， 则，解得，， 所以曲线段所在的抛物线方程为. （2）因为点在曲线段上，，，所以， ∴，. （3）∵，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，函数单调递增，时，函数单调递减， 因此，当时，是极大值也是最大值， 即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 创新提升 一、单选题 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）周末，小赵同学临时起意想去电影院看电影，当他打开订票软件时，只剩下第1至12排最左边的12个座位，电影院的俯视图如图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小赵想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择第（     ）排的座位？ A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角． 2．（2024·上海普陀·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】B 【详解】因为为“函数”， 所以函数的图象与的图象至多只能有一个交点， 所以方程组至多只有一个交点， 所以对于任意的至多只有一个解， 当时，函数的图象与的图象至多只有一个交点，满足条件， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 作函数的图象如下： 当时，与有两个交点，不满足要求， 当时，因为函数，都在，上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 其图象如下， 所以对于任意的，直线与函数的图象都有两个交点， 所以不满足要求， 故，命题①正确. 因为函数为“函数”， 所以对任意的关于的方程至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 所以函数的图象至多只有一个交点， 所以函数是增函数或减函数， 又， 所以或， 由，可得， 当时，， 由，可得， 当时，， 当时，，当时，， 函数的定义域为， 函数的导函数， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，当时，， 当且时，， 当且时，， 当时，， 当时，， 其图象大致如下， 所以，即， 所以满足条件的整数的值有，有且只有三个. 所以满足条件的整数的值有三个，②错误； 故选：B. 3．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 满足和是有限集， 从而和是-互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 二、填空题 4．（2023·上海闵行·三模）数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，．记的前项和为，若对任意都成立，则的最大值是__________． 【答案】21 【详解】根据条件可知，数列具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0．下面对讨论： 当为偶数（数列各个数非零）， ， 解得； 当为奇数（数列中）， ， 解得， 故最大值为21， 故答案为：21． 5．（2024·上海奉贤·三模）1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 【答案】 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案为：. 三、解答题 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． (1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 【详解】（1）若，则， 因为在上严格增，则在上严格增， 函数不存在极值点，此时函数不是“极值差比函数” 所以， 根据正弦函数的性质可知，存在极大值，， 极小值，，则， 因此是“极值差比函数”. （2）的定义域为，求导可得， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），求导可得， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为. （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，则极值差比系数可化为， ， 因为，解得， 令（），求导可得， 设（）， 求导可得， 所以在上单调递减， 因此当时，， 从而，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 7．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． (1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； (2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； (3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 【详解】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为， 可得，解得或(舍).   故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”. （2）解：设为该函数的“均值点”，则， 且， 即关于的方程在区间上有解， 整理得， ①当时，，方程无解. ②当时，可得. 令，则，且， 可得， 又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数， 在上是严格减函数，在上严格增函数， 所以当时，可得，当，可得， 所以. 即实数的取值范围是. （3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”， 可得，即， 解得，所以， 则， 当时，，即在上单调递减， 所以()， 则， 又因为， 从而，， 所以，可得.， 由，即，可得， 故使得的最小整数的值为. 8．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【详解】(1)证明如下： 记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. (2)证明如下： 设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. (3)证明如下： 因为， 所以 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $