第三章 圆 单元测试 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学第三章圆单元测试卷，100分钟120分，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|弦长、点与圆位置关系、圆周角定理|基础概念辨析，如第1题弦长范围考查圆的基本性质| |填空题|8/24|三角形外接圆半径、弧长计算、外切四边形周长|结合几何直观，如第11题矩形与圆性质比较| |解答题|11/72|四点共圆、切线证明、圆锥模型设计|综合应用与创新，如27题圆锥制作方案探究，体现应用意识与空间观念|

第三章 圆 单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：由题意知，该圆的直径为8， 因为圆中最长的弦为直径， 所以AB≤8． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 2．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 3．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 4．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 5．如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， 是的直径， ， , , ． 6．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 7．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 8．已知，是的直径，弦，，则弧的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴弧的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴弧的度数是； 综上可知：弧的度数是或， 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 10．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴的长为． 11．如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF＝b，NH＝c，则b与c之间的大小关系是b　 　 c（填＜、＝、＞） 【答案】＝ 【解答】解：连OM，OD． ∵四边形OEDF是矩形． ∴b＝EF＝OD 同理c＝OM ∵OM＝OD ∴b＝c 故答案为：＝． 12．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 【答案】/100度 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 14．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 15．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 16．如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、，取、的中点、，连接、、． 是直径， ， ，， ，同理， ，， ， ， 点的轨迹是半圆 ，，， ，， 点运动的路径长是 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析. 【详解】解：如图， 连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD， ∵点E是AB的中点， ∴OE＝AB， 同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD， ∴OE＝OF＝OG＝OH， ∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上． 18．（4分）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 19．（5分）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 20．（5分）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】(1)且，证明见解析；(2)见解析 【详解】（1）解：且． 证明：、分别是、的中点， ，， ， 又，， ， ，， 在直角中，， ， ， ； （2）连接． ，，， ， ， 在直角中，， ， ， ，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD＝7，BE＝2，求半圆的直径及菱形ABFC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）直径为8，面积为． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 又∵EF＝AE， ∴四边形ABFC为平行四边形， ∵AB＝AC， ∴四边形ABFC为菱形； （2）解：连接BD，则∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， 设CD＝x，则：AB＝AC＝AD+CD＝7+x， 由（1）可知：BC＝2BE＝4， 由勾股定理，得：BD2＝BC2﹣CD2＝AB2﹣AD2， 即42﹣x2＝（7+x）2﹣72， 解得x＝1或x＝﹣8（舍去）； ∴AB＝7+1＝8， 在Rt△AEB中，， ∴， ∴菱形ABFC的面积为 ∴直径为8，面积为． 22．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF， （1）求证：OD＝OP； （2）求证：FE是⊙O的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）在∴△OPE和△ODB中 ， ∴△OPE≌△ODB（AAS）， ∴OD＝OP； （2）如图：连接EA，EB， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∠AEO+∠OEB＝90°． ∵∠3＝∠DEB ∴∠2＝∠AEO． ∵∠C＝∠BDE＝90° ∴CF∥OE， ∴∠ODP＝∠AFP，∠1＝∠AEO， ∴∠1＝∠2． ∵OD＝OP， ∴∠ODP＝∠OPD． ∵∠OPD＝∠APF， ∴∠AFP＝∠APF ∴AF＝AP． 在△APE和△AFE 中， ∴△APE≌△AFE （SAS）， ∴∠AFE＝∠APE＝90° ∴∠FED＝90° 又∵FE经过半径的外端， ∴FE是⊙O的切线． 23．（6分）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】见解析 （1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 24．（7分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC． （1）求⊙O半径的长； （2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2；（2）AB+BC＝BM，理由见解答过程． 【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1， ∵∠ABC＝120°， ∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠AMC＝120°， ∴∠AOH∠AOC＝60°， ∵AC＝2， ∴AHAC， ∴OA2， 故⊙O的半径为2； （2）AB+BC＝BM，理由如下： 在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2， ∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM＝60°， ∵BE＝BC， ∴△EBC是等边三角形， ∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°， ∴∠BCD+∠DCE＝60°， ∵∠ACM＝60°， ∴∠ECM+∠DCE＝60°， ∴∠ECM＝∠BCD， ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴AC＝CM， ∴△ACB≌△MCE（SAS）， ∴AB＝ME， ∵ME+EB＝BM， ∴AB+BC＝BM． 25．（8分）如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE＝EB，连接FP． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝∠C＝60°． 又∵EF∥AC， ∴∠BFE＝∠A＝60°，∠BEF＝∠C＝60°， ∴△BFE是等边三角形，PE＝EB， ∴EF＝BE＝PE＝BF； （2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形； ∵E是BC的中点， ∴EC＝BE， ∵PE＝BE， ∴PE＝EC， ∵∠C＝60°， ∴△PEC是等边三角形， ∴PC＝EC＝PE， ∵EF＝BE， ∴EF＝PC， 又∵EF∥CP， ∴四边形EFPC是平行四边形， ∵EC＝PC＝EF， ∴平行四边形EFPC是菱形； （3）如图所示： 当点E是BC的中点时，EC＝1，则NE＝ECcos30°， 当0＜r时，有两个交点； 当r时，有四个交点； 当r＜1时，有六个交点； 当r＝1时，有三个交点； 当r＞1时，有0个交点． 26．（9分）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 s时，四边形PBQE为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）①t＝2s；②t＝0s或4s 【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F， ∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动， ∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t， 在△ABP和△DEQ中， ， ∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB， ∴四边形PEQB是平行四边形． （2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBQE是菱形时，此时t＝2s． ②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°， ∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°， ∴此时四边形PBQE是矩形． 当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形． 综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形． 故答案为2s，0s或4s． 27．（13分）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 【答案】（1）理由如下：（2）方案二可行，圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm． 【详解】解：（1）∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm． 由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，， ∴方案一不可行． （2）方案二可行．求解过程如下： 设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则 ， ①． ② 由①②，可得，． 故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 3．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 5．如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 8．已知，是的直径，弦，，则弧的度数是（   ） A． B． C． D．或 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 10．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 11．如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF＝b，NH＝c，则b与c之间的大小关系是b　 　 c（填＜、＝、＞） 12．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 13．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 14．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 15．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 16．如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_________． 三、解答题（本大题共11小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由． 18．（4分）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（5分）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 20．（5分）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC． （1）求证：四边形ABFC是菱形； （2）若AD＝7，BE＝2，求半圆的直径及菱形ABFC的面积． 22．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF， （1）求证：OD＝OP； （2）求证：FE是⊙O的切线． 23．（6分）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 24．（7分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC． （1）求⊙O半径的长； （2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论． 25．（8分）如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE＝EB，连接FP． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围． 26．（9分）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 s时，四边形PBQE为矩形． 27．（13分）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $