1.1 集合的含义与表示同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“集合的含义与表示”同步练，以★、★★、★★★分层，覆盖概念辨析到综合应用，通过实例与问题情境培养数学抽象与逻辑推理。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（★）|集合元素特征、常用数集等基础概念|以“帅哥能否构成集合”考确定性，用重复数字考互异性，强化数学抽象| |中档（★★）|元素与集合关系、表示方法应用|结合方程解集、函数定义域考描述法，通过点集判断象限体现数学语言表达| |提升（★★★）|含参数集合综合问题|通过参数讨论集合空集、元素个数，培养逻辑推理与分类讨论能力|

集合的含义与表示 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？ 答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？) 常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. Eg：奇数集属于无限集，. 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg： ———方程的解，即；  ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函数的值域，即；  ———函数的图像，它是个点集. 【典题1】下列说法正确的是 ( )  某个村子里的高个子组成一个集合；  所有小的正数组成的集合；  集合和表示同一个集合；  这些数组成的集合有五个元素.  【解析】由于高个子、小的没有一个明确的标准，的对象不具备确定性； 中的三个数相等，相等，故集合只有个元素； 集合具有无序性，所以是正确的；故选. 【点拨】本题考核集合元素的三要素. 【典题2】设集合，若则 . 【解析】 或， 若则此时； 若则或 时，； 时则不符合集合的互异性，故. 综上 或． 【点拨】 本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系； 当时此时不符合集合的互异性，故. 故求出集合后最好做下检查. 【典题3】用列举法表示集合　 　. 【解析】根据，且可得： 时，；时，；时，； 时，； 时，； 时，； ． 【点拨】 ① 看集合先确定元素类型(本题中元素是，而不是)，再看元素需要满足的条件； ② 集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合. 【典题4】 若集合至多有一个元素，则的取值范围是　　． 【解析】集合至多有一个元素， 或解得或 的取值范围是． 【点拨】注意二次项系数是否等于，先确认函数类型. 巩固练习 1 (★) 下列各组对象能构成集合的是(　　) A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 【答案】 B 【解析】 选项不满足集合的确定性；集合正方形是确定的， 故能构成集合；选项不满足集合的互异性． 故选：． 2(★) 以实数为元素所组成的集合最多含有(　　)个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】当时此时集合共有2个元素； 当时此时集合共有1个元素； 当时此时集合共有2个元素， 故由以实数为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个． 故选：． 3(★) 下面有四个命题： (1)集合中最小的数是； (2)是自然数； (3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于. . 其中正确的命题的个数是 ( ) A．１个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】 (1)集合中最小的数是0，(2)对，(3)不大于的自然数组成的集合是，(4)因为，所以可能小于，因此只有(2)是对的，故选A. (★★) 设集合，，，若，则 (　　)  【答案】 5(★★) 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则xyz也为负数，则， ②、中有一个为负数时，则xyz为负数，则， ③、中有两个为负数时，则xyz为正数，则， ④、全部为正数时，则也正数，则； 则； 分析选项可得符合． 6(★★) 点的集合是指(　　) A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第一、第三象限内的点集 D．不在第二、第四象限内的点集 【答案】 【解析】 指和同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选 7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成则　 　． 【答案】 【解析】根据题意，由可得或， 又由的意义，则必有0 则， 则有即或 集合中则必有 则 故答案为： (★★) 若集合中只有一个元素，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】由集合中只有一个元素， 当时即成立； 当时解得．成立． 综上或． (★★) 用列举法表示集合　 ． 【答案】 ． 【解析】根据题意，， 又因，，且是的整数倍， 或或，或或， 集合． 故答案为：． 10 (★★) 集合的元素个数为 【答案】 【解析】由题意，集合中的元素满足是整数，且是整数， 由此可得，，，，，，，，，，，； 此时的值分别为：， 符合条件的共有个， 11 (★★) 用列举法表示下列集合 (1)以内偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 【解析】(1)； (2)解方程，得， 故方程的所有实数根组成的集合为； (3)解方程组得， 因此一次函数与的图象的交点为，故所求的集合为． 12 (★★★) 已知集合 1)若是空集，求的取值范围； 2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； 3)若中至多只有一个元素，求的取值范围 【答案】 1) ; 2) 若，则有；若 ，则有；3) 或. 【解析】 1)若是空集，则方程无解，此时且，即. 2)若中只有一个元素 则方程有且只有一个实根 当时，方程为一元一次方程，满足条件； 当，此时，解得. 或 若，则有；若 ，则有； 3)若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且只有一个元素 由(1)，(2)得满足条件的的取值范围是：或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的含义与表示 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？ 答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？) 常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. Eg：奇数集属于无限集，. 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg： ———方程的解，即；  ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函数的值域，即；  ———函数的图像，它是个点集. 【典题1】下列说法正确的是 ( )  某个村子里的高个子组成一个集合；  所有小的正数组成的集合；  集合和表示同一个集合；  这些数组成的集合有五个元素.  【典题2】设集合，若则 . 【典题3】用列举法表示集合　 　. 【典题4】 若集合至多有一个元素，则的取值范围是　　． 巩固练习 1 (★) 下列各组对象能构成集合的是(　　) A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 2(★) 以实数为元素所组成的集合最多含有(　　)个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 3(★) 下面有四个命题： (1)集合中最小的数是； (2)是自然数； (3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于. . 其中正确的命题的个数是 ( ) A．１个 B．2个 C．3个 D．4个 (★★) 设集合，，，若，则 (　　)  5(★★) 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 6(★★) 点的集合是指(　　) A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第一、第三象限内的点集 D．不在第二、第四象限内的点集 7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成则　 　． (★★) 若集合中只有一个元素，则实数的值为 ． (★★) 用列举法表示集合　 ． 10 (★★) 集合的元素个数为 11 (★★) 用列举法表示下列集合 (1)以内偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 12 (★★★) 已知集合 1)若是空集，求的取值范围； 2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； 3)若中至多只有一个元素，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $