专题11：数量关系的分析（一）（思维拓展）-苏教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题十一 数量关系的分析（一） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：解题策略与线段图辅助分析（进阶推理） 3 考点二：连减类两步实际问题（进阶应用） 4 考点三：归一问题（先求单一量）（算理强化） 6 考点四：归总问题（先求总量）（思维拓展） 7 考点五：策略综合对比与实践应用（实践拓展） 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：两步问题漏找中间量，直接一步列式计算 9 易错点 2：归一与归总混淆，先乘后除顺序颠倒 9 易错点 3：线段图数量关系画错，信息标注不对应 9 易错点 4：连减问题数量关系混乱，剩余量计算错误 10 易错点 5：解题后不检验，结果不符合实际逻辑 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 12 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是苏教版三年级上册第七单元“数量关系的分析（一）”的奥数培优内容，核心是“两步应用题的思维拓展”，依托解题策略与线段图辅助分析、连减类两步实际问题、归一问题（先求单一量）、归总问题（先求总量）、策略综合对比与实践应用五大考点，渗透综合法、分析法、数形结合、建模思想等核心数学素养。 专题遵循 “策略学习→工具辅助→题型应用→综合提升” 的认知路径，从购物消费、行程做工、物品分配等真实生活情境切入，让学生掌握 “由因导果” 和 “执果索因” 两种分析思路；学会借助线段图直观梳理条件与问题的联系；能熟练解决连减、归一、归总三类典型两步应用题，形成规范、有序的解题流程。专题落实《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中 “应用意识”“运算能力”“推理意识” 的培养要求，为后续更复杂的三步应用题、分数应用题学习筑牢分析方法的底层基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 解题分析策略 掌握 “从条件想起” 的综合法、“从问题想起” 的分析法；能借助线段图梳理题意 综合法、分析法、线段图辅助法 找不到中间量，分析没有条理 连减类问题 总量连续减去两个部分量；也可先求两个部分量的和，再用总量减去 连减直算法、求和相减法 数量关系搞反，剩余量越算越多 归一问题 先求出单一量（单价、速度、工作效率等），再根据要求计算总量或数量 先除后乘法、先除后除法 找不准单一量，第一步计算错误 归总问题 先求出总数量、总路程、总工作量等总量，再根据新的分配方式求单一量或份数 先乘后除法、总量不变法 忽略总量不变的核心前提 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 条件综合法 所有两步计算实际问题 ①从已知条件出发，逐步推出可以求出的中间量；②结合其他条件，最终求出问题答案 从条件，往前推，算出中间再求终 问题分析法 条件较多、关系复杂的应用题 ①从问题出发，想清楚求答案需要哪两个条件；②找出缺少的条件，先把它求出来 从问题，往回找，缺啥先算啥 线段图示法 数量关系抽象的应用题 ①先画一条线段表示标准量；②根据题意画出其他量的线段，标注条件和问题；③对照图分析数量关系列式 先画标准量，再画对比量，看图找关系 归一解题法 归一类型两步题 ①先用除法求出单一量；②再用乘法求几个单一量的总量，或用除法求份数 先求一份有多少，再算所求量 归总解题法 归总类型两步题 ①先用乘法求出总数量；②再根据新的分配方式，用除法求新的单一量或份数 先算总量是多少，再按新要求分配 三、数学思维提升 1. 综合分析思维 核心要点：“从条件想起” 就是综合法，由已知条件出发，一步步推导，先算出中间量，再解决最终问题。这是解决两步应用题最基础的思维方式，体现了 “由因导果” 的推理逻辑。 专题示例：已知 “苹果有 50 千克，梨比苹果多 20 千克”，从这两个条件就能先算出梨的质量；再结合 “橘子是梨的 2 倍”，就能算出橘子的质量，两步推导得出答案。 2. 逆向分析思维 核心要点：“从问题想起” 就是分析法，从最终要解决的问题入手，反向思考 “要解决这个问题，必须知道哪两个条件”，哪个条件不知道，就先去求哪个条件。这种方法目标明确，不容易走弯路。 专题示例：问题是 “还剩多少米”，就要知道总长度和已经修的长度；总长度已知，已经修的长度不知道，就先算已经修了多少米，再求剩余量。 3. 数形结合思维 核心要点：遇到抽象、复杂的数量关系，画线段图能把文字信息转化成直观的图形，谁多谁少、谁是谁的几倍、总量和分量的关系一目了然，能快速理清解题思路，大幅降低错误率。 专题示例：解决 “红花比黄花多 15 朵，黄花有 30 朵，两种花一共多少朵” 的问题，画两条线段分别表示黄花和红花，一眼就能看出要先求红花朵数，再求和。 4. 模型建构思维 核心要点：两步应用题有很多固定的题型模型，比如归一模型、归总模型、连减模型，每一类都有固定的解题步骤和数量关系。掌握模型就能举一反三，遇到同类题目立刻知道解题思路，不用从零开始分析。 专题示例：“3 个碗 18 元，买 8 个碗多少钱” 和 “4 小时行 200 千米，7 小时行多少千米”，看起来场景不同，但本质都是归一问题，都遵循 “先求单一量，再求总量” 的解题模型。 5. 检验反思思维 核心要点：做完题目后，把答案代回到题目中，反向检验是否符合所有条件；或者换一种解题方法再算一遍，看结果是否一致。养成检验的习惯，能有效发现计算错误和思路错误。 专题示例：算出 “8 个碗 48 元”，就反向检验：48 元买 8 个碗，每个碗 6 元，3 个碗就是 18 元，和题目条件一致，说明答案正确。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：解题策略与线段图辅助分析（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 从条件想起的综合法 题目：超市运来大米 150 袋，面粉比大米少 40 袋，玉米的袋数和面粉同样多。运来玉米多少袋？ 解题步骤： ① 从第一个和第二个条件出发，先求出面粉的袋数：大米 150 袋，面粉比大米少 40 袋，（袋）； ② 结合第三个条件 “玉米的袋数和面粉同样多”，得出玉米的袋数等于面粉的袋数； ③ 因此玉米的袋数就是 110 袋。 答：运来玉米 110 袋。 【知识点睛】本题考查 “从条件想起” 的综合分析策略，是解决两步问题的基础方法。解题思路是顺着条件一步步推导：先根据前两个条件算出中间量 “面粉的袋数”，再结合第三个条件得到最终答案。综合法的核心是 “由已知推可知，逐步推未知”，每一步都要清楚 “这两个条件能算出什么”，逻辑链条清晰有序。 典型例题 2（思维拓展型）—— 从问题想起的分析法 题目：学校体育组买了 5 盒羽毛球，每盒 12 个，买的乒乓球比羽毛球多 20 个。乒乓球有多少个？ 解题步骤： ① 从问题出发分析：要求 “乒乓球有多少个”，根据 “乒乓球比羽毛球多 20 个”，必须先知道羽毛球有多少个； ② 羽毛球的个数题目没有直接给出，先求羽毛球数量：5 盒，每盒 12 个，（个）； ③ 再求乒乓球的数量：羽毛球个数加上多的 20 个，（个）。 答：乒乓球有 80 个。 【知识点睛】本题考查 “从问题想起” 的分析策略，属于逆向分析法。解题思路是从最终问题倒推，找到解决问题必需的两个条件，缺少的条件就是要先求的中间量。分析法的优势是目标明确，始终围绕 “要解决问题需要什么” 展开思考，不容易偏离方向。实际解题中，两种方法可以结合使用，条件顺推、问题倒推，双向靠拢，快速理清思路。 考点二：连减类两步实际问题（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 连减基础应用 题目：一根彩带长 180 米，第一次用去 35 米，第二次用去 65 米。还剩多少米？（用两种方法解答） 解题步骤： ① 方法一：用总长度连续减去两次用去的长度。先减第一次用的：（米）；再减第二次用的：（米）。 综合算式： ② 方法二：先算出两次一共用去多少米，再用总长度减去已用的总和。两次一共用：（米）；剩余长度：（米）。 综合算式： ③ 两种方法结果一致，验证正确。 答：还剩 80 米。 【知识点睛】本题是典型的连减类两步实际问题，有两种解题思路。方法一是连续减去两个部分量，方法二是先求两个部分量的和，再用总量减去和，这两种方法对应减法的运算性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。解题时可以根据数字特点选择简便的方法，能凑整的优先用先加后减的方法，计算更快捷。 典型例题 2（思维拓展型）—— 带中间量的连减问题 题目：养殖场有 240 只鸡，第一天卖出 56 只，第二天比第一天多卖出 18 只。还剩下多少只鸡？ 解题步骤： ① 先根据条件求出第二天卖出的数量：第一天卖 56 只，第二天比第一天多卖 18 只，（只）； ② 用总只数依次减去两天卖出的数量：（只）； ③ 也可以先算两天一共卖出多少，再用总量减：只，只，结果一致。 答：还剩下 110 只鸡。 【知识点睛】本题是连减问题的拓展题型，第二个部分量没有直接给出，需要先根据数量关系求出来。解题关键是先算出第二天卖出的只数这个中间量，再计算剩余量。分析时可以用 “从问题想起” 的思路：求剩余量，就要知道总量和已经卖出的量；卖出的包含两天，第二天未知，所以先算第二天的。这类题最容易犯的错误是直接用 56 和 18 去减，忽略 18 是两天的差值，不是第二天的总量。 考点三：归一问题（先求单一量）（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 正归一（求总量） 题目：买 4 本同样的故事书需要 32 元。照这样计算，买 9 本这样的故事书需要多少钱？ 解题步骤： ① 第一步先求出单一量，也就是 1 本故事书的价格：4 本 32 元，（元）； ② 第二步求 9 本的总价，用单价乘数量：（元）； ③ 检验：72 元买 9 本，每本 8 元，4 本就是 32 元，符合题目条件。 答：买 9 本这样的故事书需要 72 元。 【知识点睛】本题是典型的正归一问题，是归一问题的基础题型。归一问题的核心是 “先求出单一量”，也就是一个单位的数量，比如单价、速度、工作效率等；再用乘法算出几个单一量的总量。解题步骤可以概括为 “先除后乘”。解题关键是抓住 “照这样计算” 这句话，说明每一本的价格是不变的，也就是单一量固定不变，这是归一问题的前提条件。 典型例题 2（思维拓展型）—— 反归一（求份数） 题目：小明骑自行车 3 分钟行驶了 720 米。照这样的速度，他行驶 1200 米需要多少分钟？ 解题步骤： ① 第一步先求单一量，也就是小明每分钟行驶的路程（速度）：（米 / 分）； ② 第二步求行驶 1200 米需要的时间，用总路程除以速度：（分钟）； ③ 检验：5 分钟行驶的路程是米，和题目一致，正确。 答：他行驶 1200 米需要 5 分钟。 【知识点睛】本题是反归一问题，第一步同样是先求单一量，第二步是用总量除以单一量，求对应的份数，解题步骤是 “先除后除”。正归一和反归一的共同点是第一步都必须先求出单一量，区别在于第二步：求总量用乘法，求份数用除法。判断归一问题的标志就是 “照这样计算”“同样的速度” 这类表述，说明单一量不变。 考点四：归总问题（先求总量）（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 归总基础应用 题目：同学们排队做操，每行站 15 人，正好站 6 行。如果每行站 9 人，可以站多少行？ 解题步骤： ① 第一步先求出总数量，也就是学生的总人数：每行 15 人，6 行，（人）； ② 第二步按新的分配方式求行数，总人数除以每行人数：（行）； ③ 检验：10 行，每行 9 人，总人数 90 人，和原来的总人数一致，正确。 答：可以站 10 行。 【知识点睛】本题是典型的归总问题，核心特点是总数量保持不变，只是分配方式发生了变化。解题思路是 “先求总量，再求新的单一量或份数”，步骤概括为 “先乘后除”。归总问题和归一问题正好相反：归一问题是单一量不变，归总问题是总数量不变。解题时要先抓住不变量，判断清楚是归一还是归总，再选择对应的方法。 典型例题 2（思维拓展型）—— 归总工程问题 题目：工程队修一条小路，每天修 50 米，6 天可以修完。如果要 5 天修完，平均每天需要修多少米？ 解题步骤： ① 第一步先求出总量，也就是这条路的总长度：每天修 50 米，6 天修完，（米）； ② 第二步按新的时间求每天修的长度，总长度除以天数：（米）； ③ 检验：每天修 60 米，5 天修 300 米，和路的总长一致，正确。 答：平均每天需要修 60 米。 【知识点睛】本题是归总问题的工程类应用，核心不变量是工作总量。不管修几天，这条路的总长度是固定的，所以先算出总工作量，再根据新的工作时间求新的工作效率。归总问题在生活中应用很广，排队、做工、运货、分钱等场景，只要总量不变、分配方式变化，都属于归总模型。解题关键是找准不变的总量。 考点五：策略综合对比与实践应用（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 归一与归总对比辨析 题目：对比下面两道题，说一说哪道是归一问题，哪道是归总问题，并分别说出解题第一步先算什么。 题一：买 6 支钢笔需要 72 元，买 8 支同样的钢笔需要多少钱？ 题二：买钢笔，每支 12 元，买 6 支的钱，如果买每支 9 元的钢笔，可以买几支？ 解题步骤： ① 分析题一：“同样的钢笔” 说明单价不变，也就是单一量固定，属于归一问题；第一步先算 1 支钢笔的价格，也就是单一量； ② 分析题二：总钱数是不变的，只是钢笔单价变了，属于归总问题；第一步先算总钱数，也就是总量； ③ 总结：单一量不变是归一，先求一份量；总数量不变是归总，先求总数量。 答：题一是归一问题，第一步先算单价；题二是归总问题，第一步先算总钱数。 【知识点睛】本题考查归一与归总的对比辨析，帮助学生厘清两类问题的本质区别。判断的核心就是看什么量不变：如果是每份的量不变，就是归一问题；如果是总数量不变，就是归总问题。通过对比辨析，能避免两类问题混淆，提升模型识别能力。实际解题时，先判断题型，再对应解题步骤，能大幅提升正确率。 典型例题 2（思维拓展型）—— 实际场景综合应用 题目：工厂运来一批零件，每盒装 8 个，正好装 9 盒。如果改成每盒装 12 个，可以少装多少盒？ 解题步骤： ① 第一步先算零件的总个数，这是归总问题，总量不变：（个）； ② 第二步算每盒装 12 个时需要的盒数：（盒）； ③ 第三步求少装的盒数：原来的盒数减去现在的盒数，（盒）。 答：可以少装 3 盒。 【知识点睛】本题是归总问题的拓展应用，问题不是直接求新的盒数，而是求盒数的差值，属于三步计算的雏形，能提升综合分析能力。解题时依然用 “从问题想起” 的策略：求 “少装多少盒”，就要知道原来的盒数和现在的盒数；原来的已知，现在的未知，所以先求现在的盒数；求现在的盒数又需要先求总个数，层层倒推，理清解题顺序。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：两步问题漏找中间量，直接一步列式计算 错误示例：“4 本书 32 元，买 9 本多少钱”，错误列式为元，忽略先求单价。 正确分析：两步问题必须先算中间量，不能直接把两个已知数相乘除。归一问题先求单一量，归总问题先求总量。 修正方法：读完题先判断是几步题，想清楚第一步算什么、第二步算什么，再动笔列式。 易错点 2：归一与归总混淆，先乘后除顺序颠倒 错误示例：归总问题先除后乘，归一问题先乘后除，完全搞反。 正确分析：归一问题单一量不变，第一步用除法求单一量；归总问题总量不变，第一步用乘法求总量。 修正方法：解题前先判断 “什么量不变”，单一量不变是归一用 “先除”，总量不变是归总用 “先乘”。 易错点 3：线段图数量关系画错，信息标注不对应 错误示例：画 “甲比乙多” 的线段图，把乙的线段画得更长；或者条件和问题标注混乱。 正确分析：线段图要准确反映数量关系，多的线段长，少的线段短；标准量先画，对比量后画。 修正方法：画完图对照题目文字检查一遍，确认长短、多少关系和题目一致，条件和问题标注清楚。 易错点 4：连减问题数量关系混乱，剩余量计算错误 错误示例：求剩余量，用部分量加上总量，越减越多。 正确分析：剩余量＝总量－已经用掉的量，用掉的越多，剩下的越少。 修正方法：算完后检验结果，剩余量一定比总量小，如果结果比总量还大，肯定算错了。 易错点 5：解题后不检验，结果不符合实际逻辑 错误示例：算出 “每支钢笔 100 元”“每分钟走 5 米” 这类明显不符合常识的结果，也不检查。 正确分析：做完题把答案代回题目验证，或者结合生活常识判断是否合理，能快速发现错误。 修正方法：养成检验习惯，要么反向代入验算，要么换一种方法再算一遍，确保结果正确。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，8 题） 1. 果园里有桃树 90 棵，梨树比桃树多 20 棵，苹果树的棵数和梨树同样多。苹果树有多少棵？ 2. 一根绳子长 160 米，第一次用去 30 米，第二次用去 50 米。还剩多少米？（用两种方法解答） 3. 买 5 千克葡萄需要 40 元。照这样计算，买 7 千克葡萄需要多少钱？ 4. 印刷厂工人 2 小时印刷 60 份试卷。照这样的速度，印刷 150 份试卷需要多少小时？ 5. 一批作业本，每包 15 本，正好包 4 包。如果每包 10 本，可以包多少包？ 6. 搬运一批货物，每人搬 3 箱，8 人正好搬完。如果每人搬 4 箱，需要几人？ 7. 判断：“每千克苹果 6 元，买 4 千克的钱买每千克 8 元的梨，可以买几千克” 这是归一问题。（ ） 8. 画线段图表示：故事书有 30 本，科技书比故事书少 12 本，两种书一共多少本。 二、思维拓展篇（难度★★★★★，4 题） 9. 一辆汽车从甲地开往乙地，4 小时行驶 240 千米。照这样的速度，再行驶 3 小时到达乙地，甲乙两地相距多少千米？ 10. 有一堆煤，每天烧 6 吨，可以烧 15 天。如果每天节约 1 吨，这堆煤可以烧多少天？ 11. 一根铁丝可以围成一个边长是 8 厘米的正方形。如果用这根铁丝围一个长是 9 厘米的长方形，宽是多少厘米？ 12. 超市运来一批饮料，如果每箱装 24 瓶，要装 5 箱。现在只有 3 个箱子，要把饮料都装完，平均每箱要多装多少瓶？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】110 棵 解题步骤： ① 先算梨树的棵数：桃树 90 棵，梨树比桃树多 20 棵，（棵）； ② 苹果树和梨树同样多，所以苹果树也是 110 棵。 【知识点睛】本题考查 “从条件想起” 的基础两步题。先根据前两个条件求出中间量梨树的棵数，再结合第三个条件得到答案。顺着条件逐步推导，是综合法的基本应用。 2. 【答案】80 米 解题步骤： ① 方法一：连续减去两次用去的长度，（米）； ② 方法二：先算两次一共用去多少，再用总长减，（米）。 【知识点睛】本题考查连减类两步问题。两种方法对应减法的两种思路，第二种方法利用凑整计算更简便。连减问题核心是 “总量－部分量＝剩余量”。 3. 【答案】56 元 解题步骤： ① 先求 1 千克葡萄的价格：（元）； ② 再求 7 千克的总价：（元）。 【知识点睛】本题是正归一基础题。解题关键是先求出单一量（单价），再求总量。标志是 “照这样计算”，说明单价不变。 4. 【答案】5 小时 解题步骤： ① 先求每小时印刷的份数：（份）； ② 再求印刷 150 份需要的时间：（小时）。 【知识点睛】本题是反归一基础题。第一步同样先求单一量（工作效率），第二步用总量除以单一量求时间。归一问题第一步永远是先求一份的量。 5. 【答案】6 包 解题步骤： ① 先算作业本的总本数：（本）； ② 再算每包 10 本时的包数：（包）。 【知识点睛】本题是归总基础题。核心是作业本的总本数不变，先求总量，再求新的份数。 6. 【答案】6 人 解题步骤： ① 先算货物的总箱数：（箱）； ② 再算每人搬 4 箱需要的人数：（人）。 【知识点睛】本题是归总问题的应用。货物总箱数不变，先求总量，再求新情况下的人数。 7. 【答案】× 解题步骤： ① 分析：这道题总钱数不变，只是单价变化，属于归总问题； ② 归一问题是单一量不变，这道题不符合归一的特征，所以说法错误。 【知识点睛】本题考查归一和归总的辨析。判断标准是看什么量不变：总量不变是归总，单一量不变是归一。 8. 【答案】线段图示例：先画一条线段表示故事书 30 本，再画一条稍短的线段表示科技书，标注 “少 12 本”，最后用大括号标注两条线段总和，写上问题 “一共多少本”。 解题步骤： ① 先画标准量故事书，标注长度和 30 本； ② 科技书线段比故事书短，短的部分标注 “少 12 本”； ③ 用大括号标注两条线段总和，写上问题。 【知识点睛】本题考查线段图的绘制。画线段图要先画标准量，再画对比量，长短对应数量关系，条件和问题标注清晰。线段图是分析应用题的重要工具。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】420 千米 解题步骤： ① 先求汽车的速度：（千米 / 时）； ② 再算后面 3 小时行驶的路程：（千米）； ③ 总路程：（千米）。 也可以先算总时间小时，再算总路程千米。 【知识点睛】本题是归一问题的拓展应用，需要先求速度这个单一量，再结合总时间或者分段路程求总距离。解题时要注意 “再行驶 3 小时” 是额外的时间，不是一共 3 小时，审题要仔细。 10. 【答案】18 天 解题步骤： ① 先算这堆煤的总吨数：（吨）； ② 再算每天节约 1 吨后的烧煤量：（吨）； ③ 最后算可以烧的天数：（天）。 【知识点睛】本题是归总问题的拓展题型。核心不变量是煤的总吨数，先求总量；再算出新的每天烧煤量，注意是 “节约 1 吨”，要用原来的量减去 1，不能直接用 1 吨计算。 11. 【答案】7 厘米 解题步骤： ① 先算铁丝的总长度，也就是正方形的周长：（厘米）； ② 长方形的周长和正方形相等，也是 32 厘米；长方形周长（长＋宽），所以长＋宽（厘米）； ③ 求宽：（厘米）。 【知识点睛】本题是归总思想与周长知识的结合。核心不变量是铁丝的总长度，也就是图形的周长。先求出周长总量，再根据长方形周长公式反推宽。这类题体现了归总思想的广泛应用。 12. 【答案】16 瓶 解题步骤： ① 先算饮料的总瓶数：（瓶）； ② 再算 3 个箱子时每箱装的瓶数：（瓶）； ③ 求每箱多装的瓶数：（瓶）。 【知识点睛】本题是归总问题的拓展应用，问题求的是差值，不是直接求新的每箱瓶数。解题时用 “从问题想起” 的策略，一步步倒推需要的条件，先求总量，再求新的单箱量，最后求差值。 学科网（北京）股份有限公司 $