14.2 三角形全等的判定（第5课时 用HL判定直角三角形全等）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“HL”判定直角三角形全等，通过回顾SSS、SAS、ASA、AAS等通用判定方法，以“直角三角形已知斜边和直角边能否全等”的问题导入，搭建从一般到特殊的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是通过探究推导HL定理培养数学思维（推理能力），典例分析规范证明步骤强化数学语言（表达能力），结合荡秋千等情境练习体现数学眼光（抽象能力）。采用问题驱动与步骤化总结，学生提升逻辑推理与规范表达，教师获得系统教学资源与清晰流程。

【新教材】人教版·八年级上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第5课时 用“HL”判定直角三角形全等 1 2 3 回顾三角形全等的通用判定方法，知晓 SSS、SAS、ASA、AAS 均适用于直角三角形全等判定，能区分普通三角形与直角三角形判定条件的异同； 理解“斜边、直角边（HL）”判定定理的推导过程，精准熟记 HL 的文字表述与适用范围，会规范书写直角三角形全等（HL）的证明步骤； 能够运用 HL 判定定理证明直角三角形全等，并结合全等性质完成线段相等、角度相等的推理计算，体会特殊与一般的数学思想，锻炼严谨的几何逻辑推理能力. 学 习 目 标 这节课，我们就在普通三角形全等判定的基础上，继续探究、学习直角三角形专属的全等判定方法，掌握判定直角三角形全等的特殊依据 ——HL（斜边、直角边）． 同学们，前面我们已经先后学习了 SSS、SAS、ASA、AAS 四种判定任意三角形全等的方法，这些判定方式都可以用来证明直角三角形全等. 大家思考一个问题：直角三角形自带一组相等的直角，如果我们只给出一条斜边和一条直角边对应相等，还能不能判定两个直角三角形完全全等呢？ 导入新课 探究：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，B′C′＝BC．这两个三角形全等吗？ 新知探究 如图所示，由∠C′＝∠C＝90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合．再由B′C′＝BC，可知点B′与点B重合． 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系． 新知探究 设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角．若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB＞BM′＞BM．设点N在线段CA的 在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法． 延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB．因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个．再由点A′在射线CA上，A′B′＝AB，可知点A′与点A重合．这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC． 新知探究 几何语言: 在Rt△ABC 与 Rt △ A′B′C′中， ∴Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL) 一般地，有如下判定直角三角形全等的方法： 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 新知探究 7 例：如图所示，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD． 求证BC＝AD． 分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC＝AD．由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件． 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴BC＝AD． 典例分析 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴BC＝AD． 　　你能根据例题的解题过程，总结出利用“HL” 证明三角形全等需要注意什么吗？　 （1）两个三角形必须都是直角三角形 （2）带“Rt△”，且大括号中含两个条件 （3）结论带“Rt△” 典例分析 基础训练 基础训练 　　直角三角形全等的判定方法 （1）用“HL”：当两个三角形是直角三角形时，首先考虑“HL”； （2）可以作为一般三角形，用“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”进行判定． 新知探究 用“HL”判定直角三角形全等 ①通用判定适用范围 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. SSS、SAS、ASA、AAS 全部适用于直角三角形; 利用直角相等的条件, 两直角边相等、一边一锐角相等均可判定直角三角形全等. ③应用思路 先找直角条件确定两个直角三角形，再找寻斜边、一组直角边对应相等，证完全等后，推导对应边相等、对应角相等，解决线段与角度计算问题. ②HL 判定定理 新知总结 13 巩固练习 图2 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第45页习题14.2第11题、第12题 选做题： 教材第46页习题14.2第18题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! D 解：，， ，， 和都是直角三角形， ，，即， 在和中，， ． 【解析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 1．如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.由题意可知,，，，通过定理可证明，得出,最后通过线段的和差求出的长即可得出答案． 解：由题意可知，，，． 在和中， ，． ，， 即点到地面的距离为．故答案为：． 2．如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 0.3 B 【解析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 解：∵于点，∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 1．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【解析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，在与中， ，， ∴这种画图方法的依据是．故选：A． 2．课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． A 【解析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 3．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【解析】根据题意易得，然后可得，进而问题可求证． 证明：根据题意可知， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴． 4．墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 5．如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【解析】（1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明；（2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 证明：（1），，， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （2） ，， ，，， ． $