14.2 课时5 用“HL”判定直角三角形 全等课件 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

该初中数学课件聚焦“HL”判定直角三角形全等，课堂导入先回顾已学的“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，通过问题“直角三角形除直角外还需几个条件全等”搭建学习支架，逐步引导从已知方法过渡到HL的探究。 其亮点是采用问题链驱动探究，结合几何证明过程培养学生推理能力，用规范几何语言强化数学表达，实例（如滑梯倾斜角问题）联系实际发展几何直观。帮助学生提升逻辑推理与应用意识，为教师提供系统的探究式教学流程和丰富实例。

14.2 三角形全等的判定 课时5 用“HL”判定直角三角形全等 我们已经学过的判定全等三角形的方法有哪些？ “SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS” 思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ A B C A' B' C' 任务一：直角三角形全等的判定方法“HL”． 活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ ①一条直角边(或斜边)和一锐角分别相等 ASA A' B' C' A B C A' B' C' AAS 活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ ②两直角边分别相等 SAS A' B' C' A B C 活动1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 问题：如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ ? A B C A' B' C' 活动2：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ C' A' B' C A B C' A' B' C A B 如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知： ①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合. ② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合. (C') (B') C A B (C') (B') 为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 C A B (C') (B') 为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ BN′ ＞ AB． N N' C A B (C') (B') 为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个. N M 在点 A 下方时，长度 < AB； 在点 A 上方时，长度 > AB. ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． (A') C A B (C') (B') (A') 活动2：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （简写成“斜边、直角边”或“HL”） 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， AB=A′B′, BC=B′C′, ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). A B C A' B' C' 下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个直角三角形的面积相等 D 例6：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， 垂足分别为 C，D， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. A B D C 任务二：用“HL”判定两个直角三角形全等． ①先找现有条件： ②再找隐含条件： 公共边AB AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD 分析：可以证明 Rt△ABC≌Rt△BAD. 由分析可知， Rt△ABC与Rt△BAD具备“斜边，直角边”的条件. 例6：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， 垂足分别为 C，D， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C=∠D=90°. 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C AB=BA AC=BD 证明线段长度相关问题或者角度问题可通过证明三角形全等解决，“HL”公理作为直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 判断两个三角形全等的方法 HL AAS SAS SSS ASA 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 1.如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS A 2.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC D 3.如图，点B、E、C、F在同一直线上，若AB⊥BF，DE⊥BF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF． 证明：∵AB⊥BF，DE⊥BF， AB＝DE，AC＝DF ∴在Rt△ABC与Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） AB=DE, AC=DF . 4.如图，点E在AF上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点D，AB＝CD，AF＝CE. 求证：CE⊥AF. 证明：∵AB⊥BD，DE⊥CF，∴∠ABF＝∠CDE＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)， ∴∠A＝∠C. ∵∠A＋∠F＝90°，∴∠C＋∠F＝90°， ∴∠CEF＝90°，∴CE⊥AF. $