精品解析：山东省烟台第二中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高2024级数学开学考试 一、选择题： 1. 在中，内角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以或. 2. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 则. 3. 已知，都是锐角，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 4. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 5. 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为， 所以外接圆的周长. 6. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据余弦定理和角C有两解，可得关于c的一元二次方程有两个正根，从而求解. 法二：根据角C有两解可知三角形存在两解的情形，利用其条件即可得出a的范围. 【详解】法一：由余弦定理可得，，所以. 因为角C有两解，所以关于c的一元二次方程有两个正根，所以， 解得，所以a的取值范围为. 法二：因为，，所以， 因为角C有两解，A为锐角，所以，即. 所以a的取值范围为. 7. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得到的一个周期为，赋值法可求得的值，结合周期性可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以，用替换得. 又，所以，用替换得，所以，的一个周期为. 因为，在中令可得， 所以，因此. 8. 已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 二、选择题： 9. 下列值为的式子有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断A，根据两角和的正切公式可判断B；利用两角差的正弦，余弦，正切公式化简即可判断C，根据辅助角公式可判断D. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，因为， 所以， 所以 ，故B符合题意； 对于C，， 由于，故C不符合题意； 对于D， ，故D符合题意. 10. 下列关于函数的说法正确的是（） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】先把通过三角恒等变换化简为,再分别对选项A利用对称轴方程求解验证符合条件,对选项B求出函数单调递增区间并判断给定区间为其子集从而确定递增,对选项C依据三角函数平移规则验证平移结果与原式不符,对选项D求出零点表达式后列出内三个零点,进而确定的取值范围,最终判断各选项正误。 【详解】 选项A：令，解得，当时，，A正确. 选项B：即，令， 因为，所以在区间上单调递增，B正确. 选项C：左移得，C错误. 选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点， 则三个零点只能为：，故，D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数仅有一个零点 B. ，，都存在极值点 C. 若恒成立，则 D. 当时，若在上单调递增，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据零点的概念求解即可；对于B，求出导函数的取值范围，结合极值点的定义判断即可；对于C，由恒成立及函数的单调性得到，即，结合不等式求解即可；对于D，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】对于A，当，时，， 由得或，解得， 故函数仅有一个零点，A正确. 对于B，， 当时，；当时，， 所以在上一定有变号零点，所以一定存在极值点，B正确. 对于C，由得与同号. 令，解得；令，解得. 因为与均单调递增，所以，即. 所以，当且仅当时，等号成立，C错误. 对于D，当时，，， 若在上单调递增，则在上恒成立， 所以. 因为在上单调递增， 所以，即，D正确. 三、填空题. 12. 已知命题“，”，则为____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题的规则，更换量词并否定原命题结论即可求解. 【详解】 根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题，需将全称量词替换为存在量词， 同时否定原命题的结论， 结论的否定为， 因此为。 13. 如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，先利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理求得结果. 【详解】在中，， 所以. 所以根据正弦定理得，即，解得. 因为，所以是等边三角形，所以. 在中，， 根据余弦定理得，代入数据得 ，解得， 即. 14. 在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围. 【详解】解：由余弦定理，和， 可得，化简得， 因，即，由正弦定理，（*）， 因， 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 ， 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由诱导公式结合计算即可得解； （3）结合诱导公式将代入计算可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， 又因为是第三象限角，所以， 所以. 【小问3详解】 当时，. 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若任意的，均满足，求的取值范围； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换将化为，再根据正弦型函数的周期公式和单调性求解. （2）先求出时的值域，再将不等式转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 由题意知 ， 所以的最小正周期． 令，， 解得，， 即的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 因为，所以 ， 所以，解得， 即a的取值范围是． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【小问1详解】 ①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . 【小问2详解】 ，，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 19. 已知． （1）若，求的图象在处的切线方程． （2）若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）由（i）知，，且，即. 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证． 设， 则． 则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求得切线方程. （2）（i）先对原函数求导，将极值点问题转化为导函数零点问题，分离参数后通过研究新函数的单调性与值域确定参数范围； （ii）将待证不等式逐步等价转化，最终转化为极值点偏移问题，通过构造对称函数证明结论. 【小问1详解】 当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：， 所以的图象在处的切线方程为． 【小问2详解】 （i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故． 当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点． 又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得． （ii）略 【点睛】方法归纳： 1. 已知极值点个数求参数范围，可将问题转化为导函数零点个数问题，通过分离参数、研究辅助函数的单调性与值域求解. 2. 双变量不等式证明可通过等价转化，转化为极值点偏移问题，构造对称函数结合单调性证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级数学开学考试 一、选择题： 1. 在中，内角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，都是锐角，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题： 9. 下列值为的式子有（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于函数的说法正确的是（） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，函数仅有一个零点 B. ，，都存在极值点 C. 若恒成立，则 D. 当时，若在上单调递增，则 三、填空题. 12. 已知命题“，”，则为____________________________________． 13. 如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 14. 在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 16. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若任意的，均满足，求的取值范围； 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； （2）求的取值范围． 19. 已知． （1）若，求的图象在处的切线方程． （2）若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $