衡阳市2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟试卷

**基本信息** 衡阳市2027届高三开学考数学模拟卷，以社会热点（就业压力、航天器轨迹）和地方文化（衡阳米粉）为情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查集合、复数、概率等知识，注重数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、抛物线、双曲线离心率|结合航天器轨迹考查双曲线性质，多选题设计立体几何体积动态问题| |填空题|3题15分|三角函数、等差数列、排列组合|以商场抽奖总差额考查分类讨论能力| |解答题|5题77分|概率统计（就业应聘）、椭圆、导数|融入就业压力情境设计概率分布列，导数题结合骰子连续未出现6点概率证明|

衡阳市2027届高三开学考数学学科模拟试卷 本试卷共4页，19小题，本试卷满分150分，考试用时120分钟 1. B 解析：集合 ，，则 。 2. A 解析：。由于 ，，，所以 ，模 。 3. C 解析：抛物线 中 ，焦点 。点 横坐标为2，代入得 ，取 ，则 。 4. D 解析： 展开式中 的系数来自两部分： 得系数1， 得系数 ，合计 。 5. D 解析：由 ，令 得 ，故 。则 ，所以 。 6. C 解析：由 得 ，四边形为梯形。，。直线 过 ，斜率 ，方程 。直线 过原点且平行于 ，方程 。两平行线距离 。梯形面积 。 7. C 分析：圆上至少有三个点到直线的距离为1，转化为圆心（1，2）到直线的距离小于或等于2求解的范围。 解：设圆心（1，2）到直线的距离为d 则：由点到直线的距离公式可得： 答案： 选C 8. B 解析： 令 ，则 ，。 设 ，则 。当 时 ，且 ，故 对 恒成立。由 得 对所有 成立。 令 ，则 ，故 在 递减。由 得当 时 ，所以 ，即 单调递减趋于1，从而 单调递减趋于0。 利用不等式 （）及归纳法可证 （），故 ，B正确。 对于D：由递推式得 ，故 不成立，D错。 对于C：由 递减知 递增，故 ，C不等式方向相反，错。 A显然错（递减）。故选B。 9. ACD 解析：解析： 长方体体积 ，点 在线段 上运动。 A：直线 平面 ，故 到平面 距离恒定，底面 面积恒定，体积恒为 ，正确。 B：直线 与平面 相交，当 与 重合时，锥体 的体积为 ，故B错误 C：直线 平面 ,故 到平面 距离恒定，底面 面积恒定，体积恒为 ，正确。 D：直线 平面 ，故 到平面 距离恒定，底面 面积恒定，体积恒为 ，正确。故选ACD。 10.ABC 解析： E（x2）=( +(1)[E（x2）+1]+(1)[E（x2）+2] E（x2）=6 A选项正确 E（x3）=( +(1)[E（x3）+1]+(1)[E（x3）+2]+( (1)[E（x3）+3] E（x3）=14 B选项正确 E（xn+1）=[E（xn）+1]+(1)[E（xn）+1+E（xn+1）] E（xn+1）=2E（xn）+2 C选项正确 E（xn+1）=2E（xn）+2 两边同时加2得：E（xn+1）+2=2[E（xn）+2] 是以首项为E（x1）+2=4，公比为2的等比数列+2 =4.2n-1=2n+1 =2n+1-2 D选项错误 11. ACD 解析：左顶点 ，右焦点 ，以 为直径的圆方程 ，令 得 ，取 。信号 在过 且与 轴垂直的直线上，即水平线 ，当 运动到 点正上方时，。该点在渐近线 上，代入得 ，即 。由 ，两边除以 得 ，解得 （负舍）。A正确。B：。C：。D：。故 A、C、D 正确。 12. 解析：由 得 。 是第二象限角，，两边除以 得 ，即 ，，（第二象限取负），则 ，。 13. 或 5 解析： 由 ， 得 ，解得 ，公差 。 通项 ，则 。 所以 。 该二次函数开口向下，对称轴 ，在 和 处值相等，且 在 时为正， 时为零，时为负，故 在 或 时达到最大值。 14. 90 解析：由|x-y|+|y-z|+|z-x|=10，得2max{x,y,z}-min{x,y,z}]=10，则max{x,y,z}-min{x,y,z}=5，不妨设min{x,y,z}=m，则max{x,y,z}=m+5，还有一个数为m+d，显然m可能是{1,2,3}，d可能是{0,1,2,3,4，5}，对于任意m取值，都有如下情况：当d=0时，三个数为m,m,m+5，对应x,y,z，有3种方法； 当d=1时，三个数为m,m+1,m+5，对应x,y,z，有6种方法； 当d=2时，三个数为m,m+2,m+5，对应x,y,z，有6种方法； 当d=3时，三个数为m,m+3,m+5，对应x,y,z，有6种方法； 当d=4时，三个数为m,m+4,m+5，对应x,y,z，有6种方法。 当d=5时，三个数为m,m+5,m+5，对应x,y,z，有3种方法。 所以一共有3*(3+6+6+6+6+3)=90种。 15.（13分） （1）（5分） 取 中点 ，连接 。··················（1分） ∵ 是 中点， 是 中点，∴ 。···········（1分） ∵ 底面 为正方形，∴ ，故 。········（1分） ∵ 是 中点， 是 中点，∴ 。···········（1分） ∵ 平面 ，∴ ，故 。 ∴ 平面 ，又 平面 ，故 。·······（1分） 失分点说明： · 未取中点或未连接辅助线：扣1分 · 未写“”直接写垂直：扣1分 · 未说明“”来自正方形：扣1分 · 未写“”直接写垂直：扣1分 · 缺少“ 平面 ”中间结论：扣1分 （2）（8分） 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建系。····（1分） 由 得：， 。···················（1分） ，。·············（1分） 设 ，由 ， 得 ，，取 ，得 。········· ···········（2分） 。··················（1分） 点 到平面 的距离 。···············（2分） 失分点说明： · 未建系或未说明原点及坐标轴方向：扣1分 · 点坐标每错一个：扣0.5分，最多扣1分 · 或 算错一个：扣0.5分 · 法向量方程组列错：扣1分 · 法向量解错（如未令 ）：扣1分 · 算错：扣0.5分 · 距离公式写错（如漏绝对值或分母错）：扣1分 · 最终答案算错（如 写成 ）：扣1分 16.（15分） （1）（6分） 由正弦定理 ，代入 得 ， 除以 得 。···········（1分） ∵ ，∴ ，代入得 。···············（1分） 两边消去 得 ， ∵ ，∴ 。·············（1分） ∴ cosA=-， 故 =。···················（1分） 失分点说明： · 正弦定理代入时漏掉 ：扣1分 · 未将 换成 ：扣1分 · 左边 展开错误：扣1分 · 右边 展开错误：扣1分 · 消去 时出错：扣1分 · 未说明 直接约去：扣0.5分（视情况） 最后角 算错：扣1分 （2）（9分） 设 ，则 ，。由 得 。···················（2分） 平方得 。···········（1分） 代入 得 。···········（1分） ∴ ，令 ， 则 。····················（1分） 当 时， 取最小值 。··················（2分） 此时 。 ∴ 。························（1分） 失分点说明： · 向量关系式写反（如 ）：扣2分 · 平方展开时漏掉交叉项：扣1分 · 代入 时符号错误（写成 ）：扣1分 · 换元 后表达式写错：扣1分 · 最小值求错（如配方错误或导数算错）：扣2分 · 夹角公式用错（如用错向量）：扣1分 · 最终角度写错（如 ）：扣1分 17.（15分） （1）（5分） 甲答对2题概率： 甲答对3题概率：。·················（1分） ∴ 甲笔试通过概率 。···············（1分） 面试通过概率 ， ∴ 甲签约概率 。··············（1分） 失分点说明： · 未分类或只写一类：扣1分 · 恰对2题的三项中每漏一项：扣1分（最多扣2分） · 三项分数相加错误：扣1分 · 全对概率算错：扣0.5分 · 笔试通过概率加法错误：扣0.5分 · 最后未乘面试概率：扣1分 （2）（10分） 乙笔试：每题正确概率 ，需答对至少2题， 。··············（2分） 乙面试通过概率 ，∴ 乙签约概率 。·········（1分） 记 为签约人数，则 。············（2分） 。···················（1分） 。··············（2分） 分布列为： 0 1 2 期望 。··························（2分） 失分点说明： · 乙笔试概率算错（如漏 系数）：扣1分 · 乙签约概率未乘面试概率：扣0.5分 · 计算时未用甲、乙未签约概率相乘：扣1分 · 分数计算错误：扣1分 · 计算错误：扣0.5分 · 未用 而直接算错：扣1分 · 未列出分布列：扣1分 · 期望公式写错（如漏乘2）：扣1分 · 期望计算错误：扣1分 18. (17分) （1） （4分） 由题可知 （3分） 所以C的方程为=1.（4分） （2） （9分） 由（1）知 设直线.令则 .所以（6分） 由得 又 ,所以（9分） 故直线令则 . 所以.（11分） E在的外接圆内部 又（12分） 点P的纵坐标在上递减， 所以 即点P的纵坐标取值范围为.（13分） （3） （4分） 由（2）得 （15分） 即四边形ABNM的面积是定值，定值为2.（17分） 19. （17 分） （1） （4分） 定义域为,（1分） 则在上单调递增；（3分） 又当时，. （4分） （2）（8分） 有两个零点,（5分） 欲证即证. （6分） 又原式等价于证明①（7分） 由得 . ②（8分）由①②得原式等价于证明>即证>（9分） 令要证上式等价于证明. （10分） 令,,（11分） 当时，恒成立. 在上单调递增，（12分） （3）（5分） 易知（13分） 要证： 只要证. （14分） 由（1）可知 即 即 .（16分） 故P< 得证.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市2027届高三开学考数学学科模拟试卷 本试卷共4页，19小题，本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合A=,B=则AB=（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知抛物线上的一点M的横坐标为2，则焦点到点M的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 的展开式中，x的系数为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知是定义在R上的偶函数， ,,则（ ） A. -6 B. 0 C. 3 D. 6 6. 已知向量,=,,则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 3 7.若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. a>0 B. a<1 C. a≤0 D. a 8. 若数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一个体积为6V的长方体，点M在线段上运动，无论M如何运动下列多面体体积始终为V的有（ ） A. 四面体M- B. 四面体M- C. 四面体M- D. 四面体M- 10.米粉是衡阳的特色餐饮，衡阳人早餐喜欢吃鱼粉和碎肉粉，假设某衡阳人早餐选择吃鱼粉或碎肉粉粉且吃鱼粉和碎肉粉概率相等，若出现连续n天吃鱼粉时，共用了天，若所用天数的期望为，则下列说法正确的是（ ） A. E（x2）=6 B. E（x3）=14 C .E（xn+1）=2E（xn）+2 D.E（xn）=2n+2 11. 某航天器的飞行轨迹可以用双曲线 来表示,有一监控站M落在以左顶点A和右焦点F为直径的圆和y轴的交点上。某天监控站M发射一个与y轴垂直的直线上的信号P，当信号恰好运动A点正上方时，也位于的渐近线上，的离心率可以表示为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是第二象限角，，则 13. 等差数列中，,记，则当n= 时，取得最大值． 14.某商场抽奖区摆放8个奖券，奖券面值依次为1、2、3、4、5、6、7、8元，每次抽取后奖券放回。顾客甲、乙、丙依次各抽一张，记三人抽到的面值为x,y,z。若用|x-y|+|y-z|+|z-x|表示三人面值的总差额，求总差额恰好为10的情况种数为______。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⟂平面ABCD，底面ABCD为正方形，M,N分别是AB,PC的中点。 (1)求证：MN⟂CD; (2)已知PD=3,AD=2,求点P到平面MNB的距离。 16. （15分）在中，A、B、C所对的边分别为、b、c,已知 （1） 求角A的大小； （2） D为BC边上一点，且，当最小时，求的大小。 17. （15分）2026年大学毕业生预计约1270万人，同比增加48万人，就业压力剧增。甲、乙两名大学生去一家大型国有企业应聘，需通过笔试和面试两个环节才可以顺利签约。已知规则如下：笔试环节共有A、B、C三道题，回答正确两道及以上方可通过笔试，甲、乙两名大学生只有一次机会，已知甲答对A、B、C三道题的概率分别是，乙答对A、B、C三道题的概率均为，笔试通过后才可以参加面试。面试要回答D、E两道题，全部答对方可通过面试环节，已知甲、乙两名同学面试环节回答D、E两个问题正确的概率均为。（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）。 （1）求甲同学此次应聘顺利签约的概率； （2）设经过此次应聘，甲、乙两名同学最终签约的总人数为X，求X的分布列和期望。 18. （17分）已知椭圆C：()过点（，）且离心率为。 （1） 求椭圆C的方程； （2） 若A，B分别是C的左顶点、下顶点，P是C上第一象限的点，直线PA交y轴于点N，直线PB交x轴于点M，若点E（0， ）在外接圆内部，求点P纵坐标的取值范围； （3） 四边行ABMN的面积是否为定值，若是，求出该值，若不是，请说明理由。 19.（17分）已知函数 (1) =2时，求证：时， （2）若函数： 有两个零点，且，求证： (3）连续掷一枚骰子（骰子有6个面各面均匀，点数分别为1、2、3、4、5、6），连续11次均未出现6点朝上的概率为P，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $