专题04 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算五类综合题型，以“解题通法+题型模版”构建系统性方法体系，强化知识逻辑与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|程序题步骤迭代与逆推、古代题情境转化、新定义规则套用、规律题通项归纳|从具体操作到抽象应用，形成“特征-方法-变式”递进链条| |题型归纳|5题型（每题型含典例+3变式）|24点因数分解与组合、规律题等差/等比/周期探究|覆盖程序、古代、新定义等考法，培养运算能力与推理意识| |压轴挑战|1模块|综合应用多类方法解决复杂问题|衔接中考压轴题，提升创新意识与应用能力|

专题04 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、算24点 题型三、古代中的有理数运算问题 题型四、有理数运算中的新定义型问题 题型五、有理数运算中的规律探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖按流程图计算、古代算术情境、自定义运算规则（如a※b）及数列/图表规律探究。 - 解题方法：程序题严格按步骤迭代；古代题转化为现代算式；新定义题即时套用规则；规律题观察序号与数值的对应关系（如等差、等比、平方、周期）。 - 易错提醒：程序题忽略循环终止条件致死循环；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；规律题未验证前几项即下结论；古代题单位换算或背景术语理解偏差。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 典例1 （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 题型模版 1.特征：按给定运算步骤（如输入→乘方→加减）求输出，或逆向求输入。 2.方法：按程序流程逐步计算；逆向则从结果倒推，用逆运算（加减互逆、乘除互逆）求解。 变式1-1（25-26七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 变式1-2（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 变式1-3（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 题型二、算24点 典例2 （24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 题型模版 1.特征：给定四个数，通过加、减、乘、除及括号使其结果为24，考验综合运算能力。 2.方法：尝试先两两组合得中间数，再用运算凑24；或从24的因数分解入手，逆向构造算式。 变式2-1（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 变式2-2（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 变式2-3（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 题型三、古代中的有理数运算问题 典例3 （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数2024换算成十进制数是______（注：）． 题型模版 1.特征：将古文或历史情境（如盈亏、赋税）转化为有理数运算，需理解背景。 2.方法：先翻译古文为现代数学语言，提取正负数，列式按运算规则计算，结果结合情境解释。 变式3-1（25-26七年级上·吉林·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示，一位母亲在从右到左一次排列的绳子上大街，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是________． 变式3-2（25-26七年级上·河北邢台·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的记数符号写出的八进制数，八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 变式3-3（25-26七年级上·全国·阶段检测）第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽图主题图案中的卦图用的是我国古代的计数符号，八卦中称为阳爻，对应数字，称为阴爻，对应数字，这样，图从左起第一个符号表示的二进制数为．      (1)请分别写出图从左起第二、三、四个符号表示的二进制数 、 、 ． (2)大会标识中的记数符号由四个二进制数组成． ①将它们分别转换为八进制数得到一个四位数，求这个四位数 ②将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，求这个十进制数． (3)在祖国母亲周年华诞之际，小明计划制作一份手抄报，希望以八卦符号的形式呈现新中国成立的年份，请结合上述知识，帮助小明在图中画出该八卦符号，样式参考图． 题型四、有理数运算中的新定义型问题 典例4 （25-26七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发奇想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 题型模版 1.特征：给出新的运算符号（如 \(a \oplus b\)），按定义规则求值，重理解与应用。 2.方法：将新定义转化为四则运算表达式，代入数值按括号和常规顺序计算，注意定义域限制。 变式4-1（25-26七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 变式4-2（25-26六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 变式4-3（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 题型五、有理数运算中的规律探究问题 典例5（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）观察：，，，…，以此类推．请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律， ①写出第5个式子___________________； ②写出第个式子___________________； (2)利用发现的规律，计算：． 题型模版 1.特征：观察一组算式结果，发现运算规律（如递推、周期），求第n项或证明结论。 2.方法：列举前几项，分析结构变化，用代数式表示通项，验证规律后代入求解或推广证明。 变式5-1（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 变式5-2（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 变式5-3（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义“”运算规则是，则的运算结果是（    ）． A． B． C．3 D．0 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 二、填空题 5．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是________． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份，将八进制数换算成十进制数是______（提示：当时，）． 8．（25-26七年级上·重庆长寿·阶段检测）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，， （1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：______． （2）数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为3，并提出新的问题：______． 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算： (1)求的值； (2)求的值． 10．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值． 11．（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 12．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 13．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数运算中程序、古代、新定义型及规律探究问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、算24点 题型三、古代中的有理数运算问题 题型四、有理数运算中的新定义型问题 题型五、有理数运算中的规律探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖按流程图计算、古代算术情境、自定义运算规则（如a※b）及数列/图表规律探究。 - 解题方法：程序题严格按步骤迭代；古代题转化为现代算式；新定义题即时套用规则；规律题观察序号与数值的对应关系（如等差、等比、平方、周期）。 - 易错提醒：程序题忽略循环终止条件致死循环；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；规律题未验证前几项即下结论；古代题单位换算或背景术语理解偏差。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数运算中的程序问题 典例1 （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 题型模版 1.特征：按给定运算步骤（如输入→乘方→加减）求输出，或逆向求输入。 2.方法：按程序流程逐步计算；逆向则从结果倒推，用逆运算（加减互逆、乘除互逆）求解。 变式1-1（25-26七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 变式1-2（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的相关运算以及找规律，理解题意，找出相应的规律是解题的关键．根据题目表述，逐一进行计算，找到规律即可得出结果． 【详解】解：若，则第1次“F”运算的结果是； 第2次“F”运算的结果是； 第3次“F”运算的结果是； 第4次“F”运算的结果是； 第5次“F”运算的结果是； 第6次“F”运算的结果是； …， 发现规律为：从第4次开始，进入1，4的循环，周期为2． ， 对应周期内第二个结果，即4， 故答案为：4． 变式1-3（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 【答案】(1)34 (2)C、B、A． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序进行计算，并通过结果逆向推导运算步骤． （1）按A、B、C、D顺序依次运算； （2）通过结果反推被遮挡的运算顺序． 【详解】（1）解：列式为 答：计算结果是34． （2）解：由得 对进行（平方）、（减3）、（乘）运算： ，符合要求． 故答案为：C、B、A． 题型二、算24点 典例2 （24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 题型模版 1.特征：给定四个数，通过加、减、乘、除及括号使其结果为24，考验综合运算能力。 2.方法：尝试先两两组合得中间数，再用运算凑24；或从24的因数分解入手，逆向构造算式。 变式2-1（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 变式2-2（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 变式2-3（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 题型三、古代中的有理数运算问题 典例3 （25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数2024换算成十进制数是______（注：）． 【答案】1044 【分析】本题考查了八进制数与十进制数的换算，解题的关键是掌握“按位乘8的对应幂次再求和”的换算规则． 根据示例换算方法，将八进制数2024的每一位数字依次对应8的3次幂、2次幂、1次幂、0次幂相乘，再累加各项结果得到十进制数． 【详解】解： ， 故答案为：1044． 题型模版 1.特征：将古文或历史情境（如盈亏、赋税）转化为有理数运算，需理解背景。 2.方法：先翻译古文为现代数学语言，提取正负数，列式按运算规则计算，结果结合情境解释。 变式3-1（25-26七年级上·吉林·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示，一位母亲在从右到左一次排列的绳子上大街，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是________． 【答案】165 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：． 故答案为：165． 变式3-2（25-26七年级上·河北邢台·期中）概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的记数符号写出的八进制数，八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】(1) (2)个 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意即可写出八进制数换算成十进制数的式子，计算出结果，即可得到答案． （2）根据题意可得图中的六进制数为，对比八进制换算成十进制数的方法，即可得六进制数换算成十进制数的式子，计算出结果，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得八进制数换算成十进制数为：， ∴八进制数换算成十进制数是． （2）解：根据题意可得图中的六进制数为， ∴对比八进制换算成十进制数的方法，可得六进制数换算成十进制数为： (个)， ∴她一共采集到的野果数量为个． 变式3-3（25-26七年级上·全国·阶段检测）第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽图主题图案中的卦图用的是我国古代的计数符号，八卦中称为阳爻，对应数字，称为阴爻，对应数字，这样，图从左起第一个符号表示的二进制数为．      (1)请分别写出图从左起第二、三、四个符号表示的二进制数 、 、 ． (2)大会标识中的记数符号由四个二进制数组成． ①将它们分别转换为八进制数得到一个四位数，求这个四位数 ②将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，求这个十进制数． (3)在祖国母亲周年华诞之际，小明计划制作一份手抄报，希望以八卦符号的形式呈现新中国成立的年份，请结合上述知识，帮助小明在图中画出该八卦符号，样式参考图． 【答案】(1)、、 (2)①；② (3) 八卦符号如图所示： 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握进位制的转换方法是解题的关键． （1）根据题意，八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，按二进制表示出第二个符号表示的数即可； （2）先根据（1）所求把对应的二进制数数转换为十进制数，再把对应的十进制数转换为八进制数即可； （3）将先转化为八进制，再转化为二进制即可．． 【详解】（1） 解：∵八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0， ∴图2中，从左起第二个符号表示的二进制数为，第三个符号表示的二进制数为，第四个符号表示的二进制数为， 故答案为：、、． （2）解：用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 故这个四位数是． 因为． 故这个十进制数是． （3）解：新中国成立的年份为， 因为， 又因为，，； 题型四、有理数运算中的新定义型问题 典例4 （25-26七年级上·福建漳州·期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号的运算，例如：对于数，定义．小奇突发奇想，也尝试定义一新运算符号“”，规则如下：，试运用此规则完成下列运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义运算可得，再计算即可； （2）根据新定义运算先计算可得，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； 题型模版 1.特征：给出新的运算符号（如 \(a \oplus b\)），按定义规则求值，重理解与应用。 2.方法：将新定义转化为四则运算表达式，代入数值按括号和常规顺序计算，注意定义域限制。 变式4-1（25-26七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4-2（25-26六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 变式4-3（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 题型五、有理数运算中的规律探究问题 典例5（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）观察：，，，…，以此类推．请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律， ①写出第5个式子___________________； ②写出第个式子___________________； (2)利用发现的规律，计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算．解题的关键是得到． （1）①根据题干给定的算式，直接作答即可；②根据题干给定的算式，概括出相应的规律即可； （2）根据规律，拆项相加即可． 【详解】（1）解：①第5个式子：； ②第个式子； （2） ． 题型模版 1.特征：观察一组算式结果，发现运算规律（如递推、周期），求第n项或证明结论。 2.方法：列举前几项，分析结构变化，用代数式表示通项，验证规律后代入求解或推广证明。 变式5-1（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 变式5-2（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 变式5-3（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 【分析】考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）由（1）的结论可知是 个连续奇数的和，得出结果； （4）① 是连续个奇数的和，直接得出结果； ② 是连续个奇数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义“”运算规则是，则的运算结果是（    ）． A． B． C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题目的新定义是解题的关键．根据定义的运算规则，直接代入和进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减、代数式求值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴． 故答案为：A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是________． 【答案】36 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，程序流程图与有理数计算，观察题干的计算程序图，再结合输入的值为4，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：36． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川泸州·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份，将八进制数换算成十进制数是______（提示：当时，）． 【答案】5200 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．读懂题意，利用题目给出的换算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆长寿·阶段检测）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，， （1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：______． （2）数学活动小组的同学们对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为3，并提出新的问题：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握裂项相消法，是解题的关键： （1）利用裂项相消法进行计算即可； （2）利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）由给出的等式可知：； ∴ ； （2） ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、新定义运算法则等知识点，理解新定义的运算规则是解题的关键． （1）直接理由新定义运算法则以及含乘方的有理数法则计算即可． （2）由（1）可得，将代入的计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由（1）可得， 将代入可得： ． 10．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意求解即可． （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 12．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22； (2)； (3)孩子已经出生的天数为42天． 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算，使结果为2298即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即将二进制数“10110”转化为十进制数是22， 故答案为：22； （2）解： ， 将十进制数“2298”转化为八进制数为； （3）解： （天）， 即孩子已经出生的天数为42天． 13．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $