22.3 相似三角形判定（第4课时用三边的关系判定三角形相似）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“三边对应成比例的两个三角形相似”判定定理，通过类比全等三角形SSS定理，从特殊到一般建立知识联系，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接相似三角形判定的逻辑脉络。 其亮点在于以“猜想-实验探究-归纳证明”为主线，发展推理能力（数学思维），例2结合格点三角形用勾股定理计算边长验证比例（数学眼光），符号语言规范表述定理（数学语言）。教学融入类比与转化思想，小结提炼方法，助力学生掌握定理应用，教师可高效开展探究式教学。

22.3相似三角形判定 第四课时 用三边关系判定三角形相似 第二十二章 相似三角形 沪科版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 学生能够理解并掌握 “三角形三边对应成比例的两个三角形相似” 这一判定定理。 经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合理推理能力。 能熟练运用“三角形三边对应成比例的两个三角形相似”定理判定的三角形相似并能进一步进行计算推理。 导入新课 A' B' C' A B C 全等三角形 类比 相似三角形 B' C' A' A B C SSS定理 ， 特殊到一般 ∴ 全等三角形是相似三角形的特例. 3 新知探究 猜想：三边对应成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在△ ABC与△A'B'C' 中， ， 求证：△ ABC与△A'B'C' 相似. B' C' A' A B C 新知探究 ∠A=∠A' B' C' A' A B C 两个三角形三边对应成比例，要看这两个三角形是否相似，只需看其中两组对应边的夹角是否相等即可. 探究方法： 1.利用量角器度量对应角的大小； 2.通过平移让对应角重合，验证对应角的大小关系. 依据相似三角形的判定定理2 如何证明这两个三角形相似呢？ 新知探究 能否说出相似三角形的判定定理1和定理2？ 定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 还记得定理的证明思路吗？ 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A B C A' B' C' D E 作辅助平行线　　　　 得到 证得 1 2 3 6 新知探究 新知探究 ∴ DE = B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE ≌ △A′B′C′ ∴ ， . 又 ，AD = A′B′， ∴ ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， C′ B′ A′ B C A D E ∴△A′B′C′ ∽ △ABC. 新知探究 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（可以简单说成：三边成比例的两个三角形相似）． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 新知探究 ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ . 解： 。判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 新知探究 C B A A′ B′ C′ 解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ∴ △ ABC与△ A′B′C′相似. 例2.如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，△ ABC与△A′B′C′相似吗?为什么? AB= , AC=2 , BC= ; A'B'= , A'C'= , B'C'=5; ∴ = = = = 新知探究 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 课堂训练 1.已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB＝4， BC＝8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB＝3， BC＝4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 课堂训练 2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列四个选项中的三角形，与△ABC相似的是(　　) A 课堂训练 3.如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE. 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE，∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即 ∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°， ∴∠CAE = 20°. 新知巩固 1．一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为9，当另外两边长分别为________时，这两个三角形相似． 12，15 2．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1， ，乙三角形木框的三边长分别为5， ，则甲、乙两个三角形________(填“相似”或“不相似”) 相似 新知巩固 3. 如图①，O是△ABC内的任意一点，AD＝ AO，BE＝ BO，CF＝ CO，则△ABC∽△______，其相似比为________. DEF 3∶2 新知巩固 举一反三：向“逆向推理”生长：在方格纸中，每个小方格的顶点叫作格点，以格点连线为边的三角形叫作格点三角形．如图②，请在边长为1的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似(相似比不为1)，那么△DEF的面积为________． 1 新知巩固 4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．求证：△FDE∽△ABC. ， 证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE，FD，FE是△ABC的中位线． ∴DE＝ BC，FD＝ AB，FE＝ AC， ∴△FDE∽△ABC. 新知巩固 5．如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F， (1)求证：∠BAD＝∠CAE； ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF， 即∠BAD＝∠CAE. 新知巩固 (2)若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数； 解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°. 新知巩固 (3)连接EC，求证：△ABD∽△ACE. 证明：由(1)知∠BAD＝∠CAE， ∵ ∴△ABD∽△ACE. 新知巩固 6. 如图，已知点E是四边形ABCD内一点，连接 AC，EB，EC，ED，且满足 ＝ ＝ . (1)求证：∠DCA＝∠ECB； (1)证明：∵ ＝ ＝ ， ∴△DEC∽△ABC. ∴∠DCE＝∠ACB. ∴∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE. ∴∠DCA＝∠ECB. 新知巩固 (2)若∠ABC＋∠ADC＝180°，试说明：点B，E，D三点共线. 6. 如图，已知点E是四边形ABCD内一点，连接 AC，EB，EC，ED，且满足 ＝ ＝ . 新知巩固 (2)解：∵ ＝ ，∴ ＝ . ∵∠DCA＝∠ECB， ∴△DCA∽△ECB. ∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DEC∽△ABC，∴∠DEC＝∠ABC. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠DEC＋∠BEC＝180°. ∴点B，E，D三点共线. 课堂小结 相似三角形的判定定理3 相似三角形的判定定理3： 符号语言： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似． 简记为：三边成比例的两个三角形相似． 在△ABC 和 中， ∴ . △ABC∽ ∵ ， A B C A' C' B' 思想方法 课堂小结 （1）类比思想； （2）建模思想； （3）转化思想； 谢谢聆听 ， ， 证明：∵＝＝， ＝＝. ＝，∴＝， $