22.3 相似三角形判定（第3课时用边角的关系判定三角形相似）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。课堂导入通过类比全等三角形SAS定理，从特殊到一般构建知识联系，引导学生经历猜想、验证过程，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于注重推理能力与模型意识培养，通过例2比例计算、例3动态条件分析及雨伞截面图等实例，结合类比、转化思想，帮助学生抽象数学关系并应用。学生提升逻辑推理与问题解决能力，教师获得结构化教学资源，高效开展教学。

22.3相似三角形判定 第三课时 用边角关系判定三角形相似 第二十二章 相似三角形 沪科版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握用三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，判定三角形相似。 通过观察、猜想、验证等活动，培养学生的推理能力和归纳总结能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。 能运用“三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等”定理解决的三角形相似问题。 导入新课 A' B' C' A B C 全等三角形 类比 相似三角形 B C A A' B' C' SAS定理 . 且∠A = ， 特殊到一般 ∴ 且∠A = 全等三角形是相似三角形的特例. 导入新课 猜想：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. A' B' C' A B C 方法与步骤： 先写出已知、求证，并画出图形； 再写出证明过程； 最后获得定理. 还记得证明猜想的方法与步骤吗？ 试着去证明猜想吧！ 新知探究 分析 通过作辅助线，构建与 全等，并且与△ABC相似的三角形即可. A B C A' C' B' 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' 新知探究 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言 ： 在△ABC 和 中， ∴ . △ABC ∽ ∵ ， 且 ， A B C A' C' B' 相似三角形的判定定理2 新知探究 例2 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： AB = 5，AC = 3，∠A = 45°，A'B' = 10，A'C' = 6， ∠A = 45°； 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A = 45°，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 新知探究 例3如图，在△ABC中，点E在AB上，延长AC到点D，连接E，与BC相交于点O. （1）当∠D满足什么条件时，△ADE∽△ABC? （2）当AE：AC满足什么条件时，△ADE∽△ABC? 解：(1)∵∠A=∠A, ∴当∠D =∠B时,△ADE∽△ABC. （2）∵∠A =∠A， ∴当AE：AC=AD：AB时，△ADE∽△ABC. 新知探究 两边________且夹角________的两个三角形相似．利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边成比例且一组对应角相等”，那么这两个三角形就不一定相似了． 成比例 相等 课堂训练 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F E D 证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°， ∴ △DEF ∽△ABC. ∴ 课堂训练 2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD = AE，AB = AC， ∴ ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC， ∴△ABC ∽ △ADE. 又 ∵∠DAB = ∠CAE， A B C D E 课堂训练 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 3. 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 新知巩固 1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 新知巩固 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论正确的是(　　) A．只有①和③相似 B．只有②和④相似 C．①和③相似且②和④相似 D．没有相似三角形 A 新知巩固 3. 如图是一种雨伞的截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF＝30 cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭．若AB＝3AE，AD＝3AO，此时B，D两点间的距离等于(　　) A．60 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm C 新知巩固 4．如图，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝6，当BD＝_____时，△ABD∽△DBC. 新知巩固 5.如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB = 90°． A B C D 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB = 90°. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. ∵ ∴△ADC ∽△CDB. ∴∠ACD = ∠B. 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 新知巩固 6．如图，已知点 B，C在线段AD上，且AB＝9，CD＝4，△PBC是边长为6的等边三角形．求证：△ABP∽△PCD. 证明：∵△PBC是边长为6的等边三角形， ∴PB＝PC＝6，∠PBC＝∠PCB＝60°， ∴∠ABP＝∠PCD＝180°－60°＝120°. ∵AB＝9，DC＝4， ∴ ， ∴△ABP∽△PCD. 新知巩固 A B C D P P 7. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB = AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 课堂小结 相似三角形的判定定理2 相似三角形的判定定理2： 符号语言： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 在△ABC 和 中， ∴ . △ABC ∽ ∵ ， 且 ， A B C A' C' B' 思想方法 课堂小结 （1）类比思想； （2）建模思想； （3）转化思想； 谢谢聆听