期中考前满分冲刺之压轴题过关专练（十种类型共60题） 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦期中压轴，整合数与式、数形结合等核心模块，通过分层题型构建从具体到抽象的逻辑链条，渗透数学抽象、运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |循环周期与行列排列|5题|程序框图、数轴滚动、数表规律|从具体情境抽象周期模型，建立数与形的对应关系| |代数式规律与整体思想|12题|图形规律、杨辉三角、整体代换|由特殊到一般推导公式，通过整体代换简化运算| |数轴动点与新定义|11题|动态距离、折线数轴、自定义运算|运用几何直观分析运动过程，通过符号意识转化新定义| |整除问题|6题|数的整除特征、数位关系证明|基于数的组成原理，通过代数推理验证整除规律|

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、循环周期与行列排列问题(选、填) 1．（学习生活情境·程序框图）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为27，则第2026次输出的结果为（   ） A．3 B．27 C．9 D．1 2．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母所对应的点（   ）重合． A．A B．B C．C D．D 3．正整数按图中的规律排列，请找出数字2022在第几行，第几列？（    ） A．45行6列 B．45行5列 C．45行4列 D．45行3列 4．如图，横排为行，竖排为列，例如排在第行第列，按其中的规律，若分数排在第行第列，则的值是______．                5．将从1开始的连续自然数按下表所示规律排列： 行 列 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第m行 … … … … 规定位于第m行、第n列的自然数记为，如：自然数8记为，自然数10记为，自然数15记为，…，按此规律，自然数2024记为__________； 若自然数k记为（其中a为偶数，b可为1，2，3，4），则k为__________（用a，b表示） 6．数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 类型二、若求只需与正确结论问题(选、填) 1．如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列那个正方形的边长（   ） A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④ 2．如图，在一个大长方形中放入一个大正方形和两个完全一样的小正方形、，重叠部分、也为正方形，记阴影部分①、②、③的周长分别为、、．若要求的值，只需知道下列哪条线段的长度（   ） A． B． C． D． 3．如图，将①和②两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中，正方形①边长为，正方形②边长为，长方形长为，宽为，已知图的阴影部分周长为，若要求图阴影部分的周长，只需要知道（   ） A．a B．b C．c D．d 4．已知为有理数，．以下结论：①若，则；②三个数不可能都是负数；③；④．其中结论一定正确的是______（填序号）． 5．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为，给出以下结论：①；②小正方形的边长；③；④阴影部分的周长和为．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 6．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的边长为．给出下面三个结论： ①小长方形较长的边为； ②阴影和阴影的周长之和与的取值无关； ③若时，则阴影的周长比阴影的周长少． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 类型三、代数式的规律问题(选、填、解) 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 2．下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 3．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 4．如图是我国南宋数学家杨辉年的著作《详解九章算法》，它揭示了（为非负整数）的展开式中每一项按字母的指数由大到小排列的系数规律，请根据其中的规律，写出后面计算的结果． ________． 5．【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． (1)任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． (2)任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． (3)任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 6．仔细观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)按照以上规律，写出第个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：_________（用含n的式子表示）； (3)运用你所学的乘法公式，证明第个等式的正确性． 类型四、代数式的整体思想(选、填、解) 1．当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 2．如果多项式的值等于3，那么多项式的值为（ ）． A．12 B．13 C．14 D．15 3．已知，则_______． 4．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 5．整体代换是数学中常用的思想方法，例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决问题： (1)如果，那么__________； (2)如果，那么__________； (3)如图，图1是根据“幻方”设计出的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字和字母．图2是一扇窗户，其上部是半圆，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，设小长方形的长为米，宽为米，半圆的半径也为米．利用图1中得到的与之间的关系，可求出图2中装饰木条总长度（取3）约为__________米． 6．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 类型五、有理数的乘方与圈次方(选、填、解) 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 2．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．为了简便，可以将记为_____． 4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 5．（概念学习）现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2+2÷2写作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把写作，读作a的圈n次方． （初步探究） （1）计算：＝______，＝______． （2）下列关于除方说法中，错误的是______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，＝1 C：＝ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算写成幂的形式：（﹣3）④＝______，（）⑥＝______． 6．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝________，⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________． A.任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝________；5⑥＝________；________． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：24÷23＋（﹣16）×2④． 类型六、有理数与代数式的新定义计算与应用(解) 1．小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 2．新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 3．定义一种新运算：． (1)计算：的值； (2)若，且，互为倒数，求． 4．对于有理数、定义了一种新运算，如，． (1)计算：① ，② ； (2)若，求的值． 5．定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 6．定义：如果代数式（，，，为常数）与（，，，为常数），满足，，，那么称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的“相关式”． (2)若与互为“相关式”，求的值． (3)若与互为“相关式”，其中，，都是整数，求整数的值． 类型七、代数式中的作差法与值的变化问题(解) 1．作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 2．追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 请用上述方法，比较和的大小． （2）比较和的大小，并说明理由． （3）已知，比较与的大小关系． 3．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①，； ②，； ③，． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． (1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若，则______；若，则______；若，则______b． (2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①______； ②当时，2a______3a； ③当时，______． (3)代数式，，试比较代数式、的大小，并说明理由． 4．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 5．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似的，的值的变化规律是：的值每增加，的值就 ； (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小： ；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式 ； (4)【计算验证】当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … a … … 2 5 8 … … 9 7 5 3 1 … … b 2 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，     ， ； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是；x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就都增加5，且当时，的值为8，求这个含x的代数式． 类型八、整除问题(解) 1．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 2．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 3．【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 4．阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像，，，，…这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．你能说明其中的道理吗?先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，于是．显然能被整除，因此，如果可以被整除，那么就能被整除，即能被整除． (1)请你用代数式表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被整除?并说明理由； (3)已知一个三位数的各位数字均大于，且百位数字大于个位数字，现将这个数的百位数字与个位数字对调形成一个新的数，请问用原数减去新数得到的结果一定能被哪些正数整除?并说明理由： (4)当一个四位数满足什么条件时，它可以被整除?并说明理由． 5．我们知道，像9，45，108，999…这样的正整数能被9整除，一般地，如果一个正整数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个正整数就能被9整除．你知道其中的道理吗？ (1)当该正整数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为a，b，通常记这个两位数为，则 ①= ②，显然②能被9整除，因此，当能被9整除时，就能被9整除．请将横线上内容补充完整： (2)参考上述方法，当该正整数是三位数时，请给出解释； (3)如果一个正整数满足 时，该正整数能被5整除，请对该正整数是四位数时予以解释． 6．某小组在数学学习中发现：，，，，…而自然数12，27，33，45，……，这样的自然数都能被3整除． 猜想：如果一个自然数的所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并给出了当这个自然数为两位数时的说明如下： 如果一个两位数的十位、个位上的数字分别是 a、b，那么记这个两位数为ab，于是． 而9a能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 据此回答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有______（填序号）； ①13；②45；③525；④2024． (2)用含a、b、c的代数式表示三位数______（其中a是百位数，b是十位数，c是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 类型九、数轴动点求t ( 解) 1．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，，则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为，如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A，B，C三点的位置； (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒． ①A，B两点间的距离______； ②用含t的代数式表示t秒时，点P表示的数为______，点M表示的数为______，点N表示的数为______； ③在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识回答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始出发，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． 【问题探究】 (1)点A到点B的距离______，点A到点C的距离________； (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． ①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______． ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8，A到C的距离用表示，由于，所以． 【综合运用】 (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)若动点P从C点出发，点P以每秒3个单位长度的速度向右移动，当点P移动2秒时，点Q才从原点O点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 4．【问题呈现】 如图，在单位长度为1的数轴上有，，，四个点表示4个不同的有理数，点，表示的有理数互为相反数． 【问题发现】 （1）分别求出点、、、表示的有理数，并在数轴上将原点0的位置表示出来； 【拓展应用】 （2）点同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点和点分别以每秒6个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒． ①用含t的代数式表示经过秒点之间的距离； ②经过秒，若点，之间的距离为，点，之间的距离为，求的值． 5．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 6．如图，将一条数轴“折叠”，折点分别为原点O、点B和点C，我们称这条数轴为“V型数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示18，点D表示30，我们称点A与点C在“V型数轴”上的“V型距离”为30，记作．点M从点A出发，以每秒2个单位的初速度沿“V型数轴”向正方向运动，同时点N从点D出发，以每秒3个单位的初速度沿“V型数轴”向负方向运动，点M与点N在上坡时都是各自初速度的一半，下坡时都是各自初速度的两倍，水平时均保持各自的初速度运动．点M、N运动的终点分别为点D、点A．假设运动时间为t秒． (1)________；点A运动到点D需要的时间是______秒． (2)①当时，点N在“V型数轴”上所表示的数为______； ②当点N运动t秒至段时，则点N在“V型数轴”上所表示的数为_____．（用含t的代数式表示） (3)求点M与点N相遇时t的值． (4)请求出当时t的值． 类型十、数轴与方程的新定义应用一选考(解) 1．定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”． 【理解定义】 （1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度； 【定义应用】 （2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度； 【定义拓展】 （3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？ 2．对于数轴上不重合的两点，，给出如下定义：若数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“绝对距离”若线段和的长度相等，将线段或的长度定义为点到线段的“绝对距离”． (1)当数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为时． 点到线段的“绝对距离”为_____________； 点表示的数为，若点到线段的“绝对距离”为，则的值为_____________； (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点以每秒个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为秒，当点到线段的“绝对距离”为时，求的值． 3．【数学概念】 、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“密距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“密距离”． 【概念理解】 如图1，点表示数，点表示数3． （1）若点表示数，则点到线段的“密距离”为___________； （2）若点在点、之间，点表示的数是，点到线段的“密距离”是3，则___________； 【概念应用】 （3）如图2，在数轴上，点表示的数是-6，点表示的数是-3，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为秒，当点到线段的“密距离”为1时，求的值． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 5．新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 6．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、循环周期与行列排列问题(选、填) 1．（学习生活情境·程序框图）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为27，则第2026次输出的结果为（   ） A．3 B．27 C．9 D．1 【答案】A 【分析】本题主要有理数与程序图的运用，代数式的求值，理解程序图的计算方法，掌握有理数的混合运算，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用有理数的混合运算法则分别算出每一次的结果进行比较，找出规律即可求解． 【详解】解：第1次，， 第2次，3， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 依此类推，从第3次开始，奇数次运算输出的结果是1，偶数次运算输出的结果是3， ∴第2026次输出的结果为3． 故选：A． 2．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母所对应的点（   ）重合． A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题考查数轴，以及数轴上点规律探索，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成． 根据圆的周长得到，4个数字一个周期，然后从1开始，即出发的位置是点A，然后用2025除以4看余数即可． 【详解】解：， 圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， 点与数字1对应， ， 即从开始再转4次， 对应的字母是． 故选：B． 3．正整数按图中的规律排列，请找出数字2022在第几行，第几列？（    ） A．45行6列 B．45行5列 C．45行4列 D．45行3列 【答案】C 【分析】此题考查了数字变化类规律，关键是能准确理解题意并归纳出规律．通过归纳第n行第1列数字的规律进行求解． 【详解】解：∵第1行第1列数字是， 第2行第1列数字是， 第3行第1列数字是， 第4行第1列数字是， ……， ∴第n行第1列数字是， ∵，， 即， ∵， ∴数字2022在第45行，第4列， 故选：C． 4．如图，横排为行，竖排为列，例如排在第行第列，按其中的规律，若分数排在第行第列，则的值是______．                【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列，第行的分子分母之和是，据此规律求解即可，解题的关键读懂题意，找出规律． 【详解】解：观察表得：分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致， ∴故在第列，即； 由表可知每一行的分子分母之和保持不变，发现第行的分子分母之和是， ∴分数所在的行数是：，即， ∴， 故答案为：． 5．将从1开始的连续自然数按下表所示规律排列： 行 列 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第m行 … … … … 规定位于第m行、第n列的自然数记为，如：自然数8记为，自然数10记为，自然数15记为，…，按此规律，自然数2024记为__________； 若自然数k记为（其中a为偶数，b可为1，2，3，4），则k为__________（用a，b表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2024除以4，根据商与余数确定2024所在的行数，以及是此行的第几个数；根据偶数行的特点可表示出k的值． 【详解】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列． ∵， ∴2024在第506行， ∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列， ∴自然数2024记为． ∵第2行第1列的数是，第2列的数是，…， 第4行第1列的数是，第2列的数是，…， …， ∴第a（a为偶数）行第1列的数是，第b列的数是， 故答案为：，． 6．数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 【答案】26 【分析】分别计算出，，，，，的值，观察规律，再计算即可． 【详解】解：根据题意有， ，， ，， ，， ，， ，， ，， …， 则该数列是以26，65，122这三个数循环出现， ∵， ∴． 类型二、若求只需与正确结论问题(选、填) 1．如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列那个正方形的边长（   ） A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④ 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，列出阴影部分周长之差是关键．设正方形纸片①②③④的边长分别为，列出两个阴影部分的周长之差进行化简即可得出结果． 【详解】如图，设正方形纸片①②③④的边长分别为 左上角阴影的周长为， 右下角阴影的周长为 图中两块阴影部分的周长之差为， 故只需知道正方形纸片①得边长即可． 故选：A 2．如图，在一个大长方形中放入一个大正方形和两个完全一样的小正方形、，重叠部分、也为正方形，记阴影部分①、②、③的周长分别为、、．若要求的值，只需知道下列哪条线段的长度（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长及整式的表达及化简计算．设大正方形的边长为a，两个完全一样的小正方形、边长为b，重叠部分正方形的边长为c，正方形的边长为d，结合图形将阴影部分的周长用未知数进行表示，再计算得出的未知数表达式，即可求得结果． 【详解】解：设大正方形的边长为a，两个完全一样的小正方形、边长为b，重叠部分正方形的边长为c，正方形的边长为d， ∴阴影部分①的周长表示为：， 阴影部分②的周长表示为：， ∴四边形是正方形， 阴影部分③的周长表示为：， 其中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴周长表示为：， ∴， ∵， ∴只需知道正方形任一边长的长度即可， 故选：A． 3．如图，将①和②两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中，正方形①边长为，正方形②边长为，长方形长为，宽为，已知图的阴影部分周长为，若要求图阴影部分的周长，只需要知道（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减的应用，根据题意图的阴影部分周长为，得出，进而得出图的阴影部分周长，即可求解． 【详解】解：依题意，图的阴影部分周长为 ∴， 图的阴影部分周长为 ∴若要求图阴影部分的周长，只需要知道， 故选：A． 4．已知为有理数，．以下结论：①若，则；②三个数不可能都是负数；③；④．其中结论一定正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 根据题意可得、、中有2个正数，1个负数，进而逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴、、中有2个正数，1个负数， ∴①，，则，故①正确； 若三个数都是负数，则，故②正确． 当，且时，，故③错误； ∵， ∴、、中有2个正数，1个负数， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，其中结论一定正确的是①②④． 故答案为：①②④． 5．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为，给出以下结论：①；②小正方形的边长；③；④阴影部分的周长和为．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了长方形与正方形的边长关系、周长计算，熟练掌握通过设未知数结合图形线段的等量关系分析是解题的关键．设小正方形边长为，结合长方形的周长列方程求，进而从图形线段的直接关系出发，逐一验证四个结论． 【详解】解：设小正方形和的边长为． 由长方形得：，． 长方形的宽为，长为． ∵长方形的周长为， ∴， 化简得：， ， ， ， 解得． ∵， ， ∴，①正确． ∵小正方形边长， ∴②正确． ∵， ∴③错误． 阴影部分的周长和为 ， ∴④正确． 故答案为：①②④． 6．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的边长为．给出下面三个结论： ①小长方形较长的边为； ②阴影和阴影的周长之和与的取值无关； ③若时，则阴影的周长比阴影的周长少． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了图形周长的计算，列代数式，求代数式的值，整式的加减，正确表示出长方形A，B的长和宽是求解本题的关键．依次表示出两个长方形的周长，再判断即可． 【详解】解：由题意得：小长方形较长边等于长方形A的较长边，其长度， 故①符合题意； 阴影A的长为：，宽为：， ∴阴影A的周长， 阴影B的长为：，宽为：， 阴影B的周长， ∴阴影A和阴影B的周长之和为： ，其值与y无关，故②符合题意； 当时，阴影A的周长， 阴影B的周长， ∴，故③符合题意； 故答案为：①②③． 类型三、代数式的规律问题(选、填、解) 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2张黑色正方形纸片，据此得出规律求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图中有张； 第②个图中有张； 第③个图中有张； …… ∴第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为张． 2．下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 【答案】 【分析】由前三个图可发现四个数之间的规律如图所示： 【详解】解：由前三个图可知： 左下角的数， 右上角的数， ． 3．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 【答案】 【分析】根据图中的规律表示出，结合解题． 【详解】解：由图可知，，，，， 则可推出， ∴原式 ． 4．如图是我国南宋数学家杨辉年的著作《详解九章算法》，它揭示了（为非负整数）的展开式中每一项按字母的指数由大到小排列的系数规律，请根据其中的规律，写出后面计算的结果． ________． 【答案】 【分析】由题意可得的系数为，，，，，则的首位系数均为，中间系数为的相邻两系数之和，则的系数为，，，，，；的字母降幂排列，字母升幂排列，即可求解． 【详解】解：根据题意可得． 5．【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． (1)任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． (2)任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． (3)任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 【答案】(1)边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个， ∴正方形的个数一共有（个）． (2) (3) 【分析】（1）分析每种边长的正方形的个数，求和即可； （2）根据前三个图总结出规律可得，再计算出，最后求比值即可； （3）分别计算每种边长的正方形的个数，求和即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题干总结规律可得，， ， ∴； （3）解：如图， 边长为1的正方形每一行有10个，共4行， ∴共有个； 边长为2的正方形每一行有9个，共3行， ∴共有个； 边长为3的正方形每一行有8个，共2行， ∴共有个； 边长为4的正方形每一行有7个，共1行， ∴共有个； 综上，正方形个数为（个）． 6．仔细观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)按照以上规律，写出第个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：_________（用含n的式子表示）； (3)运用你所学的乘法公式，证明第个等式的正确性． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）观察前几个等式，根据规律写出等式； （2）根据前面的等式总结规律即可； （3）利用完全平方公式对等式左边进行化简，看是否等于右边，即可论证. 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… ∴第个等式：； （2）解：由题意可得： 第 个等式：； （3）证明：左边右边， ∴ 等式成立． 类型四、代数式的整体思想(选、填、解) 1．当时，代数式的值为6，当时，这个代数式的值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题运用整体代入法求解，先根据时代数式的值求出的值，再利用奇次幂的符号性质，将代入后代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴把代入得 ， 整理得：， 当时，代入代数式得： ， 即当时，这个代数式的值是． 2．如果多项式的值等于3，那么多项式的值为（ ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题运用整体代入的思想解题，根据已知条件整理得到对应关系式，再通过变形得到所求多项式的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴． 3．已知，则_______． 【答案】25 【详解】解：∵， ， ． 4．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【答案】 【分析】由、互为相反数，、互为倒数，得，整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ， 原式． 5．整体代换是数学中常用的思想方法，例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决问题： (1)如果，那么__________； (2)如果，那么__________； (3)如图，图1是根据“幻方”设计出的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字和字母．图2是一扇窗户，其上部是半圆，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，设小长方形的长为米，宽为米，半圆的半径也为米．利用图1中得到的与之间的关系，可求出图2中装饰木条总长度（取3）约为__________米． 【答案】(1)2026 (2) (3)6 【分析】本题考查了整体代换的思想，解决本题的关键是化简并整理代数式． （1）整体求解，再代入求解即可； （2）先对进行化简，再将代入求解即可； （3）先根据“幻圆”求出与之间的关系，再用与表示出装饰木条总长度，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：2026； （2）解：∵， ∵， ∴原式； 故答案为：； （3）解：∵在“幻圆”中横线与小圆的四个数字加起来的和均相等， ∴，即， 整理可得， ∴装饰木条总长度为． 故答案为：6． 6．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 类型五、有理数的乘方与圈次方(选、填、解) 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 2．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 5．（概念学习）现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2+2÷2写作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把写作，读作a的圈n次方． （初步探究） （1）计算：＝______，＝______． （2）下列关于除方说法中，错误的是______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，＝1 C：＝ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算写成幂的形式：（﹣3）④＝______，（）⑥＝______． 【答案】（1）；（2）C；（3）； 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； 【详解】解：（1）有题意可知：， 故答案为：； （2）A、任何非零数的圈2次方都等于1；  所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确； C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的， 故选C； （3） 故答案为：； 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 6．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝________，⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________． A.任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝________；5⑥＝________；________． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：24÷23＋（﹣16）×2④． 【答案】初步探究：（1）；；（2）C；深入思考：（1）；；；（2）；（3）-2 【分析】初步探究（1）根据所给的定义运算即可； （2）根据定义运算，逐一分析判断即可； 深入思考（1）将有理数除方运算转化为乘方运算即可； （2）观察已给算式和计算结果，分析即可得到答案； （3）根据有理数相关的运算原则和已知除方运算原则计算即可． 【详解】解：初步探究 （1） 故答案为： 故答案为： （2），理由如下： ，，故C错误． 深入思考 （1） ＝ ＝ 故答案为： = = 故答案为： = = 故答案为： （2）通过观察可知： 故答案为： （3） ． 【点睛】本题考查新定义运算，有理数的乘方运算，有理数的除法计算以及有理数加减乘除混合运算，牢记运算原则并能够结合新定义概念是解题关键． 类型六、有理数与代数式的新定义计算与应用(解) 1．小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 解：成立，理由如下： ∵，， 又∵，， ∴； (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，规律探索，解一元一次方程，整式加减运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据给出的式子总结规律：； （2）根据加法的交换律和乘法的交换律进行验证即可； （3）将其代入（1）中所总结的规律，列出方程，解答即可； （4）根据，得出，根据的运算结果与的取值无关，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （4）∵， ∴ ， ∵的运算结果与的取值无关， ∴， 解得：． 2．新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 3．定义一种新运算：． (1)计算：的值； (2)若，且，互为倒数，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，以及倒数的性质．关键是准确理解新运算“”的规则，并将其转化为常规的代数运算来求解． （1）直接将、代入新运算的定义式，按照有理数的运算顺序计算出结果； （2）先把、代入新运算的定义式，通过去括号、合并同类项化简整式，再结合“，互为倒数则”的性质代入化简后的式子求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． ∵，互为倒数， ∴，原式． 4．对于有理数、定义了一种新运算，如，． (1)计算：① ，② ； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的加减运算与代数式求值，熟练掌握新运算的规则以及整式的加减运算法则是解题的关键． （1）①先判断与的大小关系，再选择对应的新运算公式进行计算．②先判断与的大小关系，再选择对应的新运算公式进行计算． （2）先比较与的大小，选择对应新运算公式，代入表达式后化简，再结合已知条件求出的值． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ， ∴． 5．定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 【答案】(1)， (2) 解： ； ， ； ， ， 所以a与b不是关于3的实验数． (3) 【分析】（1）根据“实验数”的定义，设这个数为m，则，求出未知数即可；设这个数为n，则，求出n即可； （2）首先化简a和b，然后计算，求出是不是3即可； （3）首先化简c和d，因为c与d是关于3的实验数，所以，求出结果即可． 本题考查了整式的加减，列代数式，解决本题的关键是熟练运用“实验数”的定义解决问题． 【详解】（1）解：设这个数为m，则： ， 解得 设这个数为n，则： ， 解得 故答案为：， （2）略 （3）解： ， ， ， 因为c与d是关于3的实验数， 所以， 所以， 得：． 6．定义：如果代数式（，，，为常数）与（，，，为常数），满足，，，那么称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的“相关式”． (2)若与互为“相关式”，求的值． (3)若与互为“相关式”，其中，，都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，代数式求值，掌握相反数的性质是解题的关键． （1）根据相反数的性质求出的各项的系数即可； （2）根据“相关式”的特点求出、并代入求值即可； （3）根据“相关式”的特点求出，，从而，然后根据，都是整数即可求解． 【详解】（1）解：∵、、的相反数分别是、、， ∴的相关式为． （2）∵与互为“相关式”， ∴，， ∴，， ∴． （3）与互为“相关式”， ，， ， ， ， ∵，都是整数， 或． 类型七、代数式中的作差法与值的变化问题(解) 1．作差法是比较两个数大小的常用方法．例如：比较和的大小，因为，所以．我们在学习整式的加减时，常常类比数的有关运算和运算律，数式具有通性，那么比较整式的大小时，同样也可以类比有理数大小比较的方法．根据以上材料，用作差法解答下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，判断差的符号解答即可； （2）计算，判断差的符号解答即可． 本题考查了整式的大小比较，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：， 因为，所以． （2）解： ， 因为，所以， 所以． 2．追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 请用上述方法，比较和的大小． （2）比较和的大小，并说明理由． （3）已知，比较与的大小关系． 【答案】 （1），理由如下， ∵， ∴； （2）当时，；当时，；当时，；理由如下： ∵， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； （3）． 【分析】本题考查了整式的减法． （1）根据，即可解答； （2）根据，根据的取值，即可解答； （3）计算，判断其结果的正负，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即． 3．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①，； ②，； ③，． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． (1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若，则______；若，则______；若，则______b． (2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①______； ②当时，2a______3a； ③当时，______． (3)代数式，，试比较代数式、的大小，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)①；②；③ (3) ，理由如下： 由题可知； ； 则 ， ． 【分析】本题考查整式的加减，有理数的大小比较，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）直接依据题意利用作差的结果的正，负或0，直接可以进行比大小． （2）利用第1小问的提示，进行知识迁移即可比较两个多项式的大小． （3）直接根据题目中第2小问的提示，先作差，再判定符号，最后判定大小，即可得出代数式与的大小关系． 【详解】（1）解：（1）， ； ， ； ， ； 故答案为：；；； （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 故答案为：； ③， ， ， ， 故答案为：； （3）解：略． 4．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … m 1 4 … … 7 4 1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：______；______． (2)【归纳规律】表中值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3；类似地，值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______． (3)【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（k为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)减少3 (3)，理由如下： 当时，x的值每增加1，代数式的值就增加k． 当时，x的值每增加1，代数式的值减少 理由如下：当时，， 当时，， ． 【分析】此题考查整式的加减计算，已知字母的值求代数式的值： （1）将x值分别代入求出式子的值即可； （2）将与的值相减即可判断变化情况； （3）当时，；当时，，得到，由此得到结论． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：； （2）， ∴x的值每增加1，的值就减少3， 故答案为：减少3； （3）解：略． 5．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似的，的值的变化规律是：的值每增加，的值就 ； (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小： ；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式 ； (4)【计算验证】当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1)；； (2)增加； (3)，； (4) 解：当时，， 当时，， ， 当的值从增加到时，关于的代数式的值增加． 【分析】本题考查了代数式的值，解题关键是根据题意，发现规律． 把代入相应的代数式求值即可； 从表中观察的值的变化规律可得结果； 根据要求写出符合条件的代数式即可； 分别把和代入代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：，； （2）解：的值的变化规律是：的值每增加，的值就增加， 故答案为：； （3）解：要求的值每增加，代数式的值就减小的代数式为：(答案为唯一)； 要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为的代数式为； 故答案为：，； （4）略 6．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … a … … 2 5 8 … … 9 7 5 3 1 … … b 2 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，     ， ； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是；x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就都增加5，且当时，的值为8，求这个含x的代数式． 【答案】（1）、5；（2）增加2、减少3；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，有理数的混合运算，解一元一次方程．准确计算是解题的关键． （1）分别将代入两个代数式．计算可得a、b的值即可； （2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论； （3）选根据（2）中的规律即可求解． 【详解】解：（1）根据表中信息可知， ， 故答案为：，5； （2）观察表格可以看出， 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加2； 的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少3． 故答案为：增加2，减少3； （3）根据（2）中的规律可知，当x的值每增加1，的值就都都增加5，x的系数， 又因为时，的值为8， ，解得， 故这个含x的代数式为：． 类型八、整除问题(解) 1．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）证明：∵ ， 又∵ 和能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． （4）能 （5） 【分析】本题主要考查了数的整除性、代数式的拆分与整式的加减，熟练掌握将数拆分为含9（或9的倍数）的部分与数字和部分的方法是解题的关键． （1）将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质补全证明； （2）根据能被整除的数的数字和特征，结合是偶数确定的值； （3）类比能被整除的证明方法，将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质证明； （4）先表示出四位数与三位数，计算出差后拆分为含的倍数的部分与数字和的部分，判断是否能被整除； （5）根据能被整除的数的数字和特征，计算五位数的数字和，结合的取值范围确定的值． 【详解】（1）证明： ， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除， 故答案为：；． （2）解：∵ 三位数能被3整除， ∴ 能被3整除， ∴ 的可能值为9、12、15， 解得、、， 又∵ 是偶数， ∴ ． （3）略 （4）解：能被3整除． 理由：四位数， 三位数， 则差为：， ∵ 能被3整除， ∴ 四位数与三位数的差能被3整除． （5）解：∵ 五位数能被9整除， ∴ 数字和能被9整除， ∴ （是个位数）， 解得． 2．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【答案】(1)② (2) (3) 解：， 能被3整除， 若能被3整除，则能被3整除，即能被3整除， 如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【分析】本题考查列代数式以及数的整除，整式加减的应用．熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）计算各数位上的数字之和，若能被3整除，则该数就能被3整除，据此逐个判断即可； （2）根据已知条件可得； （3），根据已知条件按照材料的方法即可证明． 【详解】（1），7不能被3整除， 25不能被3整除； ，9能被3整除， 225能被3整除； ，8不能被3整除， 1025不能被3整除； 故能被3整除的有225． （2）． （3）略 3．【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 【答案】 （1）正确，证明：设三位数的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则这个三位数可表示为： ， ∵， 则上式变为， ∵是9的整数倍， 能被9整除，小明的观点正确； （2）或； （3）①；②或；③任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数 【分析】本题主要考查了数的整除特性的证明与应用，涉及3、9、11 的整除规律推导及实际运用．熟练掌握“用代数表示数并拆分变形，结合整除定义分析数字和与数的关系”是解题关键． （1）通过代数表示三位数，拆分变形为9 的倍数与数字和的组合，利用“数字和为9”推导其是9 的倍数，验证观点正确性； （2）根据能被9 整除的数的数字和规律，结合五位数的数字和，确定其为9 的倍数，进而求的值即可； （3）将数拆分为11 的倍数与数字组合的形式，通过整除条件推导不同位数下数字需满足的关系，归纳通用规律即可． 【详解】解：（1）略 （2）的各位数字和为， 由（1）的证明过程类比可知，若一个自然数各数位数字之和能被9整除，则该数能被9整除， 因此若五位数能被9整除，则能被9整除， 由题意可知， ∴或， ∴或； （3）①两位数，若能被11整除，则（k为整数）， ∵，， ∴，即； ②三位数 若能被11整除，则或11的倍数， 即或； ③根据②可得：若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件为（k为整数）， 四位数 ， 若能被11整除，则（k为整数）， 同理可得：若五位数能被11整除，则（k为整数）， 若六位数能被11整除，则（k为整数）， … 则任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数． 4．阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像，，，，…这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．你能说明其中的道理吗?先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，于是．显然能被整除，因此，如果可以被整除，那么就能被整除，即能被整除． (1)请你用代数式表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被整除?并说明理由； (3)已知一个三位数的各位数字均大于，且百位数字大于个位数字，现将这个数的百位数字与个位数字对调形成一个新的数，请问用原数减去新数得到的结果一定能被哪些正数整除?并说明理由： (4)当一个四位数满足什么条件时，它可以被整除?并说明理由． 【答案】(1) (2)当一个三位数满足能被整除时，它能被整除， 理由：， 和都能被整除， 如果能被整除，则能被整除， 即能被整除； (3)用原数减去新数得到的结果一定能被、、、、、整除， 理由：设原三位数为， 则新数为， 则原数减新数：， 各位数字均大于，且百位数字大于个位数字， 为正整数， 能被整除， 因此，一定能被的所有正因数整除， 即、、、、、； (4)当一个四位数满足能被整除时，它可以被整除， 理由：设四位数千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则， ， 能被整除， 当能被整除时，能被整除， 即能被整除． 【分析】本题考查数字的表示方法及整除性质． （1）类比两位数，三位数的百位数字乘、十位数字乘、个位数字乘，相加即可表示三位数； （2）将三位数分解为，利用的倍数性质，得出数字和需被整除的结论； （3）写出原数与新数的代数表达式(注意数位变化)，通过计算原数与新数的差，分析差的因数； （4）将四位数分解为，利用的倍数性质，得出最后两位组成的数需被整除的结论． 【详解】（1）设三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则； （2）略 （3）略 （4）略 5．我们知道，像9，45，108，999…这样的正整数能被9整除，一般地，如果一个正整数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个正整数就能被9整除．你知道其中的道理吗？ (1)当该正整数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为a，b，通常记这个两位数为，则 ①= ②，显然②能被9整除，因此，当能被9整除时，就能被9整除．请将横线上内容补充完整： (2)参考上述方法，当该正整数是三位数时，请给出解释； (3)如果一个正整数满足 时，该正整数能被5整除，请对该正整数是四位数时予以解释． 【答案】(1)①：② (2) 当该自然数是三位数时，设它的百位、十位、个位上的数字分别为c，d，e，记这个三位数为，则 ． 因为能被9整除，所以当能被9整除时，就能被9整除． (3)个位数字是0或5 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，表示三位数和两位数，四位数的方法，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，即可作出判断； （2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，表示出三位数，验证即可； （3）设四位数的千位、百位、十位、个位分别为a、b、c、d，则四位数，由能被5整除，得到当或时，四位数就能被5整除，即可解答． 【详解】（1）解：依题意，得：， 故答案为：①：②； （2）略 （3）解：设四位数的千位、百位、十位、个位分别为a、b、c、d， 则四位数 ， ∵能被5整除， ∴当或时，四位数就能被5整除． 故答案为：个位数字是0或5． 6．某小组在数学学习中发现：，，，，…而自然数12，27，33，45，……，这样的自然数都能被3整除． 猜想：如果一个自然数的所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并给出了当这个自然数为两位数时的说明如下： 如果一个两位数的十位、个位上的数字分别是 a、b，那么记这个两位数为ab，于是． 而9a能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 据此回答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有______（填序号）； ①13；②45；③525；④2024． (2)用含a、b、c的代数式表示三位数______（其中a是百位数，b是十位数，c是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【答案】(1)②③ (2) (3) 证明： ； ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据如果一个自然数的所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除进行判断即可； （2）根据题意列出代数式，即可求解； （3）根据整式加减法则，仿照例题进行计算即可． 【详解】（1）①；所有数位之和不能被3整除，故不能被3整除， ②；所有数位之和能被3整除，故能被3整除， ③；所有数位之和能被3整除，故能被3整除， ④．所有数位之和不能被3整除，故不能被3整除， 综上所述：能被3整除的有②45；③525； 故答案为②③； （2）解：依题意，， 故答案为：． （3）略 类型九、数轴动点求t ( 解) 1．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，，则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为，如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A，B，C三点的位置； (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒． ①A，B两点间的距离______； ②用含t的代数式表示t秒时，点P表示的数为______，点M表示的数为______，点N表示的数为______； ③在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) 则在图2中表示出三点的位置如下： (2)①3；②，，；③不变，值为24 【分析】本题考查了数轴、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质求出点表示的数，再在数轴上表示出它们的位置即可得； （2）①根据数轴的性质求解即可得； ②根据点的运动方向和速度，结合数轴的性质求解即可得； ③根据（2）②的结论可求出，再计算整式的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）：①∵点表示的数是，点表示的数是1， ∴， 故答案为：3； ②∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； ③的值不随着时间的变化而变化，其值为24，理由如下： ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ． 答：在移动的过程中的值不变，为24． 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识回答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始出发，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． 【问题探究】 (1)点A到点B的距离______，点A到点C的距离________； (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． ①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______． ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)①；； ②不变，为 【分析】本题考查了数轴的动点问题，列代数式和整式的加减运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意表示出点、、表示的数，进而求解； （2）①根据题意表示出点、、表示的数，进而求解； ②分别表示出和，代入即可证明． 【详解】（1）解：由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，； 故答案为：；； （2）解：①由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：；；； ②由①知，， ∴， ∴其值不变，为． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8，A到C的距离用表示，由于，所以． 【综合运用】 (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)若动点P从C点出发，点P以每秒3个单位长度的速度向右移动，当点P移动2秒时，点Q才从原点O点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)10；16 (2) 解：的值不随着时间t的变化而改变，理由： 由题得：运动t秒后，点A表示的数为：，点B表示的数为：，点C表示的数为：， ∴，， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变； (3) 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据题意求出点，，移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （3）分两种情况：当时，当时，根据两点间距离公式，分别求出P、Q两点间距离即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8， ∴， ； （2）略 （3）解：当时，点Q表示的数为：0，点P表示的数为：，； 当时，点Q表示的数为：，点P表示的数为：，； 综上，． 4．【问题呈现】 如图，在单位长度为1的数轴上有，，，四个点表示4个不同的有理数，点，表示的有理数互为相反数． 【问题发现】 （1）分别求出点、、、表示的有理数，并在数轴上将原点0的位置表示出来； 【拓展应用】 （2）点同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点和点分别以每秒6个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒． ①用含t的代数式表示经过秒点之间的距离； ②经过秒，若点，之间的距离为，点，之间的距离为，求的值． 【答案】 （1）在数轴上表示原点0的位置如下图所示： （2）①；②1 【分析】（1）根据相反数的定义可确定中点为原点，进而即可解答； （2）①分别表示出t秒钟过后，点A和点D表示的数，再根据数轴上两点之间的距离的求法解答即可；②分别表示出t秒钟过后，点B和点C表示的数，从而可用t表示出m和n，再计算即可． 本题考查用数轴上的点表示数，相反数的定义，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减运算．利用数形结合的思想是解题关键． 【详解】解：（1）因为点，表示的有理数互为相反数，且点，之间的距离为6， 所以点表示的有理数是，点表示的有理数是3， 点表示的有理数是，点表示的有理数是4； 解：（2）①t秒钟过后，点A表示的数为，点D表示的数为， 所以点A，D之间的距离为； ②t秒钟过后，点B表示的数为，点C表示的数为， 所以，， 所以． 5．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【分析】（1）计算P从A到C的总时间时，分段计算A到O、O到B、B到C的运动时间，求和即可； （2）求t为定值时P、Q的位置及两点距离，先判断t对应两个动点各自的运动阶段，再分别计算对应坐标，用折线数轴的距离规则计算两点距离； （3）求相遇时间时，判断相遇所在的时间区间，根据该区间内两点的位置表达式列等式求解； （4）求距离小于距离的范围时，分区间写出、的长度表达式，列不等式求解，再合并各区间的解集． 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 6．如图，将一条数轴“折叠”，折点分别为原点O、点B和点C，我们称这条数轴为“V型数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示18，点D表示30，我们称点A与点C在“V型数轴”上的“V型距离”为30，记作．点M从点A出发，以每秒2个单位的初速度沿“V型数轴”向正方向运动，同时点N从点D出发，以每秒3个单位的初速度沿“V型数轴”向负方向运动，点M与点N在上坡时都是各自初速度的一半，下坡时都是各自初速度的两倍，水平时均保持各自的初速度运动．点M、N运动的终点分别为点D、点A．假设运动时间为t秒． (1)________；点A运动到点D需要的时间是______秒． (2)①当时，点N在“V型数轴”上所表示的数为______； ②当点N运动t秒至段时，则点N在“V型数轴”上所表示的数为_____．（用含t的代数式表示） (3)求点M与点N相遇时t的值． (4)请求出当时t的值． 【答案】(1)42；21 (2)①9；② (3) (4)t的值为5或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离计算，列代数式，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求出每一段的距离，进而求出点A在每一段上运动的时间，求和即可得到答案； （2）①求出点N运动到点C，点B和点O的时间，可得当时，点N在上，据此求解即可；②用点B表示的数减去点N运动到点B后再运动的距离即可得到答案； （3）求出点M运动到点O和点B的时间，则可得到点M和点N在上相遇，据此建立方程求解即可； （4）当运动5秒时，，此时点N运动到点B；当运动13秒时，则当点N在上运动，点M在上运动时，有一时刻满足，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ， ∴点A运动到点D需要的时间是秒； （2）解：①点N运动到点C的时间为秒，则点N运动到点B的时间为秒， ∴点N运动到点O的时间为秒， ∴当时，点N在上， ∴时，点N表示的数为； ②由①得点N在“V型数轴”上所表示的数为； （3）解：点M运动到点O的时间为秒，点M运动到点B的时间为秒， 又∵点N运动到点B的时间为5秒， ∴点M和点N在上相遇， ∴， 解得； （4）解：当运动5秒时，， ∴当点N运动到点B时，此时； 点M运动到点C的时间为秒， 当运动13秒时，， ∴当点N在上运动，点M在上运动时，有一时刻满足， ∴， 解得． 综上所述，t的值为5或． 类型十、数轴与方程的新定义应用一选考(解) 1．定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”． 【理解定义】 （1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度； 【定义应用】 （2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度； 【定义拓展】 （3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？ 【答案】（1）5或1；（2）3；（3）或或或 【分析】（1）理解“五美分点”，再进行分类讨论，列式计算，即可作答． （2）理解“五美分点”，结合，故，，因为，所以，，根据点G为线段的中点，进行列式计算，即可作答． （3）由题意得：，，当点P追上点Q时，时间为；4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点”，然后进行分类讨论且逐个情况作图，结合线段的和差关系列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：（1）∵点C在线段上， ∴， ∵点C是线段的“五美分点” ∴或， 即或， 如答图： ∴或， 又∵， ∴或； 答：线段的长度为5或1． （2）解：∵点E，F均为线段的“五美分点”， ∴或；或， ∵， ∴，， ∵， ∴，，如答图： ∴，， ∵G为线段的中点， ∴， ∴； 答：线段的长度为3． （3）由题意得：，， ∵当点P追上点Q时，， ∴， 解得：； ∴4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点” ①如答图3，当点D在线段上时 ∵， ∴，， ∵点D是线段的“五美分点” ∴或， ∴或 解得：或； ②如答图4，当点P在线段上时 ∵， 则，， ∵点P是线段的“五美分点” ∴或， ∴或， 解得：或， 综上所述：t的值是或或或． 【点睛】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程与几何应用，新定义，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．对于数轴上不重合的两点，，给出如下定义：若数轴上存在一点，通过比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“绝对距离”若线段和的长度相等，将线段或的长度定义为点到线段的“绝对距离”． (1)当数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为时． 点到线段的“绝对距离”为_____________； 点表示的数为，若点到线段的“绝对距离”为，则的值为_____________； (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点以每秒个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为秒，当点到线段的“绝对距离”为时，求的值． 【答案】(1)①1；②或或； (2)所求的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解“绝对距离”的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①由题意可得，，再结合“绝对距离”的定义即可得出结果；②分三种情况：当点在点的左边时，；当点在点、之间时；当点在点的右边时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）由题意可得点运动到点时需要的时间为秒，点运动到点时需要的时间为秒，点、点相遇需要的时间为秒，设移动的时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分四种情况：当时，；当时；当时，；当时，，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴点到线段的“绝对距离”为； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点到线段的“绝对距离”为， ∴当点在点的左边时，， ∴， ∴，符合题意； 当点在点、之间时， ∵，， ∴如果，解得，此时，满足题意； 当点在点的右边时，， ∴， 解得：，符合题意； 综上所述，的值为或或； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点以每秒个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒个单位长度的速度向负半轴方向移动． ∴点运动到点时需要的时间为秒，点运动到点时需要的时间为秒，点、点相遇需要的时间为秒， 设移动的时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当时，， 由题意可得， 解得：，符合题意； 当时，，， 如果，解得，此时，不符合题意； 如果，解得，此时，不符合题意； 当时，， 由题意可得， 解得：，符合题意； 当时，， 由题意可得， 解得：，不符合题意； 综上所述，的值为或． 3．【数学概念】 、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“密距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“密距离”． 【概念理解】 如图1，点表示数，点表示数3． （1）若点表示数，则点到线段的“密距离”为___________； （2）若点在点、之间，点表示的数是，点到线段的“密距离”是3，则___________； 【概念应用】 （3）如图2，在数轴上，点表示的数是-6，点表示的数是-3，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为秒，当点到线段的“密距离”为1时，求的值． 【答案】（1）2；（2）或0（3）t=1、2、7、9 【分析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键． （1）先求出、的长，由“密距离”的定义，可得答案； （2）点到线段的“密距离”为3时，分和两种情况列出方程，解方程即可得答案； （3）按照和，分类讨论计算即可． 【详解】解：（1）点表示的数是，点表示的数是3，若点表示的数是， ，， 点到线段的“密距离”为2， 故答案为：2； （2）根据两点间的距离可得，，， ∵点到线段的“密距离”为3， ∴当时，解得，此时，符合题意； 当时，解得，此时，符合题意； 故的值为或0； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ，， 当时，解得：或，此时或，符合题意； 当时，解得：或，此时或，符合题意； 当时，无解， 综上，的值为或或7或9． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． 5．新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 【答案】(1)② (2)或17 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“和美方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程，得，再解方程①，②根据“和美方程”的定义去判断即可； （2）解出方程的解为，一元一次方程的解是或，得到或，求出a的值即可； （3）解一元一次方程，得，由，得到，进而推导出，得到，要使成立，则不能含有m，得到，得，再将代入，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②． （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得． 6．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $