精品解析：湖北云学联盟2026-2027学年上学期高三8月阶段训练数学试卷

2026年高三年级8月阶段训练 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可. 【详解】由题意得，即，此时显然不成立，舍去， 或，此时集合，满足互异性， 所以. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质求解. 【详解】由等差数列的性质，，由题知，则. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式展开求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 即， 即， 解得. 4. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，即， 所以，，解得，. 5. 已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点的坐标代入曲线方程，求出的值，令，求出两切点的坐标，利用导数求出两切线方程，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为点是曲线上的点，所以，故曲线对应的函数解析式为， 对函数求导得，令，解得， 当时，，记点， 曲线在点处的切线方程为，即， 曲线在点处的切线方程为，即， 故这两条切线间的距离为. 6. 已知锐角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得，再利用，可计算，，从而得到，可求得或. 【详解】由得，则. 由，得. 所以. 所以. 因为，为锐角，所以.所以或. 所以或. 7. 已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理及三角形性质求出的范围，再结合零点存在性定理逐项判断即可. 【详解】由，是方程的两个根， 得，解得， 由，得，此时， 对于B，，则，B错误； 对于C，由是的三条边，得，即， 因此，C正确； 对于A，取，得，A错误； 对于D，令，函数在上单调递增， ，， 因此存在，使得，D错误. 8. 已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知判断满足的函数值，利用赋值法求出的所有可取值，再根据求出的分布列，最后求期望即可. 【详解】令，有，又因为， 所以或. 令，有又因为， 所以或. 令，有又因为， 所以或. 令，有. 所以时，带入得，所以的可取值为， 的可取值为， 此时的所有可取值为： 且每个结果被取到的可能性相等. 时，带入得，所以的可取值为， 的可取值为， 此时的所有可取值为：， 且每个结果被取到的可能性相等. 综上所述：的所有可取值： 分布列： 期望. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则 C. 若，则数列是递减数列 D. 记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用可得数列是等差数列；利用特殊数列可判断；利用，当时，即可；利用即可. 【详解】由已知可得，. 对于选项A，因为， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于选项B，当时，， 则，但，故B错误； 对于选项C，， 当时，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于选项D，可得， ，故D正确. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 若，，则在区间上单调递增 C. 若，，则的图象关于点对称 D. 若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，可判断A选项；利用正切型函数的单调性可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；令，求出前三个零点的和，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由于，由得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，若，，则， 当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，故的图象关于点对称，C对； 对于D选项，若，则， 因为，当时，， 令，则， 因为，则， 因为，所以函数在区间不同零点共有个，D对. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 任意，函数一定存在极大值和极小值 B. 当时，对任意，都有 C. 存在，使函数在区间上单调递减 D. 存在，使方程有三个不同的实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求函数的导数，根据导数的符号分析极值、单调性，再分别对四个选项逐一验证，结合函数最值、方程根的分布判断结论是否成立. 【详解】∵ ，定义域为， ∴ ， 分母恒成立，故的符号由分子决定. 选项A： ∵ 是开口向下的二次函数，判别式恒成立， ∴ 恒有两个不同的零点（）， ∴ 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故是极小值点，是极大值点，任意，一定存在极大值和极小值，A正确. 选项B： 当时，，，， ∵ ，， ∴ 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴ 在处取得最大值，等号仅在处取得. ∵ 对任意，恒成立， ∴ ， 当时，左侧，右侧，不等式仍成立， 故对任意，都有. 选项C： 若在上单调递减，则对任意恒成立， 代入得，与矛盾， 故不存在使在上单调递减，C错误. 选项D： 方程等价于，整理得. 令，，故在处取最小值，即恒成立， 则，令，. 对求导得 分母恒成立，令，则： ， 令，则. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. ∴ ，即恒成立，故在上单调递减. 又∵ ，， ∴ 存在唯一，使得. ① 当时，，故，在上单调递减； ② 当时，，故，在上单调递增； ③ 当时，，，故，在上单调递减. ∴ 在处取极小值，在处取极大值. 当时，，故； 当时，增长速度远快于幂函数，故. ∴ 当时，直线与的图象有3个交点，分别位于、、上，即方程有三个不同实根，故存在满足条件的，D选项正确. 【点睛】方法归纳：本题考查导数的综合应用，分析导数符号时优先分离恒正/恒负部分简化计算，对于含参的单调性、方程根的问题，可通过参数分离结合函数单调性与值域判断解的个数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将集合分为空集和非空集两种情况进行分类讨论，分别列出满足子集条件的不等式求出参数的范围，最后将结果取并集即可. 【详解】若集合为空集， 则有，解得， 若集合不是空集， 则有，解得， 因为，所以有，解得， 结合，可得， 综上可得，即的取值范围是. 13. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式恒成立等价于且，分类讨论即可求出答案. 【详解】不等式在上恒成立等价于且， 当时，解得， 若，即，所以， 当时，解得， 若，即，所以， 综上. 14. 边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，垂直于平面的方向为轴，求出、、的坐标，可求得、的值，根据，可得为线段的中点，求出其坐标，由空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得, 过作于，则在翻折过程中， 过作于，作交的其延长线于, 过作交的延长线于，作于， 在中，，， 所以，所以， 因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，，，故四边形为矩形， 所以， 以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，因为，， 所以二面角的平面角为， 则、、， 又因为，且， ， 所以， 所以为线段的中点，所以， 所以， 取的一个方向向量， 因此点到直线的距离. 又因为，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题图可知，，，，则． 又，，，解得，，由，可得， ． 【小问2详解】 将向左平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，此时周期， 则，， ，， 即． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理化边为角后，可求得； （2）由余弦定理和正弦定理可得出关系，从而判断出是直角三角形，然后由三角形面积求得边长，再结合直角三角形的性质得结论. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得． 又，，则，． 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，则由余弦定理， 即． 又，由正弦定理， 则，所以． 所以，即是直角三角形． 则的面积，所以 所以． 17. 已知动点满足：点到直线的距离是点到点距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与曲线有且仅有四个交点，，，，求四边形面积的取值范围； （3）若点在曲线上运动，求关于，的表达式的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接用坐标表示出已知条件化简即得； （2）圆方程与椭圆方程联立，求得交点坐标的平方值，由四个交点的条件得出的范围，然后结合对称性求得四边形的面积，再结合基本不等式求得范围； （3）设定点，直线，且所在直线与定直线所成角为，点到直线的距离为，， 所以．然后求出直线与椭圆相切时切点坐标，求出相应，结合图形可得范围. 【小问1详解】 由题意知，化简得． 【小问2详解】 联立圆与椭圆：，化简得． 因为圆与椭圆有且仅有四个交点，所以． 又由圆与椭圆对称性可知四个交点构成矩形，所以边长分别为， 即 当且仅当，即时等号成立， 即四边形面积的取值范围为． 【小问3详解】 设定点，直线，且所在直线与定直线所成角为， 则点到直线的距离为，， 所以． 设所在直线：，联立椭圆，得， 由得， 时，，时，， 所以当且仅当时，直线与椭圆相切，切点分别为，， 时，， 时，， 所以， 所以关于，的表达式的范围是． 18. 已知函数，． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，存在，使得，证明：； （3）当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）若，结论成立． 若，有，要证，只需证，即证， 即证对任意，恒成立． 令，，则， 令，， 当时，， 即在上单调递增，， 在上单调递增， ，即任意，恒成立，即. （3）反证法：令， 由前面可知，，在上单调递增， 即， 即对每一个，都有， 将这个式子累加有，① 另一方面， 因为，，， 所以，即与①矛盾， 故假设不成立，必存在两个不同下标，使． 【解析】 【分析】（1）常规含参函数讨论单调性； （2）由分离参数，将两个变量转化为一个变量，从而得到需要证明，通过构造函数，利用导数研究函数最值，即可得证； （3）由（1）的结论得到函数的单调性，通过叠加构造证明矛盾即可. 【小问1详解】 因为，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 即的单调递增区间是，的单调递减区间是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． （1）若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． （2）若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 【答案】（1）（i）；（ii）（），且； （2）， 【解析】 【分析】（1）通过全概率公式求出得三分和两分的概率，通过相减求投篮不成功的概率，分析得分情况，由马尔科夫链模型求出递推公式； （2）通过新条件找出递推公式，通过数列知识求通项。 【小问1详解】 （i）由题意，设小明投篮得2分的概率为，； 投篮得3分的概率为，； 投篮不成功的概率为． 小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮， 记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件，， ， 由条件概率计算公式，在的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为 ． （ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛， 所以若第一次投篮失败则得分为，且． 对于，若第一次投篮得2分，则后续还需得分， 若第一次投篮得3分，则后续得分为分． 所以（），且， 从而， ，， ，所以． 【小问2详解】 小明持续参赛且投篮次数足够多，说明小明投篮失败后也可继续投篮， 则（），规定（）． 化简可得，，其中，，． 令， ， 所以． 即，．① 令， ， ，所以对于，． ，（）．②． ①-②可得，（） 即，（）. 令，则， 所以. 令，． 因为，所以，， 所以，． 【点睛】概率与数列的结合典型例题，马尔科夫链问题，重点抓住相邻两项或多项的关系，结合数列求通项的方法求解。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级8月阶段训练 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为（ ） A. B. C. 0 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则 C. 若，则数列是递减数列 D. 记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 若，，则在区间上单调递增 C. 若，，则的图象关于点对称 D. 若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 任意，函数一定存在极大值和极小值 B. 当时，对任意，都有 C. 存在，使函数在区间上单调递减 D. 存在，使方程有三个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 13. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 14. 边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 17. 已知动点满足：点到直线的距离是点到点距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与曲线有且仅有四个交点，，，，求四边形面积的取值范围； （3）若点在曲线上运动，求关于，的表达式的范围． 18. 已知函数，． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，存在，使得，证明：； （3）当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 19. 小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． （1）若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． （2）若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $