湖北新八校2026-2027学年高三上学期8月联考数学试卷

高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.己知集合A={-1,-2,1,5},B={x|y=1g(x+2),则AnB=0 A.{-1,-2,1,5} B.{-1,1,5} C.1,5} D.0 【答案】B 【详解】 由题意得，集合B={x|x>-2. 因为-2EB,-1∈B,1∈B,5∈B,所以AnB={-1,1,5. 故选B. 2.若复数z=(号-i)(a+i)(a∈R)为纯虚数，则a=0 A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 【答案】D 【详解】 展开复数z得 z=a+2i-m--(3a+1+(传-ai 因为z为纯虚数，所以 5a+1=0 -a≠0. 解得a=-2. 故选D. 3.在长方形ABCD中，AM=AB,AC与DM交于点N,则MW=O A.3AD-548 B.AD-1 B C.AD-AB D.3AD-14B 【答案】A 【详解】 在长方形ABCD中，ABI CD且CD=AB. 因为AM=AB,所以AM‖CD且AM=号CD 因此△AN~△CDN,相似比为 MN AM 1 DN=CD=2. 所以MN=MD 又因为MD=AD-AM=AD-AB,所以 MN-3(AD-31B)-31D-G4B. 故选A. 4.己知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是0 A. c D.元 【答案】C 【详解】 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为π，所以展开图弧长等于底面周长，即 πl=20→1=2r 又圆锥的侧面积为 S侧=0l=22=2元 解得r=1,1=2. 圆锥的高为 h=VP-r2=V22-12=3. 故圆锥的体积为 ”=oh=x1x5=5 元 故选C 5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为O 1 3 A.2 3 B.5 C.4 【答案】D 【详解】 五名同学全排列的基本事件总数为 1n=A?=120. 利用捆绑法，将甲、乙视作一个整体，内部排列有A?种方式，该整体与其余三人共4个元素全排列有A4 种方式，故甲与乙相邻的事件数为 m=AA4=2×24=48. 所求概率为 P8号 故选D. 6.己知椭圆C:号+是=1(a>b>0)与抛物线B:y2=2x(p>0)有相同的焦点P,椭圆C与抛物线 E在第一象限交于点P,PF⊥x轴，则椭圆C的离心率等于O B.2-1 C1、② D.2-1 2 【答案】B 【详解】 由题意，抛物线E的焦点为F(c,0),则号=c→p=2c. 抛物线方程为y2=4cx. 因为PF⊥x轴且点P在第一象限，所以点P的横坐标为c. 将x=c代入抛物线方程得y2=4c2,故yp=2c. 又点Pc,2c)在椭圆C上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此 b2 a =2c. 由b2=a2-c2代入得 a2-c2=2ac. 两边同除以2并设离心率e=。∈(0,1)，得 1-e2=2e→e2+2e-1=0. 解得e=√2-1（负根-1-V2已舍去). 故选B. 7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,则“sinA+cos2B+sinC>1”是“△ABC是锐角三 角形”的O A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 因为cos2B=1-sinB,所以 sinA cos2B sin'C>1 sinA+sin'C>sin B. 由正弦定理品=品=益c=2R,不等式等价于 a2+c2>b2 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B可得 a2+c2-B2 2ac cosB>0 COsB >00<B<7. 即条件等价于“角B为锐角” 若△ABC是锐角三角形，则角A、B、C均为锐角，必有角B为锐角，必要性成立；若角B为锐角，角 A或角C可以为钝角（例如A=120°，B=30°，C=30),此时△ABC不是锐角三角形，充分性不成立. 故“simA+cos2B+sinC>1”是“△ABC是锐角三角形”的必要不充分条件. 故选B. 8.设函数f九x)的定义域为R,x+1)为奇函数，fx+2)为偶函数，当x∈[0,1]时，x)=+b(a>0 且a≠1)，若f0)+f3)=-1,则f1og218)=0 9 7 A.-8 B.2 3 C.8 5 D 【答案】c 【详解】 因为fx+1)为奇函数，所以-x+1)=-fx+1),即函数fx)关于点(1,0)中心对称，从而f1)=0 因为x+2)为偶函数，所以f-x+2)=x+2),即函数fx)关于直线x=2轴对称. 由此可得 fx+4)=f2+(x+2)=f2-(x+2)=-x)=-fx+2)=-f2-x)=fx). 即fx)是周期为4的周期函数. 同时由对称性可知3)=2+1)=2-1)=1)=0. 由已知f升0)+f3)=-1,得八0)=-1. 当x∈[0,1]时，fx)=d+b,代入x=0与x=1: f0)=1+b=-1, f1)=a+b=0. 解得b=-2,a=2,满足a>0且a≠1. 故当x∈[0,1]时，fx)=2x-2. 因为4<log,18<5,由周期性得 nlo)oo 由于0<log28<1,直接代入解析式得 c3218=20s:8-2=8-2=3 7 故选C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知圆C:x2+y2-6x+4y-12=0,直线1：x+y-2-1=0(∈R),下列选项正确的有0 A.圆C的圆心坐标为(3，-2)，半径为5 B.直线1恒过定点(2,1) C.当m=1时，直线1与圆C相离 D.直线1被圆C截得的弦长最小值为2V15 【答案】ABD 【详解】 对于A:圆C方程配方整理得 (x-3)2+0y+2)2=25. 圆心为(3，-2)，半径R=5,故A正确： 对于B:直线1方程变形为 (x-2)+y-1)=0. 令x-2=0且y-1=0,解得x=2,y=1,故直线恒过定点P(2,1),故B正确； 对于C:定点P(2,1)到圆心C(3,-2)的距离为 PC=V(2-3)2+(1-(-2)2=V1+9=10<5. 定点P在圆C内部，故对任意m∈R,直线l与圆C恒相交，故C错误： 对于D:当直线1LPC时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为 2yR2-PC2=2V25-10=2V15. 故D正确， 故选ABD. 10.已知等差数列{4}的首项为41，公差为d,前n项和为Sm,若S11>S13>S14,则下列结论正确的有O A.a1>0,d<0 B.当n=14时，Sn最小 C.使得Sn>0成立的最小自然数n=28 D.la13 +a14l<la15+a16l 【答案】AD 【详解】 由S3-S11=a12+413<0以及S14-S13=a14<0可知，数列后项取负值. 由414<0且公差d<0,可得41>0. 对于A:因为d<0,4>0,故A正确； 对于B:由于d<0,当n充分大时S→-o,Sn不存在最小值，故B错误； 对于C:若42+13<0，前n项和在正数项求和后递减并变为负数，Sn>0对应的为最大项数而非 最小自然数，故C错误： 对于D:因为d<0且当n≥13时4，<0，所以 415+416<a13+414<0. 两边取绝对值必有1a13+414<a15+46,故D正确. 故选AD 11.已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,过F的动直线1交抛物线于A、B两点，则下列结论正确的有O A.抛物线C的准线方程是x=-2 B.AF+BF的最小值是8 C,若直线1倾斜角为60，则△40B面积为32,5(0是坐标原点) 3■ D.抛物线C在A、B两点处的切线的交点在定直线上 【答案】ABD 【详解】 对于A:由y2=8x=2px得p=4,焦点为F(2,0),准线方程为x=-号=-2，故A正确： 对于B:由抛物线定义，焦点弦长 ABI=AF+BF=x1+x2+p 2p =8. 当且仅当直线垂直于对称轴（通径）时取等号，故最小值为8，故B正确： 对于C:直线1倾斜角为60°，其方程为x=y+2. 代入y2=8x得 2-8 3y-16=0. 设Ax1,y1,Bx2,),则1+功=85，y四=-16. -y=+-4g=+4=16 3 则△AOB的面积为 9a608=701--y-方×2x1695_165 1 3 3 故C错误： 对于D:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线在点A处的切线方程为y1y=4(x+x1),在点B处的切线方程 为y2y=4(x+x2) 联立两切线方程解得交点的横坐标为 V1V x0=81 因为直线AB过焦点F(2,0),所以yy=pP=-16,代入得x0==-2. 故两切线的交点恒在定直线x=-2(即抛物线准线)上，故D正确. 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列(a}是等比数列，其前n项的和为Sn,若4=2741，S4=4-1,则= 【答案】引 【详解】 设等比数列{a}的公比为4： 因为a4=a1q3=27a1且a1≠0，所以q=27→q=3. 由前4项和公式与题设得 S4=41(1+q+q+q3)=41(1+3+9+27)=40a1 又4=a43-1=aq2-1=9a1-1,所以40a1=941-1→314=-1→41=-7 故4=a19=-引 故填-引 13.已知函数fx)=x2+2x,gx)=lnx-x(m∈R),若曲线y=fx)与曲线y=g(x)在公共点处的切线 相同，则的值为 【答案】-3 【详解】 设公共切点的坐标为(xo,yo),其中xo>0. 求导得∫x)=2x+2,gx)=是-m 由在公共点处切线相同，得 f(xo)=g(xo). x号+2x0=lnx0-xo, f(xo)=g'(xo), 2x0+2=1-m 由第二式得m=品-2x0-2,代入第一式得 6+2=a0-(6-20-2小=n0-1+2x6+240 化简得 x0+lnx0-1=0. 设h(x)=x2+lnx-1,由于h(x)在(0，+o)上单调递增，且h(1)=1+0-1=0,所以方程有唯一实根 0=1. 将xo=1代入m的表达式中，得 m=1-21)-2=-3. 1 故填-3. 14.正四面体ABCD的棱长为6，在平面BCD内有一动点P,满足AP=5,若直线AP与直线BC所成的 角为a,则cosa的取值范围为 【答案】[0，] 【详解】 设正△BCD的中心为O,连接AO. 因为ABCD为正四面体，所以AO⊥平面BCD. 在正△BCD中，边长为6，外接圆半径为 08-56=25 在Rt△AOB中，正四面体的高为 A0=AB2-OB2=V62-(23)2=V36-12=2V6. 在Rt△AOP中，因为AP=5,AO=2V6,所以 0P=AP2-A02=V25-24=1. 故点P在平面BCD内的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆. 因为AOL平面BCD且BCC平面BCD,所以AO·BC=O. 故 AP.BC=(A0+OP).BC=OP.BC. 设在平面BCD内向量OP与BC的夹角为∈[O,,则 OP.BC=|1OP·BCl cos0=1×6×cos0=6cos8. 由异面直线所成角的定义： cosa= AP·BC APIBCT 16 cos01Icos 5×6 5 因为8∈[0，，所以1cos∈[0,1]，从而cosa∈[0，]： 故填[0，]： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某科技园区有甲、乙、丙三家AI企业，产出的AI模型数量之比为2：3：5，三家企业的AI模型出现 代码漏洞的概率分别为3。、2%、1%，现从园区所有产出的AI模型中随机抽取1个模型. (1)求随机抽取的这个AI模型存在代码漏洞的概率； (2)如果抽到的A虹模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 【答案】1)0017：(2 【详解】 设事件A1、A2、A3分别表示抽取的AI模型出自甲、乙、丙三家企业，事件B表示抽取的AI模型存 在代码漏洞. 由题设条件可知： P40=2++5=02PM=品-03PA)=0=05 2 P(B1A1)=3%=0.03,P(BA)=2%=0.02,P(B|A3）=1%=0.01. (1)由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A)P(BA)+P(A3)P(BA3) =0.2×0.03+0.3×0.02+0.5×0.01 =0.006+0.006+0.005 =0.017 答：随机抽取的这个AI模型存在代码漏洞的概率为0.017. (2)由条件概率与贝叶斯公式得 IBEP4B-P4PB40,2x0.03-006 P(B) 0.017 0.017=17 答：该模型出自甲企业的概率为 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，PC⊥平面ABCD,AD⊥AB,AB II DC, AB=2AD=2CD,点E是PB的中点. (1)证明：平面PAD⊥平面PCD: (2)若平面PAD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为I,求直线PD与平面ACE所成角的正弦值. A 【答案】(1)见详解证明：(2) 6 【详解】 (1)证明：因为PC⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PC⊥AD. 又因为AB IIDC且AD⊥AB,所以AD⊥CD. 因为PCn CD=C,且PC、CDC平面PCD,所以AD⊥平面PCD. 又因为ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD. (2)设AD=CD=1,则AB=2. 以D为坐标原点，分别以DA、DC的方向为x轴、y轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz. 设PC=h(h>0),则各点坐标为 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,2,0),P(0,1,h). 平面ABCD的法向量可取为=(0,0,1). 在平面PAD中，DA=(1,0,0),DP=(0,1,h. 设平面PAD的法向量为1=(x1,y1,1),则 n1·DA=x1=0, n1·DP=y1+hz1=0. 取z1=1,得1=(0，-h1). 设平面PAD与平面ABCD所成的锐二面角为O,则 cos0=m1·0l=1 lnloh2+1 由tan0=1得cos日=号，故 12 因此P(0,1,1). 因为点E是PB的中点，所以E(5,,) 可得 m=0-1.-1.4c=-11.0.=(33) 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),则 m·AC=-x+y=0, 131 mE=-2+2y+3=0. 令x=1,解得y=1,z=-2,所以m=(1,1,-2). 设直线PD与平面ACE所成角为O,则 sin o PD.m PDm 10×1+(-1)×1+(-1)×(-2)川 V02+(-1)2+(-1)2×12+12+(-2)2 1V3 v2xV66 答：直线PD与平面ACE所成角的正弦值为具 17.(15分) 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知(c-2b)cosA+2±c=0. (1)求角A; (2)若a=3,b+c=6,求△ABC的面积. 【管案11)A=子(2)5 4 【详解】 (1)在△ABC中，由余弦定理得 cosC=c=acosc. 2ab 2b 代入已知等式得 (c-2b)cosA+acos C=0 ccosA+acosC=2bcosA. 由射影定理可知ccosA+acos C=b,所以 b=2b cosA. 因为b>0,所以c0sA= 又因为A∈(0，)，所以A= (2)由余弦定理得 a2 b2+c2-2bc cosA =(b+c)2-2bc-2bc cos 3 =(b+c)2-3bc 将a=3与b+c=6代入上式得 32=62-3bc→9=36-3bc→3bc=27→bc=9. 故△ABC的面积为 c=cmA=号x9xsm写-方x9x5-9y5 1, 2 4 18.(17分) 已知双曲线E:号-号=1(a>0,b>0)的离心率等于2，点P(2,3)在双曲线E上 (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线x-w-号=0(m>0)与x轴交于点Q,与双曲线E的右支交于M、N两点(M在Q、N之 间)，F是双曲线E的右焦点，过M作PF的垂线，垂足为H. )若M是QW中点，求m的值： ()证明：直线HN经过定点. 【答案】(1)x2- -号=1：(2)0m=:回正明见详解，定点为层0 【详解】 (1)由题意，e=号=2→c=2,则b2=c2-a2=3. 双曲线方程可写为三-云=1，即3x2-y2=3a2. 将点P(2,3)代入方程得 3×22-32=3a2→12-9=3a2→a2=1. 所以b2=3. 故双曲线E的标准方程为 x3、 31. (2)由(1)可知，双曲线右焦点为F(2,0). 因为P(2,3),所以直线PF的方程为x=2(垂直于x轴). 由直线方程x=y+号，令y=0得Q(,0) 设Mx1y1),Nx2,y3),联立直线与双曲线方程： =m四+ 3x2-y2=3, 3(+}r=3 整理得 3m2-1w2+3my-}-0 判别式 4=9m2+93m2-1)=36m2-9>0→m2> 由韦达定理得 3 9 1+y归=3m2-1少=43m2- )因为Q(,O),且M是QN的中点，所以在y轴方向上有 斯=0+3 2 →y3=2y1: 代入韦达定理得 3 B1=3m,→h=3m-1 2y9=43m2- 从而 2(3w”广=-→m- 9 2m2 -9 两边同乘4(32-1)2得 82=-9(32-1)→35m2=9. 因为m>0,所以m= 此时m2=多>，△>0，满足x1>1,3>1,两交点均在右支. (i证明： 因为直线PF的方程为x=2,过Mx1,y1)作PF的垂线，垂足为H(2y1 点N坐标为(w2+,y2). 当y1≠y2时，直线N的方程为 y-=-为，x-2)=少-当x-2 (0y2+)-2 y2-等 由韦达定理可知 9 12=43m-面=3 3m y1+y2 -3m-1 =4n→mw山=M1+. 直线N令y=O,得 -功=2-当K-2)→y购-y1K-2)=-y+ 3 y3-交 21 将w1y2=y1+y2代入右边式子得 3 因为y1≠y2,两边同除以3-1，得 -2=→= 5 因此无论m为何值，直线N恒过定点(，O). 19.(17分) 己知函数x)=h(1+x)+x(a∈R)· (1)讨论fx)的单调性： (2)对x∈(-1，+oo),都有fx)≥1，求实数a的取值范围： (3)设数列{a}的通项公式为a,=,Sn为数列{a}的前n项的和，证明：n(n+1)+6(1-n)< Sa≤1+lnn(n∈N*). 【答案】(1)见详解；(2)[1，+o∞)：(3)证明见详解. 【详解】 (1)函数fx)的定义域为(-1，+o),求导得 1ax+1-a fw)=1+x1+x)2=1+x刘2 (i)当a≤0时，对任意x∈(-1，+oo),都有x+1-a>0,即f(x)>0,所以fx)在(-1，+oo)上单调递增： (i)当a>0时，令f(x)=0,解得x=a-1>-1. 当x∈(-1，a-1)时，f(x)<0,x)单调递减： 当x∈(a-1,+oo)时，f(x)>0,fx)单调递增. 综上所述： 当a≤0时，x)在(-1，+oo)上单调递增； 当a>0时，x)在(-1，a-1)上单调递减，在(a-1,+o)上单调递增. (2)由(1)可知： (i)若a≤0，当x→-1+时，1+x→0*，lh(1+x)→-o,x≤0，故w)→-o,不满足对任意 x∈(-1，+oo)均有x)≥1： (i)若a>0,fx)在x=a-1处取得最小值，最小值为 Ra-1)na+a=Ina+1. 由题意需满足 fa-1)≥1→na+1≥1→na≥0→a≥1. 所以实数a的取值范围是[1，+oo). (3)证明： 首先证明右边不等式S,≤1+ln: 设ht)=l血(1+0-(t>0),求导得 11 h0=1+1a+=+>0 所以ht)>h(0)=0,即ln(1+t)>年 当k≥2时，令t=,得 In >无<血k-ln(k-l). 当n=1时，S1=1≤1+ln1=1成立； 当n≥2时， =1+! <E<1+>(lnk-ln(k-1)=1+ln2 综合得Sn≤1+lnn. 接下来证明左边不等式S,>h+1)+不(1-品)： 设构造函数gx)=x-h(1+x)-不云(x>0),求导得 a1-点620- x 7x2+2x =1+x-16(1+x) Fa+1+0-16+2) a(0+) 当x>0时，g(x)>0,所以g(x)在(0，+o)上单调递增，因此对任意x>0,有gx)>g(0)=0,即 7x2 x>ln(1+)+161+x 令x=是(k∈N*),则 专动+是-bn+品佳》 将上述不等式对k=1,2,…,n累加得 含效+w-h的+任- 即 8>m+1+Z1-+) 综上，原不等式 nm+)+G（-n+)<g≤1+ln!meN) 获证. 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则（ ） A． B． C． D． 3．在长方形中，，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 7．在中，角、、的对边分别是、、，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 11．已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A．抛物线的准线方程是 B．的最小值是8 C．若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D．抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则________． 13．已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________． 14．正四面体的棱长为6，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型． （1）求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； （2）如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 18．（17分） 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为． （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点． 19．（17分） 已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）对，都有，求实数； （3）设数列的通项公式为，为数列的前项的和，证明： （）． 学科网（北京）股份有限公司 $