湖北云学联盟2026-2027学年上学期高三8月阶段训练数学试卷

2026年高三年级8月阶段训练 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B．0 C．1 D．2 2．已知等差数列满足，则 A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则的解集为 A． B． C． D． 5．已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为1的切线，则这两条切线间的距离为 A．1 B． C．2 D． 6．已知锐角，满足，，则 A． B． C． D． 7．已知的三条边分别为，，，且，是方程的两个根，若，则 A． B． C． D． 8．已知集合，若函数满足对任意的均有且．在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则的数学期望为 A． B． C．0 D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是 A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 10．已知函数，，则下列说法正确的是 A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有3个 11．已知函数，，则下列说法正确的是 A．任意，函数一定存在极大值和极小值 B．当时，对任意，都有 C．存在，使函数在区间上单调递减 D．存在，使方程有三个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 13．若关于的不等式在上恒成立，则__________． 14．边长为2的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数（，，）的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 16．（15分） 已知的内角，，的对边分别为，，，，． （1）求； （2）若为线段的中点，的面积为，求线段的长． 17．（15分） 已知动点满足：点到直线的距离是点到点距离的2倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与曲线有且仅有四个交点，，，，求四边形面积的取值范围； （3）若点在曲线上运动，求关于，的表达式的范围． 18．（17分） 已知函数，． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，存在，使得，证明：； （3）当时，设，，证明：在数列中，必存在两个不同下标，（），使得． 19．（17分） 小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． （1）若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． （2）若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级8月阶段训练 数学试卷答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D C D B C A 二、多选题 9．AD 10．BCD 11．ABD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．【解析】 （1）由函数（，，）的部分图象可知， ，，． 3分 又，，，解得，，由可得， ． 5分 （2）将向左平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到． 7分 周期． 8分 于是，， ，． 12分 即． 13分 16．【解析】 （1）因为，由正弦定理． 2分 又，，．． 5分 （2）由余弦定理，． 7分 又，，所以． 9分 所以，即是直角三角形． 11分 因为的面积， 13分 所以． 15分 17．【解析】 （1）由题意知，化简得． 3分 （2）联立圆与椭圆：，化简得． 5分 因为圆与椭圆有且仅有四个交点，所以． 6分 又由圆与椭圆对称性可知四个交点构成矩形，所以边长分别为， 即 当且仅当，即时等号成立， 即四边形面积的取值范围为． 9分 （3）设定点，直线，且所在直线与定直线所成角为， 则点到直线的距离为，， 所以． 11分 设所在直线：，联立椭圆，当且仅当时， 二者相切，切点分别为，，此时， 14分 所以关于，的表达式的范围是． 15分 18．【解析】 （1）因为，令，得． 1分 当时，，单调递增，当时，，单调递减； 2分 即的单调递增区间是，的单调递减区间是． 3分 （2）证明：若，结论显然成立． 4分 若，有，要证，只需证，即证， 即证对任意，恒成立． 5分 不妨构造，，则，， 即在上单调递增，令，，且，， 由零点存在定理知， 7分 当时，，在单调递增，当时，，在单调递减， 即是函数的极小值点，所以，恒成立， 对任意，恒成立，即． 11分 （3）反证法：令，假设结论不成立，对任意，必有． 由前面可知，，在上单调递增，即， 12分 即对每一个，都有，， 将这个式子累加有① 14分 另一方面， 15分 因为，，，所以，即与①矛盾， 故假设不成立，必存在两个不同下标，使． 17分 19．【解析】（1）（i）由题意，设小明投篮得2分得概率为，．投篮得3分得概率为，，投篮不成功的概率为． 1分 小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮，记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件，， 2分 ， 3分 由条件概率计算公式，在的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为 ． 4分 （ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛，所以若第一次投篮失败则得分为，且． 对于，若第一次投篮得2分，则后续还需得分，若第一次投篮得3分，则后续得分为分． 所以（），规定（） 6分 从而，，， {，所以． 9分 （2）小明持续参赛且投篮次数足够多，说明小明投篮失败次后也可继续投篮，则 （），规定（）． 10分 化简可得，，其中，，． 12分 令， 所以． 即，．① 13分 令， ，所以对于，． ，（）．②． 14分 ①-②可得 ，（） 即，（）． 15分 令，则 所以 令，． 16分 因为，所以，， 所以，． 17分 （其他方法酌情给分） 学科网（北京）股份有限公司 $