专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学讲义以“圆中全等三角形模型”为核心，通过知识框架图系统梳理圆的性质（同弧等弧、半径相等、垂径定理等）与全等判定定理的内在联系，用思维导图呈现切线长、燕尾蝴蝶、手拉手、对角互补四大模型的条件、结论及证明逻辑，突出弧与边角转化的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固切线长模型周长计算，B组提升题结合蝴蝶模型证线段相等，C组压轴题通过手拉手模型综合考查推理能力，培养几何直观与创新意识。易错点总结（如跳过弧直接证角相等）和解题步骤指导（观察弧-转化角-找等边-证全等），助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准分层教学。

专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中全等三角形是圆几何的核心高频模型，核心依托圆的性质推导边角相等，结合全等判定解题。常考基础知识点包括：同圆或等圆中，同弧、等弧所对的圆心角、圆周角、弦、弦心距分别相等；圆的半径全部相等，可直接提供全等等边条件；直径所对圆周角为直角、垂径定理、切线垂直于过切点的半径等衍生垂直、相等线段与角关系。 考查方向以几何证明与计算为主，常结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL全等判定定理，证明线段相等、角度相等、弦相等、垂直平分等结论。题型多为结合圆内相交弦、直径、切线、弦心距构造全等三角形，转化边角关系，解决线段求值、角度推导、几何结论证明等问题，是圆综合题的基础解题模型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、切线长模型 2 模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6 模型3、手拉手（旋转）模型 11 模型4、对角互补模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 29 C组（综合压轴题） 38 圆中全等三角形模型的发展兼具中外数学积淀，是古典几何融合发展的经典成果。国外起源可追溯至古埃及的土地测量与建筑实践，古人依托圆形结构摸索边角等量关系；古希腊时期，欧几里得在《几何原本》中确立全等判定公理，阿基米德提出折弦定理，系统化完善圆内边角全等逻辑，奠定了该模型的理论基础。国内古代几何侧重实用推演，传统算学在圆田测算、圆拱建造中，总结出等弦对等距、等弧对等角等规律，形成本土化的圆内等量推导思路。近现代中外几何体系融合，将圆的核心性质与全等三角形判定定理结合，标准化形成蝴蝶、切线长、手拉手等经典应试模型，成为初高中圆几何综合解题的核心基础模型。 1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件； 2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角⇔等弧⇔等弦；圆全等的转化关系：弧⇔圆心角⇔圆周角⇔弦； 3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等； 4）全等判定：SAS、AAS、ASA； 5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 模型1.切线长模型 【模型提炼与证明】 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（    ） A． B．是等边三角形 C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质． 根据题意得到，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点A，B， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，是等边三角形，故B选项正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，，故D选项错误，符合题意；， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故C选项正确，不符合题意； 故选：D ． 【典例2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值． 【详解】解：由题意知，设，，， 如图，分别过点O作，，，，，， 由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有， 同理得：，， 分别连接，，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，易证得：，，，，， ∴，，，，， 设，，， ∴， ， ， ∴，即， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 【典例3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 【典例4】如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 【答案】(1)5 (2)115 【分析】本题考查了圆的切线长定理，切线的性质定理，圆内接四边形的性质，四边形的内角和定理 （1）根据切线长定理，得，结合的周长为10，得到，计算即可． （2）连接，在上取一点F，连接，利用圆周角定理，圆内解四边形的性质，切线的性质计算即可． 【详解】（1）根据切线长定理，得， ∵的周长为10， ∴，解得， 故答案为：5． （2） 连接，在上取一点F，连接， ∵，分别和切于A，B两点； ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 故答案是：115． 【典例5】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点． (1)如果的周长为10，求PA的长； (2)如果， ①求； ②连AE，BE，求． 【答案】(1)5 (2)①70°；②110° 【分析】（1）根据切线长定理求解即可； （2）①根据三角形外角的性质得，再根据切线长定理得，最后由三角形内角和定理可得； ②连接OA，OB，由切线的性质和四边形内角和定理以及圆周角定理可得结论． 【详解】（1）∵分别切于点 ∴ ∴△的周长 ∴ （2）① ∵分别切于点 ②连接OA，OB ∵PA，PB是切线, ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理以及切线长定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 模型2.燕尾模型与蝴蝶模型 【模型提炼与证明】 1）.燕尾模型 条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 图1 图2 2）蝴蝶模型 条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 由于证明过程比较简单，故略去相关证明。 【模型运用】 【典例1】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图已知为半圆O的直径，为弦，且平分．若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，作于E，于F，运用圆周角定理可证得，即证，所以，根据勾股定理，得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，作于E，于F， ，， ∵平分， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 【典例3】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 【答案】①②③ 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 当时，，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的两弦，交于点，且． (1)如图1，求证： (2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度． 【答案】(1)证明： ∵， ∴， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）由 得弧相等，推导弧 弧 ，证 ； （2）连接 ，用垂径定理得垂直平分，勾股定理求 ，进而得 ． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴，且（垂径定理）． 在中，由勾股定理得： ， 又，故． 【点睛】本题考查圆的弦、弧的关系及垂径定理的应用，涉及知识点：等弦对等弧、圆周角定理、垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）、勾股定理．解题方法是利用等弦推等弧证线段相等；通过弧的中点得垂直关系，结合垂径定理和勾股定理计算线段长．解题关键是关联弦、弧的对应关系，构造直角三角形，易错点是垂径定理的条件应用不充分． 【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的弦，于点E，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，连接，延长至F，记，，求，满足的关系式． 【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理解答即可； （2）利用圆周角定理求得，，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （3）利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理解答即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，满足的关系式为． 模型3.手拉手（旋转）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连接，求的长． ②如图3，连接，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【答案】(1) (2)①，②的最大值为10 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用，角，找到线段之间的联系即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得，得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； （3）解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 【典例2】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．    (1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数； (2)在（1）的条件下，若的半径为4． ①求的长； ②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②， 理由如下：如图2，延长到，使得，连接，    ， ． 平分， ，． ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ． 【分析】（1）由题意得：，而即可求解； （2）①如图1，连接并延长交于点，连接，则，根据勾股定理即可求出的长；②理由如下：如图2，延长到，使得，连接，由圆的相关性质和已知条件可证，从而证出结论． 【详解】（1）由题意得：， ， ， ． （2）①如图1，连接并延长交于点，连接，    的半径为4， ， ， ． ②略 【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，以及全等三角形的判定与性质和勾股定理，结合条件，添加适当的辅助线是解本题的关键． 【典例3】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①， ②如图，连接，在（1）的条件下， ，， 平分， ， ， ， 是等边三角形，延长到，使得， 又，， ， ，， ， 为等边三角形， 则， 即， ． (3)，理由 如图，延长和交于点， 在（1）的条件下，，， 是直径， ，， ， ，， 在中， ， ， 即， 解得：． 【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案． （2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长． ②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，． （3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：由题意得： 四边形是圆美四边形， ， ， ． （2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接， ，，， ， ，， ． 故答案为：． ②略 （3）略 【典例4】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； （2）解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 【典例5】（25-26九年级上·浙江金华·期中）【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，求的长度． 【数学理解】 （2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在中，已知是的弦，只需作、，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，请你写出证明过程． 【问题解决】 （3）如图3，已知A是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、不重合且A、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．      【答案】（1）； （2）证明：如图2，连结、，、相交于点．      ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是垂等四边形； （3）或 【分析】（1）根据垂等四边形的定义和勾股定理可求出答案； （2）连结、，、相交于点．证明，得到，由得到，结论得证； （3）连接，和是等腰直角三角形，则，得到，则，过点作于点，由勾股定理得到，则，解得，，则或6，得到或4，由即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是垂等四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）连接，      ∵四边形是垂等四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ， ∴ 设，则，   ∵， ∴， 整理得， ∴，， ∴或6， ∵， ∴或4， ∵， ∴或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定和性质等知识，准确理解和证明垂等四边形是解题的关键． 模型4.角互补模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2) 证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【典例2】（24-25九年级下·江西南昌·阶段检测）课本再现 （1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般” 如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．    【答案】（1），； （2）证明：以图2为例证明， 连接，，如图所示：    ∵弧弧， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在四边形，， 即圆内接四边形的对角互补； 或者以图3为例证明， 连接，，如图所示：    ∵弧弧， ∴，， ∵, ∴， ∴， 在四边形，， 即圆内接四边形的对角互补； （3）证明：连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵是线段的中点， ∴，则， ∵是圆的半径， ∴是圆的切线． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是以及四边形内角和为进行作答即可； （2）以图2为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答；或者以图3为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答即可； （3）连接，，根据等边对等角，即，又，得，，，再结合四边形是圆内接四边形，得，，进而知道，又因为是线段的中点，即可求证是的切线． 【详解】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为直径， ∴， 那么， 故答案为：90，180； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形对角互补以及圆的基本性质、切线的判定、平行线的判定与性质等知识点内容，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 【典例3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）课本再现 （）教材第页指出：利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 如图（1），四边形内接于，请证明：； 拓展应用 （2）如图（2）内接于，，将弧沿着边对折，与边交于点，连接．求证：． 【答案】 （1）证明：如图，连接， 则，， ∵， ∴； （2）证明：如图，取点关于的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又由折叠得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，，进而可得，即可求证； （） 如图，取点关于的对称点，连接，由可得，即得，进而得到，即得，得，再得到，得到，即可求证． 本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，折叠的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：（）略 （） 略 【典例4】（2025九年级·江西·专题练习）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）① ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】（1）略 （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②略 【典例5】（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形内接于． 结论：． 证明：如图1，连接， 则（依据）， ． 又， ． 任务： (1)材料中的依据是___________．在图1中，若，则的度数是___________． (2)如图2，在圆内接四边形中，，，求的面积的最大值． 【答案】(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补即可得出答案； （2）先作，再利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理即可求值． 【详解】（1）解：材料中的依据是：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ， ， ． 故答案为：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； （2）解：如图， 设的中点为点， 当的延长线垂直于时，的面积最大， 即， ． ，， ，为圆的直径，点为圆心， ． ， ． ， ， ， ． 答：的面积的最大值为． 模型常见易错点 1）跳过弧，直接默认角相等 错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。 正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。 2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题 只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。 3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错 审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。 4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错 圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。 5）忽略 “同圆或等圆” 大前提 不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。 解题方法总结 1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）； 2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角； 3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边； 4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS； 5）写出全等，推导对应边、对应角相等。 终极原理总结 圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。 1．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，点C在上，连接OP．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线性质，掌握切线长定理是解题关键． 连接，利用切线长定理得，，利用圆心角和圆周角的关系得，可求． 【详解】解：连接，如图： ∵是的两条切线， ∴平分， 即，， ∵所对的为同弧， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．（2026·湖南株洲·三模）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直径得出直角，再根据圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵与所对的弧相同， ∴． 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得，根据同弧所对的圆周角相等得，可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 在中，所对的圆周角有和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本考查了圆的相关性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，由，，得，即得，可得，，由，得是等腰直角三角形，，在中，，由托勒密定理的推论知有，故，从而可得四边形的周长为． 【详解】解：连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，如图： ，， ， ， 是的直径， ， ， 半径为， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在中，， 由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号． ， ， ， ， 四边形的周长为， 故选：A． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 7．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 【答案】 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 8．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以为直径向正方形内作半圆O，与是半圆的切线，E，F为切点． （1）直线与，分别交于点P，Q，则的周长为____； （2）的周长为_____． 【答案】 12 18 【分析】根据切线的判定以及切线长定理解答即可． 【详解】解：在正方形中，，半圆是以为直径的半圆， ∴直线和直线都是半圆的切线． 又∵与是半圆的切线， ∴，，． 又∵，， ∴的周长 ， 的周长 ． 9．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ． 【答案】21 【分析】根据切线长定理得到，根据三角形周长公式求出正方形的边长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设，正方形的边长为a， ∵与半圆O切于点F， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， 在中，， 而，，， ∴， 解得：， ∴， ∴直角梯形的周长为：． 10．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 11．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 【答案】 【分析】如图：连接，利用等腰三角形性质求出，再利用平角定义求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 12．（2024·吉林长春·一模）【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补．”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ． 【探究】如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （1）求证：； （2）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 [应用]； [探究]（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 则， ∴． （2）69 【分析】根据题意得到，，，即可解答． （1）由圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，即可解答； （2）先证明，得到，的值，再根据即可解答． 【详解】[应用]由题意：， ∵，， ∴． 故答案为：； [探究]（1）略． （2）∵，，， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 13．（25-26九年级上·山西大同·期中）阅读与思考 下面是小李同学的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务． 对角互补的四边形存在外接圆我在学习完圆的相关知识后，知道“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，也就是任意一个三角形都存在外接圆．那任意一个四边形是否存在外接圆呢？思考学过的四边形，可以发现，平行四边形、菱形没有外接圆，矩形、正方形有外接圆．也就是说任意一个四边形不一定存在外接圆．那么一个四边形需要满足什么条件才有外接圆呢？结合学过的圆内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补，猜想对角互补的四边形存在外接圆．下面对我的猜想进行证明： 已知：如图1，在四边形中，． 求证：存在为四边形的外接圆． 证明：连接，作的外接圆． 假设四边形不存在外接圆，则点D不在上，即点D在外或内． 如图2，若点D在外，设与交于点M，连接，则． ∵， ∴． ∴，，矛盾． 如图3，若点D在内，…… 因此，假设不成立，点D在上，存在为四边形的外接圆，即对角互补的四边形存在外接圆． 任务： (1)小李同学的数学思考中用到的证明方法是______． (2)补全小李同学的证明过程． (3)如图，已知，作四边形，使得四边形存在外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)反证法 (2) 解：如图，延长交于点N，连接， 则． ∵， ∴． ∴，与矛盾． (3) 如图，四边形即为所求． 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，反证法，分类讨论的思想方法，本题是阅读型题目，准确理解题干中的方法是解题的关键． （1）根据题意得小李同学的数学思考中用到的证明方法； （2）延长交于点N，连接，证明，与矛盾，可得结论； （3）作出的外接圆即可． 【详解】（1）解：小李同学的数学思考中用到的证明方法是反证法， 故答案为：反证法； （2）略 （3）略 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2），； （3）最小值 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知，进而可得，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1） 略 （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得， ∵， ∴，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 16．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 17．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)如图， (2) 证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）略 （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 18．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1) 证明：连结， 分别切于，切于， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形的面积，勾股定理； （1）连结，根据切线长定理得到，然后根据平行得到，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积求出长，即可得到长解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形的周长为． 19．（2025·辽宁·一模）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为圆O的切线； (2)3 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1 ）由得到，再由已知角相等及对顶角相等，得到，利用切线的判定方法判断即可得证； （2 ）在中，利用勾股定理求出的长，利用切线长定理得到，由即可求出的长，在中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：连接， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∵与都为圆的切线， ∴， ∴． ∵为圆O的切线， ∴， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3． 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接． ， ． 又， ． 是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． (2)长为6 【分析】（1）连接，则，所以，因为，所以，由是的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）由，证明与相切于点A，而于相切于点C，则，然后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：是的半径，， 是的切线， 又也是的切线， ． 设， 在中，， 即，解得， 所以长为6． 【点睛】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 21．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)④；切线长定理 (2)∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即的半径为13； (3)作出的“美外四边形”如图所示： 【分析】（1）根据“美外四边形”和切线长定理解答即可； （2）证明四边形是正方形，即可解答； （3）作的角平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为圆心，长为半径作圆O，以点D为圆心，长为半径，画弧交于点H，以点H为圆心，长为半径，画弧交圆O于点K，延长交于点G，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：①平行四边形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”； ②矩形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”；     ③菱形的内角不一定为直角，故不一定是“美外四边形”；      ④正方形一定是“美外四边形”； ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H， ∴（切线长定理） （2）略 （3）解：理由：如图，连接， 由作法得：圆O为的内切圆，则， ∴四边形为正方形， ∴， ∴与圆O相切， ∴四边形为“美外四边形”，且． 22．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）【问题背景】 如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点． 【问题探究】 （1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论． ①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程． ②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程． 【问题解决】 （2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度； （3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由． 【答案】（1）①∵，、是的切线，是的切线， ，，，， 于F，则四边形是矩形， ，，． 又， 在中，由勾股定理：， ， 展开得：， 化简得：， ，即为定值； ②连接、、， 由①知，则， ， 由切线长定理知平分，平分， ，， 则， 是直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，由勾股定理得：， 代入得：， 整理得， 化简得：， ； （2）的长度为或； （3），理由如下： 由（1）知，， 把代入中，得， 又， ． 【分析】（1）①由切线长定理可得，，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，，．，再由勾股定理计算即可得出结果；②连接、、，由①知，则，证明，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）由，，，得，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）由（1）知，，把代入中，得，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2），，， ， ， 又， 联立， 解得或， ∴此时，的长度为或． （3）略 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2) 证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； (3) ①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）略 （3）①略 ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中全等三角形是圆几何的核心高频模型，核心依托圆的性质推导边角相等，结合全等判定解题。常考基础知识点包括：同圆或等圆中，同弧、等弧所对的圆心角、圆周角、弦、弦心距分别相等；圆的半径全部相等，可直接提供全等等边条件；直径所对圆周角为直角、垂径定理、切线垂直于过切点的半径等衍生垂直、相等线段与角关系。 考查方向以几何证明与计算为主，常结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL全等判定定理，证明线段相等、角度相等、弦相等、垂直平分等结论。题型多为结合圆内相交弦、直径、切线、弦心距构造全等三角形，转化边角关系，解决线段求值、角度推导、几何结论证明等问题，是圆综合题的基础解题模型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、切线长模型 2 模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6 模型3、手拉手（旋转）模型 11 模型4、对角互补模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 29 C组（综合压轴题） 38 圆中全等三角形模型的发展兼具中外数学积淀，是古典几何融合发展的经典成果。国外起源可追溯至古埃及的土地测量与建筑实践，古人依托圆形结构摸索边角等量关系；古希腊时期，欧几里得在《几何原本》中确立全等判定公理，阿基米德提出折弦定理，系统化完善圆内边角全等逻辑，奠定了该模型的理论基础。国内古代几何侧重实用推演，传统算学在圆田测算、圆拱建造中，总结出等弦对等距、等弧对等角等规律，形成本土化的圆内等量推导思路。近现代中外几何体系融合，将圆的核心性质与全等三角形判定定理结合，标准化形成蝴蝶、切线长、手拉手等经典应试模型，成为初高中圆几何综合解题的核心基础模型。 1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件； 2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角⇔等弧⇔等弦；圆全等的转化关系：弧⇔圆心角⇔圆周角⇔弦； 3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等； 4）全等判定：SAS、AAS、ASA； 5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 模型1.切线长模型 【模型提炼与证明】 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（    ） A． B．是等边三角形 C．垂直平分 D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【典例4】如图所示，P是外一点，，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E． (1)若的周长为10，则的长为　　； (2)连接、，若，则的度数为　　度． 【典例5】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点． (1)如果的周长为10，求PA的长； (2)如果， ①求； ②连AE，BE，求． 模型2.燕尾模型与蝴蝶模型 【模型提炼与证明】 1）.燕尾模型 条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 图1 图2 2）蝴蝶模型 条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 由于证明过程比较简单，故略去相关证明。 【模型运用】 【典例1】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图已知为半圆O的直径，为弦，且平分．若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【典例3】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，的两弦，交于点，且． (1)如图1，求证： (2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度． 【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的弦，于点E，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，连接，延长至F，记，，求，满足的关系式． 模型3.手拉手（旋转）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连接，求的长． ②如图3，连接，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【典例2】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．    (1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数； (2)在（1）的条件下，若的半径为4． ①求的长； ②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【典例3】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【典例4】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【典例5】（25-26九年级上·浙江金华·期中）【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，求的长度． 【数学理解】 （2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在中，已知是的弦，只需作、，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，请你写出证明过程． 【问题解决】 （3）如图3，已知A是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、不重合且A、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．      模型4.角互补模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【典例2】（24-25九年级下·江西南昌·阶段检测）课本再现 （1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般” 如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．    【典例3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）课本再现 （）教材第页指出：利用圆周角定理，我们得到圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 如图（1），四边形内接于，请证明：； 拓展应用 （2）如图（2）内接于，，将弧沿着边对折，与边交于点，连接．求证：． 【典例4】（2025九年级·江西·专题练习）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【典例5】（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是数学爱好者王林的一篇手稿，请认真阅读并完成相应的任务． 圆内接四边形对角互补的证明 数学知识：圆内接四边形对角互补． 题设：如图1，四边形内接于． 结论：． 证明：如图1，连接， 则（依据）， ． 又， ． 任务： (1)材料中的依据是___________．在图1中，若，则的度数是___________． (2)如图2，在圆内接四边形中，，，求的面积的最大值． 模型常见易错点 1）跳过弧，直接默认角相等 错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。 正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。 2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题 只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。 3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错 审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。 4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错 圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。 5）忽略 “同圆或等圆” 大前提 不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。 解题方法总结 1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）； 2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角； 3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边； 4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS； 5）写出全等，推导对应边、对应角相等。 终极原理总结 圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。 1．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，PA，PB是的两条切线，A，B为切点，点C在上，连接OP．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·三模）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 7．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 8．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以为直径向正方形内作半圆O，与是半圆的切线，E，F为切点． （1）直线与，分别交于点P，Q，则的周长为____； （2）的周长为_____． 9．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ． 10．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 11．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 12．（2024·吉林长春·一模）【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补．”如图①，小明给出了如下证明方法： 证明：连结、． 所对的弧为，所对的弧为． 又和所对的圆心角的和是周角． ． 同理． 这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补． 【应用】如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ． 【探究】如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点 （1）求证：； （2）若，，则四边形的面积为 ． 13．（25-26九年级上·山西大同·期中）阅读与思考 下面是小李同学的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务． 对角互补的四边形存在外接圆我在学习完圆的相关知识后，知道“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，也就是任意一个三角形都存在外接圆．那任意一个四边形是否存在外接圆呢？思考学过的四边形，可以发现，平行四边形、菱形没有外接圆，矩形、正方形有外接圆．也就是说任意一个四边形不一定存在外接圆．那么一个四边形需要满足什么条件才有外接圆呢？结合学过的圆内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补，猜想对角互补的四边形存在外接圆．下面对我的猜想进行证明： 已知：如图1，在四边形中，． 求证：存在为四边形的外接圆． 证明：连接，作的外接圆． 假设四边形不存在外接圆，则点D不在上，即点D在外或内． 如图2，若点D在外，设与交于点M，连接，则． ∵， ∴． ∴，，矛盾． 如图3，若点D在内，…… 因此，假设不成立，点D在上，存在为四边形的外接圆，即对角互补的四边形存在外接圆． 任务： (1)小李同学的数学思考中用到的证明方法是______． (2)补全小李同学的证明过程． (3)如图，已知，作四边形，使得四边形存在外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． ∵，且， ∴， 同理， ∴； 15．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 16．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 17．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 18．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 19．（2025·辽宁·一模）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，使得，过点A作垂直于交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）【问题背景】 如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点． 【问题探究】 （1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论． ①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程． ②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程． 【问题解决】 （2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度； （3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由． 23．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 24．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $