4.1.3 比例中项与黄金分割 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

课题

第3课时　比例中项与黄金分割

授课人

教

学

目

标

1.理解比例中项的概念,掌握其计算方法.

2.掌握黄金分割的定义,能根据黄金分割比求线段的长.

3.体会数学与艺术、自然的联系,提升数学审美与应用意识.

教学

重点

比例中项的求法,黄金分割的定义与计算.

教学

难点

黄金比的推导及其在实际问题中的灵活应用.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体课件

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

提问1:已知线段a=2,b=2,c=,若存在一条线段d使得a∶b=c∶d,求线段d的长.

给学生时间求解,当学生回答出线段d的长时,回顾上节课所学的概念.

提问2:以上四条线段之间的关系是什么?

提问3:a∶b和b∶c的值分别是多少?

　　从上节课所学的知识出发,回顾成比例的线段的概念及数量关系.同时通过提问的方式,引导学生思维迁移,为学习本节课的内容做铺垫.

活动

【探究1】 比例中项的概念

　　通过对旧

二:

探究

与

应用

由a∶b==,b∶c==,可知=.由比例的基本性质可得b2=ac.

归纳:一般地,如果三个数a,b,c满足比例式=(或a∶b=b∶c),那么b就叫作a,c的比例中项,即b2=ac⇔=.

做一做:

1.1是不是1和的比例中项?如果是比例中项,请写出相应的比例式.

答案:是,1∶1=1∶

2.已知线段a=3,b=27,求a,b的比例中项线段.

[答案:9]

【探究2】 黄金分割与黄金比

图4-1-16是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》(局部).现将画面中的脸部围在矩形ABCD内,四边形BCEF为正方形.量一量点F到点A,B的距离.与相等吗?

图4-1-16

通过测量,易知与的比值是相等的.

归纳:如图4-1-17,如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB,使AP>PB,且=,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫作线段AB的黄金分割点,所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比.

图4-1-17

知的回顾与应用,顺利得到一组新的数量关系,进而导出比例中项的概念,这样的过程对于学生的认知接受度更高,更顺畅.

这里的做一做是在认识比例中项之后,对此概念的简单练习.值得关注的是如何判断比例中项,需要给学生明确有效的角度和方法.

利用世界名画引出黄金分割,先让学生有一个初步的感性认识,再抛出概念.这种层次分明的递进式学习过程能够让学生对黄金分割等相关概念有一个由浅入深的认识,同时帮助学生更加充分理解相关知识.

活动

二:

探究

与

应用

应用一元二次方程的知识,可以求出黄金比的数值.

如图4-1-17,设=x,则AP=AB·x,PB=AB-AP=AB-AB·x.

由=,得=,即=.

化简,得x2+x-1=0,

解得x1=,x2=(不合题意,舍去).

所以=≈0.618,

即黄金比约为0.618.

【探究3】 黄金分割与黄金比的应用

如图4-1-18,已知线段AB=,P是它的黄金分割点,AP>PB.求AP,BP的长.

图4-1-18