4.1.3 比例中项与黄金分割 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦比例中项与黄金分割核心知识，通过回顾成比例线段概念，设置求线段d的问题情境，引导学生从旧知迁移，搭建比例中项概念的学习支架，自然过渡到新知探究。 以达·芬奇《蒙娜丽莎》引入黄金分割，让学生测量感知，结合一元二次方程推导黄金比，体现用数学眼光观察现实、用数学思维思考问题，东方明珠塔及高跟鞋高度等实例培养应用意识，助力学生提升数学审美与解决问题能力，也为教师提供清晰教学路径。

第3课时　比例中项与黄金分割 　 　　　　　　　　　　　 课题 第3课时　比例中项与黄金分割 授课人 教 学 目 标 1.理解比例中项的概念,掌握其计算方法. 2.掌握黄金分割的定义,能根据黄金分割比求线段的长. 3.体会数学与艺术、自然的联系,提升数学审美与应用意识. 教学 重点 比例中项的求法,黄金分割的定义与计算. 教学 难点 黄金比的推导及其在实际问题中的灵活应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 提问1:已知线段a=2,b=2,c=,若存在一条线段d使得a∶b=c∶d,求线段d的长. 给学生时间求解,当学生回答出线段d的长时,回顾上节课所学的概念. 提问2:以上四条线段之间的关系是什么? 提问3:a∶b和b∶c的值分别是多少? 　　从上节课所学的知识出发,回顾成比例的线段的概念及数量关系.同时通过提问的方式,引导学生思维迁移,为学习本节课的内容做铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 比例中项的概念 由a∶b==,b∶c==,可知=.由比例的基本性质可得b2=ac. 归纳:一般地,如果三个数a,b,c满足比例式=(或a∶b=b∶c),那么b就叫作a,c的比例中项,即b2=ac⇔=. 做一做: 1.1是不是1和的比例中项?如果是比例中项,请写出相应的比例式. 答案:是,1∶1=1∶ 2.已知线段a=3,b=27,求a,b的比例中项线段. [答案:9] 【探究2】 黄金分割与黄金比 图4-1-16是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》(局部).现将画面中的脸部围在矩形ABCD内,四边形BCEF为正方形.量一量点F到点A,B的距离.与相等吗? 图4-1-16 通过测量,易知与的比值是相等的. 归纳:如图4-1-17,如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB,使AP>PB,且=,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫作线段AB的黄金分割点,所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比. 图4-1-17 　　通过对旧知的回顾与应用,顺利得到一组新的数量关系,进而导出比例中项的概念,这样的过程对于学生的认知接受度更高,更顺畅. 这里的做一做是在认识比例中项之后,对此概念的简单练习.值得关注的是如何判断比例中项,需要给学生明确有效的角度和方法. 利用世界名画引出黄金分割,先让学生有一个初步的感性认识,再抛出概念.这种层次分明的递进式学习过程能够让学生对黄金分割等相关概念有一个由浅入深的认识,同时帮助学生更加充分理解相关知识. 活动 二: 探究 与 应用 应用一元二次方程的知识,可以求出黄金比的数值. 如图4-1-17,设=x,则AP=AB·x,PB=AB-AP=AB-AB·x. 由=,得=,即=. 化简,得x2+x-1=0, 解得x1=,x2=(不合题意,舍去). 所以=≈0.618, 即黄金比约为0.618. 【探究3】 黄金分割与黄金比的应用 如图4-1-18,已知线段AB=,P是它的黄金分割点,AP>PB.求AP,BP的长. 图4-1-18 解:因为P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB, 所以=, 所以AP=AB=×=1, BP=AB-AP=-1=. 【应用举例】 　例1　如图4-1-19,东方明珠电视塔是上海的一座标志性建筑,该建筑的设计也应用了黄金分割,即上球体恰好处于整座塔的黄金分割点(靠近顶端).若上球体到塔底的距离约为289.2 m,则整座电视塔的高度约为　468 m　.(结果保留整数)  图4-1-19 　　感受黄金分割在生活中的实际应用. 【拓展提升】 例2　爱美之心人皆有之,特别是很多女士,穿上高跟鞋后往往会有很好的效果.事实上,当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时,会给人以美感.某女士身高160 cm,下半身长度与身高的比值是0.6,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度约为　7.5　cm.(结果保留一位小数)  　　培养学生分析问题和解决问题的能力,将知识与实践相结合. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.把10 cm长的线段进行黄金分割,则较长线段的长约是 (　C　) A.3.09 cm B.3.82 cm C.6.18 cm D.7.07 cm 2.已知C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式成立的是(　C　) A.AB2=AC·BC B.BC2=AC·AB C.AC2=AB·BC D.AC2=2AB·BC 3.一个矩形的长为20 cm,若其宽与长的比为黄金比,求宽的长度(结果保留一位小数). [答案:约为12.4 cm] 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,让每名学生都能有所收益、有所提高. 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学的知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【板书设计】 第3课时　比例中项与黄金分割 比例中项: 黄金分割: 黄金比: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课在探究过程中,更多的是教师介绍,可以适当地让学生提前查阅资料,收集关于黄金分割的相关信息,以及黄金分割在美学上的应用,在课上与同学们分享. ②[讲授效果反思] 学生在通过列式计算黄金比时,可能存在一些困难,需要进一步引导学生理清其中关系,建立方程. ③[师生互动反思]  　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $