专题07 相似三角形中的动点问题（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 初中数学专项训练，聚焦相似三角形动点问题，以“分段分析-相似判定-方程建立”为核心方法体系，系统整合动态几何与相似知识，通过题型模版培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|动点分段分析、相似判定、建立方程，两条底线原则|从相似三角形判定基础延伸至动态问题处理框架，构建“静态性质-动态转化”逻辑| |题型归纳|5类题型（每类含例+变式）|函数图像辨析：分段讨论+函数判断；时间计算：动态线段表示+比例方程；线段长度：分类画图+比例求解；最值：相似转化+几何性质；特殊图形综合：图形性质+相似联立|按问题复杂度递进，从单一动态关系到多知识点综合，形成“特征-方法-应用”对应链条| |压轴挑战|10道题|综合应用与思维突破|整合前序方法解决复杂问题，提升模型意识与创新思维|

专题07 相似三角形中的动点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点变化下函数关系图像辨析问题 题型二、动点背景下与运动时间相关计算问题 题型三、动点条件下求线段长度问题 题型四、动点背景下线段与线段和的最值问题 题型五、相似三角形动点与特殊图形综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形动点问题是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕动点分段分析、相似判定、建立方程三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是注意动点的运动范围与分段临界点，相似务必核对角与顶点的对应顺序；二是用时间 t 表示出动点坐标与线段长，分情况画出对应图形，利用相似列比例方程，求出解后检验是否符合动点的取值范围，舍去不合题意结果。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点变化下函数关系图像辨析问题 题型模版 1.特征：伴随动点匀速运动，线段长度、图形面积、线段比值随之连续变化，要求判断对应函数图像走势、形状、端点，常结合分段函数考查，真假图像干扰性强。 2.方法：先找出动点运动转折点，进行分段讨论；每一段利用相似建立变量之间的函数关系式，判断是一次函数、二次函数或常函数；结合增减性、端点取值逐项排除错误选项，保证图像变化与动点运动完全匹配。 【例1】如图，在中，，，．点D为的中点，交于点，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，梯形中，，垂足分别为，且，，动点P从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，，则y与t之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四边形中，，，点是上的一个动点，交四边形另一边于点．设，的面积为，则与之间的函数关系图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1-3】如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型二、动点背景下与运动时间相关计算问题 题型模版 1.特征：题目明确给出动点速度、运动方向、运动路径与起止范围，以运动时间为唯一变量，在动点运动过程中保持三角形相似，求解时间的值，常存在多解情况。 2.方法：先用含的代数式表示所有动态线段长度，找准动点临界分段点；根据图形结构判定相似模型，严格对应顶点顺序列出比例方程求解；核心底线：求出后必须检验取值范围，保证动点在有效路径上，舍去超范围、不符合题意的增根。 【例3】如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【例4】如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【变式2-1】如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【变式2-2】如图，在中，，，，点P从B点出发，沿方向以的速度移动，点Q从C出发，沿方向以的速度移动．若P、Q同时出发，经过________，与相似． 【变式2-3】如图，在中，已知，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．若是的中点，当时，的值为________． 题型三、动点条件下求线段长度问题 题型模版 1.特征：点在三角形、四边形边上或折线上动态运动，在满足三角形相似的前提下，求动态线段、对应边长或对应边比值，动点位置不唯一，容易漏解。 2.方法：根据动点不同停留位置分类画图，准确找出两组相似三角形的对应角、对应边；利用相似三角形对应边成比例列方程求解线段长；解题务必区分不同相似对应情况，最后结合图形大小关系验证线段长度为正数。 【例5】如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 __． 【变式3-1】如图，在矩形中，，点分别在矩形的边上，顺次连接着四个点得到四边形，当四边形为矩形，且相邻两边的比为时，的长度为_________． 【变式3-2】如图，在中，点为AC边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间变化的函数关系如图2所示，则边的长为__________． 【变式3-3】如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为______． 题型四、动点背景下线段与线段和的最值问题 题型模版 1.特征：在动点运动且保持相似成立的前提下，求单条线段最值、两条线段和差最值，结合相似转化边长关系，综合性较强。 2.方法：借助相似三角形比例转化，将不规则动态线段转化为可量化的函数表达式；利用二次函数最值、垂线段最短、轴对称最值等几何性质求解；必须验证取最值时动点位置真实存在，符合图形约束与相似条件。 【例7】在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，已知平行四边形中，为上任意一点（可以与重合），延长到，使得，以为边作平行四边形，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD＋DM的最小值是________． 【变式4-2】如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式4-3】如图，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________ 题型五、相似三角形动点与特殊图形综合问题 题型模版 1.特征：动点运动同时满足三角形相似与特殊图形性质，包含等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等双重条件，图形变化多、分类多、逻辑复杂，难度较高。 2.方法：先根据特殊几何图形性质锁定边角等量关系，再结合相似三角形对应比例关系联立方程；按不同图形存在情况完整分类讨论，逐一计算对应动点参数；解题底线：双重条件必须同时满足，所有解全部回代验证，剔除矛盾、不成立的情况。 【例9】如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知、，点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒个单位、2个单位，作于现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形． 【变式5-1】如图，在中，，，，两点同时从出发，点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，以，为邻边作矩形．当点停止运动时，点继续向终点运动．设点的运动时间为秒．    (1)在点的运动过程中，__________，__________（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，__________； (3)设矩形与重合部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． 【变式5-2】已知，如图，在矩形中，是对角线，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P作于点M，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)是否存在某一时刻，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，点在一条直线上 【变式5-3】如图，是边长为的等边三角形，为的中线，动点P，Q分别从A，B同时出发，分别沿，方向做匀速运动，它们的速度都是．当点P到达点B时，停止运动，设点P的运动时间为． (1)当_____时为等边三角形 (2)当与相似时，求出的值 (3)设四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求出为何值时，四边形的面积有最小值，并求出最小值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，动点，分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在梯形中，，，，，点P，E分别为对角线和边上的动点，连接．点P在上以每秒1个单位长度的速度从点C运动到点A，在这个过程中始终保持．设的面积为y，则y与点P的运动时间x的函数关系图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________．    4．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，BC＝17．D，P分别是线段AC，BC上的动点，则BD+DP的最小值是_____． 6．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 7．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当△PCM为直角三角形时，线段PB长度为 ． 8．如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结． (1)请用含的代数式表示：______，______． (2)若三角形与三角形相似，求此时的值． (3)直接写出三角形是直角三角形时的值． 9．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q先以2cm/s的速度沿A→O的路线向点O运动，然后再以2cm/s的速度沿O→D的路线向点D运动，当P、Q到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒． （1）在点P在AB上运动时，判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由； （2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N． ①直接写出当△PQM是直角三角形时t的取值范围； ②是否存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、设P、Q两点运动时间为t秒，四边形MNQP的面积为． 为何值时，为等边三角形？ 是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 连接PN、QM交于点D，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形中的动点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点变化下函数关系图像辨析问题 题型二、动点背景下与运动时间相关计算问题 题型三、动点条件下求线段长度问题 题型四、动点背景下线段与线段和的最值问题 题型五、相似三角形动点与特殊图形综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形动点问题是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕动点分段分析、相似判定、建立方程三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是注意动点的运动范围与分段临界点，相似务必核对角与顶点的对应顺序；二是用时间 t 表示出动点坐标与线段长，分情况画出对应图形，利用相似列比例方程，求出解后检验是否符合动点的取值范围，舍去不合题意结果。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点变化下函数关系图像辨析问题 题型模版 1.特征：伴随动点匀速运动，线段长度、图形面积、线段比值随之连续变化，要求判断对应函数图像走势、形状、端点，常结合分段函数考查，真假图像干扰性强。 2.方法：先找出动点运动转折点，进行分段讨论；每一段利用相似建立变量之间的函数关系式，判断是一次函数、二次函数或常函数；结合增减性、端点取值逐项排除错误选项，保证图像变化与动点运动完全匹配。 【例1】如图，在中，，，．点D为的中点，交于点，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，是斜边中点 ∴， ∵点速度为单位/秒，点速度为单位/秒， ∴点在上运动时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒，总运动时间为秒，与点到达点时间一致，故分三段讨论： ①当时， 点在上，，如图，过点作于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，解得， ∵， ∴， ∵，对称轴为轴， ∴此段为开口向上的抛物线在第一象限的部分，图像为从左往右上升的曲线； ②当时，点在上， ∵，， ∴，点到的距离恒为， ∵ ∴， ∵， ∴此段为一次函数，随增大而增大，图像为从左往右上升的线段； ③当时，点在上，点到的距离为， ∵， ∴， ∵，对称轴为， ∴此段为开口向下的抛物线，在4时随增大而减小，图像为从左往右下降的曲线； 综上，函数图像先为上升的抛物线，再为上升的直线，最后为下降的抛物线，对应选项A． 【例2】如图，梯形中，，垂足分别为，且，，动点P从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，，则y与t之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点P在线段上时，如图，则，且； 过点P作的垂线，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由勾股定理得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，其图像为一条过原点的线段； 当点P在线段上时，则； 此时的边上高为12，即，此时函数图像为平行x轴的一条线段； 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴，且； 过点P作的垂线，交的延长线于点H，如图， 与点P在线段上情况道理相同，得， ∴，其图像为一条线段； 则点y与x的函数图象如下： 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题函数图像，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，注意分类讨论． 【变式1-1】如图，在四边形中，，，点是上的一个动点，交四边形另一边于点．设，的面积为，则与之间的函数关系图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ， 则，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ①当时， ， ， ， ，即， ， ； ②当，此时， ，； ③当时， ， 同理可证， ，即， ， ， 综上， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 【变式1-2】如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，为4，即为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 【变式1-3】如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ，即， 又， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ， 故该函数图象是位于第一象限的反比例函数的一支．选项A符合题意． 题型二、动点背景下与运动时间相关计算问题 题型模版 1.特征：题目明确给出动点速度、运动方向、运动路径与起止范围，以运动时间为唯一变量，在动点运动过程中保持三角形相似，求解时间的值，常存在多解情况。 2.方法：先用含的代数式表示所有动态线段长度，找准动点临界分段点；根据图形结构判定相似模型，严格对应顶点顺序列出比例方程求解；核心底线：求出后必须检验取值范围，保证动点在有效路径上，舍去超范围、不符合题意的增根。 【例3】如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 【例4】如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【答案】 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∴当的平分线恰好经过的中点时，． 【变式2-1】如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 【变式2-2】如图，在中，，，，点P从B点出发，沿方向以的速度移动，点Q从C出发，沿方向以的速度移动．若P、Q同时出发，经过________，与相似． 【答案】或 【详解】解：中，，，， 由勾股定理得． 设经过t秒，与相似， 则，， ①当时，有，即，解得； ②当时，有，即，解得； 综上可知，经过或秒时，与相似． 故答案为：或． 【变式2-3】如图，在中，已知，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．若是的中点，当时，的值为________． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当时，的值为； 故答案为：． 题型三、动点条件下求线段长度问题 题型模版 1.特征：点在三角形、四边形边上或折线上动态运动，在满足三角形相似的前提下，求动态线段、对应边长或对应边比值，动点位置不唯一，容易漏解。 2.方法：根据动点不同停留位置分类画图，准确找出两组相似三角形的对应角、对应边；利用相似三角形对应边成比例列方程求解线段长；解题务必区分不同相似对应情况，最后结合图形大小关系验证线段长度为正数。 【例5】如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图1，作的平分线交于点，由题意中的函数图像知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是证明． 【例6】如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 __． 【答案】或 【详解】解：在正方形中， ， ， 又 四边形为矩形 正方形的边长为3，线段长度为3， 当点移动至线段的三等分点时，有两种情况： ①，， 则在中， ， 在中， ②， 则在中， ， 在中， 综上所述线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【变式3-1】如图，在矩形中，，点分别在矩形的边上，顺次连接着四个点得到四边形，当四边形为矩形，且相邻两边的比为时，的长度为_________． 【答案】或 【详解】解：四边形和四边形为矩形， ，， ， 同理， 设， 当时， ，，， ，， ， ， ， 解得． 即． 由图可知，当符合四边形为矩形时，相邻两边的比为的条件，此时， 故答案为：或． 【点睛】此题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握“一线三垂直”的相似三角形模型及方程的思想方法． 【变式3-2】如图，在中，点为AC边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间变化的函数关系如图2所示，则边的长为__________． 【答案】 【详解】解：由函数图像可知， 最开始PC长度为2，即CD=2， ∵D为AC中点， ∴DA=CD=2，AC=2CD=4， 当运动到AB边上时，当x取时，存在最小值， 此时，CP⊥AB，如图所示： ∴DA+AP=， ∴AP=， ∵CP⊥AB， ∴∠APC=90°， 在Rt△ACP中， CP=， ∵∠ACB=∠BPC=90°， ∴∠ACP+∠BCP=90°，∠BCP+∠CBP=90°， ∴∠CBP=∠ACP， ∴△ACP∽△CBP， ∴即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是对相似三角形和函数图像的综合考查，熟练掌握相似三角形及函数图像知识是解决本题的关键． 【变式3-3】如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为______． 【答案】 【详解】解： 过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小 ∵P为BC的中点 ∴E为CD的中点 ∴PE=BD ∵AB=BD，AB=MN ∴MN=BD ∴PE=MN ∴四边形PEMN是平行四边形 ∴EN=PM ∵AE= ∴AB∥CD ∴△ABN∽△EDN ∴ ∴AN= 故答案为. 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，题目综合性很强，属于较难题目. 题型四、动点背景下线段与线段和的最值问题 题型模版 1.特征：在动点运动且保持相似成立的前提下，求单条线段最值、两条线段和差最值，结合相似转化边长关系，综合性较强。 2.方法：借助相似三角形比例转化，将不规则动态线段转化为可量化的函数表达式；利用二次函数最值、垂线段最短、轴对称最值等几何性质求解；必须验证取最值时动点位置真实存在，符合图形约束与相似条件。 【例7】在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过作于，则，， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 如图所示，以，为邻边作平行四边形，则，，， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长， 此时，中，， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 【例8】如图，已知平行四边形中，为上任意一点（可以与重合），延长到，使得，以为边作平行四边形，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 记PE与CD交点为G， ∵四边形PFEC为平行四边形， ∴PF∥CE， ∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD， ∴△PGD∽△EGC， ∵DF＝PD， ∴PDPFCE， ∴， ∴， ∴PE＝3PG， 要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时取PG， ∵ABCD是平行四边形 ∴平行线间的距离处处相等 过点C作CH⊥AB于点H， 在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝6， ∴sin∠B，即， ∴PG＝CH， ∴PE＝3PG， 故答案为：B． 【点睛】考查了平行四边形的性质，关键是根据三角函数、点到直线的距离及垂线段最短解答， 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD＋DM的最小值是________． 【答案】 【详解】解：作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O， 作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD＋DM最小（垂线段最短）． ∵AB＝AC＝10，AE⊥BC， ∴BO＝OC＝8，AO＝＝＝6， ∴∠BAO＝∠EAM，∵∠AOB＝∠AME， ∴△AOB∽△AME， ∴， ∴， ∴EM＝， ∴AD＋DM最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型． 【变式4-2】如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB． ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm， ∴C（-3，0），B（0，4）， ∵∠CDB=90°， ∴BC==5（cm）， ∵EH∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴， ∴， ∴EH=0.3t，BH=0.4t， ∴E（-0.3t，4-0.4t）， ∵F（0，0.4t）， ∵QE=QF， ∴Q（-t，2）， ∴点Q在直线y=2上运动， ∵B，D关于直线y=2对称， ∴QD=QB， ∴QP+QD=QB+QP， ∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)， ∴QP+QD≥2， ∴QP+QD的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动． 【变式4-3】如图，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型五、相似三角形动点与特殊图形综合问题 题型模版 1.特征：动点运动同时满足三角形相似与特殊图形性质，包含等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等双重条件，图形变化多、分类多、逻辑复杂，难度较高。 2.方法：先根据特殊几何图形性质锁定边角等量关系，再结合相似三角形对应比例关系联立方程；按不同图形存在情况完整分类讨论，逐一计算对应动点参数；解题底线：双重条件必须同时满足，所有解全部回代验证，剔除矛盾、不成立的情况。 【例9】如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． (3)当时， 【分析】 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）略 （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知、，点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒个单位、2个单位，作于现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形． 【答案】（1）=3.6（2）=或3.6 （3）当点N的速度改变为时，5秒四边形BMHN为菱形． 【分析】 【详解】解：∵A（9，0）、B（9，12） ∴OA=9，AB=12，由勾股定理得OB=15 由题意得，BA⊥OA，又MH⊥OA ∴MH∥BA ∴ 又∵OM= ∴OH=，MH= （1）使四边形BMHN为平行四边形，MH=BN即可 即 解得，=3.6 （2）当△OMH∽△HNA时， 即 解得=3.6 当△OMH∽△NHA时， 即 解得= （3）若四边形BMHN是菱形，则HM=MB=BN 设点N的速度改变为 得 解得=5，= 当点N的速度改变为时，5秒四边形BMHN为菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形和菱形的判定，掌握平行四边形和菱形的判定定理是解题的关键，注意相似三角形的性质定理的运用和分类讨论思想的正确运用． 【变式5-1】如图，在中，，，，两点同时从出发，点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，以，为邻边作矩形．当点停止运动时，点继续向终点运动．设点的运动时间为秒．    (1)在点的运动过程中，__________，__________（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，__________； (3)设矩形与重合部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)t， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵， ∴； （2）如图，当点M落在上，   ，， ，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ； （3）当时，如图，   ，， ， 当时，如图，    ∵，，， ∴， 设与相交于点D，设与相交于点E． ∴， 同理可得：． ； 当时，如图，    设与相交于点D，则． ． 综上所述：． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列重叠部分的面积关系式，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式5-2】已知，如图，在矩形中，是对角线，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P作于点M，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)是否存在某一时刻，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，点在一条直线上 【答案】(1) (2)不存在t，使 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，    ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，解得：， ∴当t为时，四边形是矩形； （2）解：不存在，理由如下： 如图，过点P作于点K，    由（1）得：， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，无解， ∴不存在t，使； （3）解：如图，    ∵点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴当t为时，点在一条直线上． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【变式5-3】如图，是边长为的等边三角形，为的中线，动点P，Q分别从A，B同时出发，分别沿，方向做匀速运动，它们的速度都是．当点P到达点B时，停止运动，设点P的运动时间为． (1)当_____时为等边三角形 (2)当与相似时，求出的值 (3)设四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求出为何值时，四边形的面积有最小值，并求出最小值 【答案】(1)2 (2)或； (3)，时， 【分析】 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， 当时，是等边三角形， 即， 解得； 故答案为：2； （2）∵是等边三角形，为的中线， ∴， 当时， ， ∴， 解得， 当时， ， ∴， 解得， 综上所述或； （3）如图，作于点R， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴当，． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质、解直角三角形、二次函数的最值等知识，解决问题的关键是分类讨论． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，动点，分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，． ，， ， ， ， ， ． ，，， ， ， ， 是反比例函数，且在第一象限， A选项符合上述要求． 2．如图，在梯形中，，，，，点P，E分别为对角线和边上的动点，连接．点P在上以每秒1个单位长度的速度从点C运动到点A，在这个过程中始终保持．设的面积为y，则y与点P的运动时间x的函数关系图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ∵ ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵点在上以每秒个单位长度的速度从点运动到点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 观察函数图象，只有D选项符合题意． 3．正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为______________．    【答案】2 【详解】根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，如图1：    ∵正方形ABCD中AB=，M为中点 ∴CM=BM=， ∵∠MPC＝45° ∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2：    根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP， ∴，∠NOP=∠AOP ∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA ∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：    ∵CN=OC+CN=1+=， ∴NG=CG=， ∴BG=， 根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，结合了相似三角形，动点轨迹，最短距离以及圆的相关知识，属于压轴题，学生必须熟练掌握构造相似三角形的方法，并找到动点轨迹为圆弧，再结合最短距离求解本题． 4．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，BC＝17．D，P分别是线段AC，BC上的动点，则BD+DP的最小值是_____． 【答案】 【详解】 作B关于AC的对称点E，过E作EP⊥BC于P，交AD于D， 则AE＝AB＝8，此时，BD+DP的值最小，BD+DP的最小值＝EP， ∵∠BAC＝∠BPE＝90°，∠C＝∠E， ∴△ABC∽△PBE， ∴， ∴， ∴PE＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的动点问题与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 5．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 6．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 7．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当△PCM为直角三角形时，线段PB长度为 ． 【答案】 （1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠BAP+∠B+∠APB=180°=∠APB+∠APM+∠CPM，∠APM=∠B， ∴∠BAP=∠CPM， ∴△ABP∽△PCM； （2）4cm或cm 【分析】 【详解】解：（1） 略 （2）由题意得： ①当∠PMC=90°时，如图所示： 由（1）可得∠BAP=∠CPM，△ABP∽△PCM， ∴∠PMC=∠APB=90°， ∵AB=AC=5cm，BC=8cm， ∴BP=PC=4cm； ②当∠MPC=90°时，如图所示： 过点A作AD⊥BC于点D， ∴BD=DC=4cm， ∴， 由（1）得：∠BAP=∠CPM=90°，△ABP∽△PCM， 易得△ADB∽△PDA， ∴由射影定理可得：， ∴， ∴， 故答案为4cm或cm． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8．如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结． (1)请用含的代数式表示：______，______． (2)若三角形与三角形相似，求此时的值． (3)直接写出三角形是直角三角形时的值． 【答案】(1)10-2t，3t； (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得， （2）∵ 当时 ， 当时 即 综上所述当三角形与三角形相似时， （3）如图，过作 ， ， ∴ 当时， 即 由勾股定理有 即 解得：或（舍去） 当时， 如图 即 解得： 综上所述当三角形是直角三角形时． 9．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q先以2cm/s的速度沿A→O的路线向点O运动，然后再以2cm/s的速度沿O→D的路线向点D运动，当P、Q到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒． （1）在点P在AB上运动时，判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由； （2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N． ①直接写出当△PQM是直角三角形时t的取值范围； ②是否存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）PQ⊥AC，理由见解析；（2）①0＜t＜5或t＝7.5；②存在，t＝2或 【分析】 【详解】（1）由题意AP＝4t，AQ＝2t． 则＝＝， 又∵AO＝10，AB＝20， ∴＝＝． ∴＝， 又∵∠CAB＝30°， ∴△APQ∽△ABO． ∴∠AQP＝∠AOB＝90°，即PQ⊥AC． （2）①由（1）可知，当0＜t＜5时，如图1中，∠PQM＝90°，△PQM是直角三角形， 当5＜t＜10时，如图2中，当BP＝PC时，∠PMQ＝90°，此时t＝7.5， 综上所述，当0＜t＜5或t＝7.5时，△PQM是直角三角形 ②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形． 设l交AC于H． 如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°． ∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣t＝2×，解得t＝2． 如图3，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则PM∥CD， ∴∠BPM＝∠BCD＝60°，∠BMP＝∠BDC＝60°， ∵∠PBM＝60°， ∴△PBM是等边三角形， ∵PB＝BM， ∴4t﹣20＝ [20﹣2×2（t﹣5）]， 解得t＝． 故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积，解直角三角形等知识点，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 10．如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、设P、Q两点运动时间为t秒，四边形MNQP的面积为． 为何值时，为等边三角形？ 是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 连接PN、QM交于点D，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）当时，为等边三角形；（2）；（3）． 【分析】 【详解】由题意得：，，则， 当时，即：，解得：， 即：当时，为等边三角形； 由题意得：，， 在和中，，，，， ， ， 解得：舍去负值， 故：； 如下图： 时，，， ， ， 即：， 解得：或（舍去）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $