专题03 相似多边形（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以概念辨析为基础，性质应用为核心，通过分层题型构建从基础到综合的相似多边形认知体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相似多边形的概念|8题（含3道辨析、2道图形扩张、3道综合证明）|以判断、辨析为主，结合图形变换考查定义理解|从相似多边形定义（对应角相等、对应边成比例）出发，通过反例（矩形、菱形）深化概念本质| |相似多边形的性质|14题（含4道计算、5道证明、5道实际应用）|涉及相似比、面积比计算，结合矩形分割、A4纸等实际情境|由定义推导性质（相似比与周长比、面积比关系），通过图形分割、相似体等应用强化几何直观与应用意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似多边形 常考题型精准突破 。考点一相似多边形● ◆题型1相似多边形的概念 1.D 2.C 3.B 4.【详解】(1)解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如60°菱形和90°菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如2×1和3×2长方形不相似）： ③真：正方形四个角都是90°，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； (2)证明：如图1中，连接BD,B,D D A B 图1 BC CD :∠BCD=∠B,CD:且BCCD, △BCD△B,CD, BC BD ·LCDB=LCD,B'LCBD=∠CBD, BC BD AB BC BBC' BD AB ·BDAB' ·∠ABC=∠ABC,∠CBD=∠CB,D, ∠ABD=∠ABD, .△ABDn△ABD, 1/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AB AD,AB'∠A=∠A'∠ADB=∠ADB AB BC CD AD ∴ABBC CD,AD'∠ADC=∠AD,G'∠A=∠A'∠ABC=∠AB,G' ∠BCD=∠BCD, :四边形ABCD与四边形ABCD相似： (3)证明：，四边形ABFE与四边形EFCD相似， AE BF AB EF DE FC EF CD 设这个公共比值为k(k>0),则AE=kDE,AB=kEF,EF=k.CD, ∴AB=K2CD, ABII EF II CD ,△AEOA△ADC,△DEOADAB, AE EO DE EO ∴ADCD'ADAB' AE DE EOEO AE AB :AD'AD-CD÷AB,即DECD ..k=AB FCD即AB=kCD' ..k2CD=k-CD, .CD≠0，k>0, ∴两边同除以kCD得，k=1, AE-1, :D ∴AE=DE 5.(1) 不相似.理由如下： ,原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4, .划分后小矩形的长为AD=4,宽为AE=6÷3=2 AB 64 AD 又：8C42AE,即原矩形与每个小矩形的边不成比例， 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.每个小矩形与原矩形不相似 (2),原矩形的长AB=a,宽BC=b, 2划分后小矩形的长为D=6宽为4E=号 又，每个小矩形与原矩形相似， AB AD BC AE a b ∴ba,即 3 a2=3b2 6. (1)5+1 2: 2)2: (3)同意，如图所示： (4)共有四种情况： ①如下图，a=V3: 1 ②如下图2，a=V2: ③如下图，a=6 : 3/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④如下图，a=\2 1+5V2+25 2 7.(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD,AD=BC, ,EF∥AD, ∴∠AEF=∠B=90°，∠DFE=∠C=90°，∠BEF=∠A=90°，∠FEC=∠D=90°， :.四边形AEFD和四边形EBCF都是矩形 .'AE=DF,AD=EF BE=CF,EF=BC, 又：EF2=AE·BE, AE EF EFBE' AE EF FD AD F BE BC-CF· :矩形AEFD∽矩形EBCF, (2) 证明：四边形ABCD是梯形，AD‖BC, 又EF∥AD, .EF∥AD∥BC, ∴.∠A=∠BEF,∠AEF=∠B,LDFE=LC,∠D=∠EFC, 梯形ABCD中，AB=CD. “.梯形ABCD是等腰梯形， ∠B=∠C, .∠AEF=∠DFE, 4/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，梯形AEFD和EBCF都是等腰梯形， .AE=DF,EB=FC. 如图，作DG∥AE交EF于G,作FH∥EB交BC于H, E G B H 则四边形AEGD和EBHF都是平行四边形， .AE=DG=DF,EB=FH =HC,AD=EG,EF=BH, ∠DGF=∠AEF,∠FHC=∠B, 、∠DGF=LFHC, .aDGF∽aFHC, DG GF DF ∴FHHCFC, .EF2 AD.BC, EF AD BC=EF EF-AD EF GF EF 根据等比性质可得 BC-EF BC 即HC BC DF EF :FC-BC' AE DF EF AD ∴EB-FC-BC EF· 梯形AEFD∽梯形EBCF 8.(1)菱形和正方形；(2)见解析：(3)③：(4)见解析 【详解】(1)解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似， ∴“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形， 故答案为：菱形和正方形： (2)证明：连接BD、B'D', 8844 5122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABD∽△AB'D', BD AB ∠1=∠5’L2=L6' B'D'AB'· AB BC CD :∥B=BCCD, BD BC CD BDBC C'D' ∴.△BCDr△B'C"D', .∠3=∠7，∠4=∠8，∠C=∠C, ∠1+∠3=∠5+∠7，∠2+∠4=∠6+∠8， 即∠ADC=∠AD'C',∠ABC=∠AB'C, 综上，四边形ABCD∽四边形A'B'C"D'」 Q D 又3 C D' 父7 5 2 6 A B A (3)解：①如图，四边形ABCD∽四边形A'B'CD',以A为圆心、A'D'为半径作圆交CD延长线于 D”AD'ABB'C 点D”,则AD=AD=AB=BC，∠B=∠B'∠C=∠C,但四边形ABCD不与四边形ABCD相似 C C D D' Dm...-.-. ②如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',以C'为圆心、CD为半径作圆交过点D'且和AB平行的直 线相交于点D”,过D'作AIDA交AB于点A”,则CD'=CD”,四边形A'DDA为平行四边形.则 A"D”A'D'B'CC'D'C'D"A"D”B'C'C'D' ADAD BC=CD=CD,即 AD BC CD’∠BA"D"=∠AN'=∠A'∠B'=∠B' 但四边形A”B'CD”不与四边形ABCD相似 6122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D D" D A'A" A AB BC CD ③已知：如图，四边形ABCD和四边形ABCD中，ABBCCD,∠ABC=∠AB'C: ∠BCD=∠B'CD' 求证：四边形ABCD∽四边形AB'C'D', 证明：连接BD,B'D D ,且 BC CD B B'∠BCD=LB'C'D B'C CD' △BCDn△B'C'D', BD BC .∠CDB=∠CDB ∠C'BD=∠CBD,B'DBC AB BC CD .A'B'B'C CD' BD AB .B'D AB ∠ABC=LAB'C, ∠ABD=∠NBD, .△ABD∽△BD', AD AB ∴.ADNB,∠A=∠A?∠ADB=∠ADB? AB BC CD AD :A8 BC CDAD,∠ADC=∠DC,∠A=∠A:∠ABC=∠ABC,∠BCD=∠BCD, ∴四边形ABCD与四边形ABC'D相似： ④如图，四边形ABCD∽四边形AB'CD',以C'为圆心，C'A为半径作圆交AB'于点A”,在CA左 侧作△C'AD'≌△C'AD”,则C'D'=C'D"=kCD,A"D'=AD=AD,B'C'=kBC,∠D"=∠D, 7/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B'=∠B,但四边形A"B'CD”不与四边形ABCD相似. C D D"`、 B 故答案为：③， (4)解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只 需考虑成比例的两边是邻边还是对边. 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下： AB AD 已知：四边形ABCD和四边形ABCD中，A术B=D, ∠A=∠A'∠B=∠B,∠C=∠C": 求证：四边形ABCD∽四边形AB'C"D' 证明：∠A=∠A∥，∠B=∠B,∠C=∠C, .∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-∠A-∠B-∠C'=∠D 连接BD、B'D', C D 3 1 C D 7 4 5 2 6 A B A B AB AD ABAD’ ∠A=∠A? ∴.△ABD∽△A'B'D', BD AB ·A=∠5'B'DAB .∠3=∠ADC-∠1=∠AD'C'-∠5=∠7， 又∠C=∠C, .△BCD∽△B'C"D BC CD BD AB 。AD B'CCDBDABAD 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，四边形ABCD∽四边形AB'C'D' 9.(1)①(8,1.5)： ②证明：由题意可知E(2,6),F(8,1.5) CE_8-2_3CF_6-1.5_3 :8C=8=4,CD64 CE CF :BC DC' ·这两个矩形的四个角都是直角， 、“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似」 2k2 (2)证明：“OD=3k'OB=2k:BE=k:反比例函数y=x交BC于点E “点E(k,2k) .CE=AF=2k,CD=2k :矩形CEAF∽矩形CBOD, 品焉贺装 AE 2k :E=张 3 、、DP=2k4k=专飞， 3 r) 、将点 的坐标代入y=2 ,左边右边， 2k2 六点下在反比例函数y=文的图象上， 2k2 ∴矩形CEAF是反比例函数y= 的“相伴矩形” 【分析】(1)①由BE-2,得到点E的横坐标为2.求得点E的坐标为(2,6)，由点E在反比例函 数y=,的图象上，求得k=2×6=12,把点P的横坐标8代入反比例函数的解析式即可得到结论 CE CF ②根据题意得到B(2,6),F(8,15).求得BC=DC,于是得到“相件矩形”CBAF与原矩形 9122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OBCD相似； AE CE (2)根据已知条件得到CB=AP=2k,CD=2k.根据矩形CBA~矩形CBOD,求得OB-CB,即 发兰，得到点Fr以学将点P的坐标代人y 2k2 即可得到结论. 【详解】(1)①解：，BE=2,.点E的横坐标为2。 又“点C的坐标为（⑧，6），点E的坐标为(2,6). k “点E在反比例函数y=,的图象上， ∴.k=2×6=12」 12 .反比例函数为y= 点C的坐标为(8,6)， ∴.点F的横坐标为8， 号1s 点F的坐标为(8,15)」 ②略 (2)略 10.(1)∠D (2)①相似 ②证明：FG∥BC,GH∥CD,HDE, ∴.∠AFG=∠B,∠AGF=∠ACB,∠AGH=∠ACD,∠AHG=∠ADC, ∠AHD=∠ADE,∠AIH=∠AED, ∴.∠AGF+∠AGH=∠ACB+∠ACD,∠AHG+∠AHI=∠ADC+∠ADE .∠FGH=∠BCD,∠GHM=∠CDE. .∴△AFG△ABC,△AGHr△ACD,△AHISAADE, AF FG AG AG GH AHAH H AI AB-BC-AC AC-CDAD'AD DE AE' AF FG GH H AI AB BC CD DE AE 10/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G H 图3 在五边形AFGH和五边形ABCDE中， ∠AFG=∠ABC,∠FGH=∠BCD,∠GHI=∠CDE,∠AIH=∠AED, AF FG GH HI AI ∠FAI=∠BAI'AB BC CD DE AE· ∴五边形AFG∽五边形ABCDE. 3)8-55或4或V55或8+55 ◆题型2相似多边形的性质 一、选择题 1.B 29 3.5v5 二、填空题 4制 5.(3+221 6.(3,0 三、解答题 7.(①)√2a (2) 证明：：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90°， EG⊥BE, ∠BEG=90° 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEG=90° ∠ABE=∠DEG, ∴.△ABEADEG, AB AE :DEDG' a DG' .DG=a AB=CD=2a, DG-CG=2a ∴点G为边CD的中点： (3)①MNI/AC,4MN=3AC:②N2DP+CP的最小值为V6a. (3)解：①连接BE交AC于点O,如下图： D N C 由翻折变换的性质可知BM=EM,MN⊥BE, 设BM=EM=y, 在RtAAME中，AM2+AE2=EM2, 即(2a-y'+a2=y. 32a 解得：y= 4 .BM= 4, ABAE√2 :∠BAE=∠D=90' AD CD Γ2 .△ABEADAC, ∴∠ABE=∠DAC, :∠ABE+∠AEB=90° 12/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAC+∠AEB=90°， ∠A0E=90°， .BE⊥AC, :MN⊥BE, ∴MN∥AC, ∴.ABMN∽△BAC. 3V2a MWBM-4-3, AC= ..4MN=3AC: ②取BC的中点O,连接PO, D 之 Q 由折叠的性质知BP=AB=V2a, AD=BC=2a. :.CQ-BQ-IBC=a, BC-2a-2,B-2a-2, .BP2a BO a BC_BP=2 ∴·BPBO ∠PBQ=∠CBP .△PBOACBP, CP_BC-2,即CP=2P0 ∴.POBP 2DP+CP=2DP+PQ=2(DP+PO). “当DPO三点共线时，DP+P巴取得最小值，最小值为DO的长， 即V2DP+CP取得最小值，最小值为V2D9, DO=cO'+CD=a+(a)=a, 13/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.V2DP+CP的最小值为√2DQ=V6a】 8.【详解】(1)证明：，ABCD, .AD‖BC,AD=BC CE=DF .AF =BE, ADI‖BC,AF=BE, ∴四边形ABEF是平行四边形， ,AD‖BC ∴.∠FAE=∠BEA, ,AE平分∠BAD, .∠BAE=∠FAE, ∴.∠BAE=∠BEA, ∴.AB=BE, ∴，口ABEF是菱形， AE⊥BF: (2)四边形ABEF是菱形， ∴，AB=EF=BE=AF=4, ..AD BC,CE=DF, ∴.四边形CEFD是平行四边形， ∴.EF=CD=4, 四边形ABCD与四边形CEFD相似， ABBC CE EF' 4-4+CE :CE 4 .CE2+4CE-16=0, 解得：CE=25-2或CE=-2V5-2(不符合题意，舍去)， ∴.CE的长为2V5-2 9.()四边形POQD是菱形，理由： 14122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~四边形ABCD和四边形EFGH是菱形， .FGI‖EH II AD.FEGHI‖CD FQ∥PD,FP∥QD :四边形POQD为平行四边形， :∠EFG=∠EHG,∠EHG=∠ADC, .∠EFG=∠ADC, .∠POD=∠PDO, :PO=PD. 四边形POOD是菱形. a03 ②Mw-}理由： 如图，OE⊥MB,交MB于点P,OH与EG交于点， 4 OF 由(1)知∠EOQ=∠MB0 ∠OPB=90°， ∴.∠MBO+∠BOP=90°， :∠EO0+∠BOP=90°，即OH⊥BD, ∴点M在OH上， .OG⊥MD 菱形ABCD∽菱形EFGH,AB=5,BD=8,EF=4 EF FD .AB BD' 4-FD .58 15/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D32 ， 即0H=32 0Q-10H1-16 , OH⊥EG,OG=4, 0G=V0c2-0g=12 :∠MNO=∠OgG,∠MON=∠GO0 AOMNAOGO OM MN ..OG OG' 据①可知OM=3, 3 MN 4=12, 解得W 5· 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.A2.D 二、填空题 3.⑧④ 45 3 5. 1025 6.50 三、解答题 7.()√2：1 (2) 证明：设AB=a,由(1)可得：AD=V2a, 16/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,矩形ABCD ∠DAB=∠ABC=90°， ,折叠 ∴.∠AB'E=∠B=90°，BE=B'E ∴，四边形ABEB为正方形， .AB=BE=a, 在Rt△ABE中， ,AB=BE=a,∠ABE=90°， .AE=2a, .AD=AE. (3) 证明：由题意可得：∠ABE=∠AB'E=90°，∠ADC=90°， A B'D G B E C ∠AB'E=∠ADC, .B'Ell DC .∠EGF=∠GFD. ,折叠， .∠EGF-∠DGF,DG=EG,FD=FE, .∠GFD=∠DGF, .DG=DF, .DG=EG=FE=DF. ∴，四边形DGEF为菱形 8.(1.41:141:猜想：V2: a b 证明如下：据题意，与为相似的矩形，故有ba, 化简得： ,即 或 A0 Al a2=2b2a=V2ba=-√2b (舍去) 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故A0的长与宽的比值为V2: (2) 解：△BFH为直角三角形，证明如下： ,矩形ABCD是一张A4纸， ∴.∠A=∠D=90°，AD=V2AB,CD=AB, :点F、点H分别为边AD、CD的中点， AB :.A ==DE DH' ∴△BAE∽△EDH ∴.∠ABE=∠DEH, '∠ABE+∠AEB=90°， ∴，∠AEB+∠DEH=90° .∠BEH=180°-90°=90°， ∴，△BEH为直角三角形， 90存在，“减半”矩形张和宽分别为2+ 与2② 2 (2) 解：不存在，理由如下： 1 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，面积比必定是4， 所以正方形不存在“减半”正方形. 10.(1) 不相似，理由如下： ,原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4, ∴划分后小矩形的长为AD=4,宽为AE=6÷3=2, AB 6 4 AD 又：BC=42AE,即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴，每个小矩形与原矩形不相似. 18/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (2)不一定相似 (3)a2=3b2 11.1)①四边形POQD是菱形， 理由：：四边形ABCD和四边形EFGH是菱形， .FGEHAD,FEGH ICD .F2IPD,FP∥OD ∴四边形POQD为平行四边形， ∠EFG=∠EHG,∠EHG=∠ADC, :.∠EFG=∠ADC, .∠POD=∠PD0. .PO=PD. “四边形POD是菱形. ②24 14 18 2①5@5 12 【详解】(1)解：因为正方体的棱长都相等，形状都相同，所以两个正方体一定属于相似体， 故选：A; (2)解：①由题意知，相似体一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②可根据s=6d得： 6q= “相似体表面积的比等于相似比的平方， ∴相似体体积的比等于相似比的立方， 故答案为：相似比，相似比的平方，相似比的立方； 19/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=1.5)3 (3)解：设它的体重将是xg'由题意得，5气0,95)， 解得：x≈217(g), 答：它的体重是217kg. 13.(1)20 o明 【详解】(1)解：矩形EFGH的两边长分别为(240-2b)cm,120-2a=120-2x10=100cm, :ABCD的两边比为240：120=2：1，且与矩形EFGH相似， 240-2b=200, 解得b=20: （2)解：矩形MGH的两边为MH=120-2acm,MN-240,56。 cm 4 :ABCD的两边比为240：120=2：1，且与矩形MNGH相似， 120-2a=2x240-5b 4 ,5 解得b4' 故答案为：4 14. (1①}：②之：®不存在：④等边三角形（答案不唯一，如圆） +y=3, (2②思路一：设新矩形长和宽为x'y根据题意，得 y=4. x(3-x)=4 整理得：x2-3x+4=0, .△=(-3-4×1×4=9-16=-7<0. ∴.原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积 的2： 思路二：如图，函数y=+3与少=(x>0的图象如下： 20/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 2 ,两个函数图象没有交点， -3-2-10123八456x -2 -3 x+y=3 g=4无解， ,不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的2： 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的2： (3)当m2-6mn+n2≥0时，存在 【详解】（1少解：①新正方形的边长为2，此时新正方形的面积是4“， ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方：如果新正方形的面积是 √2 原正方形面积的；，则新正方形与原正方形相似比为1：√2，此时新正方形周长应是原正方形周长的2： ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的2· ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立： ,等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的2， ,新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为1：√2， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的2， ∴.此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为2， “不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的2， (2)略 (3),矩形的长和宽分别为m和1， ∴.矩形的周长为2(m+n),面积为mn, 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴新的矩形的周长为m+m面积为2mn, 设新矩形长和宽为x,, x+y=m+m）,y=2m, y=(m+川-x a*小-小m, 2-2(m+nx+2mn=0, :.2x2-(m+n)x+mn=0. △=[-(m+n]-4×2mn=m2-6mn+, 当m2-6mn+n2≥0时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为m和n的矩形周长和面积的2； 22122 专题03 相似多边形 常考题型·精准突破 考点一 相似多边形 题型1 相似多边形的概念 题型2 相似多边形的性质 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似多边形 ◆题型1相似多边形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 2．某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 3．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 4．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【答案】(1)假，假，真 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依据相似四边形“角分别相等、边成比例”的定义，结合菱形、长方形、正方形的内角与边长比例特性直接判断真假； （2）通过连接对角线构造相似三角形，先证推导出角相等和边的比例关系，再证，最后得四边形对应角分别相等、对应边成比例，即可证明； （3）先由相似四边形得对应边成比例，设公共比值为，推出，再由，得到​，​，两式相除消去和，推出即，可得，解得，故． 【详解】（1）解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； （2）证明：如图1中，连接， ∵，且， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，，， ， ∴四边形与四边形相似； （3）证明：∵四边形与四边形相似， ∴​， 设这个公共比值为，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴​，​， ∴，即， ∴即， ∴， ∵，， ∴两边同除以得，， ∴， ∴． 5．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1) 不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）略 （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 6．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）同意，如图所示：    （4）共有四种情况： ①如下图，；    ②如下图，；    ③如下图，；    ④如下图，；    【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形， 四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分， 小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 7．定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵四边形是梯形，， 又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据等比性质可得，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证． （2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行四边形的判定和性质等．熟练掌握以上知识，正确理解相似多边形的定义是解题的关键． 8．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程． 【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形． 【初步思考】 （1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究． 【深入探究】 （2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明． 已知：四边形和四边形中，，． 求证：四边形四边形．证明： （3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题： ①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”； ②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”； ③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”； ④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”． 其中真命题是______．（填写所有真命题的序号） （4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程． 【答案】（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析． 【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例； （2）先判断出△，得出，，，进而得出△，得出，，，即可得出结论； （3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可； （4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明． 【详解】（1）解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似， “四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形， 故答案为：菱形和正方形； （2）证明：连接、， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 即，， 综上，四边形四边形． （3）解：①如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交延长线于点，则，，，但四边形不与四边形相似． ②如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交过点且和平行的直线相交于点，过作交于点，则，四边形为平行四边形．则，即，，， 但四边形不与四边形相似． ③已知：如图，四边形和四边形中，，，． 求证：四边形四边形． 证明：连接，． ，且， △， ，，， ， ， ， ， △， ，，， ，，，，， 四边形与四边形相似； ④如图，四边形四边形，以为圆心，为半径作圆交于点，在左侧作，则，，，，，但四边形不与四边形相似． 故答案为：③， （4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边． 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下： 已知：四边形和四边形中，，，，． 求证：四边形四边形． 证明：∵，，， ∴． 连接、， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上，四边形四边形． 【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题． 9．如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于，两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”． （1）已知点的坐标为，． ①求点的坐标； ②求证：“相伴矩形”与原矩形相似． （2）在矩形中，，，反比例函数交于点，，以为边作矩形矩形． 求证：矩形是反比例函数的“相伴矩形” 【答案】（1）①； ②证明：由题意可知，． ∵，， ∴． ∵这两个矩形的四个角都是直角， ∴“相伴矩形”与原矩形相似． （2）证明：∵，，，反比例函数交于点， ∴点， ∴，． ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴点． ∵将点的坐标代入，左边右边， ∴点在反比例函数的图象上， ∴矩形是反比例函数的“相伴矩形”． 【分析】（1）①由BE＝2，得到点E的横坐标为2．求得点E的坐标为（2，6）．由点E在反比例函数的图象上，求得k＝2×6＝12，把点F的横坐标8代入反比例函数的解析式即可得到结论； ②根据题意得到E（2，6），F（8，1.5）．求得．于是得到“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似； （2）根据已知条件得到CE＝AF＝2k，CD＝2k．根据矩形CEAF∽矩形CBOD，求得，即，得到点．将点F的坐标代入即可得到结论． 【详解】（1）①解：∵，∴点的横坐标为2. 又∵点的坐标为，∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为8， ∴， ∴点的坐标为． ②略 （2）略 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，包括相似多边形和矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意，准确的用坐标表示线段长是解题的关键． 10．课本再现（人教版九年级下册第43页第11题） 如图1，四边形是矩形，点在对角线上运动，，，四边形和四边形一直保持相似吗?证明你的结论． (1)证明过程 证明：，， ，，，_____． ，即． ，． ，，即． 在四边形与四边形中， ，，，， ， 四边形四边形． (2)探究发现 ①如图2，点在四边形对角线上运动，，，请直接判断四边形和四边形是否相似；（不必证明） ②如图3，点、分别在五边形对角线、上运动，，，，判断五边形和五边形是否相似，请仿照（1）的格式说明理由． (3)回归拓展 图1中，四边形是矩形，，．若点分别是、、的中点，将四边形沿向右平移得到四边形．当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)①相似 ②证明：，，， ，，，， ，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴． 在五边形和五边形中， ，，，， ,， 五边形五边形． (3)或4或或 【分析】（1）根据平行线性质，三角形相似的判定和性质，多边形相似的判定解答即可． （2）①根据平行线性质，三角形相似的判定和性质，多边形相似的判定解答即可． ②根据平行线性质，三角形相似的判定和性质，多边形相似的判定解答即可． （3）根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的分类，解答即可． 【详解】（1）解：证明：，， ，，，． ，即． ，． ，，即． 在四边形与四边形中， ，，，， ， 四边形四边形． 故答案为：． （2）解：①证明：，， ，，，． ， 即． ，． ，，即． 在四边形与四边形中， ，，，， ， 四边形四边形． ②略 （3）解：设直线与交于点M， 当点E运动到点H时，此时， 根据题意，得，此时， 故此时平移距离为； 当点E运动到点F时，此时， 根据题意，得， 故此时平移距离为4； 当点E运动到点I时，此时， 根据题意，得， 故此时平移距离为； 当点E运动到点L时，此时， 根据题意，得， 故此时平移距离为； 综上所述，平移的距离为或4或或． 【点睛】本题考查了多边形的相似，三角形相似的判定和性质，平移，勾股定理，等腰三角形的定义和分类思想，熟练掌握判定和性质，定理是解题的关键． ◆题型2 相似多边形的性质 1．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 2．如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【分析】先证明，然后得到点在上，同理，点在上，由对称可设 ，根据，求出，，则，再由正方形正方形求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 3．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为_______． 【答案】 【分析】将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解． 【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似， ∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽， ∴， 解方程得，，(舍弃) 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键． 4．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似的性质，坐标与图形等知识． 结合矩形的性质以及点B的坐标可得点A、C的坐标，证明四边形是矩形，即可确定点Q的横坐标、点R的纵坐标，设，表示出、，再利用相似的性质可知对应的边成比例，即可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴矩形中点A、C的坐标为：，， 即：，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：，即， ∵点为线段上一点， ∴设，且， ∴，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 5．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 【答案】 【分析】由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论． 【详解】解：如图2： 正八边形， ，，， 四边形是矩形， ， 内部阴影是正八边形， ， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ， 阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形与阴影部分的面积比为． 6．已知菱形的边长为2，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，，，…，，则点的坐标为________．      【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似多边形的性质、勾股定理及坐标规律探究，掌握利用相似比与勾股定理递推坐标规律是解题的关键． 先由菱形性质和角度求出初始点的坐标，再利用相似菱形的边长比例与勾股定理，依次求出的坐标，归纳出的坐标规律． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴是等边三角形，对角线 ∵对角线相交于点，且互相垂直平分， ∴ ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 ∵在中，， ∴ ∵菱形菱形，且新菱形的对角线为， ∴新菱形的边长与原菱形的边长的比，等于新菱形的对角线与原菱形的对角线的比，即 ∵， ∴，解得 在中，斜边，直角边 ∴ ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 同理，以为对角线作菱形菱形 ∵， ∴新菱形的边长满足 ，即 ，解得 在中， 再以为对角线作菱形菱形 ∵， ∴新菱形的边长满足 ，即，解得 在中， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为 综上所述，我们得到一系列点的坐标： 点的坐标为 ，即 点的坐标为 ，即 点的坐标为，即 以此类推，可以得到点的坐标为 故答案为：． 7．【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． (1)【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示） (2)【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G． 证明：点G为边的中点； (3)【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G为边的中点； (3)①，；②的最小值为． 【分析】（1）设．利用矩形的性质得出，，再根据矩形矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，进一步可得出答案； （2）根据矩形的性质以及直角三角形两锐角互余结合相似三角形的判定方法证明，由相似三角形的性质得出，得出，进一步可说明点G为边的中点； （3）①设，在中，，构建方程求出y，再证明，再得出，根据相似三角形的性质可得出答案； ②取的中点，连接，证明，求得，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即取得最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：设． ∵，矩形矩形， ∴，，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①连接交于点O，如下图： 由翻折变换的性质可知，， 设， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②取的中点，连接， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 8．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 9．综合与实践 问题情境 两张透明的菱形纸片，按如图的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，点落在对角线上．已知菱形菱形，，，，其中点与点重合，点，点分别落在边，上，点落在上，对角线和重合，点是对角线的中点． 猜想证明 (1)如图将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 操作探究 (2)在（1）的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角），和分别与直线交于点，点． ①如图3当点在线段的延长线上时，求的长； ②当旋转至时，请在图4中补全满足条件的图形并直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是菱形． (2)①； ②，理由： 如图，，交于点，与交于点， 由（1）知， ， ， ，即， 点在上， ， 菱形菱形，，， ， ， ，即， ， ，， ， ，， ， ， 据①可知， ， 解得． 【分析】（1）先由菱形对边平行，证出是平行四边形，再利用相似菱形的角相等，推出，从而判定菱形； （2）①连接并作，可证，设表示出、，在 中用勾股定理列方程，解出；②由相似菱形算出对角线长度，再结合菱形的边长及其对角线垂直求出，然后由推出垂直关系，可证，然后用相似比求出． 【详解】（1）解：略． （2）①解：连接，过点作， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ，， 在中，， ， ， ， 解得，（舍去）， 故． ②略． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似行的判定，掌握各角相等，各边成比例的图形是相似形是解题的关键． 【详解】解：A． 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，是真命题； B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题； C． 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； D． 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； 故选A． 2．如果五边形五边形，且相似比为，则这两个五边形各自全部对角线的乘积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似图形的性质；根据相似五边形的对应线段（包括对角线）长度之比均等于相似比，五边形有条对角线，故全部对角线的乘积之比为相似比的次方． 【详解】解：∵五边形五边形，且相似比， ∴每条对应对角线长度之比均为， 设五边形的对角线长度为， 五边形的对应对角线长度为， 则 ∴全部对角线的乘积之比为： . 故比值为． 故选：D． 二、填空题 3．下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 4．如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 5．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 6．如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为______． 【答案】50 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设大号地砖的边长为， 则， 解得， 大号地砖的边长为． 故答案为：50． 三、解答题 7．按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2) 证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． (3) 证明：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 8．综合与实践： 主题：A4纸的研究 在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示． (1)【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________． 设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想． (2)【深入研究】 已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明． 【答案】(1)1.41；1.41；猜想：； 证明如下：据题意，与为相似的矩形，故有 ，化简得：，即或（舍去） 故的长与宽的比值为； (2) 解：为直角三角形，证明如下： ∵矩形是一张纸， ∴，， ∵点、点分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）用对应的长除以对应的宽即可求出表格中缺失的数据，再根据比值猜想结果，根据相似的性质得到，即可得到，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，得到，导角证明，则，即可得到为直角三角形． 【详解】（1）解：， 填表如下： 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41 猜想这个无理数为，证明略； （2）略 9．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2) 解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 10．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1) 不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：略． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 11．【问题情境】 两张透明的菱形纸片，按如图1的方式摆放，点与点重合，点，分别落在边，上，对角线和重合，点是对角线的中点，，，，． 【操作探究】 (1)如图2将菱形纸片沿着的方向平移至点与点重合，此时，与相交于点，与相交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②请直接写出四边形的面积． 【拓展提升】 (2)在（1）的情况下，将菱形纸片绕点逆时针旋转（旋转角小于），和分别与相交于点、． ①如图3，当点落在线段的延长线上时，求的长； ②如图4，当时，求的长． 【答案】(1)①四边形是菱形， 理由：四边形和四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是菱形． ② (2)①② 【分析】（1）先由菱形对边平行，证出四边形是平行四边形，再通过证明 推出，从而判定菱形； ②先运用勾股定理求出的长度，再运用菱形的性质证明，结合相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，即可作答． （2）①连接并作，可证，设表示出、，在 中用勾股定理列方程，解出； ②由算出长度，再结合菱形的边长及其对角线垂直求出，由推出，可证，然后用相似比求出． 【详解】（1）解：①略； ②连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 则 ∴菱形的面积为， ∴， 由①得四边形是菱形． ∴， 菱形的面积 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积． （2）①解：连接，过点作， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ，， 在中，， ， ， 解得，（舍去）， 故． ②解：由（1）的图知， ∴， ∵， ∴， 如图4： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形，且是的中点， ∴， 即三点共线， ∵与相交于点， 即与相交于点， ∴此时点与点重合， ∵四边形是菱形，四边形 是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ， ∴， ∵，，， ， ， ， 即， ， ，， ， ，， ， ， 据①可知， ， 解得． 12．甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱．像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称为相似体．两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比（即有）．解答下列问题： (1)下列几何体中，一定属于相似体的是___________； A．两个正方体         B．两个圆锥体 C．两个圆柱体         D．两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质： ①相似体一切对应线段（或弧）长的比等于___________； ②相似体表面积的比等于___________； ③相似体体积的比等于___________． (3)据新华社报道：一头特殊的体内带有抗疯牛病基因体细胞的克隆牛犊，于2006年5月25日在山东省莱阳农学院自然诞生．这头转基因体细胞克隆牛出生时体重，身高．假定在完全正常发育的条件下，不同时期的这头牛的身体是相似体，经过若干月后，这头小牛的身高为时，它的体重将是多少？（精确到个位，不考虑不同时期牛的身体平均密度的变化） 【答案】(1)A (2)①相似比，②相似比的平方，③相似比的立方 (3)217 【分析】（1）根据相似体的概念判断即可； （2）根据面积与边长、体积与边长的关系即可得出结论； （3）由体重之比等于相似比的立方列关系式求解即可． 【详解】（1）解：因为正方体的棱长都相等，形状都相同，所以两个正方体一定属于相似体， 故选：A； （2）解：①由题意知，相似体一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②可根据得：，∴相似体表面积的比等于相似比的平方， ③可根据得：，∴相似体体积的比等于相似比的立方， 故答案为：相似比，相似比的平方，相似比的立方； （3）解：设它的体重将是x，由题意得，， 解得：（）， 答：它的体重是． 【点睛】本题考查相似图形，理解题中相似体的概念，正确得出相似体的性质是解答的关键． 13．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； （2）解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 14． 数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】(1)①a2；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆） (2)思路一：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 ∴， 整理得：， ∴， ∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 思路二：如图，函数与的图象如下： ∵两个函数图象没有交点， ∴无解， ∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； (3)当时，存在 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，矩形，正方形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，相似多边形的性质，选择合适的方法解题是关键； （1）①直接利用面积公式计算即可；②由所有的正方形是相似图形，结合相似图形的性质可得答案；③根据②的探究下结论即可；④仿照正方形的探究方法，探究等边三角形即可； （2）思路一：把方程组消元得到一元二次方程，利用根的判别式的情况可得答案；思路二：分别画出两个函数的简易图象，根据交点的情况判定即可； （3）根据前面的探究方法建立方程组，根据判别式大于或等于0可得成立的条件． 【详解】（1）解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是； ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的； ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立； ∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的， ∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的， ∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为， ∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的． （2）略 （3）∵矩形的长和宽分别为m和n， ∴矩形的周长为，面积为， ∴新的矩形的周长为，面积为， 设新矩形长和宽为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似多边形 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似多边形 题型1相似多边形的概念 题型2相似多边形的性质 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 。考点一相似多边形●一 ◆题型1相似多边形的概念 1.下列说法正确的是() A.等腰三角形都是相似图形 B.菱形都是相似图形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形D.等边三角形都是相似三角形 2.某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4,6,6的等腰三角形、边长为4的正方 形和长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为 1,则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有() A.0组 B.1组 C.2组 D.3组 3.在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相 似. 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似. 1/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似. 对以上三人的观点，下列判断正确的是() ① (2 ③ A.甲错 B.乙错 C.丙错 D.都对 4.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相 似四边形对应边的比叫做相似比 图1 图2 (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或 “假”). ①两个大小不同的菱形相似.（命题） ②两个大小不同的长方形相似.（命题） ③两个大小不同的正方形相似.（命题） (2)如图1，在四边形ABCD和四边形ABCD中，∠ABC=∠AB,C,∠BCD=∠BCD, AB BC CD 4 BC CD·求证：四边形ABCD与四边形AB,CD相似. (3)如图2，四边形ABCD中，AB∥CD.AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD.BC于点 E,F.若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求证：AE=DE. 5.如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形， y D (1)若原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由 (2)若原矩形的长AB=a,宽BC=b,且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式. 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为a(a≥)，宽为1. (图1) (图2) (图3) 一分为二 (1)如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为 (2)如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为 一分为多 (3)有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同 意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例. 一分为三 (4)将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似.画出所有可能的分割方案的示意图，并在 每个示意图下方直接写出对应的a的值， 7.定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形. A O D E F B B 图1 图2 (I)已知：如图1，四边形ABCD是矩形，E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD.如果EF2=AE·BE,求 证：矩形AEFD∽矩形EBCF: (2)己知：如图2，四边形ABCD是梯形，AD‖BC,AB=CD,E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD. 如果EF2=AD·BC,求证梯形AEFD∽梯形EBCF 8.学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们 的思考，请你和他们一起完成探究过程. 【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形. 【初步思考】 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似 的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边 形相似”可以举出反例！ 所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且 一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例， 且三角分别相等的两个四边形相似”来探究. 【深入探究】 (2)学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完 成证明， AB BC CD AD 已知：四边形ABCD和四边形AB'C'D中，AB=BC=C'D=AD,∠A=∠A 求证：四边形ABCD∽四边形AB'CD'.证明： C D B B (3)对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题： ①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”： ②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”； ③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”： ④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”. 其中真命题是·（填写所有真命题的序号） (4)请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程， 9.如图，矩形O8CD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数y=x的图象与该矩形相 k 交于E'F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF,我们约定这个矩形CE4F为反比例函数y=x的“相伴 矩形”。 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)己知点C的坐标为(8,6)，BE=2. ①求点F的坐标： ②求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似. (2)在矩形0BCD中，OB=2k'0D=3k'反比例函数y=22 x交BC于点E'BE=k,以CE为边作矩 形CEAF∽矩形CBOD 2k2 求证：矩形CEAF是反比例函数y=X的“相件矩形” 10.课本再现（人教版九年级下册第43页第11题) 如图1，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF∥BC,FGI‖CD,四边形AEFG和四边形 ABCD一直保持相似吗？证明你的结论. D B B B E G G 图1 图2 图3 (1)证明过程 证明：EF∥BC,FGI‖CD ∠AEF=∠B,∠AFE=∠ACB,∠AFG=∠ACD,∠AGF= ∴.∠AFE+∠AFG=∠ACB+∠ACD,即∠EFG=∠BCD .：∴AAEF△ABC,△AFGn△ACD AE AF EF AG AF FG AE EF FG AG ·AB=AC=BC,AD=ACCD,即AB=BC-CD=AD 在四边形AEFG与四边形ABCD中， ∠EAG=∠BAD,∠AEF=∠B,∠EFG=∠BCD,∠AGF=∠D, AE EF FG AG ABBC CDAD' 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形AEFG∽四边形ABCD (2)探究发现 ①如图2，点F在四边形ABCD对角线AC上运动，EF∥BC,FG川CD,请直接判断四边形AEFG和四 边形ABCD是否相似；（不必证明） ②如图3，点G、H分别在五边形ABCDE对角线AC、AD上运动，FG∥BC,GH∥CD,AIDE,判 断五边形AFGHI和五边形ABCDE是否相似，请仿照(I)的格式说明理由. (3)回归拓展 图1中，四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8.若点E、F、G分别是AB、AC、AD的中点，将四边 形AEFG沿AD向右平移得到四边形A'EFG'.当△ADE是等腰三角形时，请直接写出平移的距离. ◆题型2相似多边形的性质 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=9O°，CD⊥AB于点D,矩形GDEF、矩形MNHD的顶点分别在△ACD, △BCD的三边上，且矩形GDEF∽矩形MWHD.若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是 () H E G DM B AB AD CD CE A.CD B.CD D. EH 二、填空题 2.如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD,即点E、R、G、H分别在正方形ABCD的四边上.请画出 点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S,如果四边形ORS的面积恰好是正 EF 方形ABCD面积的一半，那么AB的值是一· 6/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H A D G E B 3.矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小 矩形均与原矩形相似，则x的值为 25 4.如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，点B在第一象限 3 且坐标为(8,6.直线)y=-x+3与x轴交于点E,与y轴交于点F,点p为线段EF上一点，过p作 PD⊥AB于点，作PR⊥BC于点R.若四边形PBR∽四边形OABC,则点P的坐标为 B E A 5.如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风.图2是其示意图，正八边形ABCDEFGH的内部 包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比是 ⑧ O 图1 图2 6.己知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,以点O为坐标原点，分别以 OA,OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以BD为对角线作菱形BCDA”菱形 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD,再以AC为对角线作菱形AB,CD菱形BCDA,再以B,D为对角线作菱形B,C,D,An菱形 ABCD,…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A,A,A,…,A,则点A,的坐标为 y B B D 7.【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性.A4纸是我们常见的矩形打印纸，将 A4纸ABCD沿垂直AD的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与 原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形EABF∽矩形ABCD;将A5纸类似的对折，得到与之相似 的A6纸…，A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与 视觉美感 D 图1 图2 图3 (1)【初探结论】如图1，设AD=2a,则A4纸的宽AB= (用a表示) (②)【作图再探】如图1，连接BE,过点E作EG⊥BE交CD于点G. 证明：点G为边CD的中点： (3)【拓展应用】在(1)的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN,连接AC.请写出并证明线段MN与 AC的关系： ②如图3，若点E为边AD上的一动点，沿BE折叠纸片，使点A落在P处，连接PD,CP,求V2DP+CP 的最小值 8.如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,BF,AE平分∠BAD,CE=DF, 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE⊥BF: (2)若AF=4,四边形ABCD与四边形CEFD相似，求CE的长. 9.综合与实践 问题情境 两张透明的菱形纸片ABCD,EFGH按如图I的方式摆放，点H与点D重合，点E,G分别落在边AD, CD上，点F落在对角线BD上.已知菱形ABCD∽菱形EFGH,AB=5,BD=8,EF=4,其中点D与 点H重合，点E,点G分别落在边AD,CD上，点F落在BD上，对角线FH和BD重合，点O是对角线 BD的中点。 猜想证明 D(0 (F)O D G 图1 图2 (I)如图2将菱形纸片EFGH沿着BD的方向平移至点F与点O重合，此时，EF与AD相交于点P,CD与 FG相交于点Q,试判断四边形POQD的形状，并说明理由： 操作探究 (2)在(1)的情况下，将菱形纸片EFGH绕点O逆时针旋转(0°<旋转角<180°)，FH和FG分别与直线 AD交于点M,点N. ①如图3当点E在线段DA的延长线上时，求AE的长： ②当旋转至EF⊥AB时，请在图4中补全满足条件的图形并直接写出MN的长， H G D B O(F) OF) 图3 图4 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.下列命题中，真命题是() A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 AB 2.如果五边形ABCDES五边形FGHU,且相似比为F =3,则这两个五边形各自全部对角线的乘积的 比值为() A.3 B.9 C.81 D.243 二、填空题 3.下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相 似，正确命题的有 .(填序号) 4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60,AB=a,点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重 合)，分别连接AE、EC、AR、CF,若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似菱形，那么菱形 AECF的边长是 一·（用a的代数式表示）. C 5.为调查某住宅区的实际lm占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图I),其基本原理是： 无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形.在本 次测绘中，设定数字模型上的lcm代表实际距离50m,技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边 形ABCD各边长度分别为AB=4cm,BC=5cm,CD=7cm,DA=4.5cm,则该住宅区实际边界四边形 AB,CD的周长是 m. 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B 图1 图2 图3 6.如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板.已知大号地砖与小号地砖的相似比为 5:2.若小号地砖的边长为20cm,则大号地砖的边长为一cm, 小号砖 大号砖 三、解答题 7.按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形.如图1，将A0纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A1纸： 将A1纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A3纸；将A3 纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A4纸…并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形。 图1 图2 E B D 图3 E C (1)请直接写出A系列纸的长宽比为 (2)将A4纸按如图2所示的方式折叠，求证：AE=AD: (3)在图2的最后一幅图中，记AF与B'E的交点为点G,连接DG和EF，得到图3，求证：四边形DGEF 为菱形 11/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8,综合与实践： 主题：A4纸的研究 在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格 的一些知识.A系列中最大的规格为A0,面积约为1平方米，对半裁开得到A1:再对裁得到A2,…,以 此类推得到A4,裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示. A4 A3 A4 A0 A2 (1)【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表： 规格 40 Al 42 43 44 长(mm) 1189 841 594 420 297 宽(mm) 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 请计算A3、A4纸的长宽比， 并填在上面表中：通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比为一个固定的无理 数.请你猜想这个无理数为 设40的长为a毫米，宽为b毫米，证明你的猜想. (2)【深入研究】 己知矩形ABCD是一张A4纸，点E、点H分别为边AD、CD的中点，请判断△BEH的形状，并证明. 规格 40 A1 42 43 44 长(mm) 1189 841 594 420 297 宽(mm) 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9,阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是己知矩形的周长和面积的一 半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形AB,CD是矩形ABCD的“减半”矩形. 请你解决下列问题： D 宽：4C D 长：12 宽：2 宽：3 A B A B (1)当矩形的长和宽分别为1,7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽， 若不存在，请说明理由. (2)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说 明理由. 10.如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形. B (1)若AB=6,BC=4,每个小矩形与矩形ABCD相似吗？请说明理由： (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们一；（填“相似”或“不一定相似”） 若长4B=a宽BC=Ab>) 且每个小矩形与矩形4BCD相似，求a与b应满足的关系式. 11. 【问题情境】 两张透明的菱形纸片ABCD，,EFGH按如图1的方式摆放，点H与点D重合，点E,G分别落在边AD, CD上，对角线FH和BD重合，点O是对角线BD的中点，AB∥EF,AB=I0,BD=16,EF=8, 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D() OF G C 图1 图2 H H 4 M G >G B B O(F) O(F) D C C 图3 图4 【操作探究】 (I)如图2将菱形纸片EFGH沿着BD的方向平移至点F与点O重合，此时，EF与AD相交于点P,CD与 FG相交于点O. ①试判断四边形POQD的形状，并说明理由： ②请直接写出四边形POQD的面积. 【拓展提升】 (2)在(1)的情况下，将菱形纸片EFGH绕点O逆时针旋转（旋转角小于18O°），FH和FG分别与AD相 交于点M、N. ①如图3，当点E落在线段DA的延长线上时，求AE的长； ②如图4，当EF⊥AB时，求MN的长. 12.甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱.像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称 为相似体.两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比（即有a:d=b:b'=c:c=k),解答下列问题： ()下列几何体中，一定属于相似体的是 A.两个正方体 B.两个圆锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体 (②)请归纳出相似体的三条主要性质： ①相似体一切对应线段（或弧)长的比等于 ②相似体表面积的比等于」 ③相似体体积的比等于」 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)据新华社报道：一头特殊的体内带有抗疯牛病基因体细胞的克隆牛犊，于2006年5月25日在山东省莱 阳农学院自然诞生.这头转基因体细胞克隆牛出生时体重55g，身高95cm.假定在完全正常发育的条件 下，不同时期的这头牛的身体是相似体，经过若干月后，这头小牛的身高为1.5m时，它的体重将是多少？ (精确到个位，不考虑不同时期牛的身体平均密度的变化) 13.综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×X×组员：XX×,XXx,XX× 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为 基本信息 120cm×240cm 用矩形ABCD(AB<BC)表示整张KT板. 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留 宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH)为图案区域. 版面规划 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留 宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案 区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bm. 15/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ta E B G a B 图1 b b b 6 图2 确定版面图案区域的具体信息，如下： 问题解决 (①)根据版面规划，若展板一中a=I0,且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD),求b的 值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD), 则方的值为 14.数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和 面积分别是原矩形周长和面积的2？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为 原正方形周长和面积的2？ 思路一：设给定的正方形的边长为a,则其周长为4a,面积为.若新正方形的周长 是原正方形周长的)，则新正方形的边长为2，此时新正方形的面积是① 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.如 果新正方形的面积是原正方形面积的2，则新正方形与原正方形相似比为1：√反，此时 新正方形周长应是原正方形周长的 ② 结论： ③ (“存在”或“不存在”)一个新正方形，其周长和面积都为给定正 方形周长和面积的2， 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形. ④ 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究. 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面 积分别是原矩形周长和面积的2？ 分析：设新矩形长和宽为x'y x+y=3, 根据题意，得 y=4. 思路一：消去未知数y,得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题 思羟二：借助一次函整4：y女+3与反比制局数：少兰的图象（画出简单的西数图象 即可)研究. 结论： ⑤(“存在”或“不存在”)一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽 分别为4和2的矩形周长和面积的2， 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为L和，是否存在一个新矩形，它的周长和面积 分别是原矩形周长和面积的2？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由. 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①④分别补充完整. (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整。 (3)完成对【阶段二】中活动二的研究. 6 4 3 2 ,两个函数图象没有交点， 1 -3-2-10123456x -3 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y=3 ·y=4无解， “.不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的2： 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的2： 18/18