专题02 比例线段重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题02 比例线段重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 比例的性质 题型二 线段的比 题型三 成比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点三、黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【经典例题一 比例的性质】 【例1】（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如果（、均不为零），那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）若，那么 ． 3．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：a：b：c＝3：4：5 （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 【经典例题二 线段的比】 【例2】 （2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　） A． B． C． D． 1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·九年级单元测试）已知是线段上一点，且，则 ． 3．（2023春·九年级课时练习）（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度． （2）已知，求的值． 【经典例题三 成比例线段】 【例3】（22-23九年级上·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23六年级上·上海静安·课后作业）如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 2．（2024·上海杨浦·一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【经典例题四 由平行判断成比例的线段】 【例4】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，且不与的顶点重合，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·上海青浦·期中）在中，点D、E分别在的反向延长线上，下列不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么 ．    3．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例5】（2023秋·广东深圳·九年级校联考期中）如图，三条直线，若，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（        ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    3．（2023秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，已知直线、、分别截直线于点A、、，截直线于点、、，且．    (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【经典例题六 黄金分割】 【例6】（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么 ． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 1．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·上海崇明·期中）在中，点D、E分别在边、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·上海·期末）如图，已知，求作，则下列作图正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 7．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果b＝3，c＝2，那么a＝ ． 8．（23-24九年级上·上海长宁·阶段练习）已知点C是线段的黄金分割点，且，若线段的长为4厘米，那么线段的长为 厘米． 9．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，四边形中，，如果，， ，则的长是 ． 10．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 11．（22-23九年级·上海·假期作业）设，求的值． 12．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 13．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 15．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 比例线段重难点题型专训（6大题型+15道拓展培优） 题型一 比例的性质 题型二 线段的比 题型三 成比例线段 题型四 由平行判断成比例的线段 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 题型六 黄金分割 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点三、黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【经典例题一 比例的性质】 【例1】（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可． 【详解】解：A、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； B、转化为等积式为，和已知一致，该选项正确； C、转化为等积式为，整理得：，和已知不一致，故该选项错误； D、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； 故选：B． 1．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如果（、均不为零），那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同除以即可得到答案． 【详解】解：等式两边同除以，可得：，即， 故选B． 【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键． 2．（23-24九年级上·上海闵行·期中）若，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据比例性质设，则，，，进而代值求解即可． 【详解】解：设，则，，， ∴ ． 【点睛】本题考查比例性质、分式的性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键． 3．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：a：b：c＝3：4：5 （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 【答案】（1）；（2） a=3，b=4，c=5 【分析】（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解； （2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值． 【详解】（1）∵a：b：c=3：4：5， ∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0）， 则； （2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得： 9k-4k+5k=10， 解得k=1． 则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 【经典例题二 线段的比】 【例2】 （2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长． 【详解】解：连接AM， ∵AB=AC，点M为BC中点， ∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=CM=3， 在Rt△ABM中，AB=5，BM=3， ∴根据勾股定理得：AM= = =4， 又S△AMC=MN•AC=AM•MC， ∴MN= = ． 故选A． 【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案． 【详解】设原矩形的长为x，宽为y， 则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第二次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第三次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第四次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键． 2．（2023秋·九年级单元测试）已知是线段上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】设AP=2x，那么PB=5x，则AB＝7x,从而求得其比值. 【详解】设AP=2x，那么PB=5x， ∴AB=AP+PB=7x， ∴. 故答案是：. 【点睛】运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是解题的关键． 3．（2023春·九年级课时练习）（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得； （2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得． 【详解】（1）由题意得：，即， 将代入得：， 解得； （2）由得：， 整理得：，即， 解得． 【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键． 【经典例题三 成比例线段】 【例3】（22-23九年级上·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 1．（22-23六年级上·上海静安·课后作业）如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 【答案】D 【分析】根据线段成比例进行判断即可． 【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ， B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为， D选项b是ac的比例中项，因为 故选：D 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答． 2．（2024·上海杨浦·一模）已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】∵线段是线段和的比例中项， ∴， 即， ∴， 故答案为： ． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 【经典例题四 由平行判断成比例的线段】 【例4】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，且不与的顶点重合，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可得出，故由不能得到，该选项不符合题意； B．由，可得出，故该选项符合题意； C．由不一定能得到，故该选项不符合题意； D．由，可得出，故由不能得到，该选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行．掌握如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边是解题关键 1．（22-23九年级上·上海青浦·期中）在中，点D、E分别在的反向延长线上，下列不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“如果一条直线截三角形的两边或两边的反向延长线，对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A、若，则,故选项A不合题意； B、若，则,故选项B不合题意； C、若，则,故选项C不合题意； D、若，无法得到,故选项D符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，准确掌握平行线分线段成比例定理推论是解题关键． 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，设，则，利用求出的值，即可得出的值． 【详解】解：，， ， 设，则， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点G，根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）由（1）得，，相加可得结论． 【详解】（1）证明：过点C作交于点G，如图， ∴，， ∴． （2）证明：如图，连接并延长交于点， 由截可得，则， 由截可得，则； ∵点是的重心， ∴为边上的中线，且， ∴． 【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例5】（2023秋·广东深圳·九年级校联考期中）如图，三条直线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而得到，再由，可得，最后再由可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点是解题的关键． 1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（        ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：过点F作交AC于点G, ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵, ∴． ∴． 设，则， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：A 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 2．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    【答案】 【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：过点M作，交分别于K，N，    ∵M是的中点， ∴， ∵、为的三等分点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 3．（2023秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，已知直线、、分别截直线于点A、、，截直线于点、、，且．    (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， 即的长为； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． 【经典例题六 黄金分割】 【例6】（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 1．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，把一条线分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比等于即可得到答案． 【详解】解：由于M是线段上的黄金分割点， ， 故选项A正确，选项B、C错误； 由比例中项定义可知，选项D错误． 故选A． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 【答案】或 【分析】分三种情况：当点在线段上，当点在线段的延长线时，当点在线段的延长线时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分三种情况： 当点在线段上，如图： ， 点是的黄金分割点， ； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 原方程没有实数根； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键． 1．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内项之积等于外项之积可对A、B、C进行判断；利用合比性质可对D进行判断． 【详解】解：A．2x=3y，则，所以A选项不符合题意； B．2x=3y，则，所以B选项不符合题意； C．2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意； D．2x=3y，则，所以，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点)． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【详解】∵AC2=BC•AB， ∴AC2﹣BC•AB=0， ∵AB=AC+BC ∴AC2﹣（AB﹣AC）AB=0， ∴AC2+AB•AC﹣AB2=0， ∴AC=， ∵边长为正值， ∴AC=AB，BC=AB﹣AC=AB， ∴===，故A选项错误， ==，故B选项正确， =，故C选项错误， == ，故D选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值是解题关键. 4．（22-23九年级上·上海崇明·期中）在中，点D、E分别在边、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可． 【详解】当或时, , 当时，可得， 当时，可得， 即或. 所以B选项是正确的， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海·期末）如图，已知，求作，则下列作图正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则即，再根据，即可得出结论． 【详解】如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取， 连接，过作CE∥BD，交于，则 ，即， 所以； 因为， 所以DE=x即即为所求． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果b＝3，c＝2，那么a＝ ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义：若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解． 【详解】解：∵线段a是线段b、c的比例中项， ∴a2=bc， 即a2=6， ∴a=(负值舍去)． 故答案是：． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 8．（23-24九年级上·上海长宁·阶段练习）已知点C是线段的黄金分割点，且，若线段的长为4厘米，那么线段的长为 厘米． 【答案】/ 【分析】根据黄金比值是，列式计算即可． 【详解】∵点C是线段的黄金分割点，，线段的长为4厘米， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．掌握黄金分割的概念是解题的关键． 9．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，四边形中，，如果，， ，则的长是 ． 【答案】// 【分析】根据平行线分线段成比例得出，求出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 10．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将代入求出，即可求解． 【详解】解：∵， 解得． 故答案为：2． 11．（22-23九年级·上海·假期作业）设，求的值． 【答案】0 【分析】根据分式基本性质，得，令，进而即可求解． 【详解】根据分式基本性质，得， 令， 则有，，， 三式相加，即得． 【点睛】本题考查比例的性质的综合应用，掌握比例的性质，设参数求解是解题的关键． 12．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且满足， ∴点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， ∴AC的长为； （2）∵AC比BC大2， ∴设AC=x,则BC=x-2， ∴AB=AC+BC=2x-2， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴AB=2x-2=， ∴AB的长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，得出，，推出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先设，然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比，和三角形平行线定理得出，列出分式方程，解得即可； （2）首先设，由（1）中的面积比等式列出等式，求出，然后即可求出. 【详解】（1）设， 根据题意可得，， ， ， ，， ， 解得：（舍），， ； （2）由（1）知. 设， ∵，， ， 解得， . 【点睛】此题主要考查三角形平行线的性质，解题关键是根据比例关系列出等式. 15．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：      (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，由为中点，即可证得； （2）根据平行线分线段成比例得出，等量代换后得到，再得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 由为中点，即可证得． （2）证明：连接．    ， ． 由（1）可得， ， ， ． 【点睛】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换． 学科网（北京）股份有限公司 $$