专题04 二次函数中的存在性问题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题04 二次函数中的存在性问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形的存在性问题 题型二、直角三角形的存在性问题 题型三、平行四边形的存在性问题 题型四、菱形的存在性问题 题型五、矩形的存在性问题 题型六、正方形的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数背景下几何图形存在性问题是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕坐标表示、几何图形性质、联立方程求解三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是求出坐标后要检验点是否在函数图像上，能否构成符合条件的几何图形，二是根据图形分类讨论，转化距离、垂直、边长等量关系，列方程求解，舍去不合题意的解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数抛物线上存在一动点，搭配平面内两个定点，三点可构成等腰三角形，题目无固定腰、底边与顶点位置，情况多样，必须分类讨论，是二次函数高频动点题型。 2.方法：固定两点设为A、B，动点设为P，分三类讨论：PA=PB、PA=AB、PB=AB；利用两点间距离公式列一元二次方程求解，求出点坐标后，务必检验点的有效性，舍去重合、共线、不在范围内的增根。 例1．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． (1)求出该抛物线的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-1．已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B． (1)求b，c的值； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 题型二、直角三角形的存在性问题 题型模版 1.特征：以二次函数图像为背景，已知两个定点，抛物线上存在动点，三点可构成直角三角形，直角顶点位置不唯一，无固定直角边、斜边，需全面分类排查。 2.方法：分三类讨论直角顶点：定点A为直角、定点B为直角、动点P为直角；利用勾股定理边长关系列方程，求解动点坐标，严格验证三点不共线、符合图形位置要求，剔除无效解。 例2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1．（上册第五章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 变式2-2．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 变式2-3．如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、平行四边形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数平面中，已知两个或三个固定点位，剩余动点在抛物线上，四个点组合可构成平行四边形，定点连线可作为边或对角线，组合情况多，极易漏解。 2.方法：核心使用平行四边形中点重合性质，即对角线中点坐标相同；分两种核心情况：定点连线为平行四边形的边、定点连线为平行四边形的对角线，列坐标方程组求解，最后检验四点不共线、图形构成合理。 例3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2．如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3．如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四、菱形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数动点问题，四点需构成菱形，菱形属于特殊平行四边形，在平行四边形基础上，额外满足邻边相等或对角线互相垂直的专属条件，限制更严格。 2.方法：先按照平行四边形存在性思路求出所有候选动点坐标，再结合菱形判定条件筛选：邻边长度相等、对角线互相垂直；利用两点间距离公式、垂直性质验算，剔除仅为平行四边形、不满足菱形特征的无效点位。 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 变式4-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及D点坐标； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-3．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型五、矩形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数背景下四点构成矩形，矩形是特殊平行四边形，在平行四边形基础上，需满足内角为直角、对角线相等的特殊条件，是动点几何常考题型。 2.方法：先通过平行四边形中点公式求出全部可能点位，再利用矩形核心判定：平行四边形对角线相等、邻边互相垂直，联立方程验证筛选，排除四点共线、点重合、不符合直角特征的错误解，保证图形合规。 例5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-1．如图，抛物线yx2+bx+c过A（4，0），B（2，3）两点，交y轴于点C．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线CA运动，设运动的时间为t秒． (1)求抛物线yx2+bx+c的表达式； (2)过点P作PQy轴，交抛物线于点Q．当t时，求PQ的长； (3)若在平面内存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 变式5-2．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，C，点P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为Q，交直线BC于点D． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)当点P位于直线BC上方且面积最大时，求P的坐标； (3)若点E是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点E，使得以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-3．如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六、正方形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数动点问题中四点构成正方形，正方形兼具矩形、菱形双重特殊性质，需同时满足邻边相等且垂直、对角线相等且垂直平分，是条件最严苛的特殊四边形存在性题型。 2.方法：综合矩形和菱形判定规则，先锁定平行四边形候选点，再依次验证邻边相等、邻边垂直两大核心条件，结合坐标公式列方程求解，对所有解严格核验，舍去不满足双重特殊性质的点位，确保构成标准正方形。 例6．已知抛物线 (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 变式6-1．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当最小时，求此时点E的坐标； (3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 变式6-3．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC． (1)求m的值及该抛物线的对称轴； (2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点，且满足平分，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； (3)点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 7．如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． (1)求点，，的坐标及对称轴； (2)为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线：与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值． (3)在图2中，将抛物线关于x轴对称，得到新的抛物线：，新的抛物线与y轴交于点E，点M是y轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由． 10．抛物线与 x轴交于两点，与 y轴交于点B，抛物线的顶点为点D，对称轴交线段于点E，交x轴于点F． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图 1，点 P是直线下方抛物线上一动点，连接，求的最大面积及此时点P的坐标； (3)如图 2，点M是直线上一点，点N是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数中的存在性问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形的存在性问题 题型二、直角三角形的存在性问题 题型三、平行四边形的存在性问题 题型四、菱形的存在性问题 题型五、矩形的存在性问题 题型六、正方形的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数背景下几何图形存在性问题是九年级数学核心重难点，所有题型均围绕坐标表示、几何图形性质、联立方程求解三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是求出坐标后要检验点是否在函数图像上，能否构成符合条件的几何图形，二是根据图形分类讨论，转化距离、垂直、边长等量关系，列方程求解，舍去不合题意的解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数抛物线上存在一动点，搭配平面内两个定点，三点可构成等腰三角形，题目无固定腰、底边与顶点位置，情况多样，必须分类讨论，是二次函数高频动点题型。 2.方法：固定两点设为A、B，动点设为P，分三类讨论：PA=PB、PA=AB、PB=AB；利用两点间距离公式列一元二次方程求解，求出点坐标后，务必检验点的有效性，舍去重合、共线、不在范围内的增根。 例1．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． (1)求出该抛物线的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M坐标为或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当， 解得：，， ∴， ∴，， ， 如图， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴即， 解得：， ∴或， 综上：点M坐标为或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 变式1-1．已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B． (1)求b，c的值； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴； （2）存在，    由（1）得， ∵当时，， ∴． 存在点，使得是等腰三角形， 设， 则，，， 情况：当时， 即， 解得， 所以，； 情况：当时， 即， 解得， 所以，， 情况：当时， 即， 解得或， 所以，（舍去） 综上得：满足条件的点有，，，． 变式1-2．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 变式1-3．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)①；②存在，，． 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． 当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 题型二、直角三角形的存在性问题 题型模版 1.特征：以二次函数图像为背景，已知两个定点，抛物线上存在动点，三点可构成直角三角形，直角顶点位置不唯一，无固定直角边、斜边，需全面分类排查。 2.方法：分三类讨论直角顶点：定点A为直角、定点B为直角、动点P为直角；利用勾股定理边长关系列方程，求解动点坐标，严格验证三点不共线、符合图形位置要求，剔除无效解。 例2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 变式2-1．（上册第五章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 变式2-2．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 变式2-3．如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】 【详解】（1）解：图像交x轴于点、， 对称轴为， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）由题意得， ， 又的面积是的面积的4倍， 所以， 点P在第二象限， ， 代入，得， 解得或， 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为； （3）由题意知，，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 又为直角三角形， 当，即, 设关于轴对称点为，则，又， ， ，则，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， 令，即， 解得， 所以； ②当时，即, 设关于轴对称点为，则， ， ，，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， ，即， 解得， 所以； ③当时，， 设， ， 整理得， 解得， 所以，， 综上，符合条件的点Q的坐标为，，，. 题型三、平行四边形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数平面中，已知两个或三个固定点位，剩余动点在抛物线上，四个点组合可构成平行四边形，定点连线可作为边或对角线，组合情况多，极易漏解。 2.方法：核心使用平行四边形中点重合性质，即对角线中点坐标相同；分两种核心情况：定点连线为平行四边形的边、定点连线为平行四边形的对角线，列坐标方程组求解，最后检验四点不共线、图形构成合理。 例3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】 【详解】（1）解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质、分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 变式3-2．如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，，三点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线：， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，． ； （3）解：存在． 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当为对角线时，根据中点坐标公式可得： ， 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； ②当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； ③当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 变式3-3．如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 将点、点代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为， ， 则顶点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则点， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积有最大值，为，此时，； （3）解：存在， 如图所示： 由（1）（2）知，，， 设， （i）以为对角线时， 则，解得， ； （ii）以为对角线时， 则，解得， ； （iii）以为对角线时， 则，解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或时，存在以为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、求二次函数最值、平行四边形的性质、解二元一次方程组等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 题型四、菱形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数动点问题，四点需构成菱形，菱形属于特殊平行四边形，在平行四边形基础上，额外满足邻边相等或对角线互相垂直的专属条件，限制更严格。 2.方法：先按照平行四边形存在性思路求出所有候选动点坐标，再结合菱形判定条件筛选：邻边长度相等、对角线互相垂直；利用两点间距离公式、垂直性质验算，剔除仅为平行四边形、不满足菱形特征的无效点位。 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 变式4-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及D点坐标； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)解析式为 ；D（2，） (2)S△BCE 有最大值为 (3)（）或（3，4）或（7，4）或 （） 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴ 又∵对称轴为 ∴ 将A，B代入解析式得： 解得 ∴； 把x=2代入二次函数解析式，得 ∴ （2）解：∵， ∴直线BC的解析式为： 设，则0<x<5， 作轴交BC于点F，则 ∴ ∴当时，有最大值，为； （3）解：设， 由（1）知， ①若BC为矩形的对角线 由中点坐标公式得： 解得： 又∵ ∴ 即： 解得或 ∴或 ∴或 ②若BP为矩形得对角线 由中点坐标公式得 解得 又∵， 即： 解得 ∴ ③若BQ为矩形的对角线 由中点坐标公式得 解得： 又∵ ∴ 即： 解得 ∴ 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为，的最大值为； （3）解：存在．如图， 设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得， 或． 变式4-3．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 题型五、矩形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数背景下四点构成矩形，矩形是特殊平行四边形，在平行四边形基础上，需满足内角为直角、对角线相等的特殊条件，是动点几何常考题型。 2.方法：先通过平行四边形中点公式求出全部可能点位，再利用矩形核心判定：平行四边形对角线相等、邻边互相垂直，联立方程验证筛选，排除四点共线、点重合、不符合直角特征的错误解，保证图形合规。 例5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)的坐标为)或 或． 【分析】 【详解】（1）当时，， ∴点，则， ∴， ∴点， ∵抛物线过点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）由（）得 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，，如图， 当为菱形的边时，则或， ∴或，即或（无解）， 解得， ∴点的坐标为)或 ； 当为菱形的对角线时，则， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为， 综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或． 变式5-1．如图，抛物线yx2+bx+c过A（4，0），B（2，3）两点，交y轴于点C．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线CA运动，设运动的时间为t秒． (1)求抛物线yx2+bx+c的表达式； (2)过点P作PQy轴，交抛物线于点Q．当t时，求PQ的长； (3)若在平面内存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 【答案】(1)yx2x+3 (2) (3)点M的坐标为（2，3）或（，） 【分析】 【详解】（1）解：将A（4，0），B（2，3）代入yx2+bx+c中得    解得 故抛物线的解析式为yx2x+3； （2）解：当t时，CP， 如图1，过点P作PE⊥y轴于E， Rt△AOC中，OC＝3，OA＝4， ∴AC＝5， ∵PE∥OA， ∴△PCE∽△ACO， ∴，即， ∴PE＝1，CE， ∴OE＝， 当x＝1时，， ∴PQ； （3）存在两种情况： ①如图2，四边形ABMP是菱形， 过点P作PN⊥x轴于N， ∵A（4，0），C（0，3）， ∴OA＝4，OC＝3， ∴AC＝5， ∵A（4，0），B（2，3）， ∴AP＝AB ∵OC∥PN， ∴△ACO∽△APN， ，即 ∴P（，）， ∴M（，）； ②如图3，四边形APBM是菱形， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得， ∴直线AC的解析式为：yx+3， 设点P（x，x+3）， ∵四边形APBM是菱形， ∴PA＝PB， ∴（x﹣2）2+（x+3﹣3）2＝（x﹣4）2+（x+3﹣0）2， 解得：， （，） ∴M（4，）， ∴M（，）； 综上，点M的坐标为（2，3）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合题目，涉及待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，综合运用上述知识点是解题的关键． 变式5-2．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，C，点P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为Q，交直线BC于点D． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)当点P位于直线BC上方且面积最大时，求P的坐标； (3)若点E是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点E，使得以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】 【详解】（1）把代入得，解得， ∴直线BC的解析式为． 令，则， ∴． 把点，代入抛物线的解析式， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 令，解得，， ∴． （2）设，则， ∴， ∵， ∴． ∵ ， ∴当时，的面积最大，此时． （3）存在，理由如下： 当点D在y轴右侧时， 四边形ACDE为菱形， ，AC=AE， 设AE的解析式为， 把A坐标代入，得， ， AE的解析式为， 设， ， ， 解得或（舍）， ； 当点D在y轴左侧时， 同理可得，； 综上，，． 【点睛】本题考查了关于二次函数与特殊的四边形的题目，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值问题及菱形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 变式5-3．如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则，解得或，且点在正半轴上， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，设与轴交于点，过作于点， ∵点到距离相等， ∴点在的角平分线上，则， ∴，则， 在中，，即，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组，解得或， ∴． （3）解：存在点，使四边形为菱形，理由如下， ∵，，设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图所示， 过点交于点，假设四边形为菱形，设， ∴，点与点关于直线对称，即点关于直线对称的点是，根据点关于直线对称点的坐标公式可知， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴，解得或， ∴（舍）或， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，勾股定理，菱形的性质，点与直线对称的性质是解题的关键． 题型六、正方形的存在性问题 题型模版 1.特征：二次函数动点问题中四点构成正方形，正方形兼具矩形、菱形双重特殊性质，需同时满足邻边相等且垂直、对角线相等且垂直平分，是条件最严苛的特殊四边形存在性题型。 2.方法：综合矩形和菱形判定规则，先锁定平行四边形候选点，再依次验证邻边相等、邻边垂直两大核心条件，结合坐标公式列方程求解，对所有解严格核验，舍去不满足双重特殊性质的点位，确保构成标准正方形。 例6．已知抛物线 (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ∵， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线过点， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∵直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变， ∴当时，， 即当时，抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，为4； （3）解：存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（2）可知，点E、F均在直线上， 根据翻折的性质得：P、Q两点关于对称，即P、Q在的两侧，故要使E、F、P、Q四点构成的四边形为正方形，需满足， 即点P到直线的距离为2， ∴，解得：或． 【点睛】本题考查二次函数，翻折的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及翻折的性质． 变式6-1．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当最小时，求此时点E的坐标； (3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 令，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点E，连接， ∵A、D关于直线对称， ∴， ∴， 当A、B、E三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设， 当为正方形的对角线时，如图2，，过M点作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或， ∵M点在x轴上方， ∴， ∴； 当时，，如图3，过A点作轴，过M点作交于点H， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，，如图4， 过点M作轴交对称轴于点T，过点A作交于点S， 同理可得， ∴，， 设， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述：M点坐标为或或． 变式6-2．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 变式6-3．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC． (1)求m的值及该抛物线的对称轴； (2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m＝4，x= (2)存在，(4，5)或(，) 【分析】 【详解】（1）解：把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得： ∴﹣16+12+m＝0， 解得：m＝4， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+， ∴二次函数对称轴为直线x＝； （2）解：存在，理由如下： 令y=0，即y＝﹣x2+3x+4， 解得x=4或x=-1， ∴点B的坐标为（-1，0） ①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′， ∵A（4，0），AB＝5， ∴点Q′的坐标为（4，5）； ②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ， ∵AB、PQ是正方形对角线， ∴线段AB和线段PQ互相垂直平分， ∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为， ∴点Q的坐标为（，﹣）， 故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质，关键是注意正方形存在性问题得分类求解，避免遗漏． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 4．如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图． ， ， 又∵， ， ， ∴是等腰直角三角形． (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）略 （3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设， 将代入，可解得． ， 要使是正三角形， 设点为，过点作轴，交轴于点， 分三种情况： 当时，， ， ， ∴， 解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）． 当时，则有：， ， 解得， 根据正三角形对称性，点在轴上， ∴点坐标为． 当时，则有：， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图像和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)抛物线上是否存在点，且满足平分，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； (3)点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在， 或或． 【分析】 【详解】（1）解：把点，代入，得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：存在， 如图，过点Q作轴于点D， 令，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设点Q的坐标为， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点Q的坐标为； （3）解：存在， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当时， ∴轴， ∴点C和M关于抛物线对称轴对称， ∵点， ∴点； 如图，若以为对角线时，过点M作轴于点E，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点或； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 7．如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． (1)求点，，的坐标及对称轴； (2)为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线：； (2)的坐标分别为：，或，或，． 【分析】 【详解】（1）解：由得，当时，， 令，解得或， ∴的坐标分别为，，， 由点的坐标得，对称轴为直线：； （2）解：存在，理由： 设点，点，且， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：且， 解得：， 则点的坐标分别为：，； 当或为对角线时，同理可得： 且或 且， 解得： 或， 即点的坐标分别为：，或，； 综上，的坐标分别为：，或，或，． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)直接写出二次函数的解析式_________________________； (2)当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为四边形的面积最大值为 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解：将两点的坐标代入得 解得 所以二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q， 设，直线的解析式为， 则， 解得 直线的解析式为， 则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为； （3）解：存在．理由如下： 如图，设点，交于点E， 若四边形，是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 9．如图，抛物线：与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值． (3)在图2中，将抛物线关于x轴对称，得到新的抛物线：，新的抛物线与y轴交于点E，点M是y轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，面积最大，最大面积为； (3)或或或． 【分析】 【详解】（1）解：将，代入得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∴顶点； （2）设P的坐标为， 设为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， 过P作轴，交于T， 则， 故， 当时，最大值为； （3）把的图象关于轴对称，可得， ∴； 当时，则， ∴， 如图，设， ∴，，， 而点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，则为等腰三角形； 当时， ∴，解得：（舍去）， ∴，； 当时，则， 如图，则或， 当时，则， 解得：，即， 此时， ∴四边形为正方形， ∴； 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解顶点坐标，列面积函数关系式，二次函数的性质的应用，轴对称的性质，菱形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 10．抛物线与 x轴交于两点，与 y轴交于点B，抛物线的顶点为点D，对称轴交线段于点E，交x轴于点F． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图 1，点 P是直线下方抛物线上一动点，连接，求的最大面积及此时点P的坐标； (3)如图 2，点M是直线上一点，点N是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大面积为，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ， ∴点E的横坐标为2， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴，交于点H， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，点， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， 当为对角线时， ， 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； 当为对角线时， ，无解，舍去； 当为对角线时， ， 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，做题时注意分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $