第3章 代数式 典例精选与跟踪训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以代数式为核心，通过典例与跟踪训练系统整合代数求值、规律探究及实际应用，提炼分类讨论、建模分析等方法，构建从概念到应用的逻辑链条。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3题（含相反数倒数应用、行程计费模型、数字规律）|分类讨论（含参数取值）、建模分析（分段计费/行程问题）、规律归纳（从具体到n）|代数式定义→列代数式→求值（含整体/分类）→规律探究→实际应用| |跟踪训练|19题（选择8/填空6/解答5）|整体代入（代数式求值）、图形规律（周期/递推）、几何建模（面积/高度计算）|核心概念（代数式/反比例）→性质应用→跨情境迁移（日历/程序框图）|

第3章代数式 典例精选 1．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值． 2．出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 3．观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 跟踪训练 一、单选题 1．在，，，，，，中，代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．如图，一个手工串珠作品是由5颗红色珠子与5颗黑色珠子串成，红色珠子每颗元，黑色珠子每颗元，则购买这些珠子共花费了（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．下面选项中的两个量成反比例关系的是（） A．长方体的底面积一定，它的体积和高 B．每天造雪量一定，造雪总量和造雪天数 C．行驶路程一定，行驶速度和时间 D．购买商品数量一定，商品总费用和单价 4．若，且，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．7或 5．如图所示摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转得到，则第2026个图案中箭头的指向是（   ） A．上方 B．下方 C．左方 D．右方 6．如图是某年某月的月历表，任意圈出一竖列相邻的3个数，请你仔细分析，这3个数的和不可能是（    ） A．69 B．54 C．27 D．14 7．如图，两摞规格完全相同的练习册整齐地叠放在桌面上，若有本这种规格的练习册以同样的摆放方式放在桌面上，则这摞练习册顶部距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．2025年秋季学期开始实施的佛山市中小学秋假广受好评．三水区某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为______元． 10．一个两位正整数，十位上的数字是，个位上的数字是6，用代数式表示为_____． 11．已知，满足，则的值为________． 12．若，则的值是__________． 13．用四张完全相同的长方形纸片可以摆放成如图所示两种正方形图案，即正方形与正方形，已知正方形与正方形的周长之差为5，则正方形的边长为________．    14．在三角形内取一定数量的点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到三角形内所有区域都变成三角形．如图，当三角形内有1个点时，可分得3个三角形；当三角形内有2个点时，可分得5个三角形；当三角形内有3个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）……按此规律，当三角形内有个点时，可分得________个三角形．（用含的代数式表示） 三、解答题 15．若，求的值． 16．把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 17．实际应用与探究：某数学兴趣小组设计了一种“有理数运算器”，其运算规则如下： 对于任意有理数，，定义运算：． (1)计算和的值，观察结果有什么规律 (2)探究：对于任意有理数，，是否等于，请说明理由． 18．如图，一扇窗户如图①，所有窗框（包含内部框架和外部框架）为铝合金材料，其下部是边长相同的四个小正方形，上部是半圆形，已知下部小正方形的边长是米，窗户（包括上部和下部）全部安装透明玻璃，现在按照图②的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图②中窗帘下部是两个以米为直径的半圆形，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3，长度单位为米）． (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金多少米？（用含的代数式表示，取3） (2)求照进阳光的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，取3） (3)某公司需要安装20扇这样的窗户，按照图②的方式安装窗帘，材料厂家报价：铝合金每米100元，窗帘每平方米40元，透明玻璃每平方米90元，当时，计算该公司总花费多少元？（材料损耗忽略不计，实际费用按图中面积计算） 19．【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． 组17．代数式：的值为．则代数式的值为___________． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有． 所以代数式的值为． 【方法运用】 若代数式的值为，求代数式的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．当时，原式的值为；当时，原式的值为 【分析】根据相反数、负倒数、倒数的定义，求出相关代数式的值与a的取值，再分情况代入计算． 【详解】解： x，y互为相反数， ，， m，n互为负倒数， ， 原式， a的倒数是它本身， 或， 当时，原式， 当时，原式． 2．(1)①元；②22元 (2)米或3500米 (3)120米 【分析】（1）①根据“乘车的路程小于3千米，则乘车费用为8元；大于等于3千米时，乘车的费用为基础的8元加上超过3千米部分的费用，超过3千米部分的费用为（总路程）元”列式；②将代入式子即可； （2）如果两人的家在坊子泰华城的同侧，则两人家的距离为两人运动的距离之差；如果两人的家在坊子泰华城的两侧，则两人家的距离为两人运动的距离之和； （3）两人从同一地点到同一个位置，李叔叔先到，则张叔叔距离目的地的距离为两人骑行的距离之差． 【详解】（1）解：①∵， ∴乘客应付的车费为（元）； ②将代入，得（元）． （2）解：当两人的家在坊子泰华城的同侧时， 两人家的距离为：（米）； 当两人的家在坊子泰华城的两侧时， 两人家的距离为：（米）， 答：他们两家相距米或3500米． （3）解：， ， （米）， 答：这时张叔叔离新怡园小区还有120米． 3．(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 跟踪训练答案 1．D 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握“代数式是由数字、字母和运算符号组成，不含等号或不等号”是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐个判断所给式子是否符合代数式的特征，统计符合条件的数量，从而选出正确答案． 【详解】解：∵π是常数，属于代数式， ∵是方程，不是代数式， ∵是分式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∵是单项式，属于代数式， ∵是多项式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∴代数式有π、、、，共4个， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了列代数式． 将红色珠子的费用和黑色珠子的费用相加即可． 【详解】解：∵一个手工串珠作品是由5颗红色珠子与5颗黑色珠子串成，红色珠子每颗元，黑色珠子每颗元， ∴购买这些珠子共花费了元． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了判断两个量是否成反比例关系，解题的关键是熟练掌握成反比例关系的定义．判断两个量是否成反比例，需满足它们的乘积为定值，逐一分析各选项中的关系即可确定． 【详解】解：A．体积=底面积×高，底面积一定，则体积与高成正比，故不符合题意； B．造雪总量=每天造雪量×造雪天数，每天造雪量一定，则造雪总量与造雪天数成正比，故不符合题意； C．行驶路程=速度×时间，路程一定，故速度与时间成反比，故符合题意； D．商品总费用=数量×单价，数量一定，则总费用与单价成正比，故不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义，有理数的乘法运算，根据绝对值的定义和有理数的乘法运算法则可得或，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察已知图案，发现一般规律是解题关键． 直接利用已知图案得出每旋转4次为一周，即每旋转4次为一个循环，进而可得出答案． 【详解】解：∵从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转得到， ∴每旋转4次为一周，即每旋转4次为一个循环， 依题意， 则第2026个图案中箭头的指向与第个图案方向一致，即箭头的指向是右方 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了列代数式以及倍数、因数，设圈出一竖列上相邻的3个数中中间的数为x，则3个数之和为，由此可得出此3数之和为3的倍数，分析四个选项中各数是否为3的倍数，由此即可得出结论． 【详解】解：设任意圈出一竖列上相邻的3个数中中间的数为x，则最小的数为，最大的数为， ∵， ∴3个数之和为中间数字的3倍， ∴3个数之和为3的倍数． ∵， ∴3个数的和不可能为14． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了列代数式和有理数混合运算的实际应用，理解题意列出正确的代数式是解题的关键． 根据练习册的厚度差除以数量即可求得每本练习册的厚度，再根据图形求得课桌的高度，进而求得这摞练习册的顶部距离地面的高度． 【详解】解：∵每本练习册的厚度为：， 课桌的高度为：， ∴这摞练习册的顶部距离地面的高度为：， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，根据流程图求出前几个数字，确定循环节，进行求解即可． 【详解】解：第一次输出的结果为10， 第二次输出的结果为5， 第三次输出的结果为； 第四次输出的结果为； 第五次输出的结果为； 第六次输出的结果为； 第七次输出的结果为； 第八次输出的结果为； ， 故从第三次开始，按照的结果进行循环， ∵， ∴第2026次输出的结果为； 故选：B． 9． 【分析】本题考查列代数式，解决本题的关键是得到门票总费用的等量关系． 利用总费用总和成人总数儿童总数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：门票费用总和为元． 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了两位数的代数表示方法，掌握代数式是解答本题的关键； 根据两位数的代数表示方法，十位数字乘以加上个位数字即可得到该两位数 【详解】解：十位上的数字是，个位上的数字是6，因此这个两位数为， 故答案为： 11． 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握几个非负数的和等于0，则每个非负数都为0这个性质是解题的关键．根据绝对值和偶次方的非负性先求出a、b的值，再求出的值． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了求代数式的值． 根据题意可得，再利用整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，正确表示出各个正方形的边长是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，则可得正方形的周长为，正方形的周长为，根据题意列出式子，即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则正方形的周长为，正方形的周长为， ， 正方形的边长为， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查图形的规律，列代数式，掌握知识点是解题的关键．通过观察三角形内点个数与可分得三角形个数的关系，发现每增加一个点，三角形个数增加2，从而得出一般规律． 【详解】解：图1中三角形内有1个点时，三角形个数为个）； 图2中三角形内有2个点时，三角形个数为（个）； 图3中三角形内有3个点时，三角形个数为（个）； 以此类推……； 三角形内有n个点时，三角形个数为个． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查平方和绝对值的非负性，求代数式的值；由已知等式，根据平方和绝对值的非负性，可得和，从而求出和的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，即， ∴ ，即， 当，时， ． 16．(1) 表格补充如下： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 (2)成反比例关系；因为每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定） (3)60毫升 【分析】本题考查了反比例关系，掌握反比例关系的概念是关键； （1）由表可计算出一瓶果汁的总量，即可求得平均分成4杯时每杯的果汁量； （2）由题意知，每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定），即可判断分得的杯数和每杯的果汁量的关系； （3）果汁总量除以分得的杯数即可求解． 【详解】（1）解：一瓶果汁共有，， （2）解：成反比例关系； 因为每杯的果汁量分得的杯数， 所以分得的杯数和每杯的果汁量是反比例关系； （3）解：， 答：每杯的果汁量是60毫升． 17．(1)，；规律：（交换律成立） (2) ． 理由：； ， ∵，且， ∴， 即． 【分析】本题考查了数字规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． （1）根据题意进行计算即可得出结果，再进行探索规律即可； （2）将和表达出来，进而分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； ， 观察结果：，推测交换律成立， ∴规律为（交换律成立）； （2）略 18．(1)米； (2)平方米； (3)36288元． 【分析】本题考查了列代数式、有理数的混合运算，理解题意，正确列出代数式及算式进行计算是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）先求出20扇窗户需要铝合金的长度，窗帘、玻璃的面积，再列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 一扇这样的窗户一共需要铝合金：（米）， 一扇这样的窗户一共需要铝合金米； （2）解：根据题意得： 照进阳光的面积是（平方米）， 照进阳光的面积是平方米； （3）解：当时， 20扇这样的窗户一共需要铝合金：（米）， 20扇这样的窗户一共需要窗帘（平方米）， 20扇这样的窗户一共需要玻璃（平方米）， 该公司总花费为：（元）， 该公司总花费为36288元． 19． 【分析】本题考查了代数式的求值，利用整体代入的思想求解是解决本题的关键．根据题意求出的值，根据，整体代入计算，即可得答案． 【详解】解：∵代数式的值为，即， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $