精品解析：河南周口市西华县第二高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一下期期中考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 已知，，，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①若，则或 ②若，则； ③， ，则； ④， ，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 6. 如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与异面，与异面，则与异面 8. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则______. 13. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________. 14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ， （1）若，求的大小； （2）若，求，夹角的大小． 16. 已知复数 （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 19. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G，H分别为的中点． （1）求异面直线与所成的角的正切值； （2）正方体的所有顶点均在同一个球面上，求该球体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下期期中考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 已知，，，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，可知， 即， 即，令，而，， 所以，故点P的坐标为. 3. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 4. 下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①若，则或 ②若，则； ③， ，则； ④， ，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，当非零向量的模长相等且不共线时，、均不成立，故A错误； 对于②，即共线，但它们的模长不一定相等，故B错误； 对于③，根据等量的传递性可得，故C成立 对于④，如果为零向量，为不共线向量，则、均成立， 但不成立， 故正确的命题个数为. 5. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，而，， 由余弦定理得， 所以. 6. 如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把圆锥侧面沿过点P的母线展开，画出侧面展开图，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形， 由题意, 则 ,所以 设底面圆的半径为，则，所以 故选：B 7. 已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若与异面，与异面，则与异面 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，由平行的性质得平行于同一条直线的两条直线平行，因此选项A正确； 选项B，垂直于同一条直线的两条直线不一定垂直， 也可能平行、相交或异面，因此选项B错误； 选项C，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行， 也可能相交或异面，因此选项C错误； 选项D，与异面，与异面， 与也可能是平行或者相交，此时与均共面，因此选项D错误. 8. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果． 【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，    又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故 所以侧面梯形的斜高为， 则梯形的面积， 上，下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 复数的共轭复数为，故B错误； 为实数，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 10. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以与不共线， 故与可以作为所在平面的一组基底，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，， 因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：由，本选项正确； B：因为是锐角三角形， 所以， 因为是锐角三角形，所以都是锐角， 所以由，本选项正确； C：因为，所以， 所以由，或， 由，此时该三角形是等腰三角形； 由，此时该三角形是直角三角形， 所以为等腰三角形或直角三角形，本选项不正确； D：由正弦定理可知， 因为，所以，当为锐角时，显然，符合题意； 当为钝角时，，符合三角形内角和定理， 所以△ABC有两解，本选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由投影向量的定义可得，再由向量的数量积计算向量的模可得. 【详解】因为在上的投影向量为，所以，得. 又因为，所以. , 所以. 13. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积. 【详解】因为正方形为一个平面图形的水平直观图， 所以可得原图形是一平行四边形，且，，， 所以平行四边形的面积为. 故答案为：. 14. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 【答案】 【解析】 【分析】先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】如图所示，，， ，． 在中，由，又海里， 所以，解得（海里）， 在中，由余弦定理可得， 又海里， 则（海里）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ， （1）若，求的大小； （2）若，求，夹角的大小． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示及向量夹角公式求解. 【小问1详解】 向量，，由，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由，得，解得， 由向量，，得， ， 因此，而， 所以向量，夹角的大小为. 16. 已知复数 （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得. （2）利用根与系数关系求得，进而求得. 【小问1详解】 若复数为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 已知是关于的方程的一个根， 则也是方程的根， 所以， 所以. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】（1） 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G，H分别为的中点． （1）求异面直线与所成的角的正切值； （2）正方体的所有顶点均在同一个球面上，求该球体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行的传递性得出，同理可得，所以或其补角为两异面直线的夹角即可计算求解； （2）应用正方体外接球公式计算求解外接球的半径，结合球的体积公式即可求解. 【小问1详解】 如图，分别取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形． 又是的中位线， 所以，， 同理可以证明：， 或其补角为两异面直线的夹角，为等边三角形， 所以，所以异面直线和所成角的正切值为； 【小问2详解】 设正方体外接球的半径为，所以， 所以， 所以正方体外接球的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $