精品解析：河南项城市第三高级中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

项城三高2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题所给的选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 设复数满足，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，变形得， 则的共轭复数为. 2. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 3. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得. 所以. 5. 已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（    ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示求解. 【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则. ∵分别为的中点， ∴， ， . 6. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】C 【解析】 【分析】A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断. 【详解】A. 若，则，a与b相交或异面，故错误； B.若，a，b，c不一定在同一平面内， 如在正方体中，，,但 不共面，故错误； C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确； D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面， 如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误； 故选：C 7. 已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 8. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 若，则 C. D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【详解】设，则， 对于A，，故A正确； 对于B，即为，由A可得，故，故B正确； 对于C，取，则，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算公式，可判定A正确；根据共线向量的坐标表示，列出方程，可判定B正确；利用向量垂直的坐标表示，列出方程，可判定C正确；根据且与不共线，求得的范围，可判定D错误. 【详解】由向量， 对于A，由向量数量积的坐标运算，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对于C，由，可得，解得，所以C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，则向量满足且与不共线， 由，可得， 当与共线时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，所以D错误. 11. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 四点共面 B. 三线共点 C. 此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D. 在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于B，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于C，先考虑侧面，再考虑两个底面；对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条直线. 【详解】对于A，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故B正确； 对于C，先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空间分为个部分，C正确； 对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过重心且垂直于平面的直线，D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数满足，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 13. 已知向量，，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标的加减法运算及向量的数量积的坐标运算可得. 【详解】由向量，，得， 又因为，得,所以，解得. 14. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c. 【详解】根据余弦定理得：， 即，整理得， 即，因为，所以. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是虚数单位，复数． （1）当复数为实数时，求的值； （2）当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可； （2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可. 【小问1详解】 由复数， 当复数为实数时，，解得：或. 【小问2详解】 由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； 【小问2详解】 由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到； （2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，. （1）试用向量来表示； （2） AM交DN于O点，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可得解. （2）设，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据三点共线，结合平面向量共线定理可得存在实数使，再结合平面向量基本定理即可得解. 【小问1详解】 由，得，所以， 由，得，所以. 【小问2详解】 设，则， 由三点共线，得存在实数使， 由向量不共线，得，，解得， 因此，所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. （1）求证：点，，，四点共面 （2）求证：平面平面. （3）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【小问1详解】 证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. 【小问2详解】 由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. 【小问3详解】 线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 项城三高2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题所给的选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 设复数满足，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（    ） A. B. C. 0 D. 6. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 7. 已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 8. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 若，则 C. D. 是实数 10. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是 11. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 四点共面 B. 三线共点 C. 此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D. 在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数满足，则___________． 13. 已知向量，，若，则_______. 14. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是虚数单位，复数． （1）当复数为实数时，求的值； （2）当复数为纯虚数时，求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，若． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，，. （1）试用向量来表示； （2） AM交DN于O点，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. （1）求证：点，，，四点共面 （2）求证：平面平面. （3）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $