精品解析：北京市中国人民大学附属中学2027届高三暑假自主复习检测练习（开学考试）数学试题

人大附中2027届高三暑假自主复习检测练习 数学 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合，，再由集合的交集求解即可. 【详解】因为，由，解得， 因为，所以， 因为，所以或， 所以. 2. 已知，则在复平面上，复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以所对应的点为，位于第一象限. 3. 下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义以及函数的单调性依次判断选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，由于， 所以函数为偶函数，不满足题意，故A不正确； 对于B，函数，由，得定义域为R， 而，则为奇函数， 令，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 根据复合函数单调性可得在上单调递减， 由于为奇函数，所以在上单调递减， 因为在上为连续函数，任取，都有 所以在上单调递减，故是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的，故B正确； 对于C，函数定义域为R，，即函数是奇函数， 又和是上的增函数，因此是增函数， 所以函数图像上任意两点的直线斜率均为正，故C不正确 对于D，函数的定义域为，，即函数是奇函数， 由于，所以不满足函数图像上任意两点的直线斜率均为负，故D选项错误. 4. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质判断C，举反例判断ABD. 【详解】对A，时，，A错； 对B，时，，B错； 对C，因为，所以，C正确； 对D，时，，D错. 5. 已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 6. 在下列双曲线中，离心率最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式即可求解． 【详解】对于A，离心率为； 对于B，离心率为； 对于C，离心率为； 对于D，离心率为； 因为， 所以离心率最大的是A． 7. 设函数，，，，，若对任意实数均成立，则下列结论中一定不成立的是（ ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，总有 D. ，总有 【答案】ABCD 【解析】 【分析】结合辅助角公式对题目函数进行化简，结合得到函数的最小值和一条对称轴，最后在利用三角函数的奇偶性、对称性对选项进行判断. 【详解】因为其中. 且对任意实数均成立， 所以，即 当时，为偶函数， 此时不存在，也就是，与题意矛盾， 所以选项A：，总有一定不成立； 当时，为奇函数， 此时，即，与题意矛盾， 所以选项B：，总有一定不成立； 由题意只知道，即是对称轴，若为对称轴，则， 结合消去得，即，与题意矛盾 所以选项C： ，总有一定不成立； 同理，若为对称中心，则， 结合消去得，即，与题意矛盾 所以选项D：，总有一定不成立. 8. 已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可. 【详解】由可知，所以对任意的均有意义， 充分性：若数列是等差数列，设公差为，首项为，且， 则， 因为，所以，所以对于任意正整数，集合都是单元素集， 当时，满足已知条件，但是不满足集合中元素为正数，故充分性不成立， 必要性：若对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数， 则对任意正整数，所有对应的为同一个正数，记为， 取，则， 根据等差数列的定义可知：数列是等差数列，故必要性成立， 所以“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的必要不充分条件. 9. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为，如果，则与最小值最接近的数为（ ） （参考数据：，，） A. 0.42 B. 0.55 C. 0.69 D. 1.10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件判断的单调性，转化条件，再结合建立等式，通过变形和对数运算求出的表达式，最后根据函数单调性求出其最小值. 【详解】已知，将其变形为：， 由于在R上单调递增，故在R上单调递减， 则在R上单调递增， 不妨设，则， 则，即，， 因为，所以， 化简得，进一步变形为， 整理得：， 令（），则，变形为， 因为，所以，即， ， 令，对其求导：， 令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 则， 因此，与的最小值最接近的是. 10. 已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出，设，为坐标原点，，，，可得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，根据可知，点也在射线上（过点远离点），利用射线与圆的交点个数即可求解. 【详解】设，所以，则或. 不妨设，为坐标原点，，，，则. 由于，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 由于，所以， 当时，此时， 则点也在射线上（过点远离点），由于点在圆内， 所以射线与圆有一个交点，即符合条件的向量有1个. 同理，当时，此时 则点也在射线上（过点远离点），由于点在圆内， 所以射线与圆有一个交点，即符合条件的向量有1个， 综上，符合条件的向量的个数为2. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，利用抛物线的几何性质即可求解. 【详解】将抛物线方程整理为标准形式：，解得， 根据抛物线定义，准线上的点到焦点的最小距离即为焦点到准线的垂线段长度， 由于焦点到准线的距离为，故最小距离为. 12. 在的展开式中，若的系数为12，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出项的系数，列方程求解参数． 【详解】的展开式通项为：， 令， 所以． 13. 中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一”和“益一”操作，依次生得十二律管．记“黄钟”长度为，第次损益后得到的律管长度为，已知损益规则为：，则__________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式计算. 【详解】，当为奇数时，，， 所以奇数项构成以为首项，为公比的等比数列， 所以. 14. 如图，五面体满足，且三条平行线两两间距离均为2．若，，，则该五面体的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面的面积，再利用体积公式即可. 【详解】延长，，到，，，使，，， 如图： 则为三棱柱，且. 因为棱，，互相平行，且两两之间距离均为2， 所以三棱柱的直截面是边长为2的正三角形. 所以. 所以. 15. 函数，，给出下列四个结论： ①函数的值域为； ②时，存在区间，使得在上单调递减； ③时，至少有一个极值点； ④若关于方程的解集有5个元素，则的取值范围为． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：根据对数函数的值域分析判断即可；对于②：分析可知在，内单调递增，即可判断；对于③：根据单调性分析极值点即可；对于④：解得、、，然后分类讨论进行求解. 【详解】对于①：当时，则且可以取到全体正实数， 可知在内的值域为，即函数的值域为，故①正确； 对于②：若，， 当时，在单调递增； 当时，在单调递增； 所以不存在区间，使得在上单调递减，故②错误； 对于③：当时，，， 因为时，在单调递增，在单调递减， 可知是函数的一个极值点，所以至少有一个极值点，故③正确； 对于④：方程，则，或者， 解得、、. 当时， ，、、 分别解得、、，三个解均满足条件； （i）当时，，，在上单调递增， （舍去）， （舍去）， ， 所以关于方程的解集有个元素，所以不符合. （ii）当时，， 当时，在单调递增，在单调递减， ，， 所以有个解，此时、均至少有个解， 则关于方程的解集至少有个元素，所以不符合. （iii）当时，， 当时，在单调递增， ，此时恒成立， 即无解，则需、均有一解， 所以，解得. 综上所述，的取值范围是，所以④正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 已知中，，，． （1）求的值； （2）求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合二倍角公式求得，再由余弦的二倍角公式求得； （2）利用三角恒等变换求得，再由三角形面积公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理得，即，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，， 所以， 所以. 17. 四棱锥中，底面是正方形，是棱上一个点，平面平面． （1）若，求证：； （2）若，是中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定．求直线与平面成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以； 因为平面平面，且平面平面； 故平面，因为平面，则； 又因为，且，平面， 所以； （2）选条件①：不可取，四棱锥不存在； 选条件②：； 选条件③：． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线线垂直，通过证明线面垂直得到两条直线垂直； （2）根据题干要求，通过垂直关系建系求解B点坐标，根据B点坐标情况确定四棱锥是否唯一，根据条件所确定的B点坐标，利用空间向量计算线面夹角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，以A为坐标原点，为x轴，为z轴，垂直于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 可设，则； 因为，则； 选①： 因为是中点，则，故； 根据坐标可得，得到，显然不成立； 则四棱锥不存在，故不能选①； 选②：； 由可得，为直角三角形， 可以为y轴建系，B点坐标可唯一确定， 则四棱锥存在且唯一确定；故可以选②； 选③：； 因为，则； 因为； 则，即，解得， 代入，可解得； 则四棱锥存在且唯一确定；故可以选③； 选②：； 因为，则 故为直角三角形，则； 由（1）可知，平面， 故以A为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，； 则，，； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设为直线与平面成角， 则； 直线与平面成角的正弦值为． 选③：； 以A为坐标原点，为x轴，为z轴，垂直于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 可设，则； 因为，则； 因为，则； 因为； 则，即，解得， 代入，可解得，，则， 则，，； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设为直线与平面成角， 则； 同理，当时，可得直线与平面成角的正弦值也为． 18. 甲、乙两人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，两人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 用频率估计概率． （1）从上述10场比赛中随机选择一场，在甲获胜的前提下，求分差超过3分的概率； （2）从这10场比赛中任选3场，设表示抽到的3场中甲获胜的场数，求的分布列和数学期望； （3）记一次飞碟比赛成绩满分为15分，设名运动员的得分分别为，，…，，，为名运动员中得分至少为分的人数．记为名运动员的平均成绩，，直接写出，的大小关系（结论不用证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望（或） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）确定的可能值为，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望； （3）利用每个分数会在分数到中分别计数1次，得出，从而可得的关系. 【小问1详解】 10场比赛中，甲获胜的有6场，其中分数差超过3分的只有1场，因此概率为； 【小问2详解】 由已知得的可能值为，因为10场比赛中，甲获胜的有6场， 所以，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以（或）； 【小问3详解】 因为每个分数会在分数到中分别计数1次，所以， 所以，即. 19. 已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）直线经过定点，理由如下： 如图所示，已知，，设动点，均在椭圆上（不同于顶点）， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 已知，即， 代入坐标得，即，化简得，则有， 设直线的方程为，将直线代入椭圆方程，得，展开得， 由韦达定理可得， 同时，， 由条件，代入，，得，化简得， 代入，得， 整理得，即， 代入 ，得， 要使该式对任意满足条件的恒成立，需的系数为，即 ， 此时常数项为，等式恒成立， 所以直线：恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质即可求解； （2）设动点，均在椭圆上，根据得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到关于的表达式，令的系数为，求出即可. 【小问1详解】 已知椭圆（）的左右顶点分别为，，右焦点， 根据题意，，即，所以， 又因为，其中，， 将代入中，得，解得， 根据椭圆性质 ，可得， 椭圆 的方程为，离心率. 【小问2详解】 略. 20. 已知函数， （1）时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数， ①当时，求曲线与曲线的交点个数； ②如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切．求的值，使得曲线与曲线相切． 【答案】（1） （2）①曲线与曲线只有一个交点，② 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求出函数的切线方程； （2）①由可得，易知是方程的一个实根，只需考虑时实根个数，构造函数，讨论其单调性求出极值，即可判断方程的实根个数，从而得出两曲线的交点个数； ②根据曲线与曲线相切时，有成立，解方程组即可得的值. 【小问1详解】 当时，，则， 令，即，解得， 可知，所以曲线与轴平行的切线方程为. 【小问2详解】 ①令，得， 当时，等式成立，可知，即是曲线与曲线的一个交点； 当时，得， 令，则， 当时，可知在上单调递增，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在时，函数取得极小值，为， 因为，所以恒成立，即方程无解， 所以曲线与曲线只有一个交点. ②当曲线与曲线相切时，有成立， 由得. 因为，，由得. 当时，，此时不成立， 当时，，此时不成立， 当时，可得成立即可， 因为，所以，解得或， 可得成立即可，解得或（舍）， 当时，，解得. 21. 给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 【答案】（1）不是列，是列. （2）不存在满足条件的列. （3）满足条件的列个数为. 【解析】 【分析】（1）紧扣列定义，逐条核对起点、终点、差分合法性与元素互异性即可. （2）存在性否定，利用每步移动均改变奇偶性这一不变量，由步数与终点奇偶性矛盾导出不存在. （3）按列拆解路径，将列一一对应为纵坐标序列，把“取遍 1 到”转化为“序列最大值为 ”，用补集计数求解. 【小问1详解】 对序列：末步差分，不属于，不满足条件②，故不是列. 对序列：各步差分依次为，均合法；起点为，终点横坐标，且五个元素互不相同，故是列. 【小问2详解】 不存在. 考察每个格点的的奇偶性．由于每步移动的差分只能为，均使的奇偶性发生改变， 因此列中相邻两点的横、纵坐标之和必一奇一偶． 若列由的全部16个元素组成，则，共15步． 起点满足为偶数，经过奇数步后，终点的必为奇数． 但满足为偶数，矛盾． 故不存在满足条件的列． 【小问3详解】 由于每步移动中坐标只能不变或增加 1，从到必然依次经过每一列． 在固定一列内，每次只能沿竖直方向移动． 若竖直移动方向发生改变，就会重复经过某个格点，与序列中的元素互不相同矛盾， 因此在该列内只能单调移动． 所以从入口纵坐标到出口纵坐标的路径唯一，且恰好覆盖区间内的所有整数． 记各列的出口纵坐标依次为，其中，并记（起点纵坐标）． 则第列覆盖的值区间为． 反过来，任取一组上述出口纵坐标，在每一列内从入口到出口单调移动， 并在最后一列之前的各列出口处向右移动一格，就能唯一得到一个符合定义的序列． 因此上述对应是一一对应． 由于，且每个新区间均包含从而与前一并集相交， 归纳可知所有区间的并集为包含1的连续区间： ． 因此条件等价于． 序列的每个分量均有种取法，共个；其中最大值不超过的有个． 由补集思想，满足条件的列个数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2027届高三暑假自主复习检测练习 数学 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知，则在复平面上，复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 在下列双曲线中，离心率最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，，，，，若对任意实数均成立，则下列结论中一定不成立的是（ ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，总有 D. ，总有 8. 已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为，如果，则与最小值最接近的数为（ ） （参考数据：，，） A. 0.42 B. 0.55 C. 0.69 D. 1.10 10. 已知向量，，，若向量满足且，则符合条件的向量的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 12. 在的展开式中，若的系数为12，则的值为__________． 13. 中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一”和“益一”操作，依次生得十二律管．记“黄钟”长度为，第次损益后得到的律管长度为，已知损益规则为：，则__________． 14. 如图，五面体满足，且三条平行线两两间距离均为2．若，，，则该五面体的体积为__________． 15. 函数，，给出下列四个结论： ①函数的值域为； ②时，存在区间，使得在上单调递减； ③时，至少有一个极值点； ④若关于方程的解集有5个元素，则的取值范围为． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 已知中，，，． （1）求的值； （2）求的面积 17. 四棱锥中，底面是正方形，是棱上一个点，平面平面． （1）若，求证：； （2）若，是中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定．求直线与平面成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18. 甲、乙两人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，两人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 用频率估计概率． （1）从上述10场比赛中随机选择一场，在甲获胜的前提下，求分差超过3分的概率； （2）从这10场比赛中任选3场，设表示抽到的3场中甲获胜的场数，求的分布列和数学期望； （3）记一次飞碟比赛成绩满分为15分，设名运动员的得分分别为，，…，，，为名运动员中得分至少为分的人数．记为名运动员的平均成绩，，直接写出，的大小关系（结论不用证明） 19. 已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 20. 已知函数， （1）时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数， ①当时，求曲线与曲线的交点个数； ②如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切．求的值，使得曲线与曲线相切． 21. 给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $