专题13 圆小题汇编（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2024-2026年四川中考圆相关真题及模拟小题，分基础性质与计算、位置关系、综合压轴三大考点，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择、填空|50+道|垂径定理（2026南充题）、圆周角（2026宜宾题）、切线性质（2026泸州题）、隐圆（2025宜宾题）|紧扣四川考情，高频考点突出；创新题如硬币滚动路径（2025遂宁题）、扇环计算（2025攀枝花题）；压轴题聚焦定弦定角模型（2024南充题）|

专题13圆小题汇编 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点01 圆的基础性质与计算 2026：宜宾、内江、凉山、遂宁、南充、泸州、巴中、甘孜、达州 2025：省卷、广元、宜宾、广安、南充、泸州、攀枝花、资阳、遂宁、成都、达州 2024：绵阳、雅安、广元、凉山、广安、南充、资阳、眉山、巴中 选择、填空高频基础必考题。垂径定理高频搭配勾股，管道水面高度注意双解陷阱；圆周角、圆心角、圆内接四边形对角互补是角度计算核心；高频载体：正五、正六边形；圆锥重点掌握「扇形弧长 = 底面圆周长」；创新阅读题型：扇环、硬币滚动路径；阴影面积多用割补法。 考点02 与圆相关的位置关系 2026：宜宾、达州 2025：泸州 2024：泸州、绵阳、内江 全部为小题。考查切线性质、切线长定理；三角形内心（内切圆，面积法求半径）、外接圆；切线的小题只考性质计算，切线完整证明大题另见附件文档；切线相关最值常结合一次函数。 考点03圆综合・隐圆、轨迹与几何最值（压轴） 2026：无 2025：宜宾、广安 2024：南充、达州、广元 四川拉分压轴小题，填空、多结论多选。定弦定角识别隐圆为核心考法，由折叠、旋转、定角条件挖掘隐藏圆；利用「圆心距 ± 半径」求线段最大、最小值；常结合正方形、等腰直角三角形；对模型识别能力要求高。 考点01 圆的基础性质与计算 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 6．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 8．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 9．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 10．（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 11．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 12．（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 15．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 16．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 17．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 18．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 20．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 22．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的圆周角，，则________． 23．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 24．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 25．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 26．（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 27．（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为_______． 28．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是______． 29．（2024·四川绵阳·中考真题）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 30．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为2的正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（   ） A． B． C．12 D．13 31．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 32．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 33．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 34．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 36．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 37．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 38．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 40．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 41．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 42．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在矩形中，点E在上运动，的内切圆与相切于点G，将沿翻折，点A落在点F处，连接，当点E恰为的三等分点（靠近点A）时，且，，则______． 43．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 44．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为______．    45．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______． 46．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 47．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．    48．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为______． 49．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 50．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为________（结果保留）． 51．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 考点02与圆相关的位置关系 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 4．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 考点03圆综合・隐圆、轨迹与几何最值（压轴） 1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 2．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形中，已知，，点是射线（不与点重合）上的一个动点，连接并延长交直线于点，将沿射线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．有下列结论： ①；②；③若点恰好落在对角线上时，则；④若时，则或；⑤的取值范围为．其中正确的结论有_____．（填序号） 3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____． 4．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 9．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 1．（2026·四川雅安·二模）如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限的平分线和x轴上运动，且始终保持，以为边作矩形，，连接，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·三模）如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川广元·三模）如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川宜宾·三模）如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，点为的中点，连接．若的半径为，则的长最小时的面积是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·三模）如图，在中，，，以为直径的与交于，则弧的长为（）． A． B． C． D． 7．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小孔的直径是（）． A． B． C． D． 8．（2026·四川广元·二模）如图，以为直径作，点在上，是劣弧上一点，与相交于点．，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·四川资阳·模拟预测）如图是边长为1的正方形网格，点，，均在格点上，，两点都在上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·四川泸州·二模）如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，点是上异于的一点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，中，，，，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为___________． 12．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，、，的半径为，连接交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 13．（2026·四川成都·模拟预测）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一．如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是__________． 14．（2026·四川成都·模拟预测）如图，正方形中，，若平面内存在一点满足，，则的面积为______． 15．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在四边形中，，，若其内部有一点P，连接恒为．则的最小值是__________． 16．（2026·四川成都·模拟预测）在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为_______． 17．（2026·四川遂宁·二模）半径为，则圆心角为的扇形周长是_____． 18．（2026·四川宜宾·三模）如图，锐角中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值为___________． 19．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 20．（2026·四川南充·三模）如图，切于点，半径，，．连接，则的值为________． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13圆小题汇编 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点01 圆的基础性质与计算 2026：宜宾、内江、凉山、遂宁、南充、泸州、巴中、甘孜、达州 2025：省卷、广元、宜宾、广安、南充、泸州、攀枝花、资阳、遂宁、成都、达州 2024：绵阳、雅安、广元、凉山、广安、南充、资阳、眉山、巴中 选择、填空高频基础必考题。垂径定理高频搭配勾股，管道水面高度注意双解陷阱；圆周角、圆心角、圆内接四边形对角互补是角度计算核心；高频载体：正五、正六边形；圆锥重点掌握「扇形弧长 = 底面圆周长」；创新阅读题型：扇环、硬币滚动路径；阴影面积多用割补法。 考点02 与圆相关的位置关系 2026：宜宾、达州 2025：泸州 2024：泸州、绵阳、内江 全部为小题。考查切线性质、切线长定理；三角形内心（内切圆，面积法求半径）、外接圆；切线的小题只考性质计算，切线完整证明大题另见附件文档；切线相关最值常结合一次函数。 考点03圆综合・隐圆、轨迹与几何最值（压轴） 2026：无 2025：宜宾、广安 2024：南充、达州、广元 四川拉分压轴小题，填空、多结论多选。定弦定角识别隐圆为核心考法，由折叠、旋转、定角条件挖掘隐藏圆；利用「圆心距 ± 半径」求线段最大、最小值；常结合正方形、等腰直角三角形；对模型识别能力要求高。 考点01 圆的基础性质与计算 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 4．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 5．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 6．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 8．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 9．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 10．（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 11．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 12．（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 13．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 14．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 15．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 16．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 17．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D． 【详解】解；A、若，则，原说法错误，不符合题意； B、若，则，原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 18．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 19．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查扇形的定义及面积；设扇形的半径为，则扇形的半径为，先根据，求出，再结合扇形面积，根据，代入计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，则扇形的半径为， ∵， ∴，即， 解得， ∴扇形的半径为7， ∵扇形面积， ∴， ， ， ∴图中阴影部分面积是20； 故答案为：20． 20．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 22．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的圆周角，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由圆周角定理求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 23．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 24．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 ∴ ∴， ∴， ∴； 依题意，， ∴是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 则， 则 故答案为：． 25．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 26．（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键； 根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可． 【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长； 故答案为：． 27．（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接，根据三角形的内角和定理，求出的度数，圆周角定理求出的度数，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则：， 在中，， ∴， ∵内接于， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 28．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 29．（2024·四川绵阳·中考真题）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 30．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为2的正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（   ） A． B． C．12 D．13 【答案】B 【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及轴对称最短路线问题，得出点位置是解题关键．要使△的周长最小时，最小，利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，那么有，最小，再根据正六边形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 要使的周长的最小，即最小， 利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，作，垂足为， 那么有，最小， ，，， ， ∴，， ，， ， 故当的周长最小时，． 故选：B． 31．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 32．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 33．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 34．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 35．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 36．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①，根据的面积是正方形面积的3倍，求出，进而得到，判断②；旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断③． 【详解】解：在中，， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若的面积是正方形面积的3倍，则：， ∴，即：， ∴或（舍去）， ∴， ∴点F是的三等分点；故②正确； ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， 取的中点，连接，则：，，    ∴， ∴， 即：的最大值为；故③正确； 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 37．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 38．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键． 作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示 ∴， ∵由旋转可知， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴． 故选：A 39．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 40．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 41．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示，    在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，    ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 42．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在矩形中，点E在上运动，的内切圆与相切于点G，将沿翻折，点A落在点F处，连接，当点E恰为的三等分点（靠近点A）时，且，，则______． 【答案】 【分析】设内切圆圆心为O，连接，过O作于点H，作于点K，则四边形为正方形，根据切线长定理可得和，设半径为r，则，，求得和，利用勾股定理求得r，则，，根据折叠的性质得，，过F作于点M，交于点N，则，可证明，有，设，则，，利用勾股定理求得x，可求得，和，根据余弦定义即可求得． 【详解】解：如图，设内切圆圆心为O，连接，过O作于点H，作于点K， 则四边形为正方形， 根据切线长定理可得， ， 设半径为r，则，， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得或 (舍去)， ∴，， 根据折叠的性质得，， 过F作于点M，交于点N，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得或(舍去) ∴，， 在中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握圆的性质和矩形的性质． 43．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 44．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为______．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：   ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：   ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 45．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 46．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 47．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 48．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 49．（2024·四川南充·中考真题）如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 50．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键． 【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积 ， 故答案为：． 51．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 考点02与圆相关的位置关系 1．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 2．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果. 【详解】设该直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 4．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵梯形，， ∴点共线， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 考点03圆综合・隐圆、轨迹与几何最值（压轴） 1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可知，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，由，联想到位似变换，在 上取点 使得，构造，从而确定点 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，连接 ，当 三点共线时， 取得最小值，利用勾股定理求出 的长即可求解． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， 点在 边上，， ， 由翻折的性质可知，， 在上取一点 ，使得，连接， ， 在 和中， ，， ， ， ， 点 是定点，长为定值， 点 在以点 为圆心，为半径的圆上运动， 连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为， 在 中，， ， 根据勾股定理得： ， 的最小值为． 2．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形中，已知，，点是射线（不与点重合）上的一个动点，连接并延长交直线于点，将沿射线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．有下列结论： ①；②；③若点恰好落在对角线上时，则；④若时，则或；⑤的取值范围为．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】①②分类讨论，当在的左侧和在的右侧（含点），根据矩形性质和折叠的性质即可推出结论；③先判断在的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出的长，再根据折叠的性质结合勾股定理求出的长，④分类讨论，当在的左侧和在的右侧（含点），分别作过点作交于点，过点作交于点，运用矩形的性质证明，得出的长，再结合①的结论算出的长，根据等面积法求出、，最后运用三角形的面积求解即可；⑤先判断在以为圆心，半径为的圆上运动，即可求解． 【详解】解：关于①，如图，当在的左侧、， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在的右侧（含点）， 与当在的左侧同理， 综上，， ∴①符合题意； 关于②，如图，当在的左侧， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 如图，在的右侧（含点）， ∵， ∴，即， ∴②不符合题意； 关于③，∵点恰好落在对角线上， ∴如图，在的左侧， ∵矩形， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵关于折叠为， ∴，，， ∴，， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，即， 解得: ， ∴③符合题意； 关于④，如图，当在的左侧，过点作交于点， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵由①得， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 如图，当在的右侧（含点），过点作交于点， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵由①得， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 综上，或； ∴故④不符合题意； 关于⑤， ∵关于折叠为， ∴， ∴如图，在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点是射线（不与点重合）上的一个动点， ∴，即， ∴在上运动， 当在点时，有最小值，最小值为， 当接近时停止，趋近于， ∴的取值范围为， 故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤． 3．（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意，四边形是正方形，设边长为，如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，则，有勾股定理列式求解得到，再证明，结合角度的计算得到点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，得到，如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，设边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上， ∴， ∴，则，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为， ∵圆心角，， ∴ 是等腰直角三角形 ， ∴， 如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∴， ∵在直线上，且在正方形内部（）， ∴ 圆心在的上方，且到的距离为， ∵ 的中点坐标为 ， ∴ 圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值 ， ∴ ． 4．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，在上取一点，使得， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点，连接， ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 1．（2026·四川雅安·二模）如图，的三个顶点都在上，是直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而求解 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， 与所对的弧都是弧， 2．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限的平分线和x轴上运动，且始终保持，以为边作矩形，，连接，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，，首先利用定弦定角构造的外接圆，求出外接圆的半径；然后通过计算求出圆心到点的距离；最后利用三角形三边关系确定出的最大值． 【详解】解： 点在第二象限角平分线上，点在轴上， ． 如图，作的外接圆，连接，在的优弧上任取一点，连接 ． 四边形内接于 ， ． ． ， 是等腰直角三角形 ． ， ， ． 四边形是矩形 ， ． 是等腰直角三角形 ， ， ． 如图，过点作于点， 在中，， ． ， 点与点重合 ， ． 在中，， ， 的最大值是 ． 3．（2026·四川成都·三模）如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 4．（2026·四川广元·三模）如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，得到，再根据直径所对圆周角是得到，利用三角函数求解即可； 【详解】连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 5．（2026·四川宜宾·三模）如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，点为的中点，连接．若的半径为，则的长最小时的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，过点作于，根据垂径定理得出，确定出点的运动轨迹为以为直径的，当，，三点共线时，的值最小，利用勾股定理得出，利用“等积法”求出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、，过点作于， ∵点为的中点，为圆心， ∴，即， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴当，，三点共线时，的值最小， ∵的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 6．（2026·四川南充·三模）如图，在中，，，以为直径的与交于，则弧的长为（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接利用平行四边形的性质求解，，再利用等腰三角形的性质求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 中，，，以为直径的交于点， ，，， ， ∴，， 的长为： 7．（2026·四川泸州·二模）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小孔的直径是（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设钢珠的圆心为，过作于，交优弧于，连，则，，，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径． 【详解】解：如图，设钢珠的圆心为，过作于，交优弧于，连， 直径是 在中， ． 8．（2026·四川广元·二模）如图，以为直径作，点在上，是劣弧上一点，与相交于点．，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据圆周角定理得出，根据勾股定理求出，根据圆周角定理推得，，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，，如图： 根据题意可得，， ∵，， ∴， 在中，， 故， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 9．（2026·四川资阳·模拟预测）如图是边长为1的正方形网格，点，，均在格点上，，两点都在上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所在圆的圆心为O，设的垂直平分线交于点E，则圆心O在的垂直平分线上，连接，，，，设圆的半径为R，则，，根据勾股定理得出，求出，根据圆周角定理得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：设所在圆的圆心为O，设的垂直平分线交于点E，则圆心O在的垂直平分线上，连接，，，，如图所示： 根据网格可得：，， 设圆的半径为R，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为． 10．（2026·四川泸州·二模）如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，点是上异于的一点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的弦，，所以，则有，由圆周角定理可得，则，由，设，，则，由勾股定理得，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的弦，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，中，，，，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，中位线的判定和性质得到，根据三角形内角和定理，轴对称的性质得到，点在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动，，取线段的中点H，连接，由勾股定理得到，结合题意，当点三点共线时，的值最小，最小值为，由此即可求解 ． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 如图，取线段的中点O，连接，则， ∴点在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动， 如图，取线段的中点H，连接， 在中，点分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵点Q在上运动， ∴，即当点三点共线时，的值最小，最小值为 ． 12．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，、，的半径为，连接交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】由圆内接四边形对角互补结合 求出 ，再由圆周角定理得 ，结合 解得 ，阴影部分面积用扇形面积减去面积即可． 【详解】解：∵ 四边形 内接于圆， ∴ ，且 ， ∴ ，解得 ， ∵ ， ∴ ，， ∴， ， ， ， 扇形 面积为， 的面积为， 阴影部分的面积为． 13．（2026·四川成都·模拟预测）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一．如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出矩形的另一边长，进而求出矩形面积，再判定下方三角形为等边三角形求出下方弓形面积，最后利用圆面积减去矩形面积再减去下方弓形面积即可得到答案. 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， ， 连接，交于点，如图， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， 需要打掉墙体的面积是圆在上方部分与矩形的差， 需要打掉墙体的面积 ． 14．（2026·四川成都·模拟预测）如图，正方形中，，若平面内存在一点满足，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出，，由，所以点在以为直径的圆上运动，又，则点与点重合或点与点重合，然后讨论并计算三角形面积即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， ∵， 点与点重合或点与点重合， 如图，当点与点重合时，、、三点重合，不能构成，舍去； 如图，当点与点重合时，即为， ． 15．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在四边形中，，，若其内部有一点P，连接恒为．则的最小值是__________． 【答案】/ 【分析】如图过点作于点，连接，根据已知可得在正方形的外接圆上运动，设圆心为，延长交于点，连接，证明得出，当为圆的直径时，即重合时，取得最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ∴P在正方形的外接圆上运动，设圆心为，连接， ， ， 延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ∴当为圆的直径时，即重合时，取得最小值， ， ． 16．（2026·四川成都·模拟预测）在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为_______． 【答案】 / 【分析】连接、，过点作，根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，根据三角形的面积公式可以求出正六边形的面积为，根据圆的面积公式可以求出的面积为，根据概率公式即可求出箭落在圆形区域内的概率． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 正六边形的面积为， ， ， 箭落在圆形区域内的概率为． 17．（2026·四川遂宁·二模）半径为，则圆心角为的扇形周长是_____． 【答案】 【详解】解：扇形周长弧长 18．（2026·四川宜宾·三模）如图，锐角中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】先证，由求得，得到，利用相似三角形的性质得到，可知当的面积最大时，则的面积最大；作的外接圆，连接，作于点F，交于点H，作于点G，当点A与点H重合时，，此时的值最大，求出此时的面积，再求出的面积即可． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最大时，则的面积最大， 如图，作的外接圆，连接，作于点F，交于点H，作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点A与点H重合时，，此时的值最大， ∵为定值， ∴此时的面积最大， ∴，， ∴此时是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 【详解】解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 20．（2026·四川南充·三模）如图，切于点，半径，，．连接，则的值为________． 【答案】 【分析】连接交于点C，由切线的性质及三角形相似、正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点C， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13圆小题汇编 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01圆的基础性质与计算 1.B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.30° 8.56 9.13 10.02或0.8/或0.8或0.2 山.65- 12.B 13.B 14.A 15.A 16.C 17.C 18.B 19.20 20.4V3-4r 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21. 2V13+4 22.50 23. 6V5 24. 10 25.6 26.4π 27.π 28.2 29.D 30.B 31.B 32.C 33.A 34.C 35.C 36.D 37.C 38.A 40.A 41.D 7V65 42.65 4.5V2 45.8 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 46.25 47.2v3 48.4π 49.75 50.252π 51.60° 自 考点02与圆相关的位置关系 1.B 2.A 21-8t 3.21-7 4.B 5.c 64 6. 考点03圆综合·隐圆、轨迹与几何最值（压轴） 1. 410-2 2.①③⑤ 3 4V5-2√2 4.(4r-8),(-8+4) 5.B 6.D 213+4 8.①②④ 9.①③④ 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测 1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.A 7.c 8.B 9.c 10.C 1.0-V2 9π3v3 12.42 5π3v3 13.6-4 14.2 212 15.212 V3πV3 16.6/61 17.24+3π 18.4v5 19.200m 2. 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5/5