专题06 圆综合（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 北京中考圆综合专题汇编，含2022-2026年5年真题及2026年15区模拟题共25道几何解答压轴题，每道6分，聚焦圆与三角形综合证明及计算，适配中考几何难点突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |几何解答题|25道/每道6分|切线、直径、垂径定理，三角形全等/相似，直角三角形计算（如2026北京卷考切线性质与相似计算，2025北京卷涉及切线长定理与中点性质）|固定两问结构（证明+计算），纯几何图形无情境包装，依托圆基础定理与三角形综合，模拟题与真题命题规律高度一致，直击北京中考几何区分度核心。|

专题06 圆综合 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01圆综合 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 2023北京卷 2022北京卷 圆综合为固定几何解答压轴，分值稳定 6分，整卷几何区分度核心题型；统一设置两小问，一问证明、二问计算，标准几何纯图形命题，无生活情境包装，依托圆基础定理、三角形全等 / 相似、直角三角形综合考查，切线、直径、垂径、切线长为常年核心载体，相似勾股计算为第二问必考难点。 考点01 圆综合 1．（2026·北京·中考）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，为的直径，过点B作的垂线，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点F，若，，求的长． 2．（2025·北京·中考）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 3．（2024·北京·中考）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 4．（2023·北京·中考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 5．（2022·北京·中考）如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 1．（2026·北京密云·一模）如图，是的直径，，连接交于点，为上一点，连接、和，． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长． 2．（2026·北京门头沟·综合练）如图，在Rt中，，以为直径作交于点，取中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 3．（2026·北京东城·一模）如图，点C在以为直径的上，且，点D为上一点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接交于点G．若，，求的长． 4．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 5．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 6．（2026·北京丰台·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 7．（2026·北京顺义·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 8．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 9．（2026·北京昌平·一模）如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 10．（2026·北京西城·统一测试）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 11．（2026·北京海淀·一模）如图，以线段为直径作半圆，圆心为点O，C是半圆外一点，，D为半圆上异于A的一点，且． (1)求证：是半圆O的切线； (2)取中点H，连接，并延长交于点E，连接，交于点F．若，，求的长． 12．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 13．（2026·北京平谷·一模）如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． (1)求证：为中点 (2)连接交于点，若，，求的值． 14．（2026·北京密云·一模）如图，是的直径，，连接交于点，为上一点，连接、和，． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长． 15．（2026·北京市西城区·二模）如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 16．（2026·北京燕山教育集团·二模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 17．（2026·北京海淀·二模）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，，． (1)求的大小； (2)过点作圆的切线交的延长线于点．若，，求的长． 18．（2026·北京平谷·二模）如图，为的直径，点为圆上一点，点是的中点，过点作交延长线于点，连结、． (1)求证：是的切线； (2)连结，若，，求的长． 19．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，点是中点，以为圆心，的长为半径作交延长线于点，交于点，交于点，过点作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，若，，求的半径． 20．（2026·北京房山·二模）如图，点为上一点，过点作的切线交半径的延长线于点，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交于点，连接交于点．若，，求线段的长． 21．（2026·北京丰台·二模）如图，为的直径，弦与交于点E，，过点B作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，交于点G．若，，求的长． 22．（2026·北京石景山·二模）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，延长交于点C，过点C作的平行线，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（2026·北京顺义·二模）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，，交于点．若，，求的半径． 24．（2026·北京朝阳·二模）如图，，与分别相切于点，，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（2026·北京东城·二模）如图，为的直径，点C在上，点D在的延长线上，过点D作交延长线于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆综合 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 北京考情(2022-2026) 命题规律 圆综合为固定几何解答压轴，分值稳定6分， 2026北京卷 整卷几何区分度核心题型；统一设置两小问， 2025北京卷 问证明、二问计算，标准几何纯图形命题， 考点01圆综合 2024北京卷 无生活情境包装，依托圆基础定理、三角形全 2023北京卷 等/相似、直角三角形综合考查，切线、直 2022北京卷 径、垂径、切线长为常年核心载体，相似勾股 计算为第二问必考难点。 五年真题分类园 考点01圆综合 1. 【答案】I)证明：连接OB,OD, 1/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ,C,D是 上的点， ∵A ⊙0 :ACD=∠AOD. 2 :PA,PB是⊙O的两条切线， PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB. ∴.点P在∠AOB的平分线上， OP平分∠AOB, ∠AOB :∠P0A=2 :BD⊥AC,AC为⊙O的直径， ..AB=AD ∴.∠AOB=∠AOD, ·.∠ACD=∠POA ②BF=2 2. 【答案】I) 证明：AP,BP分别切OO于A点，B点， .OP平分∠AOB, ∠40P=1∠4OB 又“AB=B ∠ADB=1∠AOB .∠ADB=∠AOP (2)DE长为44. 2/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3. 【答案】1) 证明：根据题意，得∠AOC=∠B+∠C, ..OB=OC .∠B=∠C, .∠AOC=2∠B. :OD平分∠AOC, ∴.∠AOC=2∠AOD, ∴.∠B=∠AOD. ..ODI BC: ②2 4. 【答案】1) 证明：BC=BC 、.∠BAC=∠CDB, 又：∠BAC=∠ADB, .∠ADB=∠CDB, .DB平分∠ADC, ∠BAD=90° (②)4 5. 【答案】1) 证明：设AB交CD于点H,连接OC, B 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题可知， :.OC=0D.∠0HC=∠OHD=90°， .OH=OH .∴RtACOH兰Rt△DOH(HL) ∴.∠COH=∠DOH. .BC=BD ∴.∠COB=∠BOD. :∠COB=2∠A, ∠BOD=2∠A: 2) 证明： D 连接AD, :OA=OD, .∠OAD=∠ODA, 同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC, 点H是CD的中点，点F是AC的中点， .∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC, :∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180° ∴.∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°， .∠COB=2∠CA0=2×30°=60°， AB⊙O 为的直径， ∴.∠ADB=90° 4/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABD=90-∠DA0=90°-30°=60°， ∴.∠ABD=∠COB=60°， .OC∥DE, CE⊥BE, .CE⊥OC, ∴直线CE为⊙O的切线。 一年模拟练测园 1. 【答案】(I)解：如图，连接BD, ,AB是⊙O的直径，AC⊥AB :∠ADB=∠BAC=90°，即BD⊥AD, ∴.∠C+∠AOC=∠BAD+∠ABD=90° :∠DEB=∠C,∠DEB=∠BAD, .∠C=∠BAD. ∴.∠AOC=∠ABD OC∥BD. .OC⊥AD, 点E为D 的中点： ®1c、&5 3 2. 【答案】I) 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：连接OD,BD,交OE于点G, G B :AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠BDC=90°， .BE=CE, .DE=BE=CE, ∴.∠DBE=∠BDE, .·OB=OD ∴.∠OBD=∠ODB ∴.∠ODE=∠ABC=90°. :点D在⊙0上， ∴.DF是⊙O的切线. ②26 3. 【答案】I) 证明：连接OC D B ,⊙O的切线交DO的延长线于点E ∴.OC1EF,即∠OCE=90° 4C=Bc,0C为半径， .OC1AB,即∠AOC=90 6/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AOC=∠OCE. AB∥EF: 12W2 2)7 4. 【答案】1) 证明：如图，连接OE. .AO=OE ·∠A=∠AEO BE=BC, ∴.∠C=∠BEC. .·∠ABC=90° ∴.∠A+∠C=90 ∴.∠AEO+∠BEC=90° ∴.∠OEB=90° 直线BE是⊙O的切线， 2②)BC=20 5. 【答案】1) 证明：：AE是⊙O的切线，AB为直径， .AE⊥AB 即 BAE=90° CE⊥AE 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AEC=90°， .ABI CE. .∠ECA=∠BAC, .AB=CB ∴.∠BCA=∠BAC. ∴.∠ECA=∠BCA 10√41 (2)13 6. 答案】1)证明：如图，连接OD, 0 B E A D :∠BOD=2∠BAD,∠ABC=2∠BAD, .∠BOD=∠ABC, ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠ABC=90°， .∠BOD+∠CAB=90°， 又：DEAC, .∠CAB=∠E, .∠E+∠BOD=90°， ∠0DE=180°-(B0D+∠E)=90°，即OD1DE. :OD为⊙0半径， .DE是⊙O的切线： 2)AF=96 11 7. 8/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】I)证明：：AB是⊙0的直径，BE是⊙0的切线， .∠ACB=90°，∠ABE=90°， .∠BAC=∠CBE=90°-∠ABC, .BC=CD .∠BAC=LCAE. .∠CBE=∠CAE: 10 ②)3 8. 【答案】1)证明：连接OC, ..AC=BC OC 为半径， ∴.OC⊥AB,即∠AOC=90°， .CEll AB ∴.∠0CE=∠A0C=90°， ∴.CE为OO的切线： vio 9. 【答案】I) 证明：连接OC, D B 与 相切，切点分别为 PB,PC⊙O B,C 9/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..PB=PC, 0C=0B, .OP⊥BC, .∠0EB=90°， :AB为⊙0直径， .∠ACB=90°， .∠OEB=∠ACB, :ACIlOP: 2)5 10. 【答案】1) 证明：如下图所示，连接CE, 弦 直径， G B AE⊥ CD ..AC=CE ∴.∠AEC=∠CAE .·∠AEC=-∠AOC .∠CAE=。∠A0C, 2 EG=√2 (2) 11. 【答案】I) 证明：，CA⊥AB, .∠CA0=90°. 如图，连接OD、OC, 10/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 在aOAC和△ODC中， OA=OD CA=CD 0C=0C' △OAC≌aODC(SSS) .∠ODC=∠CAO=90°， OD为半圆O的半径， :.CD是半圆O的切线： (2)4 12. 【答案】(I)证明：如图1，连接OC, 图1 .OE⊥AC, .AD=CD, ∴.OE垂直平分AC, 、EA=EC, ∴.∠EAC=∠ECA, ..OC=OA. ∴.∠CAO=∠AC0」 ,AE是半圆O的切线， .∠EA0=90°， 11/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EAC+∠CAO=∠ECA+∠ACO=90°， .OC⊥EC, ,0C为半径 :.EC为圆O的切线。 网-9 13 【答案】I) 证明：如图，连接OD, A D G B ,AB为⊙O直径，CB是OO的切线， ∴∠OBF=90°. .∠AOE=∠FOB,A=∠F, .180°-∠AOE-∠A=180°-∠FOB-∠F, .∠AE0=∠OBF=90°， OE⊥AD, ..OA=OD .AE=DE,即E为AD中点. 7 4 14. 【答案】(I)解：如图，连接BD, B 12118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB是OO的直径，AC⊥AB, .∠ADB=∠BAC=90°，即BD⊥AD, ,∠C+∠AOC=∠BAD+∠ABD=90° ,∠DEB=∠C,∠DEB=∠BAD, ,∠C=∠BAD. ∴.∠AOC=∠ABD OC∥BD, OC⊥AD, :点E为4D 的中点： )4C=85 15. 【答案】(I)解：如图，连接OC,OD, :∠CBE=45°， .∠COD=2∠CBE=90°， .EF =BF, ∴.∠E=∠FBE, .OB=OD ∴.∠ODB=∠FBE, .∠ODB=∠E, ..ODI EF, .∠OCF=∠COD=90°， ..OC L EF, 又.OC是⊙0的半径， 13/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EF是OO的切线： 23 16. 【答案】I)证明：如图，连接OA, A D :∠ACB=45° ∴.∠AOB=2∠ACB=90°， PA∥OB .∠PAO=∠AOB=90°， :AO是半径， PA是⊙O的切线. (2)2 17. 【答案】1)∠ABD=45° 15 ②2 18 【答案】(1)∠ABD=45° 15 ②2 【答案】(1)证明：连结OD, D O :点D是 CB 的中点， 14/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OD⊥BC, 'DE∥BC, OD⊥DE, :OD是⊙0的半径， ∴.DE是⊙O的切线： 240 2)1 19, 【答案】4)证明：连接OC,如图： D :OA=OB,C为AB的中点， OC⊥AB, 又，OC是⊙0的半径， .CG是⊙O的切线， 又，DG是⊙O的切线， DG=CG: 2)⊙0的半径为5 20, 【答案】)见详解 32 217 21. 【答案】I)证明：连接OC,OD D BC=BD 15/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠1=∠2」 .OC=OD ∴OE⊥CD 即∠OEC=90° BF为OO的切线， ∴BF⊥OB,即∠OBF=90° ∴LOEC=∠OBF .BF∥CD 0 2)9 22 【答案】)证明：连接OB, E D :PB是⊙O的切线， ∴.∠PB0=90° ·CE∥PB ∠I=LPB0=90°，即OB⊥CD :OB是半径， BC-BD (2)10 23. 【答案】I)证明：：DE是⊙O的切线，D为切点， .DE⊥OD, ,C是弦AB的中点，OD过圆心O, OD⊥AB 16118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB II DE 又，BE⊥DE, .BE⊥AB, .∠ABF=90°： (2)3 24. 【答案】Q)(1)证明：如图，作DG1EF于点G. D E .·DE=DF ∠EDF=2LEDG,EG=FG :AC与⊙0相切于点C, .∠AC0=90° :∠AEC=∠DEG, ∴.∠CAE=∠EDG, ∴.∠EDF=2∠CAE 10W13 (2)13 25 【答案】(I)证明：如下图，连接OC, :CF为⊙O的切线， 17/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC⊥CF, .∠OCB+∠FCE=90°， .OB=OC, ∴.∠OCB=∠OBC, :∠EBD=∠OBC, ∴.∠EBD=∠OCB DE⊥AB,即DE L AD, ∴.∠EBD+LFEC=90°， .∠FCE=∠FEC, ..CF=EF: 35 ②)4 18/18函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆综合 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 北京考情(2022-2026) 命题规律 圆综合为固定几何解答压轴，分值稳定6分， 2026北京卷 整卷几何区分度核心题型；统一设置两小问， 2025北京卷 问证明、二问计算，标准几何纯图形命题， 考点01圆综合 2024北京卷 无生活情境包装，依托圆基础定理、三角形全 2023北京卷 等/相似、直角三角形综合考查，切线、直 2022北京卷 径、垂径、切线长为常年核心载体，相似勾股 计算为第二问必考难点。 五年真题分类园 考点01圆综合 1.(2026北京中考)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,AC为⊙0的直径，过点B作 AC的垂线，垂足为E,交OO于点D,连接OP,CD. 1/68 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (I)求证：∠ACD=∠POA; (2)连 PC交BD于点R,若 E=2m∠ACD=5,求BF的长. 【答案】I)证明：连接OB,OD, B D ,C,D是 上的点， .·A ⊙0 2<0D ∠ACD= :PA,PB是⊙O的两条切线， PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴.点P在∠AOB的平分线上， ∴.OP平分∠AOB ∴.∠POA=。∠AOB 2 BD⊥AC,AC为⊙O的直径， .AB=AD .∴.∠AOB=∠AOD ∴.∠ACD=∠POA )Br=2 OB OD AB=AD 【分析】(1)连接 ,根据切线性质可知点P在 ∠AOB 的平分线上，根据垂径定理可知 2/68 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 再根据圆周角，圆心角的关系即可得证： (2)先由垂径定理求出⊙0的半径，再解直角三角形POA,可得PA,根据相似三角形的性质可求EF, 由DE=BE即可求解. 【详解】(1)略. (2)解：：BD⊥AC,AC为O0的直径， B D .∠CED=90°DE=BE Rt△CED CE=2tan∠ACD=V2 中， .DE=22 设⊙0的半径为，则OD=r,OE=r-2, 在RtAOED中，由OE2+DE2=OD2, 得r-2+22)=r2, 解得r=3 在Rt△PO 中， OA=3tan∠POA=tan∠ACD=V2 :PA=3V2 ∠CEB=∠CAP=90°， .BD I PA. ∴.△CFE△CPA, FE CE ·PACA EF 2 即326' ∴FE=V2 3/68 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BF=BE-FE=DE-FE=V2 2.(2025北京中考)如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP 的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD. B D (I)求证：∠ADB=∠AOP: ②延长0p交DB的延长线于点且.若AP-10,am∠40P 2,求DE的长。 【答案】) 证明：AP,BP分别切OO于A点，B点， OP平分∠AOB ∠4OP=∠4OB 2 又AB=AB ∠ADB=∠AOB ∴.∠ADB=∠AOP, (2)DE长为44. 【分析】()利用切线长定理得OP平分∠4OB,利用圆周角定理得∠4DB=∠40B,等量代换即可证 2 明； (2)延长AO交⊙O于点F,连接DF,利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根 据相似求得DE长， 【详解】(1)略 (2)延长AO交⊙0于点F,连接DF,则∠ADF=90°， 4/68 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 分别切 于A点，B点， .AP BP ⊙0 .PA⊥OA, :C为OP的中点， ..PC=OC, 4C=0C=0P 又AP=10, an∠AOP= 2 AP A0= an∠A0p-20, 0P=VA02+AP2=V202+102=105 AC=0C=10P=55 2 AF=2A0=40? ..AC=OC, .∠CAO=∠AOC, 又：∠PA0=∠ADF=90°， PO FA AODA· DA=20 10N5x40=165,CD=DM-4AC=1N5 :∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, ∴.△ACO∽△ECD AO CO ED CD' DE= ×20=44 5V5 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质 5/68 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键， 3.(2024北京中考)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙0上，OD平分∠AOC B 0 I)求证：OD BC: ②)延长D0交O0于点E,连接CE交OB于点F,过点B作O0的切线交DE的延长线于点p若BF=6, PE=1,求⊙0半径的长 【答案】I) 证明：根据题意，得∠AOC=∠B+∠C, .OB=OC, ∴.∠B=∠C, .∠AOC=2∠B, ,OD平分∠AOC, .∠AOC=2∠AOD, ∴.∠B=∠AOD, ..OD BC: 3 02 【分析】(1)根据题意，得∠AOC=∠B+∠C,结合OB=OC,得到∠B=∠C,继而得到∠AOC=2∠B 根据OD平分∠AOC,得到∠AOC=2∠AOD,继而得到∠B=∠AOD,可证OD‖BC: (2)不妨设OF=5x,BF=6x,则OB=OF+BF=1lx=OC=OE,求得OP=OE+PE=1lx+1,证明 a0FEC∠0M=么0m,求指c=g.取C的中有走技OM:则N= 5,求得 6/68 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 cos∠OBM= 5,结合切线性质，得到c0s∠POB=3-OBOB OB coS∠POB 5OPOE+PEOB+1,解答即可 【详解】(1)略 OF 5 (2):BF6,PE=1 不妨设OF=5x,BF=6x,则OB=OF+BF=11x=OC=OE, ..OP=OE+PE=11x+1. OD‖BC, ∴.△DFEABFC,∠OBC=∠POB. OE OF 5 ·BCBF6· 11x5 ·BC6, 解得BC=66r 5 取BC的中点M,连接OM, 则BM=33x 5 .OB=OC, .OM⊥BC, ∴.cos∠OBM= BM3 OB5· .cos∠POB=3, ,PB是⊙O的切线， .OB⊥PB, 3 OBOB ÷.cos∠P0B=5OP OB OE+PE OB+1' 解新00-。 故⊙0半径的长为2 7/68 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性 质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角 三角形的相关计算是解题的关键 4.(2023北京中考)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC, ∠BAC=∠ADB E (I)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小： (②)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长， 【答案】(I) 证明：：BC=BC .∠BAC=∠CDB, 又：∠BAC=∠ADB, ∴.∠ADB=∠CDB, .DB平分∠ADC, ∠BAD=90° 2)4 【分析】(I)根据圆周角定理得出∠ADB=∠CDB,结合题意可得∠ABD=∠CBD,再由三角形内角和定 理得∠BCD=∠BAD,最后由圆内接四边形对角互补可求解： 8/68 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)根据(1)的结论结合己知条件得出，∠F=90°，△ADC是等边三角形，进而得出 C30°，由D是直径，根瘩盒30度角的直角三角形的性质可得BC芍D, 中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC的长，进而即可求解。 【详解】(1)解：：BD平分∠ABC, 、∠ABD=∠CBD 又，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB ∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB ∴.∠BCD=∠BAD 又：∠BCD+∠BAD=180° .∠BAD=∠BCD=90°： (2)解：∠BAD=90°，CF∥AD. ∴.∠F+∠BAD=180°，则∠F=90°. AD=CD .AD=DC. .AC=AD .AC=AD=CD. ∴.△ADC是等边三角形，则∠ADC=60° :BD平分∠ADC, ∠0D8-0c-30 ,BD是直径， 六∠BCD=90e,则BC=)BD 2 ,四边形ABCD是圆内接四边形， :∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=120°， ∴.∠FBC=60°， .∠FCB=90°-60°=30°， FB=号BC 1 2 9/68 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,BF=2, .BC=4, .BD=2BC=8 :BD是直径， 1 六此圆半径的长为2BD=4 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的 直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键 5.(2022北京中考)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的一条弦，AB1CD,连接AC,OD, A B D (1)求证：∠BOD=2∠A (2)连接DB,过点C作CE1DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F,若F为AC的中点，求证： 直线CE为⊙O的切线. 【答案】(I) 证明：设AB交CD于点H,连接OC, 由题可知， ∴.OC=OD,∠OHC=∠OHD=90° 10168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OH =OH, ∴.RIACOH=RtADOH(HL) .∠COH=∠DOH, .BC=BD ∴.∠COB=∠BOD. ∠COB=2∠A, .∠BOD=2∠A: (2) 证明： 连接AD, .OA=OD ∠OAD=∠ODA, 同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC. ,点H是CD的中点，点F是AC的中点， ∴.∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC, :∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+LODC=180°， .∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°， ∴.∠C0B=2∠CA0=2×30°=60°. AB,⊙O 为的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠ABD=90-∠DA0=90°-30°=60°， ∴.∠ABD=∠COB=60° 11168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC∥DE, CE⊥BE, :CE⊥OC, 直线CE为⊙O的切线， 【分析】(I)设AB交CD于点H,连接OC,证明RIACOH=RIADOH,故可得∠COH=∠DOH,于 是BC-D ∠BOD=2∠A ,即可得到 (2)连接AD,解出∠COB=60°，根据AB为直径得到∠ADB=90°，进而得到∠ABD=60°，即可证明 OC∥DB,故可证明直线CE为⊙O的切线. 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定 与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键， 一 年模拟练测园 1.(2026北京密云·一模)如图，AB是O0的直径，AC⊥AB,连接OC交⊙0于点E,D为⊙0上一 点，连接AD、ED和BE,∠DEB=∠C ①)求证：点E为D 的中点： ②)若a∠ADE= ,DE=4,求AC的长 【答案】()见解析 e4c&6 3 【分析】(I)连接BD,证明BD⊥AD,OC∥BD,得到OC⊥AD,即可证明结论成立： 12168 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设OC交AD于点H,求出 H=DH=1AD-85 2 5’设⊙0的半径为r,则 Hl=r 5,A0=r, 5OH=6V5 AH OH 由勾股定理列方程解得r=25,得到=5，证明△AOHACO0A,则ACOA,代入数值即可求 出答案。 【详解】(1)解：如图，连接BD, D B ,AB是⊙O的直径，AC⊥AB, :.∠ADB=∠BAC=90°，即BD⊥AD, ∴.∠C+∠AOC=∠BAD+∠ABD=90° ,∠DEB=∠C,∠DEB=∠BAD, .∠C=∠BAD. ∴.∠AOC=∠ABD ∴.OC∥BD, ..OC LAD, ÷点E为D的中点： (2)解：设OC交AD于点H, 在RtADHE中，∠BHD=90,am∠ADE= 2,DE=4,可设EH=x,DH=2x, 13168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..EH2+DH2=DE2, 即+(2x)}=4 4v5 解得=5， =4v5 EH=x=- ,DH=2x=8V5 .OE⊥AD, :H=DH=号AD=85 5 设⊙0的半径为r,则 H=OE-EH=r-4 ,AO=r,由勾股定理可得， AH2+OH2=AO2 解得25 则OH=0E-EH=r45_6N5 55, :∠C+∠AOH=∠OAH+∠AOH=90°， .∠C=∠OAH, ,∠AOH=∠COA, .△AOH∽aCOA, AH OH 六AC=0A, 8V5 :4C=:04 258N5 OH 6W5 3 14168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026北京门头沟综合练)如图，在RtAABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙0交AC于点D, 取BC中点E,连接DE并延长，交AB的延长线于点F,连接OE D B (I)求证：DF是⊙O的切线； (2)如果AD=3CD,OE=4,求BF的长. 【答案】(I) 解：连接OD,BD,交OE于点G, :AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠BDC=90°， .BE=CE, ∴.DE=BE=CE. ∴.∠DBE=∠BDE, .·OB=OD ∴.∠OBD=∠ODB .∠ODE=∠ABC=90°， :点D在⊙0上， .DF是⊙O的切线. ②26 【分析】(I)连接OD,BD,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到DE=BE=CE,即 ∠DBE=∠BDE,再结合OB=OD,等边对等角得∠ODE=90°，OD是半径，则DF是OO的切线： 15/68 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先证明△ABD∽aACB,结合AD=3CD和OE=4求出OD的值，再利用勾股定理求出BE,接着证明 △BEFADOF,得到比例关系，设BF=x,将相关数值代入求解出x即可， 【详解】(1)略 (2)解：OA=OB,CE=BE :OE是△ABC的中位线， ∴.AC=2OE=8. .AD=3CD.AC=AD+CD. ∴.3CD+CD=8 即CD=2,AD=3CD=6. ·∠ADB=∠ABC=90°，∠DAB=∠DAB, .△ABD∽AACB AD AB AB AC' 即AB2=AD·AC=48, .AB=43 D=04=0B=AB=2 :∠ABC=90°， .BC=AC2-AB2 =4 ∴.DE=BE=CE=5BC=2 :∠EBF=ODF=90°，∠F=∠F」 .△BEFADOF, BF BE DFOD· DF DE+EF BE+EFEF=BF2+BE2 BE BE BE+BF2+BE2 OD 16168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BF=x, 2 则2+Vx2+2223, 即5x-2=(r+4, x=2V3 解得： 或=0 (舍)， ..BF=23 3.(2026北京东坡一模)如图，点C在以4B为直径的o0上，且C=C,点D为B上一点，过点 C作⊙O的切线交DO的延长线于点E,交DA的延长线于点F. D A B (I)求证：AB∥EF: ②准按BC交DE于点C.若r=8,smE 5,求CG的长. 【答案】I) 证明：连接OC D B ,⊙O的切线交DO的延长线于点E ∴.0C⊥EF,即L0CE=90° .AC=BC,0C为半径， ∴.OC⊥AB,即∠AOC=90° .∠AOC=LOCE, 17/68 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB∥EF: 122 2)7 【分析】(1)根据圆的切线的性质以及垂径定理的推论可得∠AOC=∠OCE=90°，即可证明AB∥EF: 3 (2)先证明ED=EF=8,然后由si血E= 可设OE=5k,OC=3k,则CE=4k,此时由DE=8求出k=1: 然后对RtAOBC运用勾股定理求解BC,再证明△OBG∽△ECG即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图， D B E .OA=OD ∴.∠OAD=∠ODA .AB∥EF ∴.∠F=∠OAD ∴.∠F=∠ODA ∴.ED=EF=8, .∠0CE=90°」 3 OC .sin== 5 OE 设0C=3k,OE=5k ∴由勾股定理得CE=VOB-0C=4k,DE=OD+O=3张+5k=8k=8 .k=1 CE=4,0C=OB=3. ,OC⊥AB 18168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=0B+0C-32 ,AB∥EF ∴.△OBG∽△ECG OB BG 3 ·CECG4 cG=4BC-122 7 4.(2026北京朝阳一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点O在AB边上，以O为圆心，OA为半径 作圆，分别与AB,AC边交于点D,E,连接BE,BE=BC. A (I)求证：直线BE是⊙0的切线： A05 2)过点A作AM⊥BE,交BE的延长线于点M'AM交O0于点N·若ME4:4AN=6,求BC的长. 【答案】(I) 证明：如图，连接OE .AO=OE ∴.∠A=∠AEO BE=BC, .∠C=∠BEC :∠ABC=90° ∠A+∠C=90 19168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AEO+∠BEC=90° .∠OEB=90° ∴直线BE是⊙O的切线. hc 【分析】本题考查了圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数： (1)连接OE,利用等边对等角和直角三角形性质，经角度代换算出∠OEB=90°，从而得出结论： (2)作OG⊥AW于点G,构造矩形和直角三角形，设AO=5x,结合三角函数和已知条件求出BE长度， 因BE=BC,进而得到BC长。 【详解】(1)略 (2)解：如图，作OG⊥AN于点G. B ∴.∠OGM=90°AG=GN AN=6, .AG=3 AM⊥BE, ∴.∠M=90° ∴.∠OGM=∠M=∠OEM=90° ∴.四边形OEMG是矩形. ∴.OG=ME. ·405 ME 4' .A05 0G4· 设A0=5x,则0G=4x ∠0GA=180°-∠0GM=90°， 20168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AG=A02-0G2=3x ∴A0=5,0G=4」 tan∠OAG=4 . :AM∥OE, .∴.∠OAG=∠BOE tan∠BOE=4 在Rt△BOE中，OE=5, ∴BE=OE.tan∠BOE= 20 3 BC=20 · 5.(2026北京大兴一模)如图，在△ABC中，AB=CB,以AB为直径作⊙0，交AC于点D,过点A作 ⊙O的切线AE,且CE⊥AE,连接BE交AC于点F. B (I)求证：∠ECA=∠BCA; BF5 (Q)EF=8,AE=8,求BF的长. 【答案】1) 证明：：AE是⊙O的切线，AB为直径， AE⊥AB ∠BAE=90° 即 :CE⊥AE ∴.∠AEC=90° .AB‖CE 21168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ECA=∠BAC, AB=CB .∠BCA=∠BAC, .∠ECA=∠BCA 104T (2)13 【分析】()利用圆的切线性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质进行证明即可. (2)通过证明三角形相似，得到线段之间的比例关系，再结合勾股定理进而求解即可 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知AB/CE, ·∠ABF=∠CEF,∠FAB=∠FCE, .△ABF~ACEF, AB BF 5 CEEF8 设AB=5x,则CE=8x, AB=CB ..CB=5x, 过点B作BG⊥CE于点G,如图， :AE⊥ABAE⊥CEBG⊥CE 22168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABGE 四边形 为矩形， ∴.BG=AE=8EG=AB=5x ..CG=CE-EG=8x-5x=3x, 在R1aBGC中，由勾股定理得：BG+CG2=BC2, 即82+(3x)2=(5x}2,解得x=2(负值舍去)， ∴.EG=5×2=10 在RtABGE中， BE=VBG2+EG=V82+102=V164=2√4I BF 5 EF 8 BF-5 BE-5x2W4I04纫 13 13 6.(2026北京丰台一模)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠ABC=2∠BAD,过点D作 DE AC AB ,交的延长线于点E. E I)求证：DE是OO的切线： OF 5 ②)连接CD交AB于点F.若FB6,BE=4:求AF的长. 【答案】(I)证明：如图，连接OD, B E 23168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BOD=2∠BAD,∠ABC=2∠BAD, .∠BOD=∠ABC, ,AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°， .∠CAB+∠ABC=90°， .∠BOD+∠CAB=90°. 又DEI‖AC. .∠CAB=∠E. .∠E+∠BOD=90°， ∠ODE=180°-（∠BOD+∠E)=90 ,即OD⊥DE :OD为⊙0半径， .DE是⊙O的切线： 2AF=96 1 【分析】(1)连接OD,根据圆周角定理，结合已知条件可得∠BOD=∠ABC,然后根据直径所对的圆周 角是直角和两直线平行内错角相等可推出∠E+∠BOD=90°，进而可证得结论： OE OD OF 5 (2)通过证明OFDABFC和AODE∽ABCA,得到BA=BC=BF=6,然后设OF=5k,BF=6k,则 OA=OB=11k,根据比例式代入解方程即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：连接CD交AB于点F B E A D 由(1)可知，∠BOD=∠ABC, OD∥BC, :.△OFD∽aBFC, OD OF 5 BC BF 6 24168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BOD=∠ABC,∠E=∠CAB, ..AODEABCA. OE OD 5 ..BA BC 6' 设OF=5k,BF=6k,则OA=OB=11k, ..AF=OA+OF=16k,AB=0A+OB=22k, :BE=4, ..OE=OB+BE=4+1lk, OE4+11k5 .BA22k6· 解得大-合 ·AF=16k=16 .696 1111· 7.(206北京顺义一模)如图，MB是o0的直径，点C,D在O0上，C=D,连接MC,4D,BC, 过点B作OO的切线BE交AD的延长线于点E. B (I)求证：∠CBE=∠CAE: ②E长BC交4B于点R若DF-2:am∠CMB-=,求Er的长. 【答案】I)证明：：AB是⊙0的直径，BE是⊙0的切线， .∠ACB=90°，∠ABE=90°， .∠BAC=∠CBE=90°-∠ABC, .BC=CD .∠BAC=∠CAE, LCBE=∠CAE: 25/68 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 ②)3 【分析】(1)根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论： (2)连接BD,根据圆周角定理，得到∠ADB=90°，∠DBF=∠CAE,解直角三角形BDF,求出BD,BF的 长，进而求出BC,CF的长，解直角三角形ABC求出AB的长，求出AD的长，解直角三角形ABE,求出 AE的长，线段的和差关系求出EF的长即可. 【详解】(1)略 (2)解：连接BD,则∠DBF=∠CAE, .tan∠DBF=tan /CAE=l 2 ,AB为直径， .∠ADB=90°， ∴.∠BDF=180°-∠ADB=90°， :tan∠DBF= DF 1 BD2 .BD=2DF=4, BF=VBD2+DF=25 :∠ACB=∠ACF=90°，∠BAC=∠CAE 六∠ABC=∠AFC,tan∠BAC=tan∠CAE= 2 .AB=AF, BC=CF-BF=5 在Rt△ABC中，an∠BAC=BC=I AC=2BC=25 AF=AB=AC+BC2=5 .AD=AF-DF=3. :∠BDA=∠ABE=90°， 26168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.CoS∠BAD= AB AD 3 AE AB5 3B25 AF= 3· 510 .EF=AE-AF-25 3· B 8,(226北京石景山一模)如图、4B是o0的直径，点C在o0上.C-C,点D在BC上，连接 AD,过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E. D E (I)求证：CE为⊙0的切线： @若an∠BAD=3,OA=3,求DE的长 【答案】(1)证明：连接OC, D :4c=Bcoc】 为半径， ∴.OC⊥AB,即∠AOC=90°， .CE ll AB .∠0CE=LAOC=90°， 27168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CE为⊙O的切线： ag丽 【分析】(1)根据垂径定理的推论得到OC⊥AB,再由平行线的性质得到∠0CE=∠A0C=90°，即可证 明； (2)连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T,可得ET=OC=OA=3,再分别解 Rt△AET,Rt△ABD ，即可求解DE AE,AD 求出 【详解】(1)略 (2)解：连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T, D :AB∥CE,OC⊥AB,ET⊥AB, .∠T=∠TOC=∠OCE=90°， .四边形OCET是矩形， ∴ET=0C=0A=3, ,AB为直径， .∠ADB=90°， :tan∠BAD=ET_BD1 AT AD 3 .AT=9, 4E-VET2+AT=3/10 设BD=x,AD=3x,而AB=20A=6, .∠ADB=90°， ·由勾股定理得，AD+BD=AB2, +3x2=6 28168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得x=0 (舍负)， }、—之 :DE=AE-AD=3I0-?I0=60 9.(2026北京昌平·一模)如图，AB为⊙0直径，PB,PC与O0相切，切点分别为B,C,连接OP 交OO于点D,连接BC交OP于点E,连接AC. (I)求证：AC∥OP: ②作射线AD交BC,PB分别于点F,G,若DF-4D,DG=5,求OO的半径. 【答案】I) 证明：连接OC, B 与。相切，切点分别为 :PB,PC⊙O B,C :PB=PC, .OC=OB, .OP⊥BC, ∴.∠OEB=90°， :AB为⊙O直径， .∠ACB=90°， .∠OEB=∠ACB, :ACWIOP: 29168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)5 【分析】(I)连接OC,由切线长定理可得PB=PC,又OC=OB,则OP⊥BC,所以∠OEB=90°，然 后通过圆周角定理得∠ACB=9O°，则∠OEB=∠ACB,再由平行线的判定方法即可求证： (2)连接BD,由切线长定理可得OC⊥PC,OB⊥PB,所以∠GBD+∠ABD=9O°，然后通过圆周角定理 得∠4DB=90 ,所以∠DMB+∠ABD=90°，故有∠GBD=∠D1B,再由垂径定理 CD=BD ,所以 AB AD ∠CBD=∠DAB,证明△BDF≌aBDG(AAS),则DF=DG=√5，再证明AABD∽AAGB,所以AG=AB, 然后代入即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：连接BD, B 与 相切，切点分别为 0 .PB,PC⊙O B,C ∴.OC⊥PC,OB⊥PB. .∠GBD+∠ABD=90°， :AB为⊙O直径， .∠ADB=90°， .∠DAB+∠ABD=90°， ∴.∠GBD=∠DAB」 OP⊥BC, .CD=BD ∴.∠CBD=∠DAB. ∴.∠CBD=∠GBD :∠BDF=∠BDG,BD=BD .△BDF≌△BDG(ASA) 30168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.DF=DG=5 AD=4N54G=55】 '∠DAB=∠BAG,∠ADB=∠ABG. ∴.△ABDD△AGB ..AB_AD AGAB,可得AB=10: ⊙0的半径为5 10.(2026北京西城统一测试)如图，AB,CD均为⊙0的直径，作弦AE⊥CD于点F,连接AC.过 点B作⊙O的切线交AE的延长线于点G. B 0求证，∠CE-10c: ②连接DE,若DE=4N6,cos∠CME=Y6 ,求EG的长. 【答案】1) 证明：如下图所示，连接CE, A 弦 直径， ⊙ AE⊥ CD ∴AC=CE ∴.∠AEC=∠CAE. 31168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠AEC= ∠A0C, 2 ∠CaE=)∠A0C: 2 e)EG- 【分析】(1)连接CB:由垂径定理可得∠ABC=∠C4D,由圆周角定理可知∠ABC=)∠A0C,等量代 2 换可证结论成立： (2)根据直径所对的圆周角是直角，可知∠CED=90°，根据余弦定义可 os∠CDE=46V6 CD3,可以 求出AB=CD=12,由垂径定理可知AE=2EF,利用∠CDE的余弦求出DF,利用勾股定理求出EF,从 而可得AF=4V2,AE=82,可以求 cos∠0AF=2V2 3,利用三角函数求出AG=92,根据 EG=AG-AE求出结果即可， 【详解】(1)略 (2)解：CD是⊙0的直径， .∠CED=90°， G B .∠CDE=∠CAE cos∠CAE=V6 3 cos∠CDE=V6 , ”在RtACE 中 DE=46 cos∠CDE=DE=4v6_V6 CDCD3,解得CD=12, ..CD=AB=12.OA=6 32168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :弦AE⊥直径CD .AF=EF,AE=2EF, :在RtEFD中，∠EFD=90° .D-DEECDEDE-DFT) ..AF=42 AE=82 ∴在Rt△OAF中， cos∠0AF=4F、2V2 0A3, :BG为⊙O切线，OB是半径， .BG⊥OB, .∠ABG=90°， :在Rt△ABG中，cos∠BAG= AG· ∴.cos∠BAG=cos∠OAF 22 3, .AG=92 ..EG=AG-AE=2 11.(2026北京海淀一模)如图，以线段AB为直径作半圆，圆心为点O,C是半圆外一点，CA上AB, D为半圆上异于A的一点，且CD=CA. (I)求证：CD是半圆O的切线； @服BD中点开造拉Om,并延长交D于点五，连接仁，交0于点只.若血B-,C4-5,求0F 的长 33168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(I) 证明：，CA⊥AB, .∠CA0=90°， 如图，连接OD、OC, 在AOAC和△ODC中， OA=OD CA=CD OC=0C' △OAC≌AODC(SSS) .∠ODC=∠CA0=90°， ,OD为半圆O的半径， .CD是半圆O的切线： (2)4 【分析】（少由题意可得∠C10=90°，连接OD、0C,证明△01C2,00C(SS), 得出 ∠ODC=∠CAO=90°，即可得证： (2)连接AD,由(1)可得 01C≌aODC(SS),则∠A0C=∠D0C,证明∠A0C=∠OBD,得出 m∠10C=血∠0aD-求出0c-5.0E-04-”.4-201-9 3,再解直角三角形得出4AD=8, OH=4,从而可得EH=8。 ,求出DH=BHS,证明4DFAE,由相似三角形的性质求解即可 【详解】(1)略 (2)解：如图：连接AD, 34168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B △OAC≌aODC(SSS) 由(1)可得 .∠AOC=∠DOC, .OB=OD .∠OBD=∠ODB :∠AOD=∠OBD+∠ODB,∠AOD=∠AOC+LDOC, .∠AOC=∠OBD, sin∠0BD=5, sin∠A0C=sim∠OBD=3 CA 3 05, CA=5, 0c=25 3· :0A=V0c2-4C_20 3 :0E=0A=20 3 AB=20A=40 :H为BD的中点，OD=OB, .OH⊥BD 3 .sin∠OBD= 5, AD 3 OH 3 ..AB5,OB 5' ∴.AD=8,OH=4, .EH=OE-OH 35168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.DH=BH=O-O=16 ,AB为半圆O的直径， ∴.∠ADB=90°=∠EHF, ,∠AFD=∠EFH, ∴.△ADF∽AEHF, DF AD 8 .FH EH=8=3 3· :.DF-3DH=4 【点睛】本题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角 三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用， 添加适当的辅助线是解此题的关键. 12.(2026北京通州一模)如图，己知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC,过点 O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接EC. (I)求证：EC为圆O的切线： ②)连接BD并延长交AB于R、,若半圆O的直径为10，an∠CAB= 4,求AF的长. 【答案】1)证明：如图1，连接OC, 图1 ,OE⊥AC, 36168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD=CD. ∴.OE垂直平分AC, .EA=EC, ∴∠EAC=LECA, ..OC=OA. .∠CAO=∠ACO ,AE是半圆O的切线， .∠EA0=90°. :.∠EAC+∠CAO=∠ECA+∠ACO=90°， .OC⊥EC, ,OC为半径， EC为圆O的切线. ②)AF=0 7 【分析】(1)如图1，连接OC,垂径定理得出AD=CD,垂直平分线的性质得EA=EC,则 ∠EAC=∠ECA,根据OC=OA,得∠CA0=∠ACO,根据AE是半圆O的切线，得出∠EA0=90°，则 ∠EAC+∠CAO=∠ECA+∠ACO=90°，即OC⊥EC,即可证明EC为圆O的切线： DM11B于M,如图2，根据垂径定理和am∠CAB三&，求出BC=6,4C=8,根据C 得出CD=4D-)4C=4,则0D=BC=3,则sim∠01D-O0-3。 2 2 AO5,求出DM'AM,证明 △BDMABFA,根据相似三角形的性质即可求解： 【详解】(1)略 (2)解：作DM⊥AB于M,如图2， E D MO 图2 37168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :半圆0的直径为10， AB为半圆O的直径，an∠CAB=3 .∠ACB=90°，AB=10 .tan∠CAB= BC 3 AC 4 “设BC=3x,AC=4x. 102=(3x+(4x2 解得：x=2, .BC=6,AC=8, :OE⊥AC, :.AD-CD-14C-4. 2 .AO=BO. o0-c=3 .sin∠OAD=OD3 A05, .sin∠OAD=sin∠MAD= DM AD DM=34D=2 , 4w=-w=-侣- .'BM AB-AM=34 :DM∥AE, .△BDM∽△BFA, 1234 ·D1,p3一22 AF 10' :F=60 17· 38168 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026北京平谷·一模)如图，AB为⊙0直径，CB是⊙0的切线，连接AC交⊙0于点D,E为AD上 一点，连接EO并延长交⊙0于点G,交切线CB于点F,若∠A=∠F D G (I)求证：E为AD中点 (2)连接GD交AB于点H,若GH:HD=5:6,BF=6,求BC的值. 【答案】I) 证明：如图，连接OD, A D G F :AB为⊙O直径，CB是OO的切线， .∠OBF=90°， :∠AOE=∠FOB,∠A=∠F, .180°-∠AOE-∠A=180°-∠FOB-∠F, ∴.∠AE0=∠OBF=90°， .OE⊥AD, ..OA=OD ∴.AE=DE,即E为AD中点， 7 ②)4 【分析】(I)连接OD,证明OE⊥AD,再由OA=OD,即可证明结论： (②连接BD:正明DB/,可每DHBGH0:则DB-号60，设OB=C0=r则DB-号r 5 51 39168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1B=20B=2:证明a0 BF BDA,可得D1=6x名=36 55,在Rta4DB中，利用勾股定理列方程可得 9 27 AD DB 2,可得AB=9 r= DB= ,再证明ADBAABC,可得AB-BC, 即可求解， 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BD, G H D F B :AB为⊙0直径， .∠ADB=90°， 由(1)可知，∠AE0=90°， .DB∥EF, .△DHB∽aGHO. DB DH 6 GO GH 5 DB-GO 设0B=G0=r,则DB- 5，AB=20B=2r: :∠A=∠F,∠OBF=∠ADB=90°， ∴.△OBF ABDA, DA BD DA 5 DA=6x6-36 55， 在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2, +gr-o 40168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得产 2 =2-2x号9,089-g0号-g 2 :AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线， .∠ABC=90°， .∠ABC=∠ADB, '∠BAD=∠CAB. .△ADB△ABC, 3627 AD、DB ”ABBC :BC27 4· 14.(2026北京密云·一模)如图，AB是⊙0的直径，AC⊥AB,连接OC交⊙0于点E,D为⊙0上一 点，连接AD、ED和BE,∠DEB=∠C. B )求证：点E为D的中点： 1 (2)若tan∠ADE= 2， DE=4'求AC的长. 【答案】(I)见解析 ②AC-85 3 【分析】(I)连接BD,证明BD⊥AD,OC∥BD,得到OC⊥AD,即可证明结论成立； (2)设OC交AD于点H,求 AH-DH-1AD-85 2 5’设⊙0的半径为r,则 H=r 5,A0=r, 41168 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OH=6V5 AH OH 由勾股定理列方程解得r=25,得到 5,证明△AOH∽aCOA,则ACOA,代入数值即可求 出答案。 【详解】(I)解：如图，连接BD, D B :AB是⊙O的直径，AC⊥AB, ∴∠ADB=∠BAC=90°，即BD⊥AD, ∴，∠C+∠AOC=∠BAD+∠ABD=90° :∠DEB=∠C,∠DEB=∠BAD, .∠C=∠BAD, .∠AOC=∠ABD ∴OC∥BD, ..OC LAD, “点E为M 的中点： (2)解：设OC交AD于点H, 在Rt△DHE中，∠BHD=0r,tam∠ADE 2,DE=4,可设EH=x,DH=2x, .EH2+DH2=DE2, 即x+(2x)}2=4 42168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=4V5 解得”5， 5,DH=2x=8 EH-x= OE⊥AD, .AH=DH=1AD-815 5 设⊙0的半径为r, OH =OE-EH=45 5,AO=r,由勾股定理可得， AH2+O0H2=AO2 =2W5 解得 OH =OE-EH=r4565 则 55, :∠C+∠AOH=∠OAH+∠AOH=90°， .∠C=∠OAH, ,∠AOH=∠COA, .△AOH∽aCOA, AH OH ACOA’ 85 AC=AH.OA ×2√5 5 85 OH 6W5 3 5 15.(2026北京市西城区·二模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，过点C作直线EF分别交 BD和BA的延长线于点E,F,且EF=BF,连接BC,∠CBE=45°. 43168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (I)求证：EF是OO的切线： ②)过点D作MN⊥EF于点M,交AB延长线于点N，,若CF=3AF,AB=4,求BN的长. 【答案】(1)证明见解析 23 【分析】(1)连接OC,OD,先由圆周角定理得∠COD=2∠CBE=90°，由EF=BF得∠E=∠FBE,由 OB=OD得∠ODB=∠FBE,即可得∠ODB=∠E,可证OD川EF,进而得LOCF=∠COD=90°即 OC⊥EF,结合OC是OO的半径即可证明： (2)先⊙0的半径是2，设AF=x,则CF=3x,OF=2+x,在Rt△OCF中利用勾股定理列方程求解可 得AF、CF,通过“三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形OCMD是矩形求出CM,进而得FM, 设BN=y,用含y的式子表示ON、FN,由ODI‖EF得△ODN∽aFMN,利用相似比列方程求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接OC,OD, B :∠CBE=45°， .∠COD=2∠CBE=90°， EF =BF, ∴∠E=∠FBE, .OB=OD. .∠ODB=∠FBE, .∠ODB=∠E, 44168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OD EF, :.LOCF=∠COD=90°， .OC⊥EF, 又：OC是⊙0的半径， .EF是⊙O的切线： (2)解：如图，过点D作MN⊥EF于点M,交AB延长线于点N, ,AB是⊙0的直径，AB=4, ∴.半径OC=OD=OA=OB=2, 设AF=x,则CF=3x,OF=OA+AF=2+x, 在RtAOCF中，由勾股定理得OC2+CF2=OF2, 2+(3x=(2+x 解得x=2或x=0(舍去)， 2 :OC⊥EF,MN⊥EF, .∠OCM=∠CMD=90°. 又，∠COD=90° .四边形OCMD是矩形， ..CM=OD=2, :FM=CF+CM=3+2=7 2 2 设BN=y,则ON=OB+BN=2+y,FN=AF+AB+BN=)+4+y 9 2 2+y, OD‖EF, 45168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .aODN∽aFMN, 22+y ..OD-ON 即79 FM FN 22+y, 4 解得y 3,即BN=4 · 16. (2026北京燕山教育集团二模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠ACB=45°，点P在BC的延 长线上，PA OB」 A C 0 B (1)求证：PA是⊙O的切线： OB1 ②)若AP-2,PB=0,求⊙0直径的长. 【答案】（①）见详解 (2)2 【分析】(1)先利用圆周角定理证得∠AOB=90°，再根据平行线的性质，求得∠PAO=90°，然后利用切 线的判定得出结论： (2)先证明△OBD∽△APD,再根据相似三角形的性质，列出比例式，设OD=k,接着用k表示出OB, 然后利用勾股定理求得BD,代入比例式中，求得PD,再利用线段的和求得BP,得到关于k的方程，求 出k,最后求出OB 【详解】(1)证明：如图，连接OA, A D B ∠ACB=45° .∠AOB=2∠ACB=90°， :PA∥OB 46168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠PA0=∠A0B=90°， :AO是半径， PA是⊙O的切线。 (2)解：设OA与BP相交于点D. PA∥OB, ∴∠OBP=∠P, .∠BDO=∠ADP, .△OBD∽△APD OD BD OB ‘AD PD AP· .OB 1 AP2 OD BD OB 1 AD PD AP2. .OB=0A, ODOD 1 OAOB3· 设OD=k,则OB=3k, :在Rt△OBD中，BD=VOB2+OD2=V1Ok ..BD 1 PD 2 .PD=210k ∴.PB=PD+BD=3V10k .PB=10 310k=√10 :k=3 1 ∴.OB=3k=1 则⊙0的直径为2. 47168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题 的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长 17.(2026北京海淀·二模)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E, ∠BAC+∠ADB=90°DA=DC E (I)求∠ABD的大小： ②过点A作圆的切线交CB的延长线于点p·若an∠DB 3,BF=22,求BD的长. 【答案】1)∠ABD=45° .15 ②2 【分析】(1)根据角度的和差关系以及同弧所对的圆周角相等即可求解： (2)根据角度转化可知∠ACB=∠BAF=∠ADB,解直角三角形可知AG,BG,进而即可求解。 【详解】(1)解：在圆内，，同弧所对的圆周角相等， ∴.∠ADB=∠ACB ,∠BAC+∠ADB=90°， .∠BAC+∠ACB=90°， ∴.∠ABC=90° DA-DC ∴.∠ABD=∠CBD, .∠ABD=45°： (2)解：过点A作AG⊥BD, ,AF为切线， ∴.∠FAC=90° 48168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F G E :∠BAC+∠ACB=90°，LBAC+∠BAF=90°， ·.∠ACB=∠BAF=∠ADB, :a∠ADB= ,BF=2V2, tan∠BAF=2-BF 3 AB' 4B=3V2 ,AG=AB·sin∠ABD=3,BG=AB.cos∠ABD=3, ∴.DG=AG 9 tan∠ADB2' 9 15 BD=DG+BG=+3= 2 2· 18。(2026北京平谷二模)如图，4B为00的直径，点C为圆上一点，点D是CB的中点，过点D作 DE∥BC交AB延长线于点E,连结AC、CD D A B (I)求证：DE是OO的切线： ②)连结AD,若CD=12, cos∠CAD=4 ,求DE的长。 【答案】(I)证明：连结OD, 49168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 E B :点D是 B 的中点， .OD⊥BC, DE∥BC, .OD⊥DE, :OD是⊙0的半径， ∴DE是⊙O的切线： 240 ②7 【分析】(I)连结OD,易证OD⊥BC,再根据已知可得OD⊥DE,即可证明结论： (2)设OD与BC交于点M,连结BD,AD,易求CD=BD=I2,∠CAD=∠CBD=∠DAB,得到 B5,求出B=20:D=16:在RIABMD中，0∠CBD=B号。 Cos∠BAD=AD-4 BD5,求出OM=14 5 证明△OBM∽aODE,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：设OD与BC交于点M,连结BD,AD B :点D是B的中点， .CD=BD ∴.CD=BD=12,∠CAD=∠CBD=∠DAB 50168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 ∴.cos∠CAD=cos∠BAD= 5, :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， 在Rt△MBD中，os∠BAD=AD-4 AB5· 设AD=4x,AB=5x, BD=3x=12, .x=4, AB=20,AD=16, .OD=OB=10, OD⊥DE, .∠BMD=90°， 在Rt△BMD中， os∠CBD=BM4 BD5· BM=48 5 DM=BD2-BM2=36 , 0M=14 5 BC∥DE, ..AOBMAODE BM OM DEOD· 4814 5=5 DE 10 DE=240 7, 19.(2026北京大兴二模)如图，在△AOB中，AO=B0,点C是AB中点，以O为圆心，OC的长为半 径作OO交BO延长线于点D,交OA于点E,交OB于点F,过点D作OO的切线DG交BA延长线于点C, 51/68 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：DG=CG: EH 1 ②)连接DE并延长交AB于点H,若DE3,CG=10,求⊙0的半径. 【答案】)证明：连接OC,如图： :OA=OB,C为AB的中点， OC⊥AB, 又：OC是⊙0的半径， .CG是⊙O的切线， 又，DG是⊙O的切线， .DG=CG: 2)⊙0的半径为5 【分析】(1)证明CG是⊙O的切线，再根据切线长定理可得结论： EH 2 (2)连接DE并延长交AB于点H'过点O作OM⊥DH于点M,连接EF,根据题意得到GH5,设 8 O0的半径为3x,则OD=OE=0C=3x,分别求出4B=2x'OB=5x:BD=8x,AH=亏，再根据直角 三角形得到an∠B=tan∠OAB=DC=3 BD4,即8x=,即可求解 【详解】(1)略 (2)解：连接DE并延长交AB于点H,过点O作OM⊥DH于点M,连接EF,如图： 52168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G H :AO=BO,点C是AB中点， ∴.OC⊥AB,OC平分∠AOB,即OC平分∠EOF, 又：OE=OF, .OC⊥EF, :∠DEF=90°， ..OCIl DH, OC⊥AB, .DH⊥AB, OD=OE,OG⊥DE, 妮DE, EH 1 DE3' EH 2 ·ME3 EH 2 .MH5, 设⊙0的半径为3x,则OD=OE=OC=3x, ,OM⊥DE,DH⊥AB,OC⊥AB,即∠OMH=∠MHC=∠OCH=90°， .四边形OMHC是矩形 ∴.MH=OC=3x, EH 2 .3x5 .EH=6x 5 :∠AHE=∠OGE=90°，∠AEH=∠OEM. 53168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△AEH∽aOEM, AE EH 2 AE 2 ·0EME3,即3x=3, ∴.AE=2x, ..OB=OA=OE+AE=3x+2x=5x, ..BD=OD+OB=3x+5x=8x, 在aE中，=vR-丽-2-(g- 6 :tan∠EAH=EH_ 3 AH 8 3, 4 .OA=OB, ∴.∠B=∠OAB, 在Rt△BDG中， tan∠B=tan∠OAB=DC-3 BD 4 由(1)知，DG=CG=10. 103 BD 4' BD=40 40 ,即8x= 3 5 3 5 ⊙0的半径为3×写=5 3 20.(2026北京房山三模)如图，点A为⊙0上一点，过点A作⊙0的切线交半径OB的延长线于点C, 过点A作AD⊥OB于点E,交OO于点D,连接AB B D (I)求证：∠CAB=∠DAB； 54168 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②过点D作DFL4D交O0于点F,连接CP交D于点G,若m∠CB- 2,OB=5,求线段EG的长. 【答案】(1)见详解 32 ②)17 【分析】(1)连接A0,根据相切可得∠CAB+∠BAO=90°，根据垂直∠BAE+∠ABE=90°，再结合等边 对等角，即可证明∠AB0=∠BAO,问题随之得证： (2)连接AF,结合(I)的结论，由已知角的正切值可得BE、AE的关系，进而可在RIADAB中，利用 勾股定理求出AE,即可得EO,证明△AEC∽△OEA,可求出EC,再证明△AEO∽△ADF,可求出DF, 最后△CEG∽aFDG,问题随之得解. 【详解】(1)证明：连接AO, B :AC与⊙0相切， .∠CA0=90°， .∠CAB+∠BAO=90°， :AD⊥OB .∠AEB=90°， ∴.∠BAE+∠ABE=90°，即∠BAE+∠ABE=LCAB+LBAO, AO=BO. .∠ABO=∠BAO. .∠BAE=∠CAB,即∠CAB=∠DAB: (2)解：连接AF, 55168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ·∠CAB=∠DAB tan/CAB=2. :tan∠CAB=tan∠DAB= 2 BE 在RteDAB中，A =an∠DAB= 2 DF⊥AD, ∴.∠ADF=90°， ,AF为OO的直径， AF过圆心点O, :A0=OB=5, :EO-OB-BE=5-TAE, 2 :AD⊥OB, .∠AE0=90°， ∴.在Rt△DAB中，AO2=AE2+EO2, 12 =4E2+5-1AE 2, 解得：AE=4(AE=0舍去)， E0=5-5AE=3 .∠CAE+∠ACE=90°=∠CAE+∠EAO .∠ACE=∠EAO :∠AEC=LAEO=90°， ∴.△AEC∽△OEA, 六0EE,即c=g=16 AE EC 0E3, ,AD⊥OB .AE=DE=4=GE+DG. .AD=AE+DE=8. 56168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD⊥OB,DF⊥AD, .OB∥DF, .∠AEO=∠ADF,∠AOE=∠AFD, :.△AEO∽△ADF AE EO ·ADDF,即DF=AD×EO=6 AE 同理证明：aCEG∽△FDG, 16 CE_GE DFDG 即GE-38 DG 69 GE GE 88 DG+GE DE9+8 17' 432 17 17 【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、解一元二次方程、圆周角定理、正切以及相似三角形的 判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答第二问的关键 21.(2026北京丰台二模)如图，MB为O0的直径，弦CD与B交于点B,BC=BD,过点B作O0的 切线交AC的延长线于点F B D (I)求证：BF∥CD: ②)连接DF,交BE于点G.若OE=3,tam4= 2,求BG的长。 【答案】(I)证明：连接OC,OD 57168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=BD .∠1=∠2 .OC=OD .OE⊥CD, 即LOEC=90° BF为⊙O的切线， ∴.BF⊥OB,即∠OBF=90°. .∠OEC=∠OBF .BF∥CD 10 2) 【分析】(1)连接OC,OD,根据弧与圆心角的关系结合三线合一得到∠OC=90°，再由圆的切线的性质 得到∠OBF=90°，即可证明平行： (②连接BC,则由圆烟角定理得∠3=4，则am∠3=m1- =2:设BE=x,则CE=2x那么 OB=OA=x+3,AE=0A+OE=x+6 nRt△AEC RtAABF △BFG∽△EDG 再解 和 ，最后利用 求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：连接BC .BC=BD ∴.∠3=∠A 在Rt△CBE中，tan∠3=tanM= 2 BE 1 CE2' 设BE=x,则CE=2x. 0E=3, 58168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OB=OA=x+3,AE=OA+OE=x+6 在Rt△AEC中， CE 2x 1 AE x+6 2 解得BE=x=2」 ...CE=4,OB=OA=5,AB=10 在Ra4BF中，anA=BF=1 AB 2 BF-3AB-5 2 OE⊥CD.OC=OD, ∴.DE=CE=4 BF∥CD ∴.ABFG∽AEDG BG_BF5 EGDE4· ∴BG=3BE=10 9 9 22.(2026北京石景山二模)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,延长A0交⊙0于点 C,过点C作PB的平行线，交O0于点D,交PA于点E. P E D B O A (1)求证： BC=BD PE 1 (②)若EA3,CD=8,求PB的长. 【答案】I)证明：连接OB, 59168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 01 ,PB是⊙O的切线， ∴.∠PBO=90° .:CE∥PB ∴.∠1=∠PBO=90°，即OB⊥CD .OB是半径， .BC=BD (2)10 【分析】(I)连接OB,根据圆的切线的性质以及平行线的性质证明OB⊥CD,再由垂径定理的推论即可 证明： (2)连接OB交CD于点G,连接AD并延长交BP于点F,由平行线分线段成比例定理可设 DF=a,AD=3a,可证明四边形BGDF是矩形，则BG=DF=a,然后对Rt△ACD运用勾股定理求解 15 AE a=2,则AC=10,AD=6,再由 anC=AD、AE CDAC,求出2，最后根据切线长定理求解即可。 【详解】(1)略 (2)解：连接OB交CD于点G,连接AD并延长交BP于点F 力 、D B .CE∥PB 60168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE DF 1 ·AEAD3 “.设DF=a,AD=3a :AC是⊙O的直径， .∠ADC=90°， .∠CDF=90° 由(1)知∠OBP=90°，而CE∥PB ∴.∠DGB=180°-∠OBP=90° .∠DGB=∠OBP=∠GDF=90° .四边形BGDF是矩形， .BG=DF=a, .OB⊥CD ..DG=CG .A0=C0 0c40-0 a 35 OB=a+-a=÷a=OC=OA 2 2 ∴.AC=5a .CD=VAC2-AD=4a=8 .a=2 .AC=10,AD=6. ,AP是⊙O的切线， ∴.∠CAE=90° tanC=4D、AE CD AC 6AE .810 AF-15 , 61168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE 1 ·EA3 2.PE-15x1_5 2×32, .AP=PE+AE=10 :过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B, .PB=AP=10 23.(2026北京顺义·二模)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接0C并延长交⊙0于点D,过 点D作⊙O的切线DE,过点B作BE⊥DE于点E,交OO于点F, (I)求证：∠ABF=90°： CH 1 ②)连接AD,FD,FD交AB于点H·若BH=4,AD=V6,求⊙O的半径. 【答案】(I)证明：：DE是⊙O的切线，D为切点， .DE⊥OD, :C是弦AB的中点，OD过圆心O, .OD⊥AB .ABII DE, 又BE⊥DE, BE⊥AB, .∠ABF=90°： 23 【分析】(I)由垂径定理和切线的性质易证AB‖DE,结合BE LDE,可得BE⊥AB,即可证明结论： (2)设CH=x,则BH=4x,证明OC是△ABF的中位线，设OC=y,则BF=2y,且 2 CD=OD-OC=r-y,利用勾股定理得到6=(2-y)+(-y,证明&DCH6FBH,推出y=',即可 求解. 62168 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AF, D F设 半径为r, ⊙0 CH1 BH 4' ∴.设CH=x,则BH=4x, :点C是AB中点， ..AC=BC=CH+BH=5x,AB=10x, 由(1)得∠ABF=90°， .AF是⊙0的直径，AF=2r, :OD⊥AB,BF⊥AB .ODI BF, 又，点O是AF中点，C是AB中点， .OC是△ABF的中位线， 设OC=y,则BF=2y,且CD=OD-OC=r-y, 在Rta4CD中，AD2=AC2+CD,即6=(5x'+(-y} 整理得6=25x+(-y, 在RtABF中，AF2=AB+BF,即(2r=(0x'+2 5x2=r2-y2 整理得 :6=(-y)+-y 又·∠DCH=∠FBH=90°，∠CHD=∠BHF, .△DCHP△FBH. 63168 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD CH 1 .BF BH 4, -y1 .2y4 2 ..y=r - r=3(负值舍去)， .⊙0的半径为3 24.(2026北京朝阳二模)如图，AB,AC与⊙O分别相切于点B,C,连接C0并延长，交AB的延长 线于点D,点E是OC的中点，点F在AE的延长线上，DE=DF. B (I)求证：∠EDF=2∠CAE: (②)若∠BAC=60°，OC=2,求EF的长. 【答案】()见解析 10W13 (2)13 【分析】(1)如图，作DG⊥EF于点G,根据等腰三角形的性质得出∠EDF=2∠EDG,根据切线的性 质得出∠AC0=90°，结合∠AEC=∠DEG,根据三角形内角和定理得出∠CAE=∠EDG,即可证明 ∠EDF=2∠CAE. (②)如图，连接0A.根据切线长定理和∠B1C=60°得出∠01C=30°，结合0C=2,得出4C=2W5 在 R△1CD中，解直角三角形求出CD=6,再求出CE、DE.在R△ACE中，由勾股定理，求出4E=店 64168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sin∠CAE=3 l3.再根据EG=DE.sin∠EDG求解即可。 【详解】(1)证明：如图，作DG⊥EF于点G, B 0 .DE DF .∠EDF=2∠EDG,EG=FG. :AC与⊙O相切于点C, .∠AC0=90° ·∠AEC=∠DEG, .∠CAE=∠EDG, .∠EDF=2L∠CAE (2)解：如图，连接OA O 与 分别相切于点，， .AB AC ⊙0 BC∠BAC=60° ∴.∠OAC= ∠BAC=30° 0C=2, .0A=20C=4、 AC=V42-22=25 在Rt△ACD中， CD=AC.tan60°=2W3×V3=6 :E为OC中点， .EC=1, 65168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE=6-1=5 在RtAACE中， 由勾股定理，得AE=V(25+1=V3 sin∠CAE=CE-V13 AE-13. :∠EDG=∠CAE, sin∠EDG=sin/CAF= 13, .EG=DE.sinLEDG=5 13. EF=2EG=103 13. 25.(2026北京东城二模)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，过点D作 DE I AB交CB延长线于点E,过点C作OO的切线交ED的延长线于点F. C 0 (I)求证：CF=EF, (②)若OD=7,BD=2,CB=8,求EF的长. 【答案】)证明：如下图，连接OC, ,CF为⊙O的切线， 66168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OC LCF, .∠OCB+∠FCE=90°， ..OB=OC, .∠OCB=LOBC, :LEBD=∠OBC, ∴.∠EBD=∠OCB :DE⊥AB,即DE⊥AD, .LEBD+∠FEC=90°， .∠FCE=∠FEC, ∴.CF=EF: 35 2)4 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CF,即∠OCB+∠FCE=90°，进而证明 ∠FCE=∠FEC,即可证明结论： (2)过点F作FH⊥BC于点H,首先确定AB=10,利用三角函数以及对顶角相等，解得BE的长度， 3 而可得CE,DE的长度，进一步可得cos∠E=5;根据等腰三角形的性质可得1H=,处 Rt△FEH中，利用三角函数求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：如下图，过点F作FH⊥BC于点H, C :AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°」 ,OD=7,BD=2,CB=8, ..OB=OD-BD=5. 67168 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=2OB=10 :.cos∠ABC= BC 84 AB105, :∠ABC=∠EBD,DE⊥AD, :cOs∠EBD=BD cos∠ABC=4 , 六BE5,解得BE= 2=4 2, 22, cos∠E=DE=1.53 六在Rt△BDE中， BE=55 2 ,CF=EF,FH⊥BC, CH-E-CE-2 4 21 在RIAFEH,sE-3}即京-房 EF 解翔望 68168