专题12 解直角三角形及应用（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四川中考解直角三角形应用，汇编2024-2026年31道真题及模拟题，以解答题为主（8-10分/题），覆盖仰角俯角、方位角等四大考点，情境融合地方文化与科技实践。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|31题/约250分|仰角俯角测量（塔/桥/无人机）、方位角航行（渔船/海轮）、坡度计算（河堤/斜坡）、综合应用（民俗/体育）|结合巴中皮划艇赛、宜宾高铁西站等地方情境；设计两次测角、多三角形嵌套模型；融合相似三角形、勾股定理，参考数据题干给出，符合四川中考高频命题规律。|

专题12 解直角三角形及应用 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 仰角、俯角问题 2026 年：巴中、甘孜、宜宾、内江、眉山、凉山、广安、遂宁、成都、自贡（10 地，解答大题为主） 2025 年：全省卷、巴中、广元、资阳、广安、内江、遂宁、成都、达州、自贡（10 地，含选择、解答） 2024 年：巴中、雅安、凉山、德阳、达州 四川中考高频必考解答题型，分值 810 分。①命题情境丰富：测量塔、楼房、桥梁、雕像，无人机测高、实践探究活动；②经典模型：两次测角（前进一段距离，两次仰角），设未知数，利用正切列方程求解；③常结合测角仪高度，不能忽略仪器高度；④部分题目融合相似三角形对比测量方案，分析测量误差；⑤参考数据全部题干给出，计算结果要求保留整数、保留根号或精确到小数点后；⑥少数题目结合圆的垂径定理综合考查。考点 02 方位角（方向角）问题2026 年：泸州（解答）2025 年：无单独命题2024 年：资阳、省卷、泸州、宜宾（4 地，解答大题）以解答大题为主，难度中档偏上。①载体：海上渔船、海轮航行、海岸观测，结合北偏东、北偏西、南偏东等方向描述；②解题关键：根据方位画出正北、正南辅助线，把方向角转化为三角形内角；③常出现多三角形嵌套，需要多次作垂线构造多个直角三角形；④会结合航行时间求航行速度；⑤综合性强，偶尔结合全等、勾股定理，计算量大。 考点 02 方位角问题 2026 年：泸州（解答）2024 年：资阳、省卷、泸州、宜宾 以解答大题为主，难度中档偏上。①载体：海上渔船、海轮航行、海岸观测，结合北偏东、北偏西、南偏东等方向描述；②解题关键：根据方位画出正北、正南辅助线，把方向角转化为三角形内角；③常出现多三角形嵌套，需要多次作垂线构造多个直角三角形；④会结合航行时间求航行速度；⑤综合性强，偶尔结合全等、勾股定理，计算量大。 考点 03 坡度、坡比问题 2026 年：巴中、凉山、达州 2025 年：资阳（解答）2024 年：巴中、眉山、广安 大多嵌入解答大题，少数以填空题出现。①核心概念：坡度\(i=\text{竖直高度}:\text{水平宽度}\)，区分坡度与坡角；②题型：斜坡上测物体高度，分段累加竖直高度；③易错点：斜坡的斜边长度≠水平或者竖直边长，必须通过勾股、三角函数换算；④常和仰角俯角混合在同一道大题，一个题目同时考察坡度 + 仰角。 考点 04 其他综合实际问题 2026：广元 2025：泸州 2024：资阳、宜宾 新情境创新题型，以解答题形式出现。①结合地方民俗、体育活动为背景，题干文字量大，信息多；②需要从长文本、表格中提取角度、边长条件；③融合行程、速度计算，把解直角三角形和实际生活问题结合；④对阅读理解能力要求高，模型本质仍是解直角三角形。 考点01 仰角俯角问题 1．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 3．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 4．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 5．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 6．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 7．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 8．（2026·四川遂宁·中考真题）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为． 测量示意图 参考数据 ，，，，，． 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米） 9．（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为，最大俯角为，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：） 10．（2026·四川自贡·中考真题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量． (1)小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）． (2)小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，） (3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）． 11．（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    12．（2025·四川巴中·中考真题）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 13．（2025·四川广元·中考真题）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，    14．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 15．（2025·四川广安·中考真题）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 16．（2025·四川内江·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）． 17．（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在A处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 18．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 19．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 20．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下． (1)制作工具 如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数． 测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：． (2)获取数据 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． 如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________， ___________， ___________（结果保留小数点后两位）． (3)计算塔高 请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）． (4)反思改进 小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）． 21．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 22．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 23．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 24．（2024·四川凉山·中考真题）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）    25．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 26．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）    考点02 方位角问题 1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 3．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 考点03 坡度坡比问题 1．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 3．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 5．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米． 7．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，）    考点04 其他问题 1．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 2．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 3．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是________m．（结果精确到，参考依据：，，） 4．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 5．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 6．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 7．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）      8．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 1．（2026·四川成都·模拟预测）《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验．书中介绍在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车．拔车又称手摇龙骨水车或者手摇翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图1，其模型如图2所示，已知人身高，支撑杆高，人抬车的时候夹角一般为，求拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段的长度．（结果精确到0.01，参考数据：，，） 2．（2026·四川自贡·模拟预测）飞机客梯车是供旅客上下飞机的机场专用设备，由汽车底盘，转动梯和升降梯构架等组成（如图1）．如图2是该客梯车的简化示意图，其中，，，，矩形为汽车底盘，，，为水平面上两点，求机舱门下沿距离地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 3．（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 4．（2026·四川成都·模拟预测）成都近年推出了多个夜景灯光秀，深受市民喜爱，位于天府大道的金融城双子塔灯光秀便是其中的代表．小莉想利用所学的数学知识，测金融城双子塔的高度．如图，她先在处用高度为米的测角仪测得双子塔上一点的仰角为，接着她沿着方向前进50米到达处测得双子塔顶的仰角为．已知米，求双子塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：） 5．（2026·四川广元·三模）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行海里至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向． (1)求的度数； (2)若该船从C港直接返回A港，航速为20海里/小时，求返回大约所需的航行时间．（参考数据： ，，结果精确到小时） 6．（2026·四川成都·三模）在年月举办的第届冬季奥林匹克运动会上，中国代表团获枚奖牌，为境外参赛最好成绩．如图1，图2分别是某滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且，，三点共线，若雪杖长为，，，，求此刻运动员头部到斜坡的距离．（精确到，参考数据：，，） 7．（2026·四川成都·三模）如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处． (1)求的度数； (2)求C，E之间的距离． （参考数据：，，，） 8．（2026·四川成都·模拟预测）如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 9．（2026·四川广元·三模）剑阁柏位于四川省剑阁县，象征坚韧不拔的精神．杨洋同学想测量其高度，如图：在地面点C处放一平面镜，他站在点E处，眼睛在D处时，恰好在镜中看到树顶A的像；然后他后退到点G处，用测角仪测得树顶A的仰角．已知：米（眼高），米，米，测角仪高米．B、C、E、G在同一水平线上，，，．所有点在同一平面内．求剑阁柏的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 10．（2026·贵州黔南·一模）如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． (1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，； (2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 11．（2026·江苏连云港·二模）为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口A所在平面设置了B，C，D三个灯塔．如图，灯塔B位于A北偏西，灯塔C位于A北偏东，灯塔D在A正北方向20海里处，且灯塔B在D南偏西方向，灯塔C在D南偏东方向． (1)求A、B两个灯塔的距离； (2)甲、乙两艘巡逻艇分别从A、C同时出发沿、往D进行匀速巡逻，行驶过程中甲巡逻艇的速度与乙巡逻艇的速度之比为，当两艘巡逻艇的距离为15海里时，船员可以相互交流巡逻情况，请问甲巡逻艇离开港口A多少海里时，两艘巡逻艇可以开始交流巡逻情况？（结果保留根号．） 12．（2026·浙江嘉兴·二模）生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，． (1)求点到的距离． (2)求的长． （，，，结果精确到0.1） 13．（2026·陕西咸阳·二模）小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度，他俩在小明家的阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为，大楼底部点的俯角为，然后他俩来到小华家，在阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为 ．已知小明与小华家所在楼层高度差为10 米，求大楼的高度．（参考数据：，，，） 14．（2026·四川成都·一模）2024年9月11日，我国自主研发的朱雀三号可重复使用垂直起降回收试验箭，在酒泉卫星发射中心完成10公里级垂直起降返回飞行试验，标志着我国商业航天在可重复使用运载火箭技术上取得突破．某校综合实践小组制作了一个火箭垂直起降模拟装置．如图，在一次试验中，已知该模拟装置在下降阶段从点A匀速垂直下降到点B，再缓速垂直下降到着陆点C，在点A测得地面点D的俯角为，在点B测得地面点D的俯角为，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点A下降到点B的时间为2秒，求该模拟装置从点A下降到点B的速度．（结果精确到米/秒；参考数据：，，，，，） 15．（2026·四川资阳·模拟预测）安岳“柠都生态公园”是一座以“柠檬文化”为主题，集生态、休闲、运动、文化于一体的现代化开放式城市生态公园．周末，小红、小明、小东相约去此公园锻炼．如图，，，分别是小红、小明、小东家的位置，点是公园的位置，已知位于的北偏西方向处、位于的北偏西方向，且在的正西方向． (1)求，两地的距离； (2)测得位于的北偏西方向，位于的北偏东方向．小红已提前到达公园，小东步行从家出发沿方向匀速前往公园，同时小明骑自行车从家出发沿方向匀速前往公园，若小东步行速度与小明骑自行车速度比为，请通过计算判断小东和小明谁先到达公园？（注：，图中所有点均在同一平面内） 16．（2026·四川资阳·三模）如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点，再在河的这边沿河取两点、，使得，，量得的长为． (1)求河的宽度(结果保留根号)． (2)请再设计两种测量河的宽度的方案，简要说明，并计算出结果． 17．（2026·四川广元·二模）如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为，坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为，所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：， ， ，， ， ，） 18．（2026·四川广元·二模）如图，在某机场的地面雷达观测站O处，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为   已知AB为 千米，(A、B、C、O、M、N在同一平面内)． (1)求O、B两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟？ 结果精确到0.01) 19．（2026·四川成都·二模）如图1是成都金融城双子塔，因其高度、创意造型和绚丽的夜景灯光，被誉为“成都最美天际线”之一．某数学实践小组测量其中一座塔（南塔）的高度，如图2，在塔的正前方广场上选取一点，测得塔顶的仰角为，然后沿着直线向塔的方向行走68米到达点，再次测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.7米，求双子塔（南塔）的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 20．（2026·四川成都·二模）校园文化广场的水池中有一座假山．九年级”数学实践社团”的同学们想利用所学知识，测量假山的高度．他们向学校科教中心借用了一架无人机，如图，先在地面上作了一个标记点A，然后将无人机放到假山所要测量高度的顶部B处，测得标记点A的俯角为，接着又将无人机竖直向上飞升2米到达C处，测得标记点A的俯角为，假山所要测量高度的底部记为点D，且点D，B，C在同一条直线上．求假山的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解直角三角形及应用 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 仰角、俯角问题 2026 年：巴中、甘孜、宜宾、内江、眉山、凉山、广安、遂宁、成都、自贡（10 地，解答大题为主） 2025 年：全省卷、巴中、广元、资阳、广安、内江、遂宁、成都、达州、自贡（10 地，含选择、解答） 2024 年：巴中、雅安、凉山、德阳、达州 四川中考高频必考解答题型，分值 810 分。①命题情境丰富：测量塔、楼房、桥梁、雕像，无人机测高、实践探究活动；②经典模型：两次测角（前进一段距离，两次仰角），设未知数，利用正切列方程求解；③常结合测角仪高度，不能忽略仪器高度；④部分题目融合相似三角形对比测量方案，分析测量误差；⑤参考数据全部题干给出，计算结果要求保留整数、保留根号或精确到小数点后；⑥少数题目结合圆的垂径定理综合考查。考点 02 方位角（方向角）问题2026 年：泸州（解答）2025 年：无单独命题2024 年：资阳、省卷、泸州、宜宾（4 地，解答大题）以解答大题为主，难度中档偏上。①载体：海上渔船、海轮航行、海岸观测，结合北偏东、北偏西、南偏东等方向描述；②解题关键：根据方位画出正北、正南辅助线，把方向角转化为三角形内角；③常出现多三角形嵌套，需要多次作垂线构造多个直角三角形；④会结合航行时间求航行速度；⑤综合性强，偶尔结合全等、勾股定理，计算量大。 考点 02 方位角问题 2026 年：泸州（解答）2024 年：资阳、省卷、泸州、宜宾 以解答大题为主，难度中档偏上。①载体：海上渔船、海轮航行、海岸观测，结合北偏东、北偏西、南偏东等方向描述；②解题关键：根据方位画出正北、正南辅助线，把方向角转化为三角形内角；③常出现多三角形嵌套，需要多次作垂线构造多个直角三角形；④会结合航行时间求航行速度；⑤综合性强，偶尔结合全等、勾股定理，计算量大。 考点 03 坡度、坡比问题 2026 年：巴中、凉山、达州 2025 年：资阳（解答）2024 年：巴中、眉山、广安 大多嵌入解答大题，少数以填空题出现。①核心概念：坡度\(i=\text{竖直高度}:\text{水平宽度}\)，区分坡度与坡角；②题型：斜坡上测物体高度，分段累加竖直高度；③易错点：斜坡的斜边长度≠水平或者竖直边长，必须通过勾股、三角函数换算；④常和仰角俯角混合在同一道大题，一个题目同时考察坡度 + 仰角。 考点 04 其他综合实际问题 2026：广元 2025：泸州 2024：资阳、宜宾 新情境创新题型，以解答题形式出现。①结合地方民俗、体育活动为背景，题干文字量大，信息多；②需要从长文本、表格中提取角度、边长条件；③融合行程、速度计算，把解直角三角形和实际生活问题结合；④对阅读理解能力要求高，模型本质仍是解直角三角形。 考点01 仰角俯角问题 1．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 4．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 5．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 【答案】桥的长度约为米 【分析】过点作于点M，过点B作于点，则米，，然后分别解，求出，再由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，， 由题意得， 在中，，即 ∴（米）， 在中，，即 ∴（米） ∵米， ∴（米） 答：桥的长度约为米． 6．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意得，米，，，然后根据求解即可； （2）作于点Q，则四边形是矩形，根据斜面的坡度，求出米即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 7．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出，，进而列方程求解即可． 【详解】解：已知，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 因此，此建筑的高约为． 8．（2026·四川遂宁·中考真题）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案： 实物图 测量工具 无人机 测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为． 测量示意图 参考数据 ，，，，，． 请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．（精确到1米） 【答案】 【分析】过点作，构造矩形证，，设塔高为，然后表示出，再根据两个仰角的正切值表示出并列方程，求解得到塔高． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意可知，，，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 解得， 答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为86米． 9．（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为，最大俯角为，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：） 【答案】此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米 【分析】过点A作于点C，根据题意可知：四边形是矩形，米，根据三角函数求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点C， 根据题意可知：四边形是矩形， 米， 在中，， ∴， 在中，， 米， ∴米， 答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米． 10．（2026·四川自贡·中考真题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量． (1)小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）． (2)小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，） (3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）． 【答案】(1)， 和 ， (2) m (3)不一致． 原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致． 【分析】（1）由题意，，和，利用两次相似对应边成比例，列方程，解得，代入求，进而求树高． （2）在中，得等腰直角三角形，故，在中，利用，代入解得，进而求出树高． （3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， 图中两组相似三角形是 和 ， 由题意可得，，，，，则． 第一次测量：， ，即， 第二次测量：， ，即， ，解得， ，解得， 此树的高度为． （2）解：由题意可得，，，，， 在中，， 为等腰直角三角形，, ， 在中，，即， ， ，解得， 此树的高度为． （3）略． 11．（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，，，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 12．（2025·四川巴中·中考真题）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． (1)求点B到的距离； (2)求高压电塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)20m (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作于点，解直角三角形即可解答； （2）求得，进行角度计算得到，则可求得，再解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于点， ， ； （2）解：由（1）得： ， ， ， ， ，， ． 13．（2025·四川广元·中考真题）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，    【答案】大约是3米 【分析】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用（仰角问题），解题的关键是根据仰角的定义构造直角三角形，利用正切函数的定义求出相关竖直距离，进而计算五角星的高度． 确定点C到塔底的水平距离为米；分别在含和的直角三角形中，利用正切函数求出最高点A和最低点B到水平线上点D的竖直距离；计算两个竖直距离的差值，得到五角星的高度． 【详解】解：如图，设射线与相交于点．由题意可知， ，米，    ∴四边形为矩形，故米（水平距离）． 在中，， ， 米． 在中，， 米． ∵点在同一直线上， ∴米，保留整数得米． 答：五角星高度大约是3米． 14．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 15．（2025·四川广安·中考真题）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 16．（2025·四川内江·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解；设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：桥塔的高度为． 17．（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在A处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形都是矩形，则，，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，解得，即可作答． 【详解】解：延长交于，则有， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形都是矩形， ∴，， 设， ∴， 在中，， 即， ∴， 整理得， 在中，， 即， ∴ 整理得， ∴， 解得， 则． 18．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 19．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 【答案】无人机离湖面的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点作于点，设，根据题意得出，，在中，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意 设， 在中， ∴， ∵ ∴， 在中， ∴ 解得： 答：无人机离湖面的高度为米 20．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下． (1)制作工具 如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数． 测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：． (2)获取数据 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． 如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________， ___________， ___________（结果保留小数点后两位）． (3)计算塔高 请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）． (4)反思改进 小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)，， (3)50米 (4)解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可； （2）根据正切的定义计算即可得解； （3）延长交于，延长交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得米，，，，设米，则米，解直角三角形得出，求出米，米，再解直角三角形得出米，即可得解； （4）结合题意提出合理的建议即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，，，， ∴； ∵，，，， ∴，， ∵在中，，，，， ∴； ∵，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴； （3）解：如图，延长交于，延长交于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意可得：米，，，， 设米，则米， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∵， ∴米， ∴米， 即该塔高度为米； （4）略 21．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则. 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于H，则， 由题意得，， ∴，， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于T，则， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴； 答：建筑物的高度为 22．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 23．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 24．（2024·四川凉山·中考真题）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）    【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：塔高为． 25．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 26．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）    【答案】中轴上的长度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，    依题意，四边形是矩形， ∴， ∴ 米 答：中轴上的长度为米． 考点02 方位角问题 1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1)该轮船的航行速度为 (2)点，间的距离为. 【分析】（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （2）作于点，设，则，分别解和，即可. 【详解】（1）解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 作于点， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； （2）解：作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. 2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    3．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】长江口的宽度为米. 【分析】如图，过作于，过作于，过作于，而，可得四边形，都是矩形，由题意可得：，，证明，可得，设，，再利用三角函数建立方程组求解即可. 【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而， ∴四边形，都是矩形， ∴，，，， ∵由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴，即， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴长江口的宽度为米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 考点03 坡度坡比问题 1．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意得，米，，，然后根据求解即可； （2）作于点Q，则四边形是矩形，根据斜面的坡度，求出米即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 3．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【分析】通过构造直角三角形，分别求出、，利用分段垂直高度累加法，由即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于，交于点． 由题意可得：， ∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 5．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米． 【答案】/ 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为：． 7．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，）    【答案】32m 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作于点，作于点    由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 考点04 其他问题 1．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 2．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 3．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是________m．（结果精确到，参考依据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点作，解，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴； 故人字梯顶端离地面的高度是； 故答案为：． 4．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)直吊臂的长为10米 (2)上升了5米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； （2）解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 5．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【详解】（1）∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 6．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 (2)能， 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． （2）能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 7．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）      【答案】9.2尺 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺． ∴，即， ∵， ∴，即， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为． 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解． 【详解】解：由已知，， 在图1中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 在图2中，过点作于点， ∴ ∵灯柱高， 点到桌面的距离为 答：此时台灯最高点到桌面的距离为． 1．（2026·四川成都·模拟预测）《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验．书中介绍在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车．拔车又称手摇龙骨水车或者手摇翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图1，其模型如图2所示，已知人身高，支撑杆高，人抬车的时候夹角一般为，求拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段的长度．（结果精确到0.01，参考数据：，，） 【答案】 【分析】设，根据题意结合可求解的长度，由此可表示的长度，再由相似三角形的性质，即边长成比例求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ∵，，， 在中，， 设，则， ∵，， 即， ∴， ∴， ∴，即， 则有，解得， 答：拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段的长度为． 2．（2026·四川自贡·模拟预测）飞机客梯车是供旅客上下飞机的机场专用设备，由汽车底盘，转动梯和升降梯构架等组成（如图1）．如图2是该客梯车的简化示意图，其中，，，，矩形为汽车底盘，，，为水平面上两点，求机舱门下沿距离地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】机舱门下沿距离地面的高度约为 【分析】过点作于点，延长交于点，过点作于点，延长交于点，分别解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，延长交于点， 依题意，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∴． 答：机舱门下沿距离地面的高度约为． 3．（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． 4．（2026·四川成都·模拟预测）成都近年推出了多个夜景灯光秀，深受市民喜爱，位于天府大道的金融城双子塔灯光秀便是其中的代表．小莉想利用所学的数学知识，测金融城双子塔的高度．如图，她先在处用高度为米的测角仪测得双子塔上一点的仰角为，接着她沿着方向前进50米到达处测得双子塔顶的仰角为．已知米，求双子塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：） 【答案】218米 【分析】连接，并延长交于点F，设，利用正切表示出、的长度，再由列方程求出的值，即可解答． 【详解】解：连接，并延长交于点F， 由题意可得，，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设，则，， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即双子塔的高度约为218米． 5．（2026·四川广元·三模）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行海里至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向． (1)求的度数； (2)若该船从C港直接返回A港，航速为20海里/小时，求返回大约所需的航行时间．（参考数据： ，，结果精确到小时） 【答案】(1) (2)从C港直接返回A港，大约需航行小时 【分析】（1）过点C向正南作垂线得， 记A、B两处南北方向直线为，根据平行线的性质结合图形即可求解； （2）过点 B作于 E，利用正切函数结合图形求解即可 【详解】（1）解： 过点C向正南作垂线得， 记A、B两处南北方向直线为．C港在A港北偏东方向，在 B港北偏西方向， 根据题意得：， ； （2）解：如图， 过点 B作于 E， 由题意得， 海里， ∴， 在 中， ， ∴是等腰直角三角形， 海里， 在 中， ， 海里， 海里， 小时 答：从C港直接返回A港，大约需航行小时． 6．（2026·四川成都·三模）在年月举办的第届冬季奥林匹克运动会上，中国代表团获枚奖牌，为境外参赛最好成绩．如图1，图2分别是某滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且，，三点共线，若雪杖长为，，，，求此刻运动员头部到斜坡的距离．（精确到，参考数据：，，） 【答案】此刻运动员头部到斜坡的距离约为 【分析】连接，可知，在中，解直角三角形求出的长，在中，根据含度角直角三角形的性质求出的长，即可求出头部到斜坡的高度． 【详解】解：如图，连接， ，，且，，三点共线， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 运动员头部到斜坡的距离为． 7．（2026·四川成都·三模）如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处． (1)求的度数； (2)求C，E之间的距离． （参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)C，E之间的距离为海里． 【分析】（1）作于点，作于点，得到四边形是矩形，根据方向角求解即可； （2）在中，解直角三角形求得海里，在中，解直角三角形求得海里，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：作于点，作于点， 则四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴； （2）解：在中，海里，， ∴海里，海里， ∴海里， 在中，海里，， ∴海里， ∴海里， 答：C，E之间的距离为海里． 8．（2026·四川成都·模拟预测）如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】升降台能达到要求，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴总高度为 ∵， ∴升降台能达到要求． 【分析】过点作于点，由题意可得，，，求出，解直角三角形得出的长，即可得出结果． 【详解】略． 9．（2026·四川广元·三模）剑阁柏位于四川省剑阁县，象征坚韧不拔的精神．杨洋同学想测量其高度，如图：在地面点C处放一平面镜，他站在点E处，眼睛在D处时，恰好在镜中看到树顶A的像；然后他后退到点G处，用测角仪测得树顶A的仰角．已知：米（眼高），米，米，测角仪高米．B、C、E、G在同一水平线上，，，．所有点在同一平面内．求剑阁柏的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】剑阁柏的高度为27米 【分析】如图，延长交于点M，则，证明四边形为矩形，得到米，，证明，得到，得到，然后解直角三角形求出米，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点M，则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得米， ∴米， ∴剑阁柏的高度为27米． 10．（2026·贵州黔南·一模）如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． (1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，； (2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，即可知是等腰直角三角形，因此，再利用正切函数的定义，即可求的大小； （2）根据题目可知，将（1）中、的大小代入，即可解答出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 所以是等腰直角三角形，因此， 在中，，， 根据正切函数的定义，即， ， 综上：；； （2）解：由题意可知，将，代入得： 通分得到：， 化简得：， 解得， 答：观景台的高度约为． 11．（2026·江苏连云港·二模）为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口A所在平面设置了B，C，D三个灯塔．如图，灯塔B位于A北偏西，灯塔C位于A北偏东，灯塔D在A正北方向20海里处，且灯塔B在D南偏西方向，灯塔C在D南偏东方向． (1)求A、B两个灯塔的距离； (2)甲、乙两艘巡逻艇分别从A、C同时出发沿、往D进行匀速巡逻，行驶过程中甲巡逻艇的速度与乙巡逻艇的速度之比为，当两艘巡逻艇的距离为15海里时，船员可以相互交流巡逻情况，请问甲巡逻艇离开港口A多少海里时，两艘巡逻艇可以开始交流巡逻情况？（结果保留根号．） 【答案】(1)、两个灯塔的距离海里 (2)甲船离开港口为海里时，两艘船可以开始交流情况 【分析】（1）过点作，垂足为点，易证明四边形是矩形，则，在中，，在中，，，据此求解即可； （2）设甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流情况，过点作于点，则海里，根据甲船的速度与乙船速度之比为，设，，则海里，海里，在中，，，在中，利用勾股定理列方程，求出x的值，从而求出的值． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点， ， ∵在中，，， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，，海里， （海里）， 在中，，海里， （海里）， 答：、两个灯塔的距离海里； （2）解：设甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流情况， 如图，过点作于点，则海里， ， ∵甲船的速度与乙船速度之比为， ∴设，， 海里，海里， 在中，， 海里， （海里）， （海里）， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴（海里）， 答：甲船离开港口为海里时，两艘船可以开始交流情况． 12．（2026·浙江嘉兴·二模）生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，． (1)求点到的距离． (2)求的长． （，，，结果精确到0.1） 【答案】(1)点到的距离米 (2)的长米 【分析】（1）过点作，然后根据三角函数进行求解即可； （2）由（1）可知：米，进而根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 在中，，米， ∴（米）； 答：点到的距离米． （2）解：由（1）可知：米， 在中，， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴米； 答：的长米． 13．（2026·陕西咸阳·二模）小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度，他俩在小明家的阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为，大楼底部点的俯角为，然后他俩来到小华家，在阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为 ．已知小明与小华家所在楼层高度差为10 米，求大楼的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】设河宽（水平距离）为未知数，分别在两个直角三角形中，利用仰角、俯角的三角函数表示对应高度，再根据楼层高度差建立方程求解，最终求出大楼总高度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ，米， 在中，，， 设米， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 由此列方程： ， 解得：， （米）． 14．（2026·四川成都·一模）2024年9月11日，我国自主研发的朱雀三号可重复使用垂直起降回收试验箭，在酒泉卫星发射中心完成10公里级垂直起降返回飞行试验，标志着我国商业航天在可重复使用运载火箭技术上取得突破．某校综合实践小组制作了一个火箭垂直起降模拟装置．如图，在一次试验中，已知该模拟装置在下降阶段从点A匀速垂直下降到点B，再缓速垂直下降到着陆点C，在点A测得地面点D的俯角为，在点B测得地面点D的俯角为，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点A下降到点B的时间为2秒，求该模拟装置从点A下降到点B的速度．（结果精确到米/秒；参考数据：，，，，，） 【答案】(1)的长为8米 (2)模拟装置从点A下降到点B的速度为米/秒 【分析】（1）根据题意，结合图形，在中，求出的长，即可得到的长； （2）在中求出，在中求出的长，从而得到的长，即可得到的长，结合从点A下降到点B的时间为2秒，得到速度． 【详解】（1）解：如图，过D点作，过A作于F点，过B作于G点， ∵， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， 根据题意，，， ∵米， ∴在中，（米）， ∴米， 答：的长为8米； （2）解：由（1）知米， ∵四边形是矩形， ∴米，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∵从点A下降到点B的时间为2秒， ∴从点A下降到点B的速度为（米/秒）， 答：模拟装置从点A下降到点B的速度为米/秒． 15．（2026·四川资阳·模拟预测）安岳“柠都生态公园”是一座以“柠檬文化”为主题，集生态、休闲、运动、文化于一体的现代化开放式城市生态公园．周末，小红、小明、小东相约去此公园锻炼．如图，，，分别是小红、小明、小东家的位置，点是公园的位置，已知位于的北偏西方向处、位于的北偏西方向，且在的正西方向． (1)求，两地的距离； (2)测得位于的北偏西方向，位于的北偏东方向．小红已提前到达公园，小东步行从家出发沿方向匀速前往公园，同时小明骑自行车从家出发沿方向匀速前往公园，若小东步行速度与小明骑自行车速度比为，请通过计算判断小东和小明谁先到达公园？（注：，图中所有点均在同一平面内） 【答案】(1) (2)小东先到达公园 【分析】（1）由题意可得，位于的北偏西，位于的北偏西方向，求出，再根据，即可得到答案； （2）过点作，延长，过点作，根据，解得，分别求出时间进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，位于的北偏西，位于的北偏西方向， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，延长，过点作， 由题意位于的北偏西方向，位于的北偏东方向， 可得，，， ， ， ， ， ， ， 解得， 小东步行速度与小明骑自行车速度比为， 设小东步行的速度为，小明骑自行车的速度为， 小东的时间为：，小明的时间为 ， 故小东先到达公园． 16．（2026·四川资阳·三模）如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点，再在河的这边沿河取两点、，使得，，量得的长为． (1)求河的宽度(结果保留根号)． (2)请再设计两种测量河的宽度的方案，简要说明，并计算出结果． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图，过作于，设，通过锐角三角函数可知：，；根据的长为即可建立方程，解之即可求出河宽． （2）方案1，利用相似三角形的性质求解；方案2，构造等腰直角三角形求解． 【详解】（1）解：过点作于， 设 ， ， ， ， ， ，且， ， 解得，， 答：则河的宽度为． （2）方案1，如图， 在河对岸找一点，在河边找到一点，满足与河岸边垂直， 画一垂直于河岸的线段，使， 找到与的交点，则，有， ， 测出，，，即可求得河的宽度． 若测量得出，则河宽为：． 方案2，如图， 1.在河的一侧岸边选定一点，使得垂直于河岸（为对岸目标点） 2.在岸边沿着垂直于的方向量取一段距离到达点 3.调整点的位置，使得在点处观测点的视线与岸边的夹角，则是等腰直角三角形， 4.测量线段的长度，即可求得河的宽度， 若测量得出，则河宽为：． 17．（2026·四川广元·二模）如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为，坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为，所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：， ， ，， ， ，） 【答案】的高度约为121米 【分析】过作于，过作于，先证明四边形，是矩形，由坡度的定义求出、的长，得的长，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过作于，过作于，由题意可知，，米，米，米， 如图所示： ∴四边形，是矩形， ∴，，米，，， ∵当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为， ∴，， ∵， ， 斜坡的坡度为，米， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， 米，米， 米， （米）， 在中，， （米）， 米， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， 即的高度约为121米． 18．（2026·四川广元·二模）如图，在某机场的地面雷达观测站O处，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为   已知AB为 千米，(A、B、C、O、M、N在同一平面内)． (1)求O、B两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟？ 结果精确到0.01) 【答案】(1)24千米 (2)2.45 【分析】（1）由题意知飞机从A到B沿水平线飞行，故A、B两点高度相同．设此高度为h，利用仰角的正切值分别表示A、B两点到观测站O的水平距离，根据长度建立关于的方程，求出后再利用三角函数求． （2）由题意知B、C两点的仰角均为，且飞机从B到C沿与水平线成角的方向爬升，结合图形可知B、C两点分别位于O点两侧．利用三角函数建立方程求出C点高度，再用勾股定理求长度，最后根据速度公式求飞行时间． 【详解】（1）解：分别过点A，B作 于点D，于点E， 设， 在点A处观测飞机的仰角为， ， 在点B处观测飞机的仰角为， ， 飞机沿水平线方向从A飞行到B， ， ∴ ， （2）解：延长交于点M，过点B作于点M， 由题意，B、C两点的仰角均为，且BC与水平线成角， ∴， ，， ∴ 在中， ， 在中， ， 飞机从点B飞行到点 C所用的时间是： 分钟 19．（2026·四川成都·二模）如图1是成都金融城双子塔，因其高度、创意造型和绚丽的夜景灯光，被誉为“成都最美天际线”之一．某数学实践小组测量其中一座塔（南塔）的高度，如图2，在塔的正前方广场上选取一点，测得塔顶的仰角为，然后沿着直线向塔的方向行走68米到达点，再次测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.7米，求双子塔（南塔）的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】连接并延长，交于点，由题意知于点，于点，于点，则四边形、、是矩形．由矩形的性质可得米，米．设米，则米，再解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 由题意知于点，于点，于点， 四边形、、是矩形． 米，米． 设米， 米． 在中，，， ，即， ． 在中，，， ，即， ， ， ， （米）， （米）， 双子塔（南塔）的高度约为． 20．（2026·四川成都·二模）校园文化广场的水池中有一座假山．九年级”数学实践社团”的同学们想利用所学知识，测量假山的高度．他们向学校科教中心借用了一架无人机，如图，先在地面上作了一个标记点A，然后将无人机放到假山所要测量高度的顶部B处，测得标记点A的俯角为，接着又将无人机竖直向上飞升2米到达C处，测得标记点A的俯角为，假山所要测量高度的底部记为点D，且点D，B，C在同一条直线上．求假山的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】米 【分析】在中，根据，得出，设米，则米，在中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，，，米， 在中，， 即， ∴， ∴， 设米，则米， 在中，， 即， ∴， 解得：， 即假山的高度为米． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12解直角三角形及应用 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01仰角俯角问题 1.(1)解：由题意得：PN=15m, tan∠Mcw= 3.PM LAM .∠MCN=30°， .WC=12m, .MW=WC·sin30°=6m. .PM PN+MN =21m: 答：无人机距河面的高度PM的长为2lm (2)解：由题意得：∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°】 由(1)可知：PM=21m. 在RtaPMB中，BM PM 21 tan52.4°1.30 ≈16.2m. tApM4中，AM三aM0n≈2123 tan42.3°≈0.91 .AB=AM-BM=6.9≈7m; 答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m. 。解：在A4Bp中，BF=48-sin53P≈400x等320（米） 在RtABCE中， CE-BC.sin45600x ≈600×0.707=424 2 (米) 由题意可知，四边形DEBF为矩形， .DE=BF=320米， 1/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD=CE+ED=744(米) 答：山高CD为744米， 3,（)解：如图3，在RtaDFC中，tan∠DFC=am50.3°-DC FC 1.20 .DC≈20×1.20=24米， 在RtaEFC中，tan∠EFC=tan58e=EC、I.60. FC .EC≈20×1.60=32米， .DE=EC-DC=32-24=8(米)， 答：DE的长为8米： (2)解：如图2，设M 的圆心为，连接 NO,CO M B ,圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米， :MW=(25-1)x4=96 ， ,点D是MN的中点， :.DN=MN=48米，OD⊥MN, 设©0的半径为”米，则0 D=0E-DE=(-8)米， 在RtAODN中，OD2+DN2=ON2, （-8+482=r2 2/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得r=148, 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米. 4.解：设AB=m, :AB⊥BC, .∠B=90°： 在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60°， BD=- AB tan∠ADB tan60°3 -x(m) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， BC=_ AB an∠4CBtan45o=x(m): .CD=BC-BD=12m, : 3t=12 解得=18+6V5 :AB=(8+6N3)m 答：孔子雕像的高度AB为(18+6√5)m 5.解：过点A作AM⊥CD于点M,过点B作BN⊥CD于点N,则AM=BN=90米，AB=MN, M C60° 42D 阅览室A -- 篮球场 由题意得，∠C=60°，∠D=42° 在Rt△AMC中，an∠C= CM,即tan60°=90 CM :CM=9 =305(米)， 3/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RteBDN中，tan∠W=B DN,即an42°=90 DN DW≈90 0.9 =100(米) .CD=300米， :48==CD-CM-DN=300-305-100=200-305=148(米) 答：桥AB的长度约为148米. 6.(1)解：由题意得，AB=300米，∠ABM=∠ABN=90°，∠BAM=30°， :tan∠BAM=MB AB :MB=tam30°×300=100W5 (米)： (2)解：如图，作AQ⊥CN于点O,则四边形ABNg是矩形， 、A0=BN,N0=AB=300米， M A30 C8求平线 5 N ,斜面AW的坡度i=1:5, A0A0 1 Ng3005, .A0=60(米)， .BN=60米， :MW=BM+BN=(005+60)米. 7.解：已知，a=35°，B=50°，AB=9.8m, DC 在RtsACD中，tana= AC, 4/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷4C=DC≈DC-10 C tang 0.70 7 DC 在Rt△BCD中， tanβ= BC, ÷BC=DCDC-10 DC tanB1.19119 .AC=AB+BC, 9c=98+ 1190c .DC=16.66m .DE=DC+CE=16.66+1.6=18.26≈18(m) 因此，此建筑的高约为l8m。 8.解：如图，过点B作BE⊥CD, B1222 --E 37 D 根据题意可知，∠CBE=22°，∠CAD=37°，AB=40m, ·∠BED=∠EDA=∠BAD=90°， .四边形ABED为矩形， .ED=AB=40m,AD=BE, 设CD=m,则C CE=(x-40)m :在Rt△CBE中，∠CBE=22°， tan∠CBE=CE BE BE= CE -6E-ce-30-40. tan∠CBE0.42 在RtACAD中，∠CAD=37°， ,tan∠CAD=CD-CD AD BE' 5/53 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=AD=- CD ≈CD-4cD= n∠CAD0.753 3, 4 -40)X 解得x≈86m, 答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离CD的长为86米. 9.解：过点A作AC⊥MN于点C, M 门 Ca-304 52.43 根据题意可知：四边形ABNC是矩形， .CA=NB=0.9米， 在RtAMAC中，：∠MAC=30°， MC=AC.tn30 10, 在RtANAC中，∠NAC=52.43」 .NC=AC.tans52.43°≈0.9×1.300=1.170米， MN=MC+NC=3 +1.170≈1.69 10 米， 答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米. 10.(1)解：由题意可得，EH=ED-HD=ED-FG=2-0.8=1.2m, .·EH I AB,E'H'IAB ∴.图中两组相似三角形是△GHE∽aGBA和△G'H'E'∽△GBA, 由题意可得，EH=E'H'=1.2m,GH=FD=2m,G'H'=F'D'=3m,G'G=F'F=13m,则GB=GB+13 第一次测量：aGHE∽aGBA, EH_GH 1.22 ·ABGH,即ABGB, 第二次测量：△G'HE'∽aGBA, 6/53 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EW_GH 12 3 AB=GB,即ABGB+13, 23 .GBGB+13,解得GB=26, 1.2_2 AB26,解得AB=15.6 ∴.此树的高度为AB+BC=AB+FG=15.6+0.8=16.4m (2)解：由题意可得，FG=1.5m,∠AGB=26.7°，∠ADB=45°，GD=EF=16m, 在RtAABD中，∠ADB=45°， .△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=90°， :AB=BD, 在RtaABG中，tan∠AGB= AB BG,即an26.7=GD+BD: tan26.7°≈0.50， AB .16+AB ≈0.50，解得AB≈16 ∴.此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m (3)略. 11.解：由题意得AC=BE=1.5m,∠DCE=37°，CE=AB=20m,DE⊥CE, 在RiDCE中，am∠DCE=DE=075. CE .DE=20×0.75=15m. .BD=BE+DE=1.5+15=16.5m 答：树的高度为16.5米。 12.(1)解：如图，作BE⊥AD于点E, D A30 75 40mBC.'∠A=30° ∴.BE=sin30°×AB= ×AB=20m: 1 7/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE-cos30xB= ×40=20W3(m) (2)解：由(1)得： 2 ∠DBC=75°， ∴.∠ADB=∠DBC-∠A=75°-30°=45° .∠EDB=90°-45°=45° .DE BE 20m .AD=AE+DE=(20+20v3)m :∠C=90°，∠A=30°， ÷CD=sin30°×AD=4D=(10+10W3)m 21 13.解：如图，设射线CD与OA相交于点F,由题意可知， CDOE CD⊥CE,OE⊥CE,OE=15 米， r2.c 图② .四边形OECF为矩形，故CF=OE=15米（水平距离）. 在RtAACF中，∠ACF=∠ACD=74°， :tan∠AcF= CF, AF=CF.tan74°≈15×3.49=52.35米. 在Rt△BCF中，∠BCF=∠BCD=73°， 'tan∠BCF=BF CF BF=CF.tan73°≈15×3.27=49.05米. ,点AB在同一直线OA上， .AB=AF-BF≈52.35-49.05=3.3米，保留整数得AB≈3米. 8/53 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：五角星高度AB大约是3米 14.(1)解：过点B作BE⊥AM于点E,则∠AEB=90° i=1:3 A30° M E BE 1 :斜坡4B的坡度= AE 3 .AE =3BE, ,在Rt△ABE中，AE+BE2=AB2, 即(3BE}+BE2=(0io. .BE=10米， ∴.平台BN的高度是10米. (2)解：延长CD交AM于点F, i=1:3 B0室DN A30° M :CD⊥BN,BN∥AM, .CD⊥AM, .四边形BDFE是矩形， .DF=BE=10米，BD=EF, 设CD=x米，则CF=CD+DF=x+I0(米)， ,在Rt△ACF中，∠CAF=30°， .AF= CF -x+10=5(x+10)(米)， tan∠CAF tan.30° .在RtABCD中，∠CBD=60°， 9/53 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD= CD x V3 tan∠CBD tan60°3（米）， :=D= 3米， 由(1)有AE=3BE=3×10=30(米)， .AF =AE+EF, :V5(x+10)=30+5 解得*=15V5-15 :CD=153-15 (米)， 即建筑物的高度（即CD的长）为155-15)米. 15.解：由题意得：∠A0C=90°，∠AC0=30°，∠BC0=36.9°，AC=24 在RtAAOC中，∠AC0=30°，AC=24, A0=2AC=l2,0C=VaC2-402=24-12=125, 2 在Rt△BOC中，∠BC0=36.9°， ∴.B0=C0.tan∠BC0=C0.tan36.9°≈12V3×0.75=9√3 .AB=B0-A0=9N3-12≈9×1.73-12=3.57≈3.6(m) 答：无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m. 16.解；设AD=m, AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， 在RtAABD中，∠ABD=45°， .BD AD tan∠ABD tan45o=m, 在RtAACD中，∠ACD=30°， 10153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'CD= AD tan∠ACD tan30=v3xm .BC=BD+CD=80m, :x+V5x=80 解得*=40W5-40 ÷4D=(403-40)m 答：桥塔AD的高度为(40,5-40)m 17.解：延长DE交CF于H,则有EH⊥CF, D 2-----H A 分 F :∠EHF=∠EBA=∠BFC=90°， ∴.四边形EBFH是矩形， 同理得四边形DEBA,DAFH都是矩形， .'ED=AB=30m,HF=AD=1.6m, 设CH=m, ∴.DH=EH+ED=EH+30, 在R△CDH中，an∠CDH=CH DH 即tan37°= 30+EH· :(30+EH)x0.75=r 整理得EH=号r-30 4 3 11/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在R△CEH中，tan∠CEH=CH EH 即tan50°=r EH .1.19EH=r 整理得EH= 1.19 r4 1.193-30, 解得r≈60.85. CF=CH+HF=60.85+1.6≈62.5(m) 则 18.解：由题意，得：∠CAB=∠ACD=90,∠ABC=30°，CD=60米， 在RtAACD中，AC=CD.tan63.4°≈120米； 在R△ABC中，AB=S0=120W52076米 tan30° 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 19.解：如图，过点C作CD上AB于点D, 30° 45° A B D 依题意∠CAD=30°，∠CBD=45° 设CD=x, 在RtABCD中，∠CBD=45° .BD=CD tan456=x, AB=30 .AD=AB+BD=30+x, 12153 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtACD中，an∠CAD=CD AD 5_x ∴.3x+30 解得： x=15V3+15 答：无人机离湖面的高度为5,5+15)米 20.(1)略 (2)解：：在RtAVWY中，∠W=90°，∠YWW=5.1°，VW=10.0cm,YW=0.91cm, :tan5.1°=tan∠m=W-0,91≈0.o9】 M10 .∠XY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm,YW=0.91cm, .∠XVW=∠XWY+∠YWW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm, .在RtAVWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm,XW=1.61cm, 片tan9.1P=tan∠Xm=Xw-1,61≈0,16. VM 10 .YW=0.91cm,XY=0.70cm,ZX=0.94cm, .ZW ZX+XY+YW =2.55cm, ,在RtAVWZ中，∠W=90°，∠ZW=14.5°，W=10.0cm,ZW=2.55cm, .tanl4.5°=tan∠Zw=Z形_2.55 0.26. VM 10 (3)解：如图，延长DR交TU于F,延长PS交TU于E, R S 图3 则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°， 四边形DPEF为矩形， .DP=EF,DF=PE, 13153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DP=(25-15)×3=30 由题意可得： 米， ∠EPU=5.1°∠FDU=9.1°∠TDF=14.5° 设EU=x米，则 U=EF-E0=(30-米， :tan∠EPU E0-=tam5.1≈009.tan∠FDU=-30-=tan9,1≈0.16， PEPE DF DF .PE=_x 0.0g, DF= 30-x 0.16 30-x .0.160.09’ 解得：x=10.8, 六FU=30-108=19.2米，PE=DF=08 0.09 120米， .tan∠TDF= TF TE =tan14.5°≈0.26 DF120 .TF=31.2米， .TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米， 即该塔高度为50米： (4)略 21.(1)解：如图所示，过点C作CH⊥AD于H,则∠DHC=90°， 由题意得，∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90, .∠CDH=180°-∠DCH-∠DHC=60°，∠ADE=180°-∠AED-∠DAE=15°， .∠CDE=∠CDH-∠ADE=45°： D 30°C 75 30 B (2)解：如图所示，过点E作ET⊥CD于T,则∠ETD=∠ETC=90°， 14153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D T 30°1 C 75 30° d A E .∠DET=90°-∠EDT=45° .∠CET=180°-∠AED-∠DET-∠BEC=30°； BC 18 在RtaBCE中，CE=S =36m. sin∠BEC sin30° 在RtACTE中，CT=CE·sin∠CET=36·sin30°=l8m, ET=CE·cos∠CET=36·cos30°=18V3m DT=_ ET 185 =18V3m 在Rt△DET中， tan∠EDT tan45o :CD=D7+CT=18+185)m 在RADCH中，DH=CD.sin∠DCH-(8+l8sin30°=(9+95)m, ,CH⊥AD,AD⊥AB,BC⊥AB, .四边形ABCH是矩形， .'AH=BC=18m :D=AH+DH=(27+95)m. 答：建筑物AD的高度为 27+9W3)m 2。()解：：斜坡BE的坡度 =1:v3 AB 13 :.AE33, .tan∠BEA=BV5 AE 3, 15153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BEA=30°， .BE =6m, 4B-号E=3@, (2)解：作BF⊥CD于点F,则四边形ABFC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC, 设DF=xm, D B ----F 人60° A E C 在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF , .BF= DF tan∠DBF =m, 在Rt△ABE中，AE=VBE-AB=3V3 在Ri△DCE中，DC=DF+CF=(k+3)m,an∠DEC=DC EC, an6003(x+3) .BF=AE+EC. 36+6+3)= 3 :x=6W3+6 :.CD=6N5+6+3=x=6N5+9 答：电线塔CD的高度65+)m 23.解：设DC=x米， 16153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ACD中，∠A=30°， tanA=DC x3 C,即 an30°= AC 3, 整理得： AC=5r米 在RIABCD中，∠DBC=60° tan∠DBC=DC BC, 即tan60°=-V5 BC BC= -X 整理得： 3米， :AB=50米， :.AC-BC=50,g即Sx3 x=50 3 x=25V5 解得： 侧这栋楼的高度为 5v3 米. 故选：A 24.解：由题意可得，∠CBG=30°，∠CEG=60°，BE=AD=67m,AB=DE=FG=1.8m, 设CG=xm, 在R△CBG中，BG=CG =3x」 tan30°tan30 EG=-CG 在RtACEG中， tan60°tan60°3 .BG-EG=BE, :3、 3t=67 解得x≈58.03」 CF=CG+FG=58.03+1.8=59.83m, 答：塔高CF为59.83m. 17153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.解：如图，过A作AE⊥CD于E, 依题意，AB⊥BD,CD⊥BD ∴.四边形ABDE为矩形， ∴.AB=DE=I0,AE=BD, 4301p K609 D 设CE=x,而∠CAE=30°， .AF=_ CE =3x=BD tan30° .CD=x+10 .tan60° CD_x+10-5 BD3x 解得：x=5, 经检验x=5是原方程的解，且符合题意； CD=x+10=15(m) 故选B 26.解：如图，过点M作MN⊥AB于点N, A E 45V D M.J30° N 图1 图2 依题意，四边形MCBN是矩形，∠DMN=30°，∠AEF=45° DN=MN.tan 30-6x3=213 AF=EF.sin 45-4xv2=2 3 2 18153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DF=AF+DB-AB =22+2√3+1.5-6.3 =2×1.41+2×1.73+1.5-6.3 ≈1.5米 答：中轴上DF的长度为1.5米 考点02方位角问题 1.(1)解：由题意，得AB=AC=20,CE=60,∠BAC=90°+30°=120， .∠ABC=∠ACB=30°， :上午12点测得该轮船位于点C的北偏东30°方向上的E处， ∴.∠BCE=90°-∠ACB+30°=90° 作AF⊥BC于点F, 则BC=2BF, 在RtABF中.BF=AB-cos30=10V5 中， :8C=20v5 在RtECB中，由勾股定理，得BE=VBC+CE=40W5, 故该轮船的航行速度为40W5+(2-8)=103(umie/A) 10v3nmile/h 答：该轮船的航行速度为 E B 309 309 D (2)解：作DH⊥CE于点H, 19153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H ,点D到E的距离是D到C的距离的2倍， .设CD=2x,则DE=4x, 在RtACDH中，∠DCH=180°-30°-90°=60°， :CH=CD-cos60°=xDH=CD.sin60°=V5x ∴.EH=CE-CH=60-x, 在RtEHD中，由勾股定理，得DE2=EH+DH, .(4x=(V5x+(60-x, 解得=5下-5欧=-5而-5 舍去)： :DE=46513-5)=20v15-20 故点D,E间的距离为(20Vi3-20)mmie 2.(1)解：过点A作AE⊥BC于点E, ,灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向， .∠ACE=∠ABE=30°， ..AC=AB. :AE⊥BC, .'CE=BE, :AB=16 3海里， .BE=CE=AB c0s30=8(海里)， .BC=8×2=16(海里)， .B,C两处的距离为16海里. 20153 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 65 309 E 27 301 B (2)解：过点D作DF⊥BC于点F, 设CF=x海里， :∠DCF=65°， ∴.DF=CFtan65°=2.lx, 由(1)可知，BC=16海里， :BF=(16+)海里， .∠DBF=27°， DF=BF tan 27=0.5(16+x) 2.1x=0.5(16+x) 解得：x=5, ∴.BF=BC+CF=21海里，DF=CF tan65°=10.5海里， 根据勾股定理可得： BD=DF2+BF=215 2(海里)， 21518-75 ∴渔政船的航行时间为2 12(小时)， 7V5 答：渔政船的航行时间为12小时. 21153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F的 D 北 309 E 27 30 3.解：过P作PC⊥AB于C, 379 C 459 B 在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100海里， .PC=AP.sinA=100×sin37°≈100×0.6=60（海里）， AC=AP.cos37°=100×0.8=80（海里）， 在Rt△PBC中，∠B=45°， .BC=PC=60(海里)， .AB=AC+BC=80+60=140(海里)， 答：B处距离A处有140海里 4.解：作CE⊥AB于点E, 309 60 459 60 E B 由题意得∠CAE=90°-45°=45°，∠ECB=30°，∠ECD=60°， .△CAE是等腰直角三角形， ,AC=30 22153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E=CE=AC.c0s45=15 在RtABCE中， BC=CE =10W6 cos30 在△BCD中，∠CBD=30°+60°=90°，∠DCB=∠ECD-∠ECB=30°， 在RRCD中，CD=a3o。=20W2血mile) c0s30° 20v2n mile 答：C,D间的距离为 5.解：如图，过C作CH⊥AB于H,过A作AG⊥CD于G,过B作BK⊥CD于K,而AB∥CD, GK 北 》东 :.四边形AHCG,ABKG都是矩形， .GK=AB=IO0,CG=AH,CH=AG=BK,CH∥AG∥BK, ,由题意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°， .∠ACH=∠CAG=18.17°，∠BCH=∠CBK=21.34°， .∠AGC=∠BKD=90°， ∴.△AGC≌△BKD. ..CG=DK 设AH=x,CH=y, .AH_=an∠ACH=tan18.17°≈0.33，即x=0.33y CH y HB_x+100=tan∠BCH=tan21.34≈0.39，即x+100=0,.39y CH y .0.33y+100=0.39y, 23153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5000 ..J= 3 .x=0.33x5000 550 3 ∴.CG=DK=550. :CD=50x2+10=120(m） .长江口的宽度CD为1200米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合 适的辅助线是解本题的关键， 考点3坡度坡比问题 1.(1)解：由题意得：PN=15m, tam∠ucw= 3.PM L AM ∴.∠MCN=30°. .NC=12m, .MW=NC·sin30°=6m, ∴.PM=PW+MN=2lm: 答：无人机距河面的高度PM的长为2lm (2)解：由题意得：∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°， 由(1)可知：PM=2lm, 在RtPMB中，BM=PM 21 tan52.4°1.30 ≈16.2m. PM 21 在Rt△PMM中，AM am42.3o0.97*23.lm, .AB=AM-BM=6.9≈7m: 答：两艘皮划艇之间的距离AB的长为7m. 2.(1)解：由题意得，AB=300米，∠ABM=∠ABN=90°，∠BAM=30°， 'tan∠BAM=MB AB' MB=tan30°×300=100W3 (米)： 24153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图，作A⊥CN于点Q,则四边形ABN№是矩形， .A0=BN,N0=AB=300米， M A30° B C8求苹线 ,斜面AW的坡度i=1:5, A0A0 1 N03005? A0=60(米)， .BN=60米， :MW=BM+BN=(o05+60)米 3.解：过点B作BF⊥AD于F,过点C作CG⊥AD于G,交BE于点H. B A GD 由题意可得：AD∥BE, .CH⊥BE .四边形BFGH为矩形，故GH=BF, 在Rt△ABF中，AB=300米，∠BAF=42°， BF=300×sin42°≈300×0.67=201（米） .HG=201米. 在Rt△BCH中，BC=200米，∠CBE=30°， CG=200xsin30°=200×)-100（米） 2 小山高度CG=CH+HG=100+201=301(米). 25/53 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：这座小山的高度301米。 4.(1)解：过点B作BE⊥AM于点E,则∠AEB=90° B60D i=1:3 A30° M E BE 1 :斜坡4B的坡度= AE 3, .AE=3BE, ,在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2, 即(3BE}+BE2=(0io. .BE=10米， .平台BN的高度是10米. (2)解：延长CD交AM于点F, i=1:3 B0室DN A30° M :CD⊥BN,BN∥AM, .CD⊥AM, ∴四边形BDFE是矩形， .DF=BE=I0米，BD=EF, 设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10(米)， ,在Rt△ACF中，∠CAF=30°， .AF= CF =x+10=5(+10)(米)， tan∠CAF tan.30° :在RtABCD中，∠CBD=60°， 26153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD= CD x3 tan∠CBD tan60°3（米）， EF-BD= 3米， 由(1)有AE=3BE=3x×10=30(米)， .AF AE+EF, :V5(x+10)=30+5 解得*=15V5-15 :CD=153-15 (米)， 即建筑物的高度（即CD的长）为5√5-15)米。 5(1)解：：斜坡85的坡度=1：W5 AB 13 .AE53, :.an∠BEA=BV5 ΓAE3, .∠BEA=30°， .BE =6m, :.4B=BE=3(m) (2)解：作BF⊥CD于点F,则四边形ABFC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC, 设DF=m, 27153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B<145 --F 60° A E 在Rt△DBF中，am∠D8F=DE BF, :BF=、 DF tan∠DBF =xm 在Rt△MBE中，AE=VBE2-AB=35 在Rt△DCE中，DC=DF+CF=(x+3)m,am∠DEC=DC EC EC=x+3V3 an60°3(x+3) .BF=AE+EC, :36* 3(x+3)=x :x=6V3+6 :CD=65+6+3=x=6N5+9 答：电线塔CD的高度(65+9)m 6.解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H, A60 B E --------F 28153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则∠BEH=∠DCF, 在RtABEH中，tan∠BEH=tan∠BCF=i= BH 1 EH 2 设BH=x米，EH=2x米， ..BE=EH2+BH2=5x=10 x=25 BH=25 米， EH=4V5 米， :AEH=60°， :AH=am乙AEH:EH=5EH=45c米)， :AB=AH-BH-(45-25)(米)， 答：大树AB的高度为4w5-25)米 故答案为： (45-25) 7.解：过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点H 20° D 603 B CH E 由题意得：DC=20m,∠DCH=60° 在Rt△DCH中， .cos60°=CH CD sin60°= DH CD .CH=CD.cos60°=10m, DH=CDsin60°=10W3m≈17.3m ∠DFB=∠B=∠DHB=90°， 29153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形DFBH为矩形， ∴BH=FD,BF=DH, ·BH=BC+CH=(30+10)m=40m .FD=40m 在△AFD中 .AF D=tan20°， ∴.AF=FD.tan20°≈40×0.36=14.4m ∴.AB=AF+BF≈(17.3+14.4)m=31.7m≈32m 答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m 考点04其他问题 1.(1)解：由题意知：AB∥MN,PB⊥MN, .∠PAB=∠APM=65°，PB⊥AB, 因此△ABP是直角三角形，∠ABP=90°， tan∠PAB=PB AB, 即PB=AB.tan65°≈14×2.14=29.96≈30米： (2)解：凤舟20秒内航行的路程等于BC的长度， 由题意知：AB∥MN,PB⊥MN, .∠C=∠CPN=29°，PB⊥BC. ∴.△PBC是直角三角形，∠PBC=90°， tanC=PB C BC=_ PB29.96 n29°≈0.55 ≈54.47米 BC54.47 v=20≈20 ≈2.72米秒： (3)解：设凤舟10秒内航行的路程BD=x米，过D作DE⊥MN交MN于点E, 30153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A ⊙ D 1111, 40° M 630 G H EN 可得四边形BDEG是矩形， .GE=BD=x米， 根据三角函数可知DE=BD.tan40°=xtan40°米， 同时DE=(x-GH)tan63°=(x-20)tan63°米. .tan40°≈0.84，tan63°≈1.96， 0.84x=1.96(x-20). 解得x=35, 5 因此平均速度v=1 =3.5米秒. 2.(1)解：根据题意，得AF=AC-CF=3-2.2=0.8m, AB的宽度为0.8m, tan∠ABF=A =1 AB .∠ABF=45 (2)解：过点B作B'M⊥CE于点M, 则四边形ACMB是矩形， .AB'=CM AC=MB'=3m, .AB'=CM=CD+DM, B DME:∠a=68° BM ∴.tan∠a DM 31153 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DM B'M3 an680≈2.5=1.2(m). :CD=1.5m, .AB'=CM=CD+DM=1.5+1.2=2.7(m) (3)解：设小路的宽为m, 根据墨意，有06-02-)×16x12, 整理，得x2-28x+96=0, .(x-4)(x-24)=0 解得4专24 (大于16，舍去)， 答：小路的宽为4m. 3.解：过点A作AD⊥BC,则：∠ADC=90°， A D 在Rt△ADC中，AC=2m,a=65°， .AD=AC.sin65°≈l.8m: 故人字梯顶端离地面的高度是1.8m； 故答案为：1.8. 4.(1)解：由题意得，BM⊥OM, :∠BOM=18.17°，BM=3米， 在Ru△80w巾，o6-mw10(k 3 答：直吊臂OB的长为10米： (2)解：记旋转后的点B,M的对应点为B,M',延长BM'交OM于点F,过点B作BE⊥B'F于点E,则 32153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BEF=90°， B' M EB 水平线8.17 M 由题意得：B'M'=BM=3米，OB'=OB=10米， ∴.∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°， ∴.四边形EFMB为矩形， .BM=EF=3米， 在RtaB'OF中，B'F=OB×cos∠OB'M=10×0.81=8.1米， .MF=B'F-BM'=8.1-3=5.1≈5（米）， .货物M上升了5米， 万 5.(1)cosa= 4, 如图， b 设b=V7x,则c=4x,由勾股定理得，a=V4-7=3x, ..sina=a=3x 3 c4x4: 又：B=30°， .sinB=sin30= 2 33153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 .折射率为：sinB12. (2)根据折射率与(1)的材料相同，可得折射率为2， .a=60° sina_sin60°3 .sin B sin B 2' sinB=3 3· :四边形ABCD是矩形，点O是AD中点， ∴.AD=20D,∠D=90°， 又：∠OCD=B, :sin∠ocD=sinp= 3, 在R△ODC中，设OD=Br,0C=3x 由勾股定理得，CD=V3x-(N3x)2=V6x OD 3x 1 、tanB=cD6x2 又.CD=10cm, OD 1 .102' .OD=5.2em 4D=102cm .截面 0的面积为：102×10=100√2cm2 ABCD, 6.(1)解：如图，过点A'作AB⊥OA,垂足为点B. 34153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 A B 5l 10 A 地面 设秋千绳索的长度为x尺。 由题可知，OA=OA'=x,AB=4,AB=10, ..OB=OA-AB=x-4. 在Rt△OA'B中，由勾股定理得：A'B2+OB2=OA2 102+(c-42=r2 解得x=14.5 答：秋千绳索的长度为14.5尺 (2)能. 由题可知，∠OPA'=∠OOA”=90°，OA=0A”=OA. 0 B 在Rt△OA'P中，OP=OA'.cosa=OA.cosa, 同理，O0=0A”·cosB=OA-cosB .00-OP=h ..OA.cos B-OA.cosa=h 35153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 h ..O= cos B-cosa 7.解：∠ACB=73.4°，杆子AB垂直于地面，AB长8尺. tan∠ACB=A BC,即BC≈8 ≈2.39 3.35 .∠ADB=26.6°， tan∠ADB= BD,即BD 05016 8 ,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数. 2.39+16≈9.2 “春分和秋分时日影长度为2 答：春分和秋分时日影长度9.2尺 8.解：由已知，BM∥AE, 在图I中，DE∥BM BD⊥BC,CE⊥BC ∴BD∥CE ∴.四边形BDEM是平行四边形， .BM=DE=35 在Rt△BMC中，BC=BM·cos9° 在图2中，过点C作CN⊥BM于点N, 、D E 7777777777777777777 图2 :.CW=BCsin30°=BM-cos9sin30°=35x0.99x号≈17.3cm ,灯柱AB高40cm, 点C到桌面的距离为AB+CW=40+17.3=57.3cm 答：此时台灯最高点C到桌面的距离为57.3cm. 36153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 年模拟练测园 1.解：根据题意可知，BE⊥AE,CD⊥AE, .BE=1.5m,CD=0.6m,∠B=55°， 在RtABE中，AE=BE·tan55°≈1.5×1.43=2.145m, 设DE=x,则AD=2.145-x, .BE⊥AE,CD⊥AE, 即∠BEA=∠CDA=90°， .CDlIBE, .△ACDP△ABE、 CD AD 0.62.145-x ∴BE=AE,即1.52.145， .5(2.145-x)=2.145×0.6 则有 解得t=1.287≈1.29m 答：拔车支撑杆与河岸之间的距离即线段DE的长度为1.29m 2.解：如图，过点B作BN⊥FG于点N,延长DE交BN于点M,过点C作CO⊥PV于点O,延长FD 交CQ于点P, A B 0- Mi- 图2 依题意，MN=DF=0.9,CQ∥DE,MQ=PD .∠PCD=∠CDE=60°， 在RtAPDC中，CD=2, .PD=CD·sinPCD=2×sin60°=3≈1.73 .∠BCD=100°，∠PCD=60°， :.∠BC0=∠BCD-∠PCD=100°-60°=40」 37153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtABCO中，BC=4, .B0=BC·sin☑BC0=4×sin40°≈4×0.64=2.56 .BN=BQ+QM+MN=2.56+1.73+0.9≈5.2 答：机舱门下沿AB距离地面的高度约为5.2m. 3.解：由题意可知，四边形OBDF、OCEF、ECBD都是矩形. .∠AFE=90°，BD=CE=OF=1.5m,BC=DE=30m 在RtAAEF中， tan/AEF=AF EF, AF EF= AF tan∠AEF am6340* 2. “在R△MDF中，tan∠ADF=g DE DF= AF AF AF ≈1.45AF tan∠4DF tan34.6°0.69 .DF DE+EF, 1.45AF-0.5AF=30,解得：AF≈31.58m. .0A=AF+OF≈31.58+1.5=33.08≈33.1m. 答：甘州木塔OA的高度约为33.lm. 4.解：连接DH,并延长交AB于点F, E 22 D-义 245 B 由题意可得，CD=HG=1.5,四边形CDHG,四边形CDFB,四边形HGBF都是矩形， .BF=CD=1.5,DH=CG=50, 38153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=x,AF=AB-BF =x-1.5,EF=AF-AE=x-1.5-110=x-111.5, ,在Rt△DEF中，∠EDF=22°， .DF=_ EFx-111.5 tan∠EDF0.40, :在Rt△AHF中，∠AHF=45°， .HIF=AF tan∠AHF sx-1.5 DF-HF DH, x-111.5 .0.40 -(x-1.5)=50 解得x≈218 即双子塔AB的高度约为218米. 5.(山)解：过点C向正南作垂线得，记A8两处南北方向直线为，凸.C港在4港北偏东20°方向， 在B港北偏西40°方向， C 40 11209 B 65 1∥12∥13 根据题意得： :∠ACB=20°+40°=60°： (2)解：如图，过点B作BE⊥AC于E, 由题意得，∠CAB=65°-20°=45，∠4CB=60°，AB=120海里， .∠AEB=∠CEB=90°， 在Rt△ABE中，∠ABE=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， ·AE=BE=A =60W2海里， 39153 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 40 206 B 65o A 在RtACBE中，∠ACB=60,tan∠ACB= BE CE ..CE=_ BE n60° =20N6海里， AC=45+CE=(60N2+20N6)海里， （602+206)÷20=(32+v6)6.7小时 答：从C港直接返回A港，大约需航行6.7小时. 6.解：如图，连接GE, G F B M ，且，，三点共线， C:ED⊥AB EFIIAB G E D ∴.∠GEF=∠EDM=90° 在RtAGEF中，∠GFE=62°，EF=0.5m, ∴.GE=EF.tan62°≈0.5×1.88=0.94m, 在RtADEM中，∠EMD=30°，EM=1.3m, :.ED=EM=0.65m ∴运动员头部G到斜坡AB的距离为GE+ED=0.94+0.65=1.59≈1.6m, 7.(1)解：作BF⊥AC于点F,作BG⊥CE于点G, 40153 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 B →东 则四边形BFCG是矩形， .∠FBG=90°， 由题意得∠BAF=60°，∠ABF=30°，∠EBG=90°-75°=15°， ∠ABE=30°+90°+15°=135°； (2)解：在RtABF中，AB=20海里，∠ABF=30°， AF2AB=0海里.BF、AB-F=10N5海里 :CG=BF=105 海里， 在RtA BGE中，BE=5×2=10海里，∠EBG=15°， .EG=BE.sin15°≈10×0.26=2.6海里， 、CE=EG+CG=26+105199海里， 答：C,E之间的距离为19.9海里. 8.升降台能达到要求，理由如下： 如图，过点F作FI⊥AB于点I, HC G AI EB 由题意可得AF=EF=1.2m,∠AFE=180°-∠G=130°，AD=8FI, ∠PA6-180,4FE-25. 2 41153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :月=4F-sn∠FAB≈1.2×0.42=0.504(m） AD=8F=8×0.504≈4.0(m) .0+0.25=4.25≈4.3(m) 总高度为 .4.3>4.2 升降台能达到要求.· 9.解：如图，延长FH交AB于点M,则FM⊥AB, A M B ∴四边形BMFG为矩形， .BM=FG=1.2米，BG=FM, .DE⊥BG. .∠ABC=∠DEC=90°，∠ACB=∠DCE, .△ABC∽△DEC, AB BC ABBC DE=EC,即1.50.5， ∴AB=3BC .AM=AB-BM=3BC-1.2,FM=BC+EC+GE=BC+0.5+25=BC+25.5. :an37°≈3 ’ AM 3 ∴在Rt△AFM中，FM≈4， 3BC-1.23 …BC+25.54, 解得BC≈9米， .AB=3BC=27米， ∴.剑阁柏的高度AB为27米 42153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(1)解：在RtACDB中，∠CBD=45°，∠CDB=90°， 所以aCDB是等腰直角三角形，因此BD=CD=hm, 在Rt△CDA中，∠CAD=39°，∠CDA=90°， 根据正切函数的定义tan∠CAD=C D,即tan39°=h AD· AD=h、h tan390.8m, 综上：AD=五 0.8:BD=h; 2)解：由题意可知4AD-BD=4m’将AD、 90,D代入得：点有=4 通分得到： h-0.8h=4, 0.8 化简得：02h=3.2, 解得h=16 答：观景台CD的高度约为l6m. 11.(1)解：如图，过点B作BE⊥AC,垂足为点E, D 60 B 15 309 .∴.∠BEC=90° ,在△ADC中，∠ADC=60°，∠CAD=30°， ∠C=90°， 又：∠BDC=∠BDA+∠CDA=30°+60°=90°， .∠BEC=∠BDC=∠C=90°， .四边形BECD是矩形， .BE=CD, 在Rt△ADC中，∠CAD=30°，AD=20海里， .CD=AD·sin30°=10（海里）， 43153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABE中，∠BAE=45°，BE=CD=10海里， .AB=√2BE=10N2 (海里)， 10W2 答：A、B两个灯塔的距 海里； (2)解：设甲船到达M处，乙船到达N处，两船可以开始交流情况， 如图，过点N作NH⊥AD于点H,则MN=15海里， 15 30 ∴.∠DHN=∠MHN=90 甲船的速度与乙船速度之比为5：4， ∴.设AM=5x,CN=4x, ∴.DN=10-4x) DM=(20-5x) 海里， 海里， 在Rt△DHN中，∠HDN=60°， Nw=pN-904=55-2海里 DH=DN=5-2x(海里)， .HM=DM-DH=(20-5x)-(5-2x)=15-3x (海里)， 在RteMHN中，HN2+HM2=MN2, .[V3(5-2x)+15-3x)2=152 整理得：7x2-50x+25=0, 解得25-152=25+15√2 7, 7 （舍去)， 44153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4M=5x=5x25-152_125-752 7 (海里)， 125-75√2 答：甲船离开港口A为7海里时，两艘船可以开始交流情况. 12.(1)解：过点B作BD⊥AC,如图所示： D B 在Rt△ABD中，∠A=54°，AB=424米， BD=AB.sin54°≈424×0.81≈343.4（米）： 答：点B到AC的距离343.4米 (2)解：由(1)可知：BD=343.4米， 在Rt△CBD中，an∠ACB= 5, .'.CD=_ BD tan∠ACB =343,4×5429.3米， 4 在Rt△ABD中，∠A=54°，AB=424米， .AD=AB.cos54°≈424×0.59≈250.2米， .AC=AD+CD=679.5米： 答：AC的长679.5米. 13.解：过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DE⊥AB于点E, 则四边形CFED为矩形， .CF=DE,EF=CD=I0米， 在Rt4CF中，∠2=45，an450=C 设AF=CF=x米， 在RtaBCF中，∠1=50，an50°=85 CF .BF=CF.tan50°≈l.2x. 45153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BE=BF+EF=1.2x+10. 在RteBDE中，∠3=60°， tan60°=BE DE DE=CF=x .BE=DE.tan60°≈l.7x, 由此列方程： 1.2x+10=1.7x, 解得：x=20, .AB=AF+BF=x+1.2x=2.2x=2.2×20=44(米). ----F A 14.(1)解：如图，过D点作ED⊥CD,过A作AF⊥ED于F点，过B作BG⊥ED于G点， B37 --G C 过D :∠C=90°， .四边形BCDG,四边形AFGB是矩形， .CD=BG 根据题意，∠FAD=62°，∠GBD=37°， :BD=10米， 在Rt△GBD中，BG=BD·cos∠GBD=10×cos37°≈8（米）， .CD=8米， 答：CD的长为8米： (2)解：由(1)知BG=8米， 46153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,四边形AFGB是矩形， :.AF=BG=8米，AB=FG, 在RtAFD中，FD=AF.tan∠FAD=8×tan62°≈l5.04(米)， 在Rt△GBD中，GD=BG.tan∠GBD=8×tan37°≈6（米）， .AB=FG=FD-GD=15.04-6=9.04(米)， ,从点A下降到点B的时间为2秒， ∴.从点A下降到点B的速度为9.04÷2=4.52（米/秒）， 答：模拟装置从点A下降到点B的速度为4.52米/秒. 15.(1)解：由题意可得 P=45,P位于4的北偏西60，位于8的北偏西45°方向， .∠PAB=30°，∠PBD=45° :∠PDA=90°， PD= 4p-方45=25. cos∠PBD=cos45°=PD=2V2 PB PB, PB=4: ,60° 4560° 方7斗A (2)解：过点P作PE⊥BC,延长AB,过点C作CF∥AG, 由题意C位于B的北偏西75°方向，P位于C的北偏东60°方向， 可得∠PBC=75°-45°=30°，∠PCF=90°-60°=30°，∠CBG=90°-75°=15°， :CF∥AG .∠FCB=∠CBG=15°， .∠PCE=∠PCF+∠FCB=45°， .∠PEB=90°，PB=4 :.PE=1PB=2 2 47153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :sin∠PCE=sin45o= PE-2-2 PC PC 2, PC=2V2 解得 ·小东步行速度与小明骑自行车速度比为3：4， 设小东步行的速度为3x,小明骑自行车的速度为4x, 2V2.2×1.4_14 41 小东的时间为：3x3x15x,小明的时间为4xx 141 15xx 故小东先到达公园 60° ● 45 E 60° SA 16.(1)解：过点A作AD⊥BC于D, B D 设AD=X, ∠ABC=45°， .BD=AD=x, ∠ACB=30°， AD DC tan30° =3x, :AD+DC=BC,且BC=40, x+V3x=40 解得，x=20V3-20 48153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：则河的宽度为 205-20)m (2)方案1，如图， 在河对岸找一点E,在河边找到一点A,满足AE与河岸边垂直， 画一垂直于河岸的线段BD,使∠DBA=∠EAC=90°， BC BD 找到DE与AB的交点C,则RtABCDRt△ACE,有AC=AE, AE=BDXAC BC 测出DB,AC,BC,即可求得河的宽度 20×8-16m 若测量得出BD=20,AC=8,BC=10,则河宽为：10 方案2，如图， B 1在河的一侧岸边选定一点B,使得AB垂直于河岸(A为对岸目标点) 2在岸边沿着垂直于AB的方向量取一段距离到达点C 3.调整点C的位置，使得在点C处观测点A的视线与岸边的夹角∠ACB=45°，则△ABC是等腰直角三角形， AB=BC 4测量线段BC的长度，即可求得河的宽度， 若测量得出BC=16m,则河宽为：16m. 17.解：过C作CM⊥OD于M,过F作FN⊥AB于N,由题意可知，∠FED=∠BOE=∠CBO=90°， BC=30米，CD=20米，DE=45米， 如图所示： 49153 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A C DM 2 四边形FEON,CBOM是矩形， :FN=EO,ON=EF,OM=BC=30米，BO=CM,FNI‖EO, :当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为53°，摩天轮最高处A的仰角为37°， .∠DFN=53°，∠AFN=37°， ..FNIEO, .∠EDF=∠DFN=53°， 斜坡CD的坡度为i=1:2,CD=20米， .CM DM =1:2, 设CM=x,则DM=2x, 由勾股定理得： x2+(2x)2=202 解得=4V5≈8.8m .B0=CM=8.8米，MD=17.6米， DE=45米， .FN=E0=DE+MD+0M=45+17.6+30=92.6(米)， 在RIADEF中，am∠EDF=E =tan53°≈4 ED 3, EFDE=x4560(米)， 4 3 3 .ON=EF≈60米， :BN=ON-B0≈51.2（米）， 在RIAFN中，∠AFN=37°， tan∠AFw=A 3 =tan37°≈ Fn 4 50153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AN≈3FN=0.75x92.6=6945(米)， 4 .AB=AN+BN=69.45+51.2=120.65≈121（米）， 即AB的高度约为121米 18.(1)解：分别过点A,B作AD⊥MN A B M D E O 于点D,BE⊥MN于点E, 设AD=BE=h, ·在点A处观测飞机的仰角为45°， .DO=AD=h」 ·在点B处观测飞机的仰角为60°， EO=_ an60°√33"， 飞机沿水平线方向从A飞行到B, .AB=DO-EO .h-5h=125-12 3 .h=125 ·0B=123 =24 sin60° (2)解：延长AB交OC于点M,过点B作BM⊥OC于点M, B 51153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意，B、C两点的仰角均为60°，且BC与水平线成15°角， .∠NOC=60°，∠FBC=15° .∠BOC=60°，∠BFO=∠NOC=60°， ∴.∠C=∠BF0-∠FBC=60°-15°=45° 在Rt△BMO中， BM=sin60.BO= 2×24=125 在Rt△BMC中， BC=_ BM -12V 2=12V6 sin45°- √2 2 飞机从点B飞行到点C所用的时间是： 126=6≈245 12 钟 19.解：如图，连接EF并延长，交AB于点G, G升- B DC 由题意知EC⊥BC于点C,FD⊥BC于点D,AB⊥BC于点B, ·四边形FGBD、EGBC、EFDC是矩形. ∴EF=CD=68米，BC=DF=CE=1.7米. 设FG=x米， :EG=EF+FG=(68+米」 “在R1△MGE中，∠4GE=90,∠4G=60 52153 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠AEG EG,即V3=AG A 68+x, .AG=V3(68+x) 在Rt△AGF中，∠AGF=90°，∠AFC=75.1°， m∠4G-8,即3.76s1C x .AG≈3.76x, .V3(68+x)≈3.76x .X≈ 68V3 3.76-V3, AG≈3.76x=217.895(米)， AB=AG+BG≈217.895+1.7≈219.6（米）， 双子塔（南塔）的高度1B约为 219.6米 20.解：根据题意得：∠DAB=45°，∠DAC=55°，∠ADC=90°，BC=2米， 在RtABD中，tan∠BAD=BD AD 即tan45°=BD AD ..I=BD AD .AD=BD, 设4D=BD=米，则 D=(x+2)米， 在Ra4CD中，an∠CAD=CD AD' 即tan55°=x+2 x+2≈1.43 :.x 解得：x≈47， 即假山的高度为4.7米. 53153