六 多边形的面积 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年五年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

实验班 提优圳练 超出8千米部分的钱，再除以对应单价，就 能算出超出的路程，最后把三段路程合在 一起。 2.（1)13.2千米按14千米计算 3.5×(14-10)+36=50(元) (2)(108.5-50)÷4.5+10=23(千米) 【解析】(1)先确定21：00属于白天时段， 再把13.2千米按规则看成14千米，分成 10千米以内和超出10千米两段，分别算费 用再相加。(2)先确定22：30属于夜间时 段，用总费用减去10千米的基础费，算出超 出部分的总价，再除以每千米单价得到超出 里程，最后加上10千米就是总里程。 六多边形的面积 [教材思考题] 1.C【解析】观察图里的甲、 乙两个平行四边形，它们的底 是相同的，而且高是两条平行线之间的距 离，所以高也相等，根据公式就能判断面积 关系。 2.甲的面积：3×5=15（平方厘米） 乙的面积：3×5=15（平方厘米） 【解析】两个平行四边形底都是3厘米，高 都是两条平行线间的距离5厘米，直接用底 乘高计算面积。 3.画法不唯一，如： 4.长方形的面积：8×6=48（平方厘米） 平行四边形的面积：8×6=48（平方厘米） 【解析】平行四边形和长方形同底等高，底 是8厘米，高是6厘米，分别套用面积公式 计算即可。 5.上底的三角形面积：6×5÷2=15（平方厘米） 下底的三角形面积：10×5÷2=25（平方厘米） 梯形面积：15十25=40（平方厘米） 【解析】把梯形沿对角线分成两个三角形， 两个三角形的底分别是梯形的上底与下底， 高都等于梯形的高，分别算出两个三角形面 积再相加。 6.原面积：12×8=96(cm2) 现面积：12×5=60(cm2) 减少的面积：96一60=36(cm) 【解析】先计算出原平行四边形框架的面 积，再计算出拉动后平行四边形框架的面 积，最后面积相减就能算出减少的面积。 [难题解题帮手] 1.42÷7=6(cm) (12-7)×6÷2=15(cm2) 2.255×2÷(10+24)=15(cm) 24×15=360(cm2) 3.13×2÷4=6.5(m) 6.5×5=32.5(m2) 【解析】种黄豆的面积是平行四边形，平行 四边形的面积=底×高，而平行四边形和右 边的三角形同高，三角形的面积和底已知， 高=三角形的面积X2÷底。 4.12-5=7(cm) (7+12)×3÷2×2=57(cm2) 【解析】两个相同的直角三角形重叠在一 起，空白三角形是公共部分，所以两个涂色 2 部分梯形的面积相等，都等于上底是12一5 =7(厘米)、下底是12厘米、高是3厘米的 梯形的面积。 5.(16-3+16)×6÷2=87(cm2) 【解析】两个相同的直角梯形重叠在一起， 涂色部分的面积等于下底是16cm、上底是 (16-3)cm、高是6cm的梯形的面积。 [附加题兴趣班] 1.12×6-12×(6+3)÷2=18(cm2) 【解析】长方形的面积可以看作是甲的面 积和空白梯形的面积共同组成，大三角形的 面积可以看作是乙的面积和空白梯形的面 积共同组成。长方形的面积一大三角形的 面积=甲的面积十梯形面积一（乙的面积十 梯形的面积)=甲的面积一乙的面积，也就 是甲比乙多的面积。 2.8-4=4(cm) 8×8×2-4×4=112(cm2) 【解析】由于两个正方形有重合的部分，被 盖住的面积是两个正方形的面积和一重合 部分的面积，重合部分是边长为(8一4)cm 的小正方形。 3.(2+3)X2÷2+2×3-2×(2+2)÷2-2× 3÷2=4(cm) 【解析】涂色部分的面积=梯形ABEF的 面积十长方形BCDE的面积一三角形 ACF的面积一三角形ECD的面积 4.如图，延长BA、CD相交于点E,则三角形 BCE的面积为7×7÷2=24.5（平方厘 米)，三角形ADE的面积为3X3÷2= 4.5(平方厘米)，四边形ABCD的面积为 23 24.5-4.5=20(平方厘米)。 E D 3 45C 7 【解析】如上图，延长BA和CD交于点E, 可以发现四边形ABCD的面积等于三角形 BCE的面积减去虚线部分的三角形ADE 的面积。因为∠C=45°，∠B=90°，所以 ∠E=45°，所以三角形BCE是等腰直角三 角形，得到两条直角边都是7厘米。同理， 三角形ADE也是等腰直角三角形，两条直 角边都是3厘米，据此计算。 5.(30-1×2)×(21-1×2)=532(平方米) 【解析】21米去掉两条1米宽的小路，就是 9个小花园实际的总宽；30米去掉两条1米 宽的小路，就是9个小花园实际的总长。 6.三角形ABE的面积=4×4÷2=8(cm) 【解析】如下图所示，将三角形AED绕点 A顺时针旋转90°，使得AD与AB重合，得 到三角形AGB,所以AG=AE=4cm,过 点B作BF垂直AE于点F,则四边形 AGBF是长方形，所以BF=AG=4cm,所 以三角形ABE的面积=AE X BF÷2= 4×4÷2=8(cm2)。 A D多边形的面积 教材思考题深化 例（教材P98)下图中两个平行四边形的面 的平行四边形吗？试着画一画。 积相等吗？为什么？ w) 4.右下图中长方形的长是8厘米，宽是6厘 26 cm 米，分别求长方形和平行四边形的面积。 思路分析 平行四边形的面积公式是底X高，判 断两个平行四边形的面积是否相等，就看 底X高是否相等。 例2（教材P104)把梯形分成两个三角形，你 解答：两个平行四边形的面积都等于26×18= 能探索出梯形的面积公式吗？试一试！ 468(平方厘米)，所以面积相等。 方法点拨 因为两个平行四边形同底等高，所以面 积相等。平行四边形的面积=底X高。 思路分析 李巩固深化 我们把梯形沿对角线分成两个三角 形：梯形的上底是第一个三角形的底，下 1.下图中的两个平行四边形的面积相比较， 底是第二个三角形的底； 因为梯形的上、下底互相平行，所以这两 纳 个三角形的高都和梯形的高相等； 梯形的面积就是这两个三角形的面积加 起来，我们用三角形面积公式分别计算， A.甲大 B.乙大 再求和就能得到梯形面积公式。 C.相等 D.无法比较 2.分别求出右下图中两个平行四边形的 解答：1.第一个三角形（底是梯形的上底）的面 面积。 积：上底X高÷2 3 cm 2.第二个三角形（底是梯形的下底）的面积：下 底×高÷2 )C门 3.梯形面积=两个三角形面积之和： 甲 梯形面积=上底×高÷2十下底×高÷2 3.你能画一个和下图的平行四边形面积相等 提取相同的“×高÷2”，合并后得到： 12 梯形面积=（上底+下底）×高÷2 解答：答案不唯一，如：假设平行四边形框架的 方法点拨 底固定为11cm,拉动后测量数据如下： 1.用分割转化的方法，把梯形变成我 底(cm) 高(cm) 面积(cm) 们会算面积的三角形，就能推导出梯形面 11 7 77 积公式。 11 6 66 2.梯形面积公式：（上底十下底)×高÷2， 计算时一定不能漏了“÷2” 11 4 44 3.两个三角形的高相等，是这个推导方法 (1)没变的量：平行四边形的四条边的长度（周 的关键，这是由梯形上、下底平行的特点决 长)不变，底的长度不变。 定的。 变化的量：平行四边形的高会随着拉动逐渐变 短，面积也会随着高的变短而变小，同时平行 孿巩固深化 四边形的形状（内角大小）也发生了变化。 5.一个梯形上底6厘米，下底10厘米，高5厘 (2)根据平行四边形面积公式： 米，用分成两个三角形的方法算面积。 面积=底X高 当底相同时，高越长，面积就越大；高越短，面 积就越小。 例3（教材P109)用4根硬纸板条做一个平 方法点拨 行四边形框架，如下图。随意拉动这个框架几 次，测量出底和高，并计算面积，填在表中。 1.平行四边形的不稳定性：平行四边形框 架容易变形，边长（周长）不变，但高和面 积会随形状改变，这是平行四边形的重要 底(cm) 高(cm) 面积(cm) 特性（生活中的伸缩门、晾衣架就是利用 这个原理)。2.面积变化规律：底不变时， 平行四边形的面积由高决定，高越长，面 积越大；高越短，面积越小。3.公式核心： 平行四边形面积=底X对应底边上的高，计 (1)拉动框架的过程中，什么变了？什么没变？ 算时必须用“底”和“它对应的高”相乘，不能 (2)当底相同时，平行四边形的面积与这条底 用底和邻边相乘。 边上的高有什么关系？ 思路分析 湾巩固深化 我们用硬纸板条做的平行四边形框 6.一个平行四边形框架，底是12cm,拉动后 架，四条边的长度是固定的。拉动框架 高从8cm变成了5cm,面积减少了多少平 时，底的长度不会变（因为框架边长不 方厘米？ 变)，但平行四边形的高会随着形状变扁 而变短；再根据平行四边形的面积公式 “面积=底X高”，就能分析出面积的变化 规律，以及底相同时面积和高的关系。 13 实验班 提优训练 难题解题帮手 例①在下图中，梯形的面积是156cm2,请你 3.李大爷家有一块地，他把这块地分成了一 算出涂色部分的面积。 个平行四边形和一个三角形，平行四边形 8cm 区域用来种黄豆，三角形区域用来种辣椒。 种辣椒的面积是13m2,种黄豆的面积是多 少平方米？ 思路分析 图中涂色部分的面积=梯形的面积 黄豆 辣 直角三角形的面积 椒 5m 4 m 解答：156-8×12÷2=108(cm2) 方法点拨 此题主要考查组合图形的面积。解 题的关键是将涂色部分的面积转化为易 求的规则图形的面积的差，再根据面积公 例2如下图所示，两个相同的直角三角形重 式计算。 叠在一起，求涂色部分的面积。（单位：厘米） 巩固深化 1.如右下图所示，梯形的上底为7cm,下底为 12cm,将梯形分成一个平行四边形和一个 三角形。平行四边形的面积是42cm,求 10 三角形的面积。 思路分析 由图可知：涂色部分的面积十三角形 DOC的面积=三角形DOC的面积十梯 形OEFC的面积，所以涂色部分的面积 =梯形OEFC的面积。先求出梯形的上 底，进而利用梯形面积公式即可求解。 2.如右下图，把梯形的上底延长，使它和下底 解答：(10-3十10)×2÷2=17（平方厘米） 相等，这时梯形就变成了一个平行四边形。 答：涂色部分的面积是17平方厘米。 已知梯形的面积是255cm,求平行四边形 的面积。 方法点拨 解决本题的关键是运用转化的方法， 10 cm 将求涂色部分的面积转化为求与它面积 相等的梯形的面积。 24 cm ◆巩固深化 4.两个相同的三角形如图重叠在一起，求涂 14 色部分的面积。（单位：厘米) 5.如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求 B 涂色部分的面积。（单位：cm) D 12 附加题兴趣班 学霸或有兴趣挑战者进入，其余可绕过 一名师讲坛 学霸播治 例①计算下面图形中涂色部分的面积。 1.图中，甲的面积比乙的面积多多少平方 15cm D 厘米？ 3 cm 甲 6 cm o cm G B F 12 cm 思路分行 2.如右下图，把两个边长是8cm的正方形纸 涂色部分的面积=长方形的面积一 片放在桌面上，求被盖住的桌面的面积。 (三角形BFD的面积十三角形CFA的 8 cm 面积)十四边形EFGH的面积，三角形 BFD和三角形CFA的高是相等的，都等 于长方形的宽，而两个三角形的底的和正 cm 好是长方形的长，根据面积公式进行求解 即可。需要注意的是四边形EFGH是重 3.求右下图中涂色部分的面积。 合的部分，减的时候减了两次，所以需要 D 再加一个四边形EFGH的面积，才是涂 色部分的面积。 解答：15×8-15×8÷2+9=69(cm) A 答：涂色部分的面积是69cm2。 2 cm B 2 cm 方法点拨 4.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 求涂色部分的面积时，要采用反向思 维，不要直接求涂色面积，通过用面积和 差来进行求解。遇到有重合的部分时要 注意不要多减。 BE 45 15 实验班 提优训练 例2在一个宽是15厘米 面积和是多少平方厘米？ 的长方形中有一个宽为5厘 思路分析 米的十字形涂色部分，已知 在正方形CEDF中，DE=DF,将红 涂色部分的面积是150平方 色三角形DFB绕点D逆时针旋转90°， 厘米，则长方形的面积是多少平方厘米？ 使DF与DE重合，得到三角形DEH(如 思路分析 右下图)，（要求红、黄两个三角形的面积 可假设长方形的长为a厘米，则涂色 之和，就是求三角形ADH的面积。) 部分可看成长a厘米、宽5厘米和长15 解答：将三角形 厘米、宽5厘米的两个长方形减去中间重 H DFB绕点D逆时针 叠的部分，即边长为5厘米的正方形面 人红蓝 旋转90°，得到三角 积，涂色部分面积为a×5十15×5一5×5 DEH。因为 红>B 形 =150,即可求得a=(150+5×5-15× ∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∠EDF= 5)÷5,再根据长方形的面积公式求解即 90°，所以∠ADE+∠BDF=90°；又因为 可。 ∠BDF=∠HDE,所以∠ADH=∠ADE+ 解答：(150+5×5-15×5)÷5=20（厘米） ∠EDH=90°。即三角形ADH是直角三角 20×15=300(平方厘米) 形，三角形ADH的面积=29×17÷2=246.5 答：长方形的面积是300平方厘米。 (平方厘米) 方法点拨 答：红、黄两个三角形的面积和是246.5平方 长方形面积=长X宽，长=长方形面 厘米。 积÷宽。 方法点拨 在解决这类图形面积的问题时，可以 少学霸霜治 先把其中一个图形绕一个固定点旋转到 5.一块长方形草坪被4条1米宽的小路分成 一个新位置，使两个图形转化成一个新的 了9块，求草坪的面积。 规则图形，然后进行求解。 少学霸霜治 21米 6.已知三角形AED是直角三角形，AE=4cm, 求涂色部分三角形ABE的面积。 30米 例3用一张斜边长 E E 为17厘米的红色三 蓝 角形纸片，一张斜边 红 B D 长为29厘米的黄色 三角形纸片，一张蓝色正方形纸片，拼成一个 如图所示的直角三角形。红、黄两个三角形的 16