专题06 圆（3年汇编）（辽宁专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 辽宁中考圆专题真题模拟汇编，覆盖圆周角、位置关系、相关计算三大核心考点，精选2024-2026辽宁卷真题及模拟题，突出几何综合与实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|4|圆的面积计算（2026大连二模）、阴影面积（2026辽阳模考）、太阳高度角（2026辽阳模考）、圆周角（2026本溪一模）|结合生活情境，考查基础公式与几何转化| |填空题|2|直径与角平分线（2026锦州质量检测）、弦长与延长线（2026鞍山质量调查）|聚焦核心定理简单应用，强调数形结合| |解答题|19|圆周角与垂径定理综合（2026辽宁卷）、切线判定与三角形外接圆（2024辽宁卷）、古代数学问题（2026辽宁卷）|分梯度设问，串联切线证明与代数计算，真题导向性强|

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 3年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 辽宁考情(2024-2026) 命题规律 以解答题形式考查；辽宁中考圆的考题常结合 垂径定理、圆周角定理综合设问，命题多以圆 2026辽宁卷 周角定理为载体，串联圆切线、垂径、直角三 考点01圆周角 角形，由证明过渡到计算，梯度清晰。注重数 形结合，将圆周角定理作为求线段和角的核心 工具，兼顾基础证明与综合运算。 以解答题形式考查；辽宁中考圆的位置关系常 以三角形外接圆为载体，分梯度设问。命题串 联三角形性质、圆的核心定理，由几何证明过 考点02与圆有关 2024辽宁卷 的位置关系 渡到计算，难度逐步提升。侧重切线判定这一 核心考点，常搭配垂径定理综合考查，兼顾基 础逻辑证明与代数计算。 1/55 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以选择题、解答题形式考查；辽宁中考圆计算 类考题多以直径、等弧为条件，结合圆心角、 2026辽宁卷 等腰三角形性质计算角度，侧重弧、圆心角、 考点03圆的相关 计算 2025辽宁卷 圆周角转化：考查交点坐标、弧长周长计算。 常串联全等、圆的面积、周长、弧长公式出 题，兼顾基础定理运用与代数运算，既考查圆 核心公式，又融入几何变换、数形结合思想。 三年真题分类园 考点01圆周角 1.(2026年辽宁省中考数学试题)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AC为⊙0的直径，且 AB=BC,连接AB,BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. B (I)求∠BDC的度数： Q若BE-2 CD ,求的长 【答案】1)45° (2)2 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，根据等角对等边及三角形内角和得 ∠BAC=∠BCA=45°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； 2/55 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图，过点C作CK LBD于点K,根据等角对等边推出DK=CK,证明 ABCK≌ABE(AAS)得 CK=BE=2 然后根据勾股定理可得答案。 【详解】(1)解：：AC为⊙O的直径， .∠ABC=90°， AB=BC. :∠BAC=∠BCA=)180°-∠ABC)=)×180°-90°)=45°， :在00 ， BC 所对的圆周角为 BAC∠BDC .∠BDC=∠BAC=45°： (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, B D :AE⊥BD, .∠CKD=∠BKC=∠AEB=90°， 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45°， ∴.∠CBK=90°-LABE=∠BAE, ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, ..DK=CK, 在△BCK和△ABE中， ∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB BC=AB △BCK≌△ABE(AAS) ..CK=BE=2 3/55 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :D水=CK=5 在RIACDK中，CD=VDK2+CK=V2+(2}=2, 即CD的长为2. 考点02与圆有关的位置关系 1.(2024年辽宁省中考数学试卷)如图，0 是AAB 的外接圆，B是O0的直径，点D在BC上， AC=BD,E在BA的延长线上， ∠CEA=∠CAD D E A 图1 图2 Q)如图1，求证：CE是⊙0的切线： ②)如图2，若<CEA=2∠D1B、0A=8 的长。 【答案】) 证明：连接CO, C D 43公 E B' OC=OB ∴.1=∠2， ∠3=∠1+∠2=2∠2， .AC=BD .∠4=∠2， ,AB为直径， 4/55 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ACB=90°， :.∠CAD+∠4+∠2=90°，即∠CAD+2∠2=90°， .∠CEA=∠CAD、 :.∠CEA+2∠2=90°， .∠CEA+∠3=90°， .∠EC0=90°， .OC⊥CE, ∴CE是⊙0的切线： (2)2π 【分折】)连接C0,则21=2，故3=1+∠2=2∠2.由C=BD.得到24=2，而4C8=90 则∠CAD+2L2=90°，由∠CEA=∠CAD,得∠CEA+2∠2=90°，因此∠CEA+∠3=90°，故LEC0=90° 则CE是⊙O的切线： 2）连接c0,D0,可得3=222=24=∠CE1:则<3=∠CE1= 2=45°，故∠4=2250，由 45×πx8=2π. BD=BD,得∠D0B=2∠4=45，那么BD长为180 【详解】(1)略 (2)解：连接C0,D0, D 43 EA B 由(1)得∠3=2∠2=2∠4， ,∠CEA=2∠DAB. .∠CEA=∠3， :∠EC0=90°， ·∠3=∠CEA=9 2450 .∠4=22.5°. 5/55 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=BD. LD0B=2∠4=45°， 45×π×8 ·BD长为： =2π 180 考点03圆的相关计算 1.(2026年辽宁省中考数学试题)我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段， 圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等.”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块， 面积之和为252平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田 地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为x步，根据题意可列方程为() A2+72=252 B.x2+π =252 2 C.x2+元2=252 D.4x+=252 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为2步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为252平方步，列方程即 可 【详解】解：，正方形田地的边长为x步， ∴正方形田地的面积为x平方步 ,圆形田地的直径与正方形边长相等， 圆形田地的半径为2步， π ∴圆形田地的面积为(2平方步 ,两块田地面积之和为252平方步， 252 2.(2025年辽宁省中考数学试题)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作O0,与AC相交于点 6/55 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D,连接OC,与⊙0相交于点E. B B (图1) (图2) (I)如图1，连接DE,求∠ADE的度数； ②如图2，若点D为4C的中点，且1C=6,求DE的长. 【答案】(1)135° 2)2π 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公 式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键 (①连接0D,先证明A01C≌：08C(SS),得到∠A0C=∠B0C=90,由等腰三角形性质得到 ∠OAD=∠ODA.∠ODE=∠OED ∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y OADE ，设 在四边形 中，由四边 形内角和等于360°计算即可： (2)根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即 可求解。 【详解】(1)解：连接OD, A B .CA=CB,OA=OB,OC=OC 7/55 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △OAC≌AOBC(SSS) .∠AOC=∠BOC, .∠AOC+∠BOC=180°， .∠AOC=∠B0C=90°， .OA=OD=OE. .∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED 设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y, 在四边形OADE中，：∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360° .x+x+y+y+90°=360°. :∠ADE=∠AD0+∠ODE=x+y=13S°； (2)解：连接OD, A B :∠A0C=90°，D为AC中点， 0=404C=6=3, ..OD=OA=AD=3, .△ADO为等边三角形， .∠AOD=60°， .∠D0E=90°-60°=30°. 30m×31 DE的长为： =一π 1802 8/55 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一 年模拟练测园 一、单选题 1.(2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题)如图，正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，AD的 长为半径画弧.则图中扇形的面积为() D B A.π B.2π C.4π D.8π 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解。 【详解】解：，四边形ABCD为正方形， .∠A=90°，AD=AB=4 90m×42 ÷图中扇形的面积为360 =4π 2.(2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷)如图，以AB为直径作半圆O.C是半圆上一 点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交射线AC于点D.若∠CAB=45°，AB=6,则图中阴影部分的 面积为() D C 0 99 A.2-2 B+ 99 D.4π+2 【答案】C 【分析】连接C0、CB,根据圆周角定理得出∠ACB=9O°，结合图形得出阴影部分的面积为 9/55 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S扇形BD-S扇形O8c-S。4OC 即可求解 【详解】解：连接CO、CB,如图所示： D B 0 ,以AB为直径作半圆O, .∠ACB=90° ,AB=6,∠CAB=45°， .40=BO-CO-3,AC=BC=3 COLAB 2×3x3=9 5分40xc0 2 90r×329π S扇形OBC= 3604 .∠CAB=45° 45π×629π .S期形ABD= 360 2 阴影部分的面积为S0影m一S0c-Sc=9_9江_9_9r9 24242· 3.(2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷)如图，⊙0是地球的示意图，其中AB表示赤 道，CD,EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=a,夏至日正午时，太阳光线GD所在直 线经过地心O.此时点F处的太阳高度角IFH(即平行于GD的光线HF与OO的切线FI所成的锐角)的 大小为() G C 北回归线 D B 赤道0 大南回归线 10155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.90°-2a B.90°- C.2a D.a 【答案】A 【分析】先求∠DOF的度数，再利用平行线的性质得∠OFH,，最后计算IFH即可. 【详解】解：，∠DOB=∠FOB=a, .∠DOF=∠DOB+∠FOB=2a, :GD∥FH, .∠0FH=180°-∠D0F=180°-2a, :FI是⊙O的切线， .∠0FI=90°， .∠IFH=∠OFH-∠OFI=180°-2a-90°=90°-2a, 4.(2026年辽宁省本溪市一模数学试题)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在O0上，若C0⊥BD于点 E,∠BOC=150°，则∠ACD的度数为() D B A.15° B.30° C.45° D.60° 【答案】D 【分析】因为C01BD,根据垂径定理，所以可得出弧BC和弧CD的关系可确定.已知∠BOC=150°， 因为圆心角的度数等于所对弧的度数，所以可得出弧BC的度数，进而得到弧CD的度数.再求出弧AD的 度数，再根据圆周角定理，即可求出∠ACD的度数. BC=CD 【详解】由垂径定理可知： .∠B0C=150° BC 50° 的度数为 CD 的度数也为150° 又：AB是直径，A,O,B共线， 11/55 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠A0C=180°-∠B0C=30° . 30° 的度数为 ∴.AD的度数为150°-30°=120°， :∠4CD=2x120°=60° 二、填空题 5.(辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷)如图，C,D是⊙0上的 两点，AB是⊙O的直径，且AB平分∠CAD.若∠ABC=62°，则∠BOD的度数是 D 【答案】56°56度 【分析】由直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求出∠BAC,再利用角平分线性质得∠BAD,最后由 同弧所对圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOD. 【详解】解：AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∠ABC=62°， ∠BAC=90°-62°=28°， :AB平分∠CAD ∠BAD=∠BAC=28°， ∠BAD与∠BOD所对的是同一条弧， ∴.∠BOD=2∠BAD=2×28°=56 6.(2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷)如图，⊙0的半径为5，弦AB的长为 8,点C是⊙0上一点，且AC=BC,连接CO并延长，交AB于点D,交⊙0于点E,则DE的长为 12155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E 【答案】2 【分析】连接OA,根据垂径定理推论可得AD=BD=4,CE⊥AB,勾股定理求出OD=3,即可得 DE=5-3=2 【详解】解：连接OA, D B E :点C是OO上一点，且AC=BC,连接C0并延长，交AB于点D,交O0于点B,弦AB的长为8， ∴.AD=BD=4,CE⊥AB, :⊙0的半径为5， ∴.OA=OE=5, :0D=V52-4=3 .DE=5-3=2 三、解答题 7.(辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷)如图，AB是⊙0的直径， 弦D1B于点E,F是4B下方O0上的点，且而=DF,连接CF交4B于点G,过点D作O0的切线 交AB的延长线于点PP. 13/55 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B P E F I)求证：FCII DP. (2)若BP=2,CG=4,求⊙0的半径. 【答案】I) 证明：连接DO并延长，交CF于点H,连接OC,OF, C H G 为半径， .CD=DF OD ∴.OH⊥FC, ∴∠CH0=90°， :DP是⊙O的切线， .OD⊥DP, .∠ODP=90° .∠CHO+∠ODP=180°， .FC II DP. (2)3 【分析】(I)连接DO并延长，交CF于点H,连接OC,OF.由切线的性质定理得OD⊥DP由垂径定 理的推论得DH⊥FC,从而证得平行. (2)由FC‖DP,垂径定理证得△CGE≌aDPE,得到DP=CG=4,设未知数在RtAODP用勾股定理列 方程即可求得半径 【详解】(1)略 (2)解：FC‖DP, ∴.∠CGE=∠P,∠GCE=∠PDE, 14155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,CD⊥AB,OC=OD, ∴.CE=DE, ∴.△CGE≌△DPE(AAS) ..DP=CG=4. 设OB=OD=r,则OP=OB+BP=r+2, 在RtAODP中，OD2+DP2=OP2, r2+42=(口+2)2 解得r=3」 ∴.⊙0的半径是3. 【点睛】本题是一道圆的综合几何证明与计算题，考查圆的切线的性质、垂径定理及推论、平行线的判定、 全等三角形等知识点，要注意见切线，有交点，连半径的辅助线的做法，灵活运用垂径定理及推论，遇到 求半径优先想到运用垂径定理、勾股定理列方程求解. 8.(2026年辽宁葫芦岛市连山区中考模拟测试（一模）数学试卷)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0 BC D,BC,BD 上，D为b 的中点，过点D作O0的切线DE,交B的延长线于点B,连接 B (I)求证：DE∥BC: ②)若⊙0的半径为3，DE=4,求CD的长. 【答案】1) 证明：连接OC,OD,OD交BC于点F, 15/55 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是 的切线， .DE⊙O .DE⊥OD, ∠0DE=90°， :D为 C 的中点， .CD=BD .∠CQD=∠B0D .:OB=OC, .OF⊥BC, ∴.∠OFB=90° .∠OFB=∠ODE DE∥BC 6√5 2)5 【分析】(1)连接OC,OD,OD交BC于点F,求出∠ODE=90°，∠OFB=90°，即可判断DE∥BC: (2)过点D DH上BO于点H,求出DH,OH,B册，最后求出BD,由D为BC的中点即可求出CD 的长 【详解】(1)略 (2)解：过点D作DH⊥BO于点H, 在RtAODE中，OD=3,DE=4, .OE=DO2+DE2=5 “Sm=ODxDE=OExDH, 2 16/55 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DH=12 OH =VOD -DH=9 5, 6 ∴.BH=OB-OH= 5 BD=DH+BH-65 , :D为 C 的中点， ..CD=BD .CD=BD=6/5 . 9.(辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年下学期第一次模拟考试九年级数学试卷)如图1，在⊙0中， 半径OA⊥OB,点C为OB延长线上一点，点D为⊙O上一点，连接CD,且CD=CE,连接AD交OB于 点E. D D A 图1 图2 ()求证：CD与⊙O相切： 2)如图2，连接BD,若∠BDA=∠C,CD=2,求OE的长. 【答案】) 证明：半径OA⊥OB, .∠DAO+∠AEO=90°， .OA=OD、 .∠DAO=∠ADO, 17/55 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=CE, ·.∠CDE=∠CED. .∠CED=∠AEO .∠CDE=∠AEO, .CDO=∠ADO+∠CDE=∠DAO+∠AEO=90°， .OD⊥CD. .CD与OO相切. 20E=22-2 【分析】(1)根据直角三角形两锐角互余得出∠DA0+∠AE0=90°，根据等腰三角形的性质得出 ∠DAO=∠ADO,∠CDE=∠CED,根据角的和差关系即可得出CD0=90°，即可得出CD与OO相切： (②)根据圆周角定理得出∠BDA=∠B01=45°，进而得出ACDO是等腰直角三角形，求出OC-22, 2 OD=CD=OB=CE=2,根据线段的和差关系即可得答案 【详解】(1)略 (2)解：∠BDA和∠BOA」 0是MB ∠BOA=90° 和 所对的圆周角和圆心角， :∠BDA-B0=45, :∠BDA=∠C, .∠C=45°， ∠CD0=90°，CD=2, :4CD 是等腰直角三角形， OD=CD=OB=CE=2OC=√2CD=2√2 OE=0C-CE=22-2 10.(辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一）)如图，AB是⊙0的直径， 点C,D在o0上，C=BD,CE是o 的切线， CE⊥B ,垂足为E 18/55 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求∠AOD的度数： (②)若CE=5,求扇形AOD的面积. 【答案】1)120° 4π 2)3 【分析】(I)连接OC,推导出OC∥BE,得到∠AOC=∠ABD,继而推导出∠BOD=∠OBD=∠ODB, 得到△B0D为等边三角形，求出∠AOD=180°-∠B0D=180°-60°=120°，即可解答； (2)过点O作OF⊥BE,垂足为F,推导出∠OFE=∠BEC=∠OCE=90°，得到四边形OCEF为矩形， OF 5 OD= sin∠oDF√3 =2 则OF=CE=V5,继而求出 2 ，最后根据扇形的面积公式求出扇形4OD的面积即 可 【详解】(1)解：如图，连接OC, E B 是 的切线，切点为C, .CE ⊙0 ∴.OC⊥CE CE⊥BD, .OC∥BE .∠AOC=∠ABD, OD=OB 19155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ODB=∠ABD AC=BD ∴.∠AOC=∠BOD .∠BOD=∠OBD=∠ODB, ∴ABOD为等边三角形， ∠B0D=60°， ∠A0D=180°-∠B0D=180°-60°=120°： (2)解：如图，过点O作OF⊥BE,垂足为F.则∠OFE=90°， :OC⊥CE,CE⊥BD ∴.∠OFE=∠BEC=∠OCE=90°， ·四边形OCEF为矩形， .OF=CE=3 在RtAODF中，∠OFE=90°，∠ODF=60°， OF OD= sin∠ODF B-o 则 2 S形40D=120×元×224红 360 3· 11.(沈阳市苏家屯区2025-2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一）数学试卷)如图，⊙0的直径 AB=13Cm,C为⊙O上的一点，已知CD⊥AB,垂足为D,并且CD=6cm,AD<DB,BC平分∠ABE, CE⊥BE,垂足为E. (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)求AD的长. 20155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(I) 证明：如图，连接OC, B :BC平分∠ABE, 、∠EBC=LOBC, ..OB=OC, .∠OBC=∠OCB, ∴.∠EBC=∠OCB, ,CE⊥BE. .∠BEC=90°， 、.∠EBC+∠ECB=90°，即∠OCB+∠ECB=90°， .∠0CE=90°， :OC是⊙0的半径， ∴CE是⊙0的切线. 2)4 【分析】(1)连接OC,由BC平分∠ABE,OB=OC,可得∠EBC=∠OCB,再由CE⊥BE,可得 ∠EBC+∠ECB=90°，可得LOCE=90°，即可证明结论： AD CD (2)证明△ACD∽△CBD,可得CD-BD,设AD=x,则BD=AB-AD=13-x,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AC, B 9E 21/55 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB是OO的直径， .∠ACB=90°」 .∠ACD+∠BCD=90° :CD⊥AB, .∠ADC=∠BDC=90°， .∠ACD+∠A=90°， .∠BCD=∠A, ,.△ACD∽△CBD, AD CD CD BD 设AD=x,则BD=AB-AD=13-x, ∴.613-x,整理得，x2-13x+36=0, =4x2=9 解得 ∴.AD=4或AD=9, 当AD=4时，BD=AB-AD=13-4=9. 当AD=9时，BD=AB-AD=13-9=4, AD<DB, .AD=4 12.(辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷)如图，AB为 ⊙O的直径，点D,E为OO上的两个点，延长AD至C,使∠CBD=∠BED,BE与AD相交于点F. (1)求证：BC是O0的切线； Q)若⊙0的半径为4，点E为弧AD的中点，∠BED=30°，求DF的长. 【答案】()证明见解析 22155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45 (2)3 【分析】(1)由圆周角定理可得∠BD=∠B4D=∠CBD,由直径所对的圆周角为直角可得 ∠ABD+∠BAD=90°，从而得到∠CBD+∠ABD=90°，命题得证： (2)根据题意可得AB=8,由(1)可知，∠BED=∠BAD=30°，∠ADB=90°，使用三角函数计算得 BD=4根搭圆周角定里可得∠4E=∠D8E=兮8D=30,再使用三角函数计算出Dp即可。 【详解】(1)证明：，BD=BD, ∴.∠BED=∠BAD, :∠CBD=∠BED. .∠BAD=∠CBD, ,AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠ABD+∠BAD=90°， .∠CBD+∠ABD=90°，即AB⊥BC, .BC是⊙O的切线： (2)解：⊙0的半径为4， AB=8, 由(1)可知，∠BED=∠BAD=30°，∠ADB=90°， .∠ABD=90°-∠BAD=60°， 在RtAABD中，BD=AB·sin∠BAD=8×sin30°=4， ,点E为弧AD的中点， AE-DE :∠ABE=∠DBE=)∠ABD=30, 在Rt△BDF中， DF=BD.tan∠D8e=4xtan30°= 4v3 3. 23155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷)如图，已知CF为⊙0的直径， FA=AB=BC ,连接4B,过点C作CGLB,交4B延长线于点G. (1)求证：CG是O0的切线； (2)若⊙0的半径长为2，求图中阴影部分的面积. 【答案】I)见解析 332m (2)23 【分析】1)连接1C,根据CF为O0 的直径，网=AB=BC 得出∠ACF=∠C1G=30°，证出 AG∥CF,则∠AGC+∠OCG=180°，.根据CG⊥AB,得出CG⊥CF.即可证明CG是⊙O的切线. (2)连接CB,证出△BOC是等边三角形，则∠OCB=60°，BC=OC=OB=2,在直角三角形BGC中， 求出GC=Ccas∠BcG=5,BG,即可求出5，再求出Sa,根据 S阴影=S,Oc+S,GBc-S扇形OBc 求解即可. 【详解】(1)证明：连接AC,BO, 为 的直径， :CF⊙O FA=AB=BC 24155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠B0C 3×180°=600 ∠ACF=∠CAG=30° ,AG∥CF .∠AGC+∠0CG=180°. CG⊥AB ∴.∠AGC=90° ∴∠0CG=90°，即CG⊥CF. :C0为⊙0的半径， .CG是⊙O的切线。 (2)解：连接CB, :B0=C0,∠BOC=60°， :∴.△BOC是等边三角形， ∴.∠OCB=60°，BC=OC=OB=2, :∠0CG=90°， ∴.∠BCG=30°. “在直角三角形BGC中， GC=BC-cos∠BCG=V3 :△BOC边OC上的高为GC的长， 1 ÷.S.08c=2 2×V5=V3 在直角三角形GBC中， ∠BCG=30° BG=8c-1, .5.wexx 1 2 Sw=S.owc +5.owc-Saome60x232 2 360 23. 14.(2026年辽宁省本溪市一模数学试题)如图，在△ABC中，BC是⊙0的弦，CD是⊙0的直径，连接 25155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD,∠ABC=∠BDC B 1)求证：AB是⊙0的切线： ②若∠A=45,∠ABC=53,AB=56:求BC的长.（参考数据：sm53P,os53 如53 3 4 ） 【答案】(I) 证明：如图1，连接OB D 为 的直径， CD⊙O .∠CBD=90° .∠BDC+∠BCD=90°. .OC OB .∠OBC=∠BCD, ,∠ABC=∠BDC. .∠ABC+∠OBC=90°， ∴∠0BA=90°， ,AB⊥OB ,OB是⊙O的半径， ,AB是⊙O的切线 265π ②)BC的长为18 【分析】(1)连接OB,利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及己知角的等量关系，推出 AB⊥OB,从而证明AB是圆O的切线： 2过点C作CE4B于点E,先明CE:4Bsn53°=华、4an53°=Cg BC 5 -BE≈3，再设BE=3a: 26155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则CE=AE=4a,BC=5a,接着算得CD,得到半径长，最后用弧长公式算出弧BC的长度. 【详解】(1)略 (2)解：过点C作CE⊥AB于点E,则∠AEC=∠BEC=90° 中， B RtAAEC ∠AEC=90°∠A=45° .∠A+∠ACE=90°， .∠A=∠ACE=45°， ..CE=AE, 在RtABEC中，∠BEC=90°，∠ABC=53° .:sin∠ABC=CE BC' tan∠ABC=CE BE :sin53-Cg、4.n530-CE4 BC 5 BE3· 设BE=3a,则CE=AE=4a, BC=VBE2+CE2=V3a)}'+(4a}'=5a, .AB=AE+BE=4a+3a=7a=56. .a=8, .BC=5a=40, ,CD是⊙O的直径， .∠CBD=90°， :∠ABC=∠BDC=53° 在Rt△CBD中，∠CBD=90°，∠BDC=53°， .sin∠BDC= CB CD· .sin53°= 404 .CD=50, .半径r=25 27155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=BC .∠B0C=2∠BDC=106°， 106×π×25265π ·8C的长为 180 18 265π 答：BC的长为18· 15.(2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一）)如图，△ABD内接于⊙0，过 点B作OO的切线交AD的延长线于点C,连接AO,∠ADB=∠OAB, B (I)求证：AO∥BC: ②)若∠DBC=159,AB=6 求AD的长度。 【答案】(1)证明：连接OB, ∴.∠AOB=2∠ADB ∠ADB=∠OAB, .∠AOB=2∠OAB. OA=OB, .∠OAB=∠OBA. ∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°， .∠OAB+∠OAB+2∠OAB=180°， ∴.∠OAB=∠OBA=45°， .∠AOB=90°， :BC是⊙O的切线， .∠0BC=90°， .∠0=∠OBC, AO∥BC: 28155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)3 【分析】(1)连接OB,根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB,根据等边对等角得到∠OAB=∠OBA, 根据三角形内角和定理求出∠AOB=90°，根据切线的性质得到∠OBC=90°，即可证明A0∥BC: (2)连接OD,根据等边对等角得到∠OBD=∠ODB=75°，进而求出∠OAD=∠ODA=30°，根据30度角 的性质得到OE=2E,根据三角函数求出40=5，根据等角对等边得到OE=ED=x,则4B=2x,设 OE=x,根据勾股定理求出x=1,即可求出AD的长度。 【详解】(1)略 (2)解：连接OD, C∠DBC=15°，∠OBC=90° ∠0BD=75°， .OB=OD ∠OBD=∠ODB=75°， .∠B0D=30°， .∠AOB=90°， .∠AOD=120°， ..OA=OD. ÷∠0AD=∠0DA=180°-120 2 =30° 在Rt△AOE中， 1 ∴OE=5AE Γ2 40-ABsin2OB4=x 在Rt△ABO中， .·∠ODE=30°，∠EOD=30° ∴.OE=ED 29155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设OE=ED=x,则AE=2x 根据勾股定理得： (2x2-x2=(3 解得：x=1(负值舍去) ∴，AD=AE+ED=3 16.(2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷)已知：如图，AB为⊙0的直径， 点C,D为⊙O上不同于A,B的两点，连接BC,BD并延长，与过点A的直线分别交于E,F两点，连 接OD,∠AFB=2∠DOB B 图1 图2 )如图1，求证：直线EF为⊙O的切线： ②如图之，连接CD,当CD∥EF,且BE=21E=185 ，求BD的长 【答案】(I)证明：连接AD, E A B ∠DAB∠DOB 与 对者班BD ∠DAB=J ∠DOB 30155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AFB= 2 .∠DAB=∠AFB, :AB为OO的直径， .∠ADB=90°， .∠DAB+∠ABD=90°， .∠AFB+∠ABD=90°， ∴.∠FAB=90° AB⊥EF, :AB为⊙O的直径， .EF为⊙O的切线： (2)9π. 【分折】(1)连接D:由圈周角定理得∠DMB-D0B,从而可得∠DB=∠AB~又B为00的直 2 径，则∠ADB=90°，从而得出∠FAB=90°，所以AB⊥EF,然后通过切线的判定方法即可求证： (2)设CD与AB交于点M,证明 DMB≌ACMB(SAS ,所以∠AC=∠ABD,BC=BD,然后由 sin∠ABC=AE、1 BE2,则∠ABC=30°，再证明ABCD是等边三角形，所以∠BCD=60,得 ∠D0B=2∠BCD=l20°，在RtEAB中，∠EB4=30°，BE=2HE=18N ,由勾股定理得 AB=BE2-AE=185-(5=27,然后通过弧长公式即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：设CD与AB交于点M, 31155 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B M CD∥EF, .∠FAB=∠DMB. 由(1)知∠FAB=90°， ∴.∠DMB=90°. .AB⊥CD, :.∠CMB=∠DMB=90°. :AB为OO的直径， .CM =DM, BM=BM, △DMB≌ACMB(SAS) .∠ABC=∠ABD, BC=BD :EF为⊙O的切线， .∠EAB=90°， 由BE=2AE=18V5,得sin∠ABC=5={ BE2 .∠ABC=30°， .∠ABC=∠ABD=30°， ∴.∠CBD=60°， BC=BD ∴.△BCD是等边三角形， .∠BCD=60°， ∴.∠DOB=2∠BCD=120°， 32155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tEAB 在 ∠EBA=30°BE=2AE=18√3 中， AB=VBE2-AE=V183-(95=27, .0B=13.5, ÷D=120mx135-9元 180 17.(2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,且BD是⊙0的直 径， AD=CD B A 0 0 图1 图2 (1)如图1，求证： AB=BC @物图2，连接0C,过点C作©0的切线与BD的延长线相交于点，者CE=CB=5,求的长 【答案】I) 证明：~BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， .AD=CD .AD=CD BD=BD. ∴.Rt△ABD≌RtACBD(H,L) ∴.∠ABD=∠CBD .AB=BC 33155 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理： AB=BC (1)证明 RtAABD≌RtACBD 后，即可得到 (2)利用切线性质和等边对等角得∠B0C,再利用特殊角的三角函数值得到⊙0的半径r=1,最后用弧 长公式即可. 【详解】(1)略 (2)解：CE是⊙O的切线， ∴.OC⊥CE,即∠OCE=90°， .CE=CB, ∴.∠E=∠CBE 设∠CBE=&,则∠E=a, .OB=OC, ∴.∠OCB=∠OBC=a, ∴.∠COE=∠OBC+∠OCB=2a, 在RtAOCE中，∠COE+∠E=90°， 2a+a=90°， 解得0=30°， ∴.∠BOC=180°-2a=120° =1 在Rt△OCE中， oc=CE.tan30°=V5x 3 ∴.⊙0的半径r=1, 由(1)知， AB=BC ∴.∠AOB=∠BOC=120° 120π×1 AB的长I= 180 3π. 18.(辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷)在△OAB中， 34155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A=40°，∠B=55°，AB⊙0 相切于点C,O1与⊙0 ⊙0 CE,DE 与 与 相交于点D,E为上一点，连接 A B C (图1) (图2) I)如图1，求∠CED的大小： ②如图2.EC与O1相交于点R,延长40与O0相交于点G,若EC∥OB,且DE=4,求EG的长〈结 果保留) 【答案】(I)∠CED=25° 8π 2)3 【分析】(1)连接OC,根据题意得出∠AC0=90°，进而得出∠A0C=50°，再根据圆周角定理求出结论： (2)连接OC,OE,先求出∠EOD=60°，证明△EOD是等边三角形，得出OE=4,根据弧长公式计算即可. 【详解】(1)解：连接OC, 与 相切于点C, B (图1) AB⊙O OC⊥AB, .∠AC0=90°， .∠A=40° .∠A0C=90°-40°=50°， .CD=CD. 2440C=25°， 1 ∴，∠CED 35155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：连接0C,OE, 0 (图2) 由(1)知OC⊥AB, :∠A=40°，∠B=55° ∴.∠B0C=90°-55°=35°，∠A0C=90°-40°=50° EC∥OB ∴.∠OCE=∠BOC=35°， .OC=OE .∠0CE=∠OEC=35°. ∴.∠E0C=180°-35°-35°=110° ∴∠E0D=∠E0C-∠AOC=110°-50°=60°， .OE =OD, .△EOD是等边三角形， ∴.DE=OE=4. .∠E0G=180°-∠EOD=120°， 120元×48元 EG的长= 1803· 19.(2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷)如图，△ABC内接于⊙0，AC是⊙0的直 径，BF平分∠ABC,交OO于点F,交AC于点E,过点F作OO的切线FM,交BC的延长线于点M,连 接CF 36155 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C M (I)求证：AC∥FM: ②若BE=25.EF=3W5 ⊙0 求 的半径. 【答案】()见解析 56 (2)2 【分析】(1)连接OF,根据直径所对的圆心角为直角可得∠ABC=90°，再由圆周角定理可求解∠AOF 的度数，结合切线定理即可证明： (2)先证明△CEF与△BFC相似，得到边长成比例，再结合勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：连接OF, 4 :AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90° :BF平分∠ABC, .∠ABF=∠FBC=45°. AF=AF, .∠AOF=2∠ABF=2×45°=90° :FM是⊙O的切线， ∴.∠OFM=90° .∠OFM=∠AOF=90° AC∥FM; (2)解：AF=AF, 37155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ACF=∠ABF=45° ·.∠ACF=∠FBC=45° .∠BFC=∠CFE. .aCEF∽aBFC, EF CF ·CFBF· BE=25EF=35 :BF=25+35=55 3V5 CF CF55. .CF-5 :∠AOF=90°， .∠C0F=180°-90°=90° 在RtACOF中，由勾股定理得，OC2+OF2=CF2. .OC=5v6 5v6 2.即⊙0的半径为2. 20.(辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷)如图，⊙0为△ABC的外接圆，AB为⊙0 直径，点D为半圆AB上一点，连接CD,CD与AB交于点E,点F为AB延长线上一点，连接CF,且 ∠ECF=∠CAD D 1)求证：CF为⊙0切线； 38155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)若∠ACD=45°，CE=CF,CE=1,求⊙0的半径长. 【答案】(I) 证明：连接OC, .·∠ECF=∠CAD .∠EAD+∠CAE=∠ECB+∠FCB, BD=BD. ∴.∠EAD=∠ECB. .∠CAE=∠FCB, :AB为OO直径， .∠ACB=90°， .∠OCA+∠OCB=90°， ..OA=OC, ∠CAE=∠OCA, .∠CAE+LOCB=90°， .∠OCF=∠FCB+∠OCB=90°， :.0C⊥CF,OC为⊙0半径， ∴.CF为⊙O切线， ®6 【分析】(1)连接OC,先证明∠CAE=∠FCB,再根据AB为⊙O直径，得出∠ACB=90°，由半径相等 得出LCAE=∠OCA,进而得出∠OCF=∠FCB+∠OCB=90°，即可得证； (2)连接OD,先证明△CEF为等边三角形，解Rt△OCF,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：连接OD, 39155 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :AD=AD∠ACD=45° ∠AOD=2LACD=90°， .∠BOD=90°， ∴.∠ODE+∠OED=90°， :OC⊥CF, .∠0CF=90°， ∠OCE+∠ECF=90°， OC=OD .∠OCD=∠ODC, ∴.∠OED=∠ECF, :∠OED=∠CEF, ∴.∠ECF=∠CEF, :FE=FC, .CE=CF, ..CE=CF=EF, ∴△CEF为等边三角形， CE=CF=1,∠F=60° 在R△OCF中，tan∠F=OC CF 0C-5 0C=V5 21,(2026年辽宁铁龄市铁岭县中考模拟考试数学试卷（一）)如图，己知△ABC内接于⊙0，AB是 ⊙0 BC ⊙0 AB AE ∠BAC 的直径，点E在弧上，过E作的切线，交的延长线于点F,若平分 40155 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：∠BEF=∠CAE: (②)若BF=8,EF=16,求AC的长. 【答案】I)证明：连接OE,交BC于点G, C 与 B 相切于点， …EF ⊙0 E ∠0EF=90°， ∴.∠BEF+∠OEB=90°， AB是OO的直径， :∠AEB=90°， ∠EAB+∠OBE=90°， OE =OB, ∴.∠OEB=∠OBE, ,∠BEF=∠EAB, :AE平分∠BAC, ∴.∠CAE=∠EAB. .∠BEF=∠CAE: 2 2)5 【分析】(1)连接OE，交BC于点G,根据切线的性质可得∠OEF=90°，从而可得 ∠BEF+∠OEB=90°，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB=90°，从而可得∠EAB+∠OBE=90°， 然后利用等腰三角形的性质可得∠OEB=∠OBE,从而可得LBEF=LEAB,进而可得LCAE=∠EAB,即 可解答： (2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得 AC∥OE,从而可得∠C=∠OGB=90°，再利用垂径定理可得CG=BG,从而可得OG是△4CB的中位线， 进而可得AC=2OG,然后证明△FEB∽△FAE,从而利用相似三角形的性质可得AF=32,再利用线段的 41155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB OG 和差关系可得AB=24,从而可得0A=0B=0E=12,最后利用平行线分线段成比例可得0F=OE,从而 36 进行计算可得： OG= 5,即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：AB是⊙0的直径， .∠C=90°， ..OA=OE, ∴.∠BAE=∠AEO ∠CAE=∠EAB, .∠CAE=∠AEO, .AC∥OE, .∠C=L0GB=90°， 即OE⊥BC, ,OE经过圆心， :.CG=BG, OA=OB, ∴.OG是△ACB的中位线， :.AC=20G ∠F=∠F,∠BEF=∠BAE, .△FEB∽△FAE, EF BF :AF EF, 16.8 ∴.AF16, AF=32, AB=AF-BF=32-8=24, 01=0B=0E=54B=12 ∠0GB=∠0EF=90°， 42155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BCl EF .△BGAOFE, OB OG ∴.OFOE· 120G .12+812, 解得：0G=36 , 4C=20G=2 , 72 AC的长为5. 22.(2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模）)如图，在△ABC中，∠C=90°， 点O是AB边上的一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC相切于点D,⊙0分别交A0,BC于点E, F,连接OD,BD A D C (I)求证：BD平分∠ABC: 2)若1D=2CDAB=6 的长 【答案】)见解析 2 2)3π 【分析】(1)由切线的性质得OD⊥AC,结合∠C=90°可得OD‖BC,∠ODB=∠DBC,由等边对等角 可得∠ODB=∠OBD,等量代换后得∠DBC=∠OBD,即可证明BD平分∠ABC: (2)由AD=2CD得AC=3,证明△OAD∽△BAC,根据对应边成比例求出⊙O的半径T,根据特殊角三 角函数值证明 A=30° △OBF 再证 DE 是等边三角形，求出所对的圆心角，最后利用弧长公式求解 43155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：~⊙0与AC相切于点D, .OD⊥AC, .∠0DA=90°=∠C, ∴OD BC .∠ODB=∠DBC, ..OD=OB .∠ODB=∠OBD, .∠DBC=∠OBD BD平分∠ABC, (2)解：如图，连接OF, D C.·AD=2CD AD AD 2CD AC AD+CD 2CD+CD-3 设⊙0的半径为r, .AB=6. :.AO=AB-OB=6-r, ∠ODA=∠C=90°，∠OAD=∠BAC. .△OAD∽△BAC AO AD 6-r 2 .ABAC,即6=3， 解得r=2, ∴.0D=2,A0=6-2=4, ~RtAADO中，sin∠A=OD_21 A042: ∠A=30° .∠AOD=∠OBF=90°-30°=60°， 44155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又OB=OF, .△OBF是等边三角形， ∴.∠OFB=60° .OD I BC .∠DOF=∠OFB=60°， 60πr60π·22 DF的长为：180 1803元 23.(辽宁省葫芦岛连山区2026年年九年级第二次模拟考试数学试题)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AD平分∠CAB,交BC于点D,以BD为直径的⊙0交AB于点E,延长AD交O0于点F, 连接CF，,CF∥AB」 F E B E 图1 图2 (I)求证：CF是⊙O的切线： (2)如图2，连接EF,若EF=EA,BD=6,求CF的长， 【答案】1)见解析： ®35 【分析】(I)连接OF,由AD平分∠CAB,则∠CAF=∠FAE,通过平行线的性质可得∠CAD=∠EFA, 则∠CAD=∠CFA,因为OD=OF,所以∠OFD=∠ODF,可得LOFD=∠ADC,然后可得 LCFA+LOFD=90°，所以∠OFC=90°，然后通过切线的判定方法即可求证： (2)由题意∠EAF=∠EFD=∠B,得出AD=DB=6,又∠CAF=∠FAE,则∠BAC=2∠B,然后求出 ∠B=30°，所以∠CAF=∠FAE=∠CFA=30°，故有CF=CA,再通过直角三角形的性质可得 CD=4D=3,通过勾股定理求出C4=35,所以CF=CA=35· 【详解】(1)证明：如图，连接OF, 45155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F :AD平分∠CAB, .∠CAF=∠FAE, ,CF∥AB, .∠CFA=∠FAE, .∠CAD=∠CFA, ..OD=OF, ∴.∠OFD=∠ODF, ,∠ODF=∠ADC, .∠OFD=∠ADC, .∠ACB=90°， ∴.∠CAD+∠ADC=90°， .∠CFA+∠OFD=90°， .∠0FC=90°， .CF⊥OF, :OF是⊙0的半径， .CF是⊙O的切线： (2)解：如图2， F .EF =EA, ∴.∠EAF=∠EFD, DEDE, ∴.∠B=∠EFD, 46155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠EAF=∠B, .'AD=DB=6, .∠CAF=∠FAE .∠BAC=2∠B, :∠ACB=90°， .∠B+∠BAC=90°. .∠B+2∠B=90°， .∠B=30°， .∠CAF=∠FAE=∠CFA=30°， ..CF=CA, 在Rt△ACD中，∠CAF=30°， 4m-片D=3 CA=AD2-CD:=6-3=33 CF=CA=3/ 24.(2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上两点， ∠CDB=2∠ABD,连接AC,BC. D 图1 图2 )如图1，求证：CD=BD: (②)如图2，B是MB上一点，∠1BD=∠CBD,若AB=4,BC=Vi5 求BE的长 【答案】()证明见解析 (2)BE的长为1 【分析】(I)连接AD,由AB为直径得∠ADB=90°，设∠ABD=a,推得∠DAB=90°-a,结合圆周角 47155 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 定理，证aCDB中∠DCB=∠DBC,根据等角对等边，得CD=BD: (2)连接AD,OC,过点D作DG⊥AB于点G,作射线DF交BC于点F,先由勾股定理得AC=l,再证 OD 是BC的垂直平分线，结合中位线与勾服股定理求得 BD=V10AD=√ 6.由∠ABD=∠DB得△MDE 为等腰三角形，列方程求AE=3,进而即可求解。 【详解】(1)证明：连接AD,如图， D B ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90° 在Rt△ADB中，∠DAB+∠ABD=90°， 设∠ABD=a,则∠DAB=90°-a, 由题意得，∠CDB=2∠ABD=2a, 由图可得，∠DAB=∠DCB=90°-a, 在△CDB中， ∠DBC=180°-∠CDB-∠DCB=180°-2a-(90°-a)=90°-a .∠DCB=∠DBC, ..CD=BD: (2)解：连接AD,OC,过点D作DG⊥AB于点G,作射线DF交BC于点F,如图， B .∠ACB=90° 48155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在R△1CB中，AB=4,BC=下 .AC=V4B2-BC2=42-(15)=1. 由(I)可得，CD=BD “,点D在BC的垂直平分线上， 又，OB=OC, ∴.O在BC的垂直平分线上， ∴.直线OD是BC的垂直平分线. ..BF-FC=1BC-5 OF⊥BC ,O是AB中点，F是BC中点， :.OF是△ABC的中位线， 1 1 ROF∥AC,OF=ACx刘=A 2 2 :OD是半径， 00-4B=2, DF=0D+OF=2+{=5 22 中，BD=VBF2+DF v15 =0, Rt△BFD ,∠ADB=90°， ∴在Rt4DB中，AD=VAB-BD=4-(O=6, 由图可得，∠DAB=∠BCD, 由(I)知，∠BCD=∠CBD ∴.∠DAB=∠CBD. :∠AED=∠CBD, ∴.∠AED=∠DAB, :MD=DE=6,△1DE是等腰三角形， 49155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DG⊥AE, AG-GE-1AE 2 在Rt△ADG和Rt△BDG中，AD2-AG2=DG=BD2-BG2, 设AG=x,则BG=AB-AG=4-x, 6-2=10-(4-x 8x=12 所号 .E=2AG=2×23=3 :.BE=AB-AE=4-3=1 25.(2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题)【问题情境】在综合与实践活动中，数学老师给出了 如下条件： 在△ABC中，AB=AC=3,点D在边AC上，AD=1,以点A为圆心，AD的长为半径画圆，点E在⊙A 上，且∠CAE+∠BAC=180° B (图1) (图2) 【初步探究】 I)奋进小组通过“延长BA与⊙A相交于点E',找到了一个符合条件的点E的位置.连接CE,进一步发现 当CE与⊙A相切时，可以求出边BC的长，请你结合图写出求BC长的解答过程. 【深入探究】 (②)睿思小组将∠BAC特殊化后提出如下问题：如图2，当∠BAC=90°时，连接BD,在BC上取点G,使 ∠BAG=∠ABD.请你在⊙A上找出符合条件的点E的位置，并作直线CE与直线AG相交于点H,求GH 的长 【答案】)BC的长为 6 ，过程见解析 50/55 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9W10910 (2)点E的位置见解析，GH的长为20或8 【分析】(1)由切线性质得AE⊥CE,结合∠CAE+∠BAC=18O°知B、A、E共线，在Rt△ACE中求 CE,再在RtBC 中用勾股定理，得BC=2√6 2②)当∠B1C=90时，A1BC为等腰直角三角形，先由an∠ABD=D- AB3,结合∠BAG=∠ABD得 tan∠BAG=方，过G作GM⊥AB,利用△BMG为等腰直角三角形的性质，设BM=GM=x,通过 tan∠BAG=GMl 3列方程解粉GM 4,进而算出 4G=310 4；再分两种情况讨论点E的位置，当E在 AB边上时，用面积法求解；当E在BA延长线上时，利用相似三角形的判定和性质求解. 【详解】(I)解：：CE与OA相切于点E, .AE⊥CE, ∴.∠AEC=90°， 由题意得，AE=AD=1, .∠CAE+∠BAC=180°， .B、A、E三点共线， .BE=BA+AE =3+1 =4, 在RtAACE中，CE2=AC2-AE2 =32-12 =8, 在RtABCE中， BC=BE2+CE2 =V42+8 51155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =2V6 (2)解：，AB=AC=3,∠BAC=90°，AD=1,∠BAG=∠ABD “.△ABC为等腰直角三角形， ∠ABC=45°， 在RtsABD中，an∠ABD=4D_I AB 3 1 ∴.tan∠BAG= 3 过G作GM⊥AB于M,如图， :∠ABC=45°，且GM⊥AB, .△BMG为等腰直角三角形， 设GM=BM=x,则AM=3-x, 在Rt△AMG中，tan∠BAG=GM-x=1 AM 3-x 3 所号 ÷GM=BM=3 4 AG=AM+GM G-BM+GM:BC14C32 当点E在AB边上，如图， M 在△ABD和△ACE中， 52155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC ∠BAD=∠CAE=90° AD=AE=1 ∴△ABD≌AACE(SAS) ,∠ABD=∠ACE. 又∠BAG=∠ABD. .∠ACE=∠BAG, 设∠BAG=a,则∠HAC=90°-a,∠ACH=a, 在a4C中，∠4HC=180°-(90°-a）-a=90° .CH⊥AG, 在Rta4CE中，CE=VAE2+AC2=0 .2×0xAH=3 1 2 解得H30 10, ∴.GH=AG-AH -310310 4 10 91o 20: 当点E在BA的延长线上，过点A作AK∥BC,交直线CE于点K,连接AE,GK,如图， H M B :AK‖BC 53155 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·EAK△EBC, EA 11 AK ·EB1+34BC, .BC=3 K=3V2 4, ..BG=3 4, .AK BG, 又：AK II BG, .四边形AKGB是平行四边形， :AB‖KG,且KG=AB=3, ∴.△HEA△HKG. AE 1 HA .KG3 HG' 由图可得，HG=HA+AG, HA 1 ·HA+AG3 3HA=HA+AG A=4G, 4G=310 4, :h0 8 .GH=AG+AH -3w10310 L 4 8 54155 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9√10 8, 910910 综上所述，GH的长为20或8， 55155函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 3年真题1年模拟：答案版 V 三年真题分类园 考点01圆周角 1.(1)45 (2)2 考点02与圆有关的位置关系 1.(1) 证明：连接CO, C D 43 2 B OC=OB .∠1=∠2， .∠3=∠1+∠2=2∠2. AC=BD .∠4=∠2， AB为直径， ∠ACB=90° .∠CAD+∠4+∠2=90°，即∠CAD+2∠2=90°， ,∠CEA=∠CAD .∠CEA+2∠2=90°， .∠CEA+∠3=90°， .∠EC0=90°， 119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OC LCE, .CE是⊙O的切线： (2)2π 考点03圆的相关计算 1.B 2.(1)135 ⊙ 一年摸拟练测园 1.C 2.C 3.A 4.D 5.56°/56度 6.2 7.(1) 证明：连接DO并延长，交CF于点H,连接OC,OF. G P 为半径， .CD=DF OD :OH⊥FC, .∠CHO=90° :DP是OO的切线， .OD⊥DP, ∴.∠ODP=90 .∠CHO+∠ODP=180°， 219 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :FC Il DP. (2)3 8.(1) 证明：连接OC,OD,OD交BC于点R, 是的切线， H B DE⊙O .DE⊥OD, .∠0DE=90°， :D为BC 的中点， .CD=BD .∠CD=∠B0D, 0B=0C, .OF⊥BC, .∠0FB=90°， .∠OFB=∠ODE」 ∴.DE∥BC 65 (2)5 9.(1) 证明：半径OA⊥OB, .∠DAO+∠AEO=90°， .OA=OD .∠DAO=∠ADO, ..CD=CE. .LCDE=∠CED 319 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CED=∠AEO. .∠CDE=∠AEO, .CDO=∠ADO+∠CDE=∠DAO+∠AEO=90°」 .OD⊥CD, .CD与OO相切， 2)0E=2V2-2 10.1)120 、4π 2)3 11.(1) 证明：如图，连接OC, B E 0 A :BC平分∠ABE, .LEBC=∠OBC, .OB=OC, .∠OBC=∠OCB, .LEBC=∠OCB, .CE⊥BE, .∠BEC=90° .∠EBC+∠ECB=90°，即∠OCB+∠ECB=90°， .∠0CE=90°， .OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线. (2)4 12.(1)证明见解析 4/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4v5 (2)3 13.(1)见解析 3√52π (2)23 14.() 证明：如图1，连接OB D 为 的直径， CD⊙O .∠CBD=90°， .∠BDC+∠BCD=90°， .OC=OB ∴.∠OBC=∠BCD :∠ABC=∠BDC, .∠ABC+∠OBC=90°， .∠OBA=90°. .AB⊥OB, .OB是⊙0的半径， AB是⊙O的切线。 265π 2)BC的长为18 15.1)证明：连接OB, .∠AOB=2∠ADB, ∠ADB=∠OAB, .∠AOB=2∠OAB, OA=OB. .∠OAB=∠OBA, :∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°， 519 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OAB+∠OAB+2∠OAB=180°， .∠OAB=∠OBA=45°， ∠AOB=90°， :BC是⊙O的切线， .∠0BC=90°， ∴.∠0=∠OBC, AO∥BC: (2)3 16.1)证明：连接AD, E ○ B :∠DAB与 ∠DOB 都对着弧BD :∠DAB=;∠DOB 2 1 :∠AFB=5∠DOB ∴.∠DAB=∠AFB, :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠DAB+∠ABD=90° .∠AFB+∠ABD=90°， .∠FAB=90°， .AB⊥EF, ,AB为OO的直径， ∴EF为OO的切线： (2)9π. 6/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.1) 证明：BD是⊙O的直径， ∠BAD=∠BCD=90°， AD=CD :AD=CD BD=BD, .Rt△ABD≌Rt△CBD(H,L) .∠ABD=∠CBD. .AB=BC 2 (2)3π 18.(1)∠CED=25 8元 (②)3 19.(1)见解析 5w6 (2)2 20.(1) 证明：连接OC, B D .∠ECF=∠CAD ∴，∠EAD+∠CAE=∠ECB+∠FCB BD=BD, .∠EAD=∠ECB, .∠CAE=∠FCB, 719 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB为⊙O直径， .∠ACB=90°， .∠0CA+∠0CB=90°， ..OA=OC, ∠CAE=LOCA, ∴.∠CAE+∠OCB=90° .∠OCF=∠FCB+∠OCB=90°， ∴.0C⊥CF,OC为⊙0半径， .CF为⊙O切线， e 21.(1)证明：连接OE,交BC于点G, 相切于点， :EF⊙O E ∠0EF=90°， :∠BEF+∠OEB=90°， AB是OO的直径， .:∠AEB=90° ∠EAB+∠0BE=90°， .OE =OB, ∴.∠OEB=∠OBE. ·∠BEF=∠EAB, AE平分∠BAC, .∠CAE=∠EAB. .∠BEF=∠CAE； 2 ②)5 22.(1)见解析 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(1)见解析： g35 24.(1)证明见解析 (2)BE的长为1 2√6 25.)BC的长为2N6, 过程见解析 9W109W10 (2)点E的位置见解析，GH的长为20或8 9/9 专题06 圆 3年真题1年模拟 考点分类 辽宁考情（2024-2026） 命题规律 考点01圆周角 2026辽宁卷 以解答题形式考查；辽宁中考圆的考题常结合垂径定理、圆周角定理综合设问，命题多以圆周角定理为载体，串联圆切线、垂径、直角三角形，由证明过渡到计算，梯度清晰。注重数形结合，将圆周角定理作为求线段和角的核心工具，兼顾基础证明与综合运算。 考点02 与圆有关的位置关系 2024辽宁卷 以解答题形式考查；辽宁中考圆的位置关系常以三角形外接圆为载体，分梯度设问。命题串联三角形性质、圆的核心定理，由几何证明过渡到计算，难度逐步提升。侧重切线判定这一核心考点，常搭配垂径定理综合考查，兼顾基础逻辑证明与代数计算。 考点03 圆的相关计算 2026辽宁卷 2025辽宁卷 以选择题、解答题形式考查；辽宁中考圆计算类考题多以直径、等弧为条件，结合圆心角、等腰三角形性质计算角度，侧重弧、圆心角、圆周角转化；考查交点坐标、弧长周长计算。常串联全等、圆的面积、周长、弧长公式出题，兼顾基础定理运用与代数运算，既考查圆核心公式，又融入几何变换、数形结合思想。 考点01 圆周角 1．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 考点02 与圆有关的位置关系 1．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 考点03 圆的相关计算 1．（2026年辽宁省中考数学试题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 0一、单选题 1．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O．此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）如图，为的直径，点C，D在上，若于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）如图，，是上的两点，是的直径，且平分．若，则的度数是_______． 6．（2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷）如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 三、解答题 7．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）如图，是的直径，弦于点，是下方上的点，且，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点P． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 8．（2026年辽宁葫芦岛市连山区中考模拟测试（一模）数学试卷）如图，是的直径，点C在上，D为的中点，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为3，，求的长． 9．（辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年下学期第一次模拟考试九年级数学试卷）如图，在中，半径，点为延长线上一点，点为上一点，连接，且，连接交于点． (1)求证：与相切； (2)如图，连接，若，，求的长． 10．（辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一））如图，是的直径，点，在上，，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 11．（沈阳市苏家屯区2025-2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一）数学试卷）如图，的直径，为上的一点，已知，垂足为，并且，，平分，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 12．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，点为弧的中点，，求的长． 13．（2026年辽宁鞍山市九年级下学期第二次质量调查数学试卷）如图，已知为的直径，，连接，过点作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为2，求图中阴影部分的面积． 14．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）如图，在中，是的弦，是的直径，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长．（参考数据：，，）． 15．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 16．（2026年辽宁营口市初中学业水平考试第一次模拟考试数学试卷）已知：如图，为的直径，点，为上不同于，的两点，连接，并延长，与过点的直线分别交于，两点，连接，． (1)如图，求证：直线为的切线； (2)如图，连接，当，且时，求的长． 17．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图，四边形内接于，且是的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 18．（辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷）在中，与相切于点C，与相交于点D，E为上一点，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，与相交于点F，延长与相交于点G，若，且，求的长（结果保留π）． 19．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）如图，内接于，是的直径，平分．交于点F，交于点E，过点F作的切线，交的延长线于点M，连接． (1)求证：∥； (2)若，，求的半径． 20．（辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷）如图，为的外接圆，为直径，点为半圆上一点，连接，与交于点，点为延长线上一点，连接，且． (1)求证：为切线； (2)若，，，求的半径长． 21．（2026年辽宁铁岭市铁岭县中考模拟考试数学试卷（一））如图，已知内接于，是的直径，点E在弧上，过E作的切线，交的延长线于点F，若平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））如图，在中，，点是边上的一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 23．（辽宁省葫芦岛连山区2026年年九年级第二次模拟考试数学试题）如图，在中，，平分，交于点，以为直径的交于点，延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)如图，连接，若，，求的长． 24．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，是的直径，C，D是上两点，，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，E是上一点，，若，，求的长． 25．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）【问题情境】在综合与实践活动中，数学老师给出了如下条件： 在中，，点D在边上，，以点A为圆心，的长为半径画圆，点E在上，且． 【初步探究】 (1)奋进小组通过“延长与相交于点E”，找到了一个符合条件的点E的位置．连接，进一步发现当与相切时，可以求出边的长，请你结合图写出求长的解答过程． 【深入探究】 (2)睿思小组将特殊化后提出如下问题：如图2，当时，连接，在上取点G，使．请你在上找出符合条件的点E的位置，并作直线与直线相交于点H，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $