专题03 函数（3年汇编）（辽宁专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2024-2026年辽宁中考数学函数真题及模拟题，覆盖平面直角坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数等五大考点，突出数形结合与实际应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|反比例函数性质、函数图象判断|结合新能源汽车剩余电量、真空压缩体积等生活情境| |填空题|10题|函数表达式、坐标计算|注重对称性质（如二次函数轴对称）、几何与函数综合| |解答题|20题|二次函数综合、实际应用建模|真题与模拟题结合，突出分类讨论（含参数取值范围）、动态探究（如抛物线平移、面积最值）|

专题03 函数 3年真题1年模拟 考点分类 辽宁考情（2024-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 2024辽宁卷 以选择题、填空题形式考查；侧重点的坐标识别、对称，常融合轴对称、二次函数与几何综合，突出数形结合，梯度清晰，兼顾基础与素养考查。 考点02 函数及函数图象的分析与判断 2026辽宁卷 以选择题形式考查；侧重函数建模与图像判断，结合时间、温度变化等真实情境建立关系式。命题突出数形结合，强化图像识读、变量分析与模型应用能力。 考点03 一次函数的图象、性质及应用 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以解答题形式考查；考察了一次函数与几何图形的综合，考查待定系数法求解析式，及实际应用。 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 2026辽宁卷 2025辽宁卷 以填空题、解答题形式考查；侧重增减性判断，对数形结合、反比例函数推理能力要求明显提高。 考点05 二次函数的图象、性质及应用 2026辽宁卷 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以填空题、解答题形式考查，每年必考；核心考查对称轴、开口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含参数取值范围；试卷最后一道几何代数综合大题，常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交等进行探究。核心思想：数形结合、坐标法、分类讨论。 考点01 平面直角坐标系 1．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 2．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1．（2026年辽宁省中考数学试题）一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察函数图像，根据函数图像求解即可． 【详解】解：根据图像知，共升温（）， 则每小时升温（）， 则在时的温度为（）． 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) 证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 2．（2024年辽宁省中考数学试卷）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1．（2025年辽宁省中考数学试题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 考点05 二次函数的图象、性质及应用 1．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 2．（2026年辽宁省中考数学试题）已知二次函数，与的几组对应值如表所示： … … … … (1)选取部分数据，求二次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，点是抛物线与抛物线的一个交点． ①过点作垂直于轴的直线，与，分别相交于点，．若点在点的上方，且，求的值； ②若函数其中，且函数的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数其中，且函数的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的表达式为． (2)①的值为；②的值为；③的取值范围是或． 【分析】（1）利用待定系数法，将表格中和代入解析式求解即可； （2）首先根据平移规律求出的解析式，联立与求出交点的坐标，进而确定的解析式， ①表示出线段的长度（纵坐标之差），建立关于的方程求解； ②根据的取值范围分类讨论，确定分段函数的最大值和最小值，利用差值建立方程； ③先求出函数和的图象与轴的交点情况，结合区间范围确定的取值． 【详解】（1）解：把，代入 得 二次函数的表达式为． （2）解： 把向右平移个单位，再向上平移个单位得： 即 当时， 把代入得： ①，。 因为点在点上方，所以线段的长度为： 令，解得。 ② 因此，当时，取得最大值， 对，当时，取得最小值， 情况1：当时， 当时，，此时, , 不符合题意； 情况2：当时， ， ，，则： 不符合题意； 情况3：当时， 此时，（由在处的取值决定）， 令，化简得： 解得（舍去，因），。 故； ③令，解得， 即与轴交点为、。 令，由求根公式得， 即与轴交点为、， 当时， 函数的图象在范围内与轴无交点； 又，故函数的图象在范围内与轴最多只有个交点， 因此不符合题意； 当时， 在范围内与轴有个交点； 要使函数的图象与轴总共有个交点，需函数的图象在范围内与轴无交点， 或 即或 的取值范围是或． 3．（2025年辽宁省中考数学试题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 4．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①略 ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 5．（2024年辽宁省中考数学试卷）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 一、单选题 1．（沈阳市苏家屯区2025-2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一）数学试卷）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．随的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质与图象上点的坐标特征，根据中k的符号判断图象位置和增减性，再验证点是否满足解析式即可得到结果. 【详解】∵ 反比例函数解析式为，可得； 选项A：将代入解析式，得，∴ 点不在该函数图象上，A错误， 根据反比例函数性质：当时，函数图象位于第二、四象限，∴ C正确， 关于增减性：当时，只有在每个象限内，才随的增大而增大；选项B描述本身错误， 选项D未说明“在每个象限内”，若跨象限（如从到），从变为，减小，因此B，D的描述均错误. 2．（辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷）新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：）是行驶里程x（单位：）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如下表： 行驶里程x（） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：） 60 54 48 42 该函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格数据可知，剩余电量y随行驶里程x均匀变化，y是x的一次函数，用待定系数法即可求出函数表达式． 【详解】解：∵由表格可得，x每增加，y减少，y随x均匀变化， ∴y是x的一次函数 设函数表达式为， 把代入得， 把代入表达式，得， 解得， ∴函数表达式为． 3．（辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷）如图，直线l为函数的图象，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线，轴于，两点；以点为圆心，长为半径画弧，交轴于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与上一步所画的弧交于点，则直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出直线，直线l为函数的图象，设直线的解析式为代入，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴直线， ∵直线l为函数的图象， ∴设直线的解析式为 代入得， 解得： ∴直线的解析式为 4．（辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷）为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 5．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 6．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是时，木板面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设反比例函数关系式为，然后代入已知点求出比例系数，再将压强值代入关系式，算出对应的木板面积． 【详解】解：设该反比例函数的关系式为，将代入， 可得， 则反比例函数的关系式为， 当，． 7．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】D 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法错误，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，符合题意 8．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析点B和点C的坐标特征，可得这两点关于y轴对称，由此可判断该函数图象关于y轴对称，排除不关于y轴对称的选项．再比较点A和点B的横坐标，结合函数的性质，分析剩余选项中函数在时的增减性是否符合两点纵坐标的变化关系．利用函数的对称性和单调性的性质，逐步筛选出符合条件的函数图象． 【详解】∵，，两点纵坐标相等， ∴、关于对称轴对称，抛物线对称轴为 ，即对称轴是y轴， ∴排除对称轴在x正半轴的选项A、对称轴在x负半轴的选项B． ，，， ∴在对称轴左侧（时），随增大而增大，符合开口向下抛物线的性质． 选项D是开口向上的抛物线，不符合该性质，因此排除D． 综上，答案选C． 9．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）如图，已知正六边形的一边在轴上，点在轴上，点坐标，反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C．24 D．48 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，由条件可知，，则，，，易证四边形是矩形，根据勾股定理求出的长，即可得到点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由条件可知，， ，，， ， ，， ， ． ， ∴四边形是矩形， ， ∴． 在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ． 10．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图1，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，，四边形的面积为，y与x之间的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（） A．的长为1 B．四边形是正方形 C．四边形面积的最小值为 D．当时，y与x之间的函数表达式为 【答案】D 【分析】根据函数图象可知当时，此时四边形即为正方形，可求出的长；通过证明三角形全等可判定四边形的形状；利用勾股定理或面积法求出与的函数关系式，进而求出最小值并判断各选项，即可求解． 【详解】解：由图2可知，当时，，此时点与重合，四边形即为正方形， 正方形的面积为，即， ， ，故A选项说法正确； 四边形是正方形，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理可得，， 四边形是正方形，故B选项说法正确； 在中，， ， ， 当时，有最小值，故C选项说法正确； 当时，与的函数表达式为，故D选项说法错误． 二、填空题 11．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））在某玩具车功率不变的情况下，行驶速度（单位：）与所受牵引力（单位：）是反比例函数关系．当时，当玩具车的速度是时，玩具车受到的牵引力是 __________ N． 【答案】4 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入所求速度计算得到牵引力． 【详解】解：设v关于F的反比例函数解析式为)， 将，代入解析式，得 ， 解得， ∴函数解析式为， 将代入解析式， 得 ， 解得（N）． 12．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）若点在一次函数图象上，则的值是________． 【答案】 【详解】解：将点代入，得， 移项，得． 13．（2026年辽宁绥中县中考一模数学试题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则电流与电阻之间的表达式为______． 【答案】 【分析】设函数解析式为，把图象上点的坐标代入求得值即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， 由图象可知，该函数图象经过点，把代入得， ∴． 14．（辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷）近视眼镜（凹透镜）的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，关于的函数图象如图所示．小鹏同学的镜片焦距为米时，眼镜度数为度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________． 【答案】 【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可． 【详解】解：由已知设与的函数关系式为， 把代入，得， 解得， ， 当时，有， 即小鹏此时眼镜的度数为． 15．（辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年下学期第一次模拟考试九年级数学试卷）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用与行程问题的综合应用．轿车到达目的地用时5小时，两辆车第一次相遇用时3小时，根据“速度路程时间”计算得出轿车和货车的平均速度．可得出货车到终点的时间，从而得到答案． 【详解】解：依题意得 故答案为：． 16．（辽宁阜新市太平区2025-2026学年下学期九年级模拟检测（二）数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 17．（2026年辽宁省铁岭市铁岭县二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，点，分别为，的中点，连接，，，若的面积为，则的值为_________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据轴、轴，可得、，结合、是中点，可得、、、，用割补法可得的面积，根据的面积为3建立方程，求解即可． 【详解】解：由图可知，在第四象限， 设点坐标为，则，， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 19．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______． 【答案】2或 【分析】设正方形的边长为，根据题意得，，，边的三等分点有两个，，据此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， 由于正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形 则，，， 如图， 此时，反比例函数过点与， 代入得，解得， 如图， 此时，反比例函数过点与， 代入得，解得， 综上所述，k值为2或． 20．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． 【答案】4 【分析】设，，根据轴，得点的纵坐标为，，即可表示点C的坐标，再表示出，再根据的面积，可得方程，解方程即可． 【详解】解：∵是反比例函数的图象上一点，且在第二象限， ∴， 设，， ∵轴， ∴点的纵坐标为，， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵点是轴上任意一点，轴， ∴点到的距离为， ∴的面积， 解得，符合， 即的值是4． 三、解答题 21．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题： (1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）理解题意，设，再把代入，求出，即可作答． （2）理解题意，直接把代入，得，即可作答． （3）唱名对应的吸管的振动频率是，结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵f是l的反比例函数． ∴设 依题意，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 依题意，把代入，得， 即吸管长度为时，对应的振动频率为， （3）解：依题意，唱名对应的吸管的振动频率是， 由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 则， ∴， 即在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是． 22．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】 探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 ①搭建斜面与水平面的实验装置（如图1），让小球从斜面顶端由静止滚下； ②测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 ⋯ 小球滚动的速度 ⋯ 小球到水平面的高度 … ③数据分析，形成结论． 【模型建立】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况． 【问题解决】 (2)求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； (3)请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 【答案】(1) 补充图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (2) (3)（合理即可） 【分析】（1）根据表格画图即可； （2）根据题意，当小球在水平面滚动的过程中，设，将代入即可求解； （3）观察表格即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，当小球在水平面滚动的过程中，设， 将代入， ， 解得， ， ∴小球在水平面滚动的过程中，速度与时间的函数表达式为； （3）解：由表格可得，小球滚动时到水平面的高度约为． 23．（辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一））【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动 活动素材 随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米． 作业标准 为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下： ①有效施药：无人机飞行高度满足米； ②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点． 问题解决： (1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式； (2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由； (3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值． 【答案】(1) (2) 解：能完成有效施药，理由如下： 当时，（米） 能完成有效施药． (3) 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，再与比较即可； （3）设出平移后的函数表达式，再代入点即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为 设解析式为： 把代入解析式， 解得 ； （2）略 （3）解：水平向前平移米后， 设 把代入解析式， 解得，（舍）   值为． 24．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】(1)； (2)乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 【分析】（）根据图象即可求解； （）由图象可知甲园林队完成的绿化面积为，所以乙园林队完成的绿化面积为，设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为，然后把点，代入即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲园林队完成的绿化面积为，甲工作完成的绿化面积为， ∴甲工作后还剩下， 又∵甲园林队每小时绿化的面积保持不变， ∴甲还需完成剩下的绿化面积， 由图象可知：甲园林队休息了， 故答案为：； （2）解：∵由图象可知甲园林队完成的绿化面积为， ∴乙园林队完成的绿化面积为：， 设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为， ∵图象经过点，， ∴， 解得：， ∴乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 25．（2026年辽宁省抚顺市望花区九年级中考二模数学试题）已知网球比赛场地长为米（其中，为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图（1）所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ， ∴当时，， ∴网球越过球网， 当时，， ∴网球落在对方区域； ∴此次击球越过球网并落在对方区域内 【分析】（1）设抛物线的解析式为：．待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别将，代入解析式，求得函数值分别与球网高度以及比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵网球飞行过程中在点处达到最高， ∴设抛物线的解析式为：． 把代入，得：． 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 26．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）去年春节小华家和小明家组队自驾去大连旅游，建昌到大连某景点距离约，由于小明家临时有事，比小华家晚出发（从小华家出发时开始计时），小华家和小明家所走路程分别记为和与时间之间的函数关系如图所示．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．小华家汽车停留的时间为________． (2)求汽车故障排除后小华家所走的路程与时间之间的函数关系式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图进行分析即可； （2）先求出的函数关系式，再求出点的坐标，最后使用待定系数法求出的函数关系式． 【详解】（1）解：由图可知，小华家在段没有移动， ∴小华家汽车停留的时间为； （2）解：设的函数关系式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴的函数关系式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设段的函数关系式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴段的函数关系式为． 27．（辽宁丹东市2026年中考适应性测试数学试卷）某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求出经过、、三点的抛物线表达式； (2)求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 【答案】(1) (2)线段的长度为 【分析】（1）先求出点的坐标，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）增加起跳高度后的抛物线表达式为，求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，经过、、三点的抛物线的对称轴为直线， 顶点坐标为， ∵图像过原点， 设抛物线的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得， 经过、、三点的抛物线表达式为； （2）根据题意，抛物线形状不变， 增加起跳高度后的抛物线表达式为， 当时，， 解得，（舍去）， ， ，     答：线段的长度为． 28．（辽宁省辽阳市宏伟区2025-2026学年下学期九年级第二次综合模拟数学试题）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示： (1)求与之间的函数关系式； (2)设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)小强第天创造的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）由图象分两种情况分别求与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况分别求出w的函数解析式，根据函数的形式作答即可． 【详解】（1）解：由图象得，当时，； 当时，设， 由题意可得， 解得：，． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （2）解：当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， 可知当时，有最大值，最大值为（元）， 综上可知，第天时，利润最大，最大值为元， 小强第天创造的利润最大，最大利润是元． 29．（2026年辽宁省葫芦岛市绥中县二模数学试题）某地区举办了一场以铭记抗战历史为主题的大型文艺晚会．某数学小组针对此次晚会的入场排队情况，研究了排队人数与安检时间、安排安检通道数之间的关系：如图是晚会安检的示意图． 条件1：在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：该晚会场地最多可开设10条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人． 晚会前30分钟开始安检，统计发现现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系为：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开设4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为______（用含x的式子表示），排队人数w与安检时间x的函数解析式为__________； (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 【答案】(1)20x； (2)排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人 【分析】（1）由“已入场人数通道数每分钟安检人数时间”可求解，再由现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系求解排队人数w与安检时间x的函数解析式； （2）求解出二次函数的对称轴，结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：每条通道每分钟可安检5人，开设4条通道，安检时间为x分钟， 那么已入场人数通道数每分钟安检人数时间， 即； ∵， 即； （2）解：由（1）得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为345． 答：排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人． 30．（2026年辽宁省盘锦市中考一模数学试题）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，已知点，，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)，求的面积． 【答案】(1)直线与反比例函数（）的图象交于点， ∴， ∴反比例函数解析式为：； (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到直线的解析式为，设，则，由此得到的值，结合题意得到，，由面积的计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：直线过点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上，且轴， ∴设，则点D的横坐标为c， ∵点D在直线上， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴，， 如图所示， ∴， ∴ ． 31．（2026年辽宁省铁岭市铁岭县二模数学试题）抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由、重合可得，解得，再将代入到抛物线的表达式即可求解； （3）利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴和顶点坐标，由抛物线的顶点在图象上，可得出图象的最低点的纵坐标，再分两种情况讨论：①点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，②点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，表示出对应的最高点的纵坐标，即可求出与之间的关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴将，代入到抛物线得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵、重合， ∴， 解得， ∴， 将代入到抛物线的表达式得， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在图象上， ∴图象的最低点的纵坐标为，且点、在抛物线的对称轴的两侧， ①若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ②若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ∴与之间的关系式为． 32．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）将点代入，得，故反比例函数为；再代入得，即．将、代入一次函数，列方程组解得，，得表达式； （2）不等式的解集，对应反比例函数图象在一次函数上方的范围．结合交点、，得解集为或； （3）点右移4个单位得，由轴得，再求出和即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点和点代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将点向右平移个单位长度后得到点，且点， ∴点的坐标为，即， ∵线段与轴相交于点，且点，点， ∴平行于轴， ∴点的纵坐标与、的纵坐标相同，为，横坐标为，即， ∴；， ∴． 33．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 【答案】(1)段墙的长度约为米 (2)20米 【分析】（1）过B作于M，根据矩形的判定与性质求出，，则，然后在中根据余弦的定义求解即可； （2）设，采摘园的面积为S，过B作于M，根据矩形的判定与性质求出，，则，然后在中根据正切的定义求解，如果根据梯形面积公式求，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过B作于M， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即段墙的长度约为米； （2）解：设，采摘园的面积为S，则， 过B作于M， 同（1）可求，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，S取最大值， 即采摘园面积最大，的长为20米． 34．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））综合实践： 【问题背景】某市体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．小李同学为了在体育考试实心球项目取得满分进行投掷实心球训练． 【建系分析】若实心球的运行路线近似看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，他某次投掷实心球的路线为抛物线的一部分，x（单位：m）为实心球运行时距离抛出点A的水平距离，y（单位：m）为实心球运行时距离地面的高度，已知抛出点A距离地面高度（即的长）为，实心球落地点距离抛出点的水平距离（即的长度）为． 【问题解决】 (1)求b，c的值； (2)小李同学为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高抛出点来提高成绩（抛出的实心球运行路线的形状和对称轴都完全不变）．若小李同学刚好能得到满分，则求此时抛出点距地面的高度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出点A，B坐标，利用待定系数法求解； （2）由（1）中结论得出原抛物线的解析式，化为顶点式，根据新路线的形状和对称轴都完全不变，设出新抛物线解析式，求出新抛物线与y轴的交点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 代入得：， 解得； （2）解：由（1）中结论得，原抛物线的解析式为， 抛出的实心球运行路线的形状和对称轴都完全不变， 设新抛物线解析式为， 若小李同学刚好能得到满分，则抛物线经过点， 将代入，得：， 解得， 新抛物线解析式为， 当时，， 即此时抛出点距地面的高度为． 35．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，，，抛物线上点D的横坐标为1，点E在线段上，且，连接，，． (1)求a，b的值及线段的长； (2)求证：点A在直线上； (3)射线与抛物线相交于点F，点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，，且，点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G，若，求与的数量关系，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 证明：设， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点在直线上，即点A在直线上； (3)，，且 【分析】（1）求出点C的坐标，得到的长，则可得到的长，再求出点A和点B的坐标，利用待定系数法求出a、b的值，得到抛物线的解析式，再求出点D的坐标，最后利用两点间的距离公式求出的长即可； （2）利用两点间的距离公式建立方程求出点E的坐标，再求出直线的解析式，把代入直线的解析式中求出对应的函数值即可证明结论； （3）过点G作轴于点R，求出直线的解析式为，可求出，；，由勾股定理得；根据，得到，则可推出，再求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点G作轴于点R， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，， ∴； ∵点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G， ∴，， ∴， ； ∵轴于点R， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点N在线段上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且； 综上所述，，，且． 36．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）如图，抛物线：交轴于点，，交轴于点，直线与抛物线的交点的横坐标为4． (1)求抛物线的表达式； (2)点和是抛物线上的两点，求的取值范围； (3)抛物线：（）的顶点为，与抛物线在轴右侧的交点为，连接交于点．当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立解析式列出方程求解； （2）根据抛物线解析式得出，然后利用二次函数的图像和性质求解； （3）连接，过点作交于点，过点作轴，分别过点作于点于点．过点作轴于点，过点作轴交于点，设与轴的交点为，利用全等三角形和相似三角形得出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出相关点的坐标，得出直线和抛物线的解析式，然后求出顶点坐标，即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线的交点的横坐标为4， ． ． ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点和在抛物线上， ①， ② 得：． ， ∴当时，有最大值为． ； （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作轴，分别过点作于点于点．过点作轴于点，过点作轴交于点，设与轴的交点为． 抛物线， 令，则，即点的坐标为． 令，则，即点的坐标为． ∴， ． ． ． ． ，即． ∵， ∴直线的解析式是， 设点的坐标为， ． 解得． ． ． ． ． ， ． 令，则，即点的坐标为． 在中，， 又， ∴在中，． 设，则． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ． 解得（舍去）． ∴点的坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为． ， ∴抛物线． ∴顶点的坐标为． ∵点在抛物线上， ． 解得． ∴顶点的坐标为． 轴且点在直线上， ∴点的坐标为． ． 37．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，过点作直线，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由对称轴公式可得，将点代入表达式求得，写出表达式即可； （2）作轴于点，设点的坐标为，利用二次函数的表达式求出点，，则，，．使用待定系数法求出直线的函数表达式，从而得到点，则，．容易证明，则，计算得，因此，根据二次函数的性质求出最大值，以及对应的点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将点代入，得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点，设点的坐标为， ∵，且抛物线对称轴为直线， ∴点的坐标为， ∵点在直线的上方， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 由勾股定理可得，， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为． 38．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C． (1)求点A，B的坐标及的解析式． (2)直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值． (3)定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)t的值为或； (3)或． 【分析】（1）根据题意分别求出，，，然后再由待定系数法确定函数解析式即可； （2）由题意，，，，确定， ，再由题意建立方程，分情况分析求解即可； （3）根据题意得出当时，，确定，然后根据题意取临界点即可求解． 【详解】（1）解：令，解， 得，， ∴，． 令，得， ∴． 把，代入中， 得， 解得，． ∴． （2）解：由题意，，，． ∴， ∵由， ∴． ∴当时，化简得， 解得（舍去），． 当时，化简得， 解得（舍去），． 综上所述，t的值为或． （3）解：， 当时，， 解得：， ∵， ∴开口向上， ∴当时，， ∴由题意，得 直线与有三个交点，需分两种临界情况： 联立，即， 整理得：， 判别式：， 解得． 联立，即， 整理得：， 判别式：， 解得． ∴ 将代入中，得． 将代入中，得． ∴． ∴或． 39．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）平面直角坐标系中，抛物线C：： (1)如图当抛物线经过点，点是抛物线上一点时： ①求的值； ②过点作直线交直线于点，作直线交直线于点，求面积的最小值并直接写出此时点的坐标； ③将抛物线部分记作，将沿直线翻折得到图像，、组成的新图像记作，若新图像与直线有交点，直接写出的取值范围． (2)抛物线：，当时，始终有成立，求的取值范围． 【答案】(1)①∵ 抛物线C：经过点， ∴， 整理得：， 解得：； ②由①知， ∴ 抛物线C的解析式为：， ∵点是抛物线上一点， ∴， 根据题意可得：，， 如图所示： ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 将代入得：， ， 二次函数， 面积的最小值为， 此时，， ∴面积的最小值为，此时点的坐标为； ③ (2)∵当时，始终有成立， ∴， 整理得：， 令， 第一种情况：当时，开口向上，当时，最大值在端点， ， 解得：， 所以， 第二种情况：当时，开口向下，当时，最大值在端点， ， 解得：， 所以， 所以， 综上所述，的取值范围为或． 【分析】（1）①点代入抛物线即可求出a的值； ②先求出点、点N坐标，根据图象列出三角形的面积，将二次函数化为顶点式求解即可； ③两个函数图象有交点，联立两个函数，即可，重点一定要判断原抛物线图象与一次函数图象是否有交点； （2）抛物线一般式化为顶点式，分类讨论，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：①略 ②略 ③， ：的抛物线，是关于的翻折， 翻折变化：上的点经过翻折后坐标为，设，则坐标为， ∴， 原抛物线与直线联立得：， 整理得： ， ∴， 原抛物线与直线图象无交点， 新图像与直线有交点， 只能是的图象与直线有交点， ∴， 整理得： ， ， 解得：， 即， 解得：． （2）略 【点睛】抛物线一般式，化为顶点式为，牢记抛物线图象的增减性，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 函数 3年真题1年模拟：答案版 三年真题分类园 考点01平面直角坐标系 1.B 2.4 考点02函数及函数图象的分析与判断 1.D 考点3一次函数的图象、性质及应用 1.(1) 证明：对于直线y=-x+4, 令x=0,则y=4:令y=0,则x=4, :10,4).B(4,0) ∴0A=4,0B=4, ∠AOB=90°， ∠0AB=45°： 8 ②)四边形COFD面积的最大值为3： 2.(1)y=-x+100 (2)该商品日销售额不能达到2600元 考点04反比例函数的图象、性质及应用 1/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20 1. 2.(1)m=-2,k=-6 (2)△PBC面积的最大值为3，此时点P的坐标为 考点05二次函数的图象、性质及应用 1.3 y=x2+2x-3 2.(1)二次函数的表达式为 1 2)0,的值为2；②a的值为2：③a的取值范围是1<a<2+2√5或a>3+22· 1 3.(1)y=-。x2+2 8 (2)这根材料的长度够用 19 4.()点4的坐标为(3,0)，4，c的值分别为22 (2)①证明：如图， 没直线4B的解析武为y=+b0,将A6.0E子，9分别代入，霜 3k+b=0 1 16 3 ,解得b=- ·直线4B的解析式为y=3-1, 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 设点E的坐标为m亏m-1 1 a= 2 9 C=- 2 2 c m, 将x=m代入2，得（ 23) 4 -+-小-+. 0e-后m-小-m-4++引. ∴.DE=2CE 9或m、5 11 ②m= 9 ®}isa号 5.0⅓号式 ②13) -2m2+6m(1<m<2) 60m=1或m=4:②为= -2m2+14m-16(2<m<4)；③t2-t=4或12-6=3-2W2 一年模拟练测园 1.c 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.C 3.B 4.B 5.B 6.B 7.D 8.C 9.A 10.D 11.4 12.3 36 3. 14.125 15.7.5 16.12 17.-8 18.4 1 19.2或2 20.4 21.0)f=86400 1 (2)1080Hz 3)196mm 22.(1) 补充图象如图所示： 4/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Av(m/s) 3 2 12345(s) 当0≤t<1时，v随t的增大而增大；当1≤t≤4时，v随的增大而减小 2)'=-t+41≤1≤4) 3)23.4cm(合理即可) 23.4)y=- c-20492 (2) 解：能完成有效施药，理由如下： 当x=36时，=0(6-20+92=408(0米 3.5<4.08<4.2 ∴.能完成有效施药. 3)16+10w5 24.(1)1: (2)乙园林队绿化的面积S与t之间的函数表达式为S=45t-45, 25.1)抛物线的解析式为y=-60(c+4)+2.1 60 (2)此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： 1 ,y=- (x+4)2+2.1 60 1 “当x=0时，y= 601 0x16+2.1=2>1, 网球越过球网， 1 当x=12时，“60 02+4+2.1=-13<0. 61 网球落在对方区域： 5/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此次击球越过球网并落在对方区域内 26.(1)1.6 21=100x-220(4.6≤x≤7.6) 27.)y=-0.01x2+1.2x (2)线段AD的长度为10cm 5(0≤x≤10) 28.a)2=10.1x+410<x≤20) (2)小强第20天创造的利润最大，最大利润是840元 29.(1)20x:w=-x2+30x+120 (2)排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人 30.(1)直线4B与反比例函数y=元(x>0)的图象交于点A(3,4), .k=xy=3×4=12 六反比例函数解析式为：y-12 (2)18 31.(1) y=x2-2x-1 (2) 到 3) m2-2m+1(m≤0) d= m2(m≥1 32。Q四反比例图数的表达式为y x,一次函数的表达式为y=x+1 (2)x<-2或0<x<1 (3)证明见解析 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 33.1)BF段墙的长度约为11.2米 (2)20米 34.)b=1 3 60,c- 11 (2)5m 350a== 2 BD=5 (2) 证明：设E(0,e) 由(1)得 D=5 :DE=号D DE= :DE2 5 2 4 0-y°+(e-2- 4, 35 解得e= 2或e=2: .OE<OB. .e<2, :e=2 设直线DE的解析式为y=cx+b', 7/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [k+b'=2 1 k-2 b'= 3, 2 :直线0G的解折式为方. 在y+中，当-3时，（到+0. 13 点3,0)在直线DE上，即点A在直线DE上 36.0)y=-r2+2x+3 2)2c+ds1 2 315 3)128 37.1)y=- 2 1 115 2PDDE的最大值为8，时P华伤为2”3 5 38.@406.830:为=式-4r+6: 33 (2)t的值为-4或2； 8)3<m<-1或8m<105 16· 39.00:抛物线c.=a+(2a+2]r-3a+0)经过点4很0)， ,0=9a+3(-2a+2)-3 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得：3a=-3, 解得：a=-1; ②由①知a=-1, ∴.抛物线C的解析式为： y=-x2+4x-3 P(m,n 点 是抛物线C上一点， .n=-m2+4m-3, M(m,-m+4)N(4-n,n) 根据题意可得： 如图所示： y◆x=m M Ny=n A y=-x+4 PM=-m+4-n PN=4-n-m .PM=PN, :.△PMN是等腰直角三角形， 8m-PM2=4-m-n, 将n=-m2+4m-3代入得： 4-m-n=4-m-（-m2+4m-3)=m2-5m+7 8ma2-5m+7, 二次函数 △PMN面积的最小值为 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 此时m n +4× 2, 2 9 APN面积的最小值为32，此时点P的坐标为4》 ③m3 8 3 2):当2≤x≤4时，始终有y<2x成立， :m+(-2a+2)x-3<2x 整理得： r-2m-3<08<4】 f()=ax2-2ax-3=a(x-1-a-3 第一种情况：当a>0时，开口向上，当2≤x≤4时，最大值在端点x=4: f(4)=8a-3<0 3 解得：a< 8 所以0<a<3 第=种情识：当<0时、开口向下，当2≤4，原大植在霜点}， 3 八2 40-3<0 解得：a>-4, 所以0<a<8 3 所以-4<a<0, 3 综上所述，a的取值范围为0<a< 8或-4<a<0: 10/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11/11 专题03 函数 3年真题1年模拟 考点分类 辽宁考情（2024-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 2024辽宁卷 以选择题、填空题形式考查；侧重点的坐标识别、对称，常融合轴对称、二次函数与几何综合，突出数形结合，梯度清晰，兼顾基础与素养考查。 考点02 函数及函数图象的分析与判断 2026辽宁卷 以选择题形式考查；侧重函数建模与图像判断，结合时间、温度变化等真实情境建立关系式。命题突出数形结合，强化图像识读、变量分析与模型应用能力。 考点03 一次函数的图象、性质及应用 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以解答题形式考查；考察了一次函数与几何图形的综合，考查待定系数法求解析式，及实际应用。 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 2026辽宁卷 2025辽宁卷 以填空题、解答题形式考查；侧重增减性判断，对数形结合、反比例函数推理能力要求明显提高。 考点05 二次函数的图象、性质及应用 2026辽宁卷 2025辽宁卷 2024辽宁卷 以填空题、解答题形式考查，每年必考；核心考查对称轴、开口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含参数取值范围；试卷最后一道几何代数综合大题，常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交等进行探究。核心思想：数形结合、坐标法、分类讨论。 考点01 平面直角坐标系 1．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024年辽宁省中考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    考点02 函数及函数图象的分析与判断 1．（2026年辽宁省中考数学试题）一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 2．（2024年辽宁省中考数学试卷）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1．（2025年辽宁省中考数学试题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 2．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 考点05 二次函数的图象、性质及应用 1．（2026年辽宁省中考数学试题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 2．（2026年辽宁省中考数学试题）已知二次函数，与的几组对应值如表所示： … … … … (1)选取部分数据，求二次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，点是抛物线与抛物线的一个交点． ①过点作垂直于轴的直线，与，分别相交于点，．若点在点的上方，且，求的值； ②若函数其中，且函数的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数其中，且函数的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 3．（2025年辽宁省中考数学试题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 4．（2025年辽宁省中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 5．（2024年辽宁省中考数学试卷）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 一、单选题 1．（沈阳市苏家屯区2025-2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一）数学试卷）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．随的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．随的增大而增大 2．（辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷）新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：）是行驶里程x（单位：）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如下表： 行驶里程x（） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：） 60 54 48 42 该函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷）如图，直线l为函数的图象，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线，轴于，两点；以点为圆心，长为半径画弧，交轴于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与上一步所画的弧交于点，则直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（辽宁省沈阳市于洪区2025-2026学年度下学期第一次模拟测试九年级数学试卷）为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是时，木板面积为（     ） A． B． C． D． 7．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 8．（2026年辽宁省本溪市一模数学试题）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）如图，已知正六边形的一边在轴上，点在轴上，点坐标，反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C．24 D．48 10．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图1，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，，四边形的面积为，y与x之间的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（） A．的长为1 B．四边形是正方形 C．四边形面积的最小值为 D．当时，y与x之间的函数表达式为 二、填空题 11．（2026年辽宁葫芦岛市兴城市初中学业水平考试模拟数学试卷（一））在某玩具车功率不变的情况下，行驶速度（单位：）与所受牵引力（单位：）是反比例函数关系．当时，当玩具车的速度是时，玩具车受到的牵引力是 __________ N． 12．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）若点在一次函数图象上，则的值是________． 13．（2026年辽宁绥中县中考一模数学试题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则电流与电阻之间的表达式为______． 14．（辽宁省鞍山市2026年九年级第一次质量调查数学试卷）近视眼镜（凹透镜）的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，关于的函数图象如图所示．小鹏同学的镜片焦距为米时，眼镜度数为度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________． 15．（辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年下学期第一次模拟考试九年级数学试卷）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 16．（辽宁阜新市太平区2025-2026学年下学期九年级模拟检测（二）数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 17．（2026年辽宁省铁岭市铁岭县二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，点，分别为，的中点，连接，，，若的面积为，则的值为_________． 18．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 19．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______． 20．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． 三、解答题 21．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题： (1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 22．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】 探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 ①搭建斜面与水平面的实验装置（如图1），让小球从斜面顶端由静止滚下； ②测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 ⋯ 小球滚动的速度 ⋯ 小球到水平面的高度 … ③数据分析，形成结论． 【模型建立】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况． 【问题解决】 (2)求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； (3)请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 23．（辽宁阜新市海州区2025-2026学年九年级下学期素质测评数学试卷（一））【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动 活动素材 随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小组同学以为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距的水平距离为36米． 作业标准 为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下： ①有效施药：无人机飞行高度满足米； ②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点． 问题解决： (1)求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式； (2)初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由； (3)为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移米，直接写出值． 24．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 25．（2026年辽宁省抚顺市望花区九年级中考二模数学试题）已知网球比赛场地长为米（其中，为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图（1）所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由． 26．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）去年春节小华家和小明家组队自驾去大连旅游，建昌到大连某景点距离约，由于小明家临时有事，比小华家晚出发（从小华家出发时开始计时），小华家和小明家所走路程分别记为和与时间之间的函数关系如图所示．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．小华家汽车停留的时间为________． (2)求汽车故障排除后小华家所走的路程与时间之间的函数关系式； 27．（辽宁丹东市2026年中考适应性测试数学试卷）某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求出经过、、三点的抛物线表达式； (2)求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 28．（辽宁省辽阳市宏伟区2025-2026学年下学期九年级第二次综合模拟数学试题）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示： (1)求与之间的函数关系式； (2)设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ 29．（2026年辽宁省葫芦岛市绥中县二模数学试题）某地区举办了一场以铭记抗战历史为主题的大型文艺晚会．某数学小组针对此次晚会的入场排队情况，研究了排队人数与安检时间、安排安检通道数之间的关系：如图是晚会安检的示意图． 条件1：在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：该晚会场地最多可开设10条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人． 晚会前30分钟开始安检，统计发现现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系为：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开设4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为______（用含x的式子表示），排队人数w与安检时间x的函数解析式为__________； (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 30．（2026年辽宁省盘锦市中考一模数学试题）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，已知点，，点是反比例函数（）的图象上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)，求的面积． 31．（2026年辽宁省铁岭市铁岭县二模数学试题）抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 32．（2026年辽宁省大连市中考二模考试数学试题）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 33．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 34．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））综合实践： 【问题背景】某市体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．小李同学为了在体育考试实心球项目取得满分进行投掷实心球训练． 【建系分析】若实心球的运行路线近似看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，他某次投掷实心球的路线为抛物线的一部分，x（单位：m）为实心球运行时距离抛出点A的水平距离，y（单位：m）为实心球运行时距离地面的高度，已知抛出点A距离地面高度（即的长）为，实心球落地点距离抛出点的水平距离（即的长度）为． 【问题解决】 (1)求b，c的值； (2)小李同学为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高抛出点来提高成绩（抛出的实心球运行路线的形状和对称轴都完全不变）．若小李同学刚好能得到满分，则求此时抛出点距地面的高度． 35．（2026年辽宁省大连市中考一模考试数学试题）如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，，，抛物线上点D的横坐标为1，点E在线段上，且，连接，，． (1)求a，b的值及线段的长； (2)求证：点A在直线上； (3)射线与抛物线相交于点F，点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，，且，点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G，若，求与的数量关系，并直接写出的取值范围． 36．（辽宁省锦州市2025~2026学年度第二学期九年级质量检测（一）数学试卷）如图，抛物线：交轴于点，，交轴于点，直线与抛物线的交点的横坐标为4． (1)求抛物线的表达式； (2)点和是抛物线上的两点，求的取值范围； (3)抛物线：（）的顶点为，与抛物线在轴右侧的交点为，连接交于点．当时，求的面积． 37．（辽宁葫芦岛市建昌县部分校2026年初中毕业生学业水平模拟考试（二）数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，过点作直线，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 38．（2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C． (1)求点A，B的坐标及的解析式． (2)直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值． (3)定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围． 39．（2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题）平面直角坐标系中，抛物线C：： (1)如图当抛物线经过点，点是抛物线上一点时： ①求的值； ②过点作直线交直线于点，作直线交直线于点，求面积的最小值并直接写出此时点的坐标； ③将抛物线部分记作，将沿直线翻折得到图像，、组成的新图像记作，若新图像与直线有交点，直接写出的取值范围． (2)抛物线：，当时，始终有成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $