专题17 解答题第25题（代几综合，压轴题）（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编上海中考2022-2026年5年真题及2026年模拟共25道代几综合压轴题，聚焦核心几何知识，体现命题趋势与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题（压轴题）|25道|圆与相似综合（2026真题）、等腰三角形分类讨论（2025真题）、梯形与全等证明（2024真题）|多层递进小问设计，载体从直线型几何（平行四边形、梯形）升级为半圆综合，强调数形结合与多定理综合调用|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题17解答题第25题（代几综合，压轴题） 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 上海考情(2022-2026) 命题规律 第25道代几综合压轴题均设置多层递进小 问，融合四边形、圆、相似、勾股定理等核心 几何知识，依靠辅助线构造全等、相似建立等 量关系求解。命题载体逐年切换，2022、 2024、2025侧重平行四边形、梯形直线型几 解答题第25题 2026、2025、2024、 何；2023加入半圆模型，2026全面升级为半 (代几综合，压轴 题) 2023、2022 圆综合压轴，圆相关定理占比大幅提升。近年 明显变化：前两小问侧重基础证明与线段计 算，最后一问增设等腰三角形分类讨论、参数 求值，逻辑链条更长，对数形结合、分类思 想、多定理综合调用能力要求显著提高，整体 综合性与区分度持续上升 1/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 五年真题分类凤 一、解答题 1.(2026上海·中考真题)在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上两点，D是 AB上一点，连接AB、CD交于点P,且AB=CD 图1 图2 图3 (1)如图1，连接OP; ①求证：∠APO=∠CPO, ②如图2，连接OB交弦CD于点H,若AQ=4,PB=1,PO=HO,求PH的长： 2)如图3，连接P吧、AC交于点E,线段AP上有一点F使得PF=4AF,若PE=QE, PE ∠PEA=∠PFO,求EA的值. 【答案】Q)D证明：如图，作OG1AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC, D 图1 44,a-D. AB=CD .AG=CZ, :0A=OC,∠AG0=∠CZ0=90°， RtAOAG≌RtAOCZ(HL) ∴.0G=0z, ,∠PG0=∠PZ0=90°，OP=OP, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Rt△OPG≌Rt△OPZ(HL) .∠APO=∠CPO: ②PH=3 ； P№V2 (2)AQ3 【分析】(1)①作OG⊥AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC,利用垂径定理结合AB=CD,得出 AG=CZ,证 Ra0AG≌R0CZ(H),得出OG=OZ,再证明 RtAOPGS≌RtAOPZ(HL) 即可求证： BP BH PH ②先证明∠APO=∠OHP,得出∠BPO=∠BHP,可得ABPH∽ABOP,则OBBP=OP,即可得出 PHoP,再求出oM=0P BH=1 2,即可求解： PF PO 4m 2n (2)证明△FPOAEPA,得出PE=AP,设PF=4AF=4m,PE=QE=n,可得AP=5m,n=5m, 求出”=0m,连接OP,交1C于点K,由4山可得1P=CP,∠4P0=∠CP0,得出 OP⊥AC 证明 K为△APO的重心，得出AK=2EK,设AK=2EK=2k,在RtAPK和RtEPK中，利用勾股定理列式求 出=5m,可得4 K=2EK=25m,即可求解。 【详解】(1)解：①略： ②：PO=H0, ∴.∠OPH=∠OHP 由(1)可知，∠OPC=∠APO. ∴.∠APO=∠OHP :∠BPO=180°-∠APO,∠BHP=180°-∠OHP, .∠BPO=∠BHP, 在△BPH和△BOP中，∠BPO=∠BHP,∠PBH=∠OBP, ,∴.△BPHP△BOP, 3/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BP BH PH .OB BP OP' ..A0=4 OB=2, BP=1, BP 1 BH PH ·OB21OP m克，PmI=oP, 2 .OH=0P=2-1=3 22 ..PH=3 4； (2)解：∠PFO=∠PEA,∠FPg=∠EPA, .FPOAEPA, PF PO PE AP' .PF=4AF,PE=OE 设PF=4AF=4m,PE=QE=n, 则AP=5m, 4m_2n .n5m' .20m2=2n2, =v1om 连接OP,交AC于点K, B 0 图3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(I)①中RtAOPGS≌RLAOPZ可得PG=PZ(图1)， 又：AG=CZ(①已证)， ..AG+PG=PZ+CZ, .AP=CP, 又：∠APO=∠CPO(①已证)， .OP⊥AC, .∠AKP=∠CKP=90°， ,O为△APQ边AQ的中点，E为△APO边P的中点， .K为△APO的重心， .AK 2EK 设EK=k,则AK=2EK=2k, ,在RIAAPK和Rt△EPK中，PK2=AP2-AK2=PE2-EK2, (5m'-(2k}=(0m-k2, 化简符=V5m(负值合》， 4K=2EK=25m PE PE 10m√2 ∴.EAAK+EK3√5m3. 2.(2025:上海中考真题)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点 D (1) (3) (I)当E是边BC中点时， ①如图(I),联结EF,如果AE=EF,求证：∠BAE=∠CFE: ②如图(2)，如果CF=DF,联结4E,BF交边4E于点G,求 SABEG:SaF的值： (②)如图(3)所示，联结AE,AF,如果AD=5,AB=3,CF=1,∠AEB=∠AFE=∠EFC,求AF的 长 5/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(I)①证明：如图所示，延长FE,AB交于H, D B H-- E (1) ',四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD .ZEBH=ZECF,ZEHB=ZEFC, ,E是边BC中点， .BE=CE, △BEH≌ACEF(AAS) ∴.EH=EF,∠H=∠CFE, .AE=EF, ∴.AE=EH, .∠H=∠BAE, .∠BAE=∠CFE: ®后 gF=55+6 3 【分折1（①延长FE,AB交于五，可证明BEHo,CEF(S),相到H=ER,∠H=∠CFE,则可 证明AE=EH,得到∠H=∠BAE,则∠BAE=∠CFE: ②如图所示，延长BF,AD交于M,由平行四边形的性质得到AD‖BC,AD=BC,证明△BEG∽AMAG, BE GE BG BC BF CF BCFAMDF,得到M-AGGM,DM-MF-DF=l,则BF=MR,BC=DM:设CE=BE=m, GE BG BE 1 BG 2 则BC=DM=2m'AM=AD+DM=4m'进而可得AGMG=AM4,即可得到GF=3:可证明 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.OE S.OPE= GE 1 SABG.-BG2 3 SBGA S.GFA AG4,SAAFG FG3,设S△MBG=4n,则SBGE=n,S,APG=6n,则° r=2”,据此 可得答案： (2)延长AD,EF交于M,由平行四边形的性质可得ADI‖BC,CD=AB=3,证明△AEFn△MEA, EC EF CF △AEFOAECF,再证明△ECF∽△MDF,得到OM FM DF,求出DF=CD-CF=2,设 CE=s,FE=t,则由相似三角形的性质可得AE=s,AF=t,DM=2s,FM=2t,进而可得 t st st 1+2t ；再由 得到。子·则，解方程即可得 AM=AD+DM=5+2s △AEF∽△MEA st t+2t 5+2s t+2t5+2☒ 到答案。 【详解】(I)解：①略 ②如图所示，延长BF,AD交于M, :四边形ABCD是平行四边形， .ADIl BC,AD=BC, .△BEG∽△MAG,△BCF∽△MDF, BE GE BG BC BF CF ÷AM-AGGM,DMF=D=l, .BF =MF,BC=DM. E是边BC中点， .'BC=2CE=2BE 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, .AM AD+DM =4m. GE BG BEm1 ·AGMG AM4m4: BE =1 MF BG 2 GF3 7/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.NGE.-S.OPE GE1 SMBG=BG=2 'S.DG S.GFA AG 4,SAAFG FG 3 设5g4n ,则 S.BGE=n S.AFG=6n 3 SARGE- n 2 'SAAEF S△BGE一= SA4Ge+SAEGF6n+2” .3 15 A G B4 E (2)解；如图所示，延长AD,EF交于M, :四边形ABCD是平行四边形， ADI‖BC,CD=AB=3, .∠AEB=∠EAD, ,∠AEB=∠AFE=∠EFC, ∴.∠EFA=∠EAD, 又：∠AEF=∠MEA, ∴.△AEF∽aMEA: ',∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=18O°，∠AEB=∠EFC, .∠AEF=∠FCE, .△AEFAECF, :AD‖BC, :.△ECF△MDF, EC EF CF DM FM DF' .CF=1, .DF=CD-CF=2, 设CE=s,FE=t, :△AEF∽aECF, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CF CE EF 六EFAEAF,即；AEAF .'.AE =st,AF=12, EC EF CF t1 :DMFM=DF,即DMFM2, .DM =2s,FM=2t, ..AM AD+DM =5+2s; ,△AEF△MEA, EF AE AF st t+2t 5+2s' st t+2t s=3 s=-V3 st 2，解得 r=55+6或 2=53-6(舍去)， t+2t5+2s 3 3 ..AF= 5V3+6 3 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰 三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键. 3.(2024上海中考真题)在梯形ABCD中，MDBC,点E在边AB上，且4B=写AB. B M (图1) (图2) (图3) Q如图1所示，点F在边CD上，且Dr-cD,联结EF,求证：EF∥BC: (2)已知AD=AE=1: ①如图2所示，联结DE,如果△ADE外接圆的心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长： 9/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC,DM与EC交于N,如果BC=4,且 CD=DM.DN∠DMC=∠CEM CD ,求边的长 【答案】(I) 证明：延长DE,CB交于点G, G< B ADII BC AE DE ·EBEG, :AB-B,r-专0 AE 1 DF 1 EB2 FC-2 DE DF .EGFC’ EF∥BC: 6 2)02:②5 AE DE AE 1 DF 1 【分析】(I)延长DE,CB交于点G,由AD川BC,得到EBEG,由已知数据得到EB2,FC=2, DE DF 故EGFC,因此EF∥BC: (2)①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F,连接OA,OE,OD,先证明∠AOB=90°， 再证明△f10△01，则40=4，B,m40-是 40-V6 2,求得2： 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②延长BA,CD交于点P,过点E作EO⊥BC,垂足为点Q,由△PADAPBC,求得PA=1,可证明 BE BM △DCW∽△DCM,角度推导得EM∥DC,则EP=MC,求出BE=2,继而得到BM=MC=2,由 BM ME 1 △BEM∽△BPC,则BC=PC2,设ME=2a,则PC=4a,由ADI‖BC,设PD=a'DC=3a,由 EN EM 2 NMACND,得到CN=DCe3.设EN=2b.CN=3h,可证明CNM△CME,求出b, 、2 3 在RtEOM中，由勾股定理得，EM=E@+Q-号5，枚DC=5. 【详解】(1)略 (2)①解：记点O为aADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F,连接OA,OE,OD, B ,点O为△ADE外接圆圆心， ∴.OA=OE=OD AF EF=I 1 2 AE-14B 31 ..AB=3. .AE AD,OE=OD,OA=OA, ∴.△AEO≌AAD0 11/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠EAO=∠DAO. :BO平分∠ABC, .∠1=∠2， AD‖BC, .∠DAB+∠ABC=180° .2∠EA0+2∠1=180°， .∠EA0+∠1=90°， .∠AOB=90°， :OF⊥AE, ∴.∠AFO=∠AOB=90°， .∠FAO=∠OAB, ∴.△FAO∽△OAB, AO FA :.AB AO' 即AO=AF.AB, 3*33 40= 2 40=v6 2, 6 ∴.△ADE外接圆半径为2； ②延长BA,CD交于点P,过点E作EO⊥BC,垂足为点Q, D E 6 B ▣5 O M AD‖BC, .△PADAPBC, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PA AD 1 ∴.PBBC4 由①知AB=3, PA 1 PA+34 PA=1, CD2=DM.DN, CD DN .DM CD ,∠3=∠3， .△DCN∽aDMC, ∴∠4=∠5， :∠5=∠6， .∠4=∠6， .EM∥DC, BE BM EP MC' 由AB=3,AE=1 得BE=2, BE=1, :E BM=1, :.M .BM =MC=2, :EM∥DC, .△BEM∽△BPC, BM ME 1 BC PC 2' 设ME=2a,则PC=4a, ·AD‖BC, PD PA1 PC PB 4' 13/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PD=a, .'DC=3a, EM∥DC, .△EWM∽△CND, EN EM 2 ..CN DC 3' :.设EW=2b,CN=3b、 :∠5=∠6，∠7=∠7， :.△CNM∽△CME, CN CM CM CE' 即CM2=CW.CE, 4=3b5b, 潮：后 cf店 t△BQE,Rt△CQE 在 中，由勾股定理得： BE2-BO2=CE2-CO2 片4-0-后八-(4-80。 5 ..BO 3, .EO'=BE2-BOP =11 9, 60-w-02} 在RtFOM中，由幻股定理，得EM=Eg+QW-子5， EM 2 :DC3' 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DC=5 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等 知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键. 4.(2023上海中考真题)如图(1)所示，己知在△ABC中，AB=AC,O在边AB上，点F为边OB中 点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB,AC于点D,E,联结EF交OD于点G, D D E E G 图(1) 图(2) (1)如果OG=DG,求证：四边形CEGD为平行四边形： 2)如图(2)所示，联结OE,如果∠BAC=90°，∠OFE=∠D0E,A0=4,求边OB的长； OG B)联结BG,如果AOBG是以OB为腰的等腰三角形，且A0=OF,求OD的值. 【答案】1) 证明：AC=AB ∴.∠ABC=∠C OD=OB ∴.∠ODB=∠ABC, .∠C=∠ODB .OD∥AC, :F是OB的中点，OG=DG, :.FG是△OBD的中位线， ∴.FG∥BC,即GElICD, ∴四边形CEDG是平行四边形： 15/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+33 3)2 【分析】(1)根据等边对等角得出∠B=∠C,∠ODB=∠B,等量代换得出∠C=∠ODB,则OD∥AC, 根据F是OB的中点，OG=DG,则FG是△OBD的中位线，则FG∥BC,即可得证： (2)设∠OFE=∠DOE=a,OF=FB=a,则OE=OB=2a,由(1)可得OD∥AC则 ∠AEO=∠DOE=a,等量代换得出∠OFE=∠AEO=a,进而证明△AEO∽aAFE,得出AE2=AO·AF, 在Rt△AEO中，AE2=EO2-AO,则EO2-AO2=AO×AF,解方程即可求解： (3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形，分为①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明△BGO∽aBPA, 0G2 得出AP=3,设0G=2k,AP=3k,根据0GAE,得出AFOGAFAE,可得AE=20G=4k, PE=AE-AP=k,连接OE交pG于点Q,正e明0 PE0G在aP0E与△B0O中，PQ-0, 28 ,P9_QE_1 BO=BG+OG=2a+ 3a=3a,得出O0B04,可得。PQE∽a0QB,根据相似三角形的性质得出 a=2k,进而即可求解. 【详解】(1)略 2)解：∠OFE=∠D0E,A0=4,点F边0B中点， 设∠OFE=∠D0E=a,OF=FB=a,则OE=OB=2a 由(1)可得OD∥AC ∴.∠AE0=∠DOE=a, .∠OFE=∠AEO=, 又，∠A=∠A .△AEOP△AFE, AEAO ·AFAE 即AE2=AOAF, ∠A=90° 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△AEO中，AE2=EO2-AO2, .E02-AO2=AO×AF, ÷(2aj-4=4x(4+a) 解得：a=1+V33 1-V33 2或a- 2 (舍去) 0B=2a=1+V33 (3)解：①当OG=OB时，点G与点D重合，舍去： ②当BG=OB时，如图所示，延长BG交AC于点P, D 0 ,点F是OB的中点，AO=OF, .AO=OF=FB. 设AO=OF=FB=a, :OG∥AC ∴.△BGOABPA, OG OB 2a 2 APAB-3a3 设OG=2k,AP=3k. ..OGAE .△FOGr△FAE, OG OF a 1 AE AF 2a 2' .AE=20G=4k, .PE=AE-AP=k, 17/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接OE交PG于点Q, 0 E of G B .OG PE △QPE∽△QGO G0G_0g-2k-2, .PE PO EO k PQ-jo.QG- 0,0 3 34,00=4 28 在AP0E与△B00中，PQ-0,B0=BG+0G=2a+号a -a 3 PO OE 1 00B04' 又∠PQE=∠BQO .APOEAOOB, PE 1 .0B4 k1 .2a4' .a=2k, .OD=OB=2a,OG=2k 0G_2k_k_1 0D2aa2· 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等 腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明△PQE∽aOQB是解题的 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 关键. 5.(2022上海中考真题)平行四边形ABCD,若P为BC中点，AP交BD于点E,连接CE. A D B P (I)若AE=CE、 ①证明ABCD为菱形： ②若AB=5,AE=3,求BD的长. ②)以4为圆心，1E为半径，B为圆心， 为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=5柜.若F BE AB 在直线CE上，求BC的值. 【答案】a)0见解析：@62 V10 (2)5 【分析】(1)①连接AC交BD于O,证△AOE≌△COE(SSS),得∠AOE=∠COE,从而得∠COE=90°，则 AC⊥BD,即可由菱形的判定定理得出结论： ②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE,然后设OE-=x,则BE=2x,在Rt△AOE中，由勾股定 理，得OA=AE-OE=32-x=9-x,在Rt△4OB中，由勾股定理，得OA=AB-OB=5-(3x)-25-9x,从而得9 25.9,解得：xV2 即可得0B33V2 ,再由平行四边形性质即可得出BD长： (2)由⊙A与⊙B相交于E、F,得AB⊥EF,点E是△ABC的重心，又F在直线CE上，则CG是△ABC 3v2 的中线，则AGBG2AB,根据重心性质得GE-=2CE=2AB,CG-CE+GE2AE,在Rt△MGE中， 由为股定理，得40-4.G(号广号低则4G号B所以24G54,在R△sGC中， 19/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3V2 AB 由勾股定理，得BC-BG+CG=2AE+(2AB)=5AB,则BC=V5AB,代入即可求得BC的值. 【详解】(1)①证明：如图，连接AC交BD于O, D 0 E B P ,平行四边形ABCD ∴.OA=0C .AE=CE,OF-OE. ∴.△AOE≌△COE(SSS), .∠AOE=LCOE, :∠AOE+∠COE=180°， .∠C0E=90°， AC⊥BD, ,平行四边形ABCD ∴四边形ABCD是菱形： ②，0A=0C, ∴.OB是△ABC的中线， P为BC中点， AP是△ABC的中线， ∴，点E是△ABC的重心， ∴.BE=2OE, 设OE,则BE-2x, 在Rt△4OE中，由勾股定理，得OA=AE-OE=32-x9-x, 在Rt△4OB中，由勾股定理，得OA=AB-OB=52-(3x)=25-9x2, ∴.9-x2=25-9x2, 解得：2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·18=24GV2 AE, 在Rt△BGC中，由勾股定理，得 1 3W2 BC=BG+CG=2AF+(2 AE)2=5AE, 8c6 AE, AB 2AE 10 .BC SAE 5· 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质， 本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目， 一 年模拟练测园 一、解答题 1.(2026上海宝山二模)如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D是边BC中点，在边AB上取一点E, 使得DE=DB,延长ED交AC延长线于点F. B (I)求证：∠A=∠CDF: (2)设AC的中点为点O, ①如果CD为经过A、C、D三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，求CF:AC的值： ②0M经过C、D两点，联结OM、M,当∠OFM=90,AC=10,mA-时，求OM的半径长 【答案】(1) 证明：AB=AC,DE=DB, ∠B=∠ACB=∠DEB, .∠A=180°-2∠B,∠BDE=∠CDF=180°-2∠B」 .∠A=∠CDF, e0cr:ac=(5-)小4@g6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)根据等边对等角可得∠B=∠ACB=∠DEB,再利用三角形的内角和定理得到结论： ②0连D:根指正边形的中心角可得<D0C-g-3C,准AF0COD 根据对应边成比例 解题即可：②由△FDC∽aFOD,得DF2=CF,OF,过点D作DH⊥OC于点H,则DF2=DH+HF, 等量代换得到DF的值，然后根据△HDC∽aFOM,求出MF的长，再利用勾股定理求出半径长即可. 【详解】(1)略 (2)①连AD, D是BC的中点，AB=AC .∠ADC=90° .AC为圆的直径， 联结OD,设经过A、C、D三点的圆半径为T, 弦CD恰好是正十边形的一条边， :∠D0C=360°=36 10 :40cD-180-D0c-72. 2 又，O、D是ACBC的中点， .OD∥AB,AC=2r .∠A=∠CDF=∠D0C=36° .∠F=∠0CD-∠CDF=72°-36°=36°， ..FD=OD=OC=r, :∠CDF=∠DOF,∠F=∠F .△FDC∽AFOD DF CF OFFD,即旷+0 cF=5减cr=5-, 解得2 2 (舍)， 4c2r-5-4 23/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D A C ②：AC=10, ..OC=OD=5 又：tan4=-tan DOC=DH_3 OH 4 DH=3,OH=4, .CH=0C-0H=5-4=1. 设CF=a, 由①可知∠A=∠CDF=∠DOC,∠DFO=∠DFO, ∴.△FDCAFOD. DF CF .OF FD' DF2=CFOF,即 DF2=a(a+5) 如图，过点D作DH⊥OC于点H, 在RtADHF中， DF2=DH2+HF2=32+(a+12 a(a+5)=3产+(a+1 解得a10 3 .CF=10 OF=25 3, 3， :OC=OD,M是CD所在圆的半径， .OM⊥CD, 又，∠OFM=90° ∴.∠OFM=∠ONC=90 .LOCD+∠MOF=∠OCD+LCDH=90°， ∴.∠MOF=∠CDH, .△HDC∽△FOM, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 .MFOF CH ,即MP=3 DH 1 解得MF-2 9, 联结CM, CM=CP+MF D HC 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，综 合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似， 2.(2026上海松江·二模)已知正方形ABCD,点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于 点G. B E C 图1 图2 备用图 (I)如图1，如果CE=CG,求证：BC2=BE·BF: (②)如图2，如果∠EAF=45°，且CE=CF,求∠F的正切值： 3)以点C为圆心CE为半径画圆，⊙C与以AE为直径的⊙O的另一个交点记为点P,如果AB=2, CF=2CE,EP=CG,求EF的长. 【答案】I) 证明：：四边形ABCD是正方形， :AD=AB=BC=CD,∠B=∠D,AD BC .CE=CG .BC-CE CD-CG 25/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BE=DG :△MDG2AABE(SAS) ∴.∠DAG=∠BAE, :ADI‖BC, ·∠DAG=∠F, ∴.∠BAE=∠F, .∠B=∠B ∴.△BAE∽△BFA, BA BE ·BFBA' BC BE ·BFBC' .'BC2=BE.BF: √5 2)3 6)2 【分析】(1)先证 △ADG≌MBE(SMS),再证明△BAE△BFA,即可求证： (2)连接AC,设正方形的边长为1，CE=CF=x,然后证明△CEA∽△AEF,得到 AE2=EC×EF=x~2x=2x2,而由勾股定理得AE2=AB2+BE2=x2-2x+2,继而得到方程 x2-2x+2=2x2,然后解方程，再利用正切的定义求解即可： (3)设以AE为直径的圆记为⊙J,连接CJ交PE于点L,过点J作K⊥BC于点K,由题意得可设 CE=x,则CF=2x,由*FCGF得到P=CG=2 +I,再由△EJK∽△EAB,求出KJ=1 BK=1-方，则KC=K+CE=1+,可由句股定理得到C 1+1+2x 由相交两圆得性质可得 CLPE x十1，再由sn∠®C工三二=建立方程求解、 【详解】(1)略 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：连接AC, D B E 图2 设正方形的边长为1，CE=x, 由题意得，CF=CE=x :四边形ABCD是正方形 SB4=BC=ZECA=∠BCD=45,∠B=90 2 .∠EAF=45° ∴∠EAF=LECA, .∠CEA=∠AEF .△CEA∽△AEF, CE AE AE EF' ∴AE2=EC×EF=x2x=2x2, E=AB+BE2=1+1-x=r-2x+2 x2-2x+2=2x2, 整理得，x2+2x-2=0, 解得5=5-名=-5-1 舍去)， tanF=AB 15 F1+V3-13: (3)解：如图，设以AE为直径的圆记为⊙J,连接CJ交PE于点L,过点J作K⊥BC于点K, 27/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 由题意得可设CE=x,则CF=2x, ..EF =3x, ,正方形ABCD, ..ABIICD,AB=BC=2 ∴.△FCGP△FBA CG FC .AB FB' CG 2x .22+2x' ..CG=2r x+1: ..EP=CG= x x+1? :JK⊥BC,∠ABC=90° ∴.∠ABC=∠JKE=90° ABIJK △EJK∽△EAB … EK KJ EJ 1 .EB AB EA2· ÷K-4B=,K=8=2--1-, .KC=EK+CE=1 2+x=1+ 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :⊙J与⊙C相交于点E,P 六CJ⊥PE,EL=)EP=x 2 x+1 .sin∠ECL= EL JK ECJC· x x+1 1 ,1)2 ++2 2 解得x=3或x=0(舍) 、二=3×之 3.(2026上海金山二模)如图，点C在以AB为直径的半圆0上，AB=4,联结OC,过点C作 0c1CE,交4B的延长线于点E,在C上取点D,使BC-⑦，联 ODBD ,联结 D 备用图 (I)求证：BD∥CE: (②)联结BC、CD,若四边形OECD为梯形，求四边形OBCD的面积： B)直线CD与直线AB交于点F,若△CEF为等腰三角形，求BE的长 【答案】(I) 证明：：.BC=CD .OC⊥BD, 又，OC⊥CE, .BD∥CE; g35 29/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 622-225 或 【分析】(1)由垂径定理的推论得到OC⊥BD,再由OC⊥CE,即可证明BD∥CE: (2)可证明当四边形OECD为梯形时，只能是CD‖OE,可证明△COD是等边三角形，△COB是等边三 四边形oBCD=S△BOc+S△cO 角形：根据 ,只需要求出△COD和△COD的面积即可： (3)分两种情况：点F在点E右侧和点F在点E左侧，画出对应的示意图，讨论求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：，BD∥CE,且BD与OD,OE都有交点， ∴.CE与OD,OE都有交点， 又，CE与CD有交点， ∴.当四边形OECD为梯形时，只能是CDOE, ∴.∠OCD=∠COB: .BC=CD ∴.∠COD=∠COB, .∠COD=LOCD, OD=OC, ∴.L0DC=∠0CD, .∠ODC=∠OCD=∠COD」 .∠ODC+∠OCD+∠COD=180°， ∴.∠ODC=∠OCD=∠COD=60°， ∴.△COD是等边三角形，∠COB=60°， 又：0B=0C, ·.△COB是等边三角形： 如图所示，过点C作CK⊥AB于点K, D B ,AB=4,且AB是直径， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OC=OB=2. :0x-08=l CK=OC2-OK=3 5ae-号08cK=5 同理可得aoc=V5 四边形08CD=S△30c+SCOD=2V5 (3)解：如图所示，当点F在点E右侧时， ----≥F B :CE⊥OC, .∠0CE=90°， .∠CE0<90°， .90°<∠CEF=180°-∠CE0<180°， ∴.此时只存在CE=FE这种情况， .ZF ZECF, 设∠F=∠ECF=x,则∠CEO=∠F+∠ECF=2x, .BD∥CE, .∠BDF=∠ECF=x, .∠OBD=∠BDF+∠F=2x, ..OD=OB, ,∴.∠ODB=∠OBD=2x, .∠ODC=∠ODB+∠BDF=3x; .OD=OC, .∠OCD=∠ODC=3x, ∴.∠COF=∠OCD-∠F=2x, 31/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠COE=∠CEO. ..OC=CE=2. :0E=V0c2+CE=22 BE=OE-0B=22-2 当点F在点E左侧时，：OC⊥CE, .∠0CE=90°， ∴.∠FCE=∠OCF+∠OCE>90°， “.此时只存在CF=CE这种情况， .∠E=∠F, 设∠E=∠F=y, .BD∥CE, .∠OBD=∠E=y, .OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD=y, ∠D0F=∠ODB+∠OBD=2y, .∠ODC=∠F+∠D0F=3y, 0D=0C, ∠0CD=∠0DC=3y, .∠C0E=∠F+∠OCD=4y, 在RtAOCE中，∠COE+∠E=90°， y+4y=90°， .y=18°： 如图所示，在OA上取一点M,连接DA,DM使得DA=DM,过点D作DN⊥OA于点N, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F.-=----- ANM O ..OA=OD :∠0aD=∠0D1-180°-40D=2, 2 DA=DM. .∠DAM=∠DMA=72°， ∴.∠ADM=180°-72°-72°=36°，∠MD0=∠DMA-∠M0D=36°， .∠ADM=∠AOD=∠MDO, ∴.DM=OM=AD: 又：∠DAM=∠OAD, ∴.△DAMn△OAD, AD AM .OAAD’ AD 2-AD .2AD’ ÷4D=5-1政4D=-5-1含去)， :M=0M-0M=2-(W5-=3-5 :DN⊥AM, 2, 3-V5 sim∠NDM=sinl8=M-2-V5-l， DM 5-1 4 :0E=0C2 sin Esin 18-25+2 BE=OE-0B=25 综上所述，85的长为25-2或25 33/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习)如图，AB、AC是⊙0的弦，AB=AC, 过点C作AB的平行线，交半径AO的延长线于点D,连接BD ·0 B 备用图 备用图 (I)求证：四边形ABDC是菱形： AC ②)如果c是ACB的中点，求AD的值： 3)连接CO.如果⊙O的半径是2，且△COD是等腰三角形，求边AB的长. 【答案】) 证明：如图，连接OC、OB, .AB=AC OA=0A OB=OC ∴.△OAC≌△OAB(SSS) ∴.∠OAC=∠OAB, :AB∥CD .∠OAB=∠CDA, .∠OAC=∠CDA, :AC=DC, AB=AC, :.AB=DC, 又AB∥CD, “四边形ABDC是平行四边形， AB=AC. 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 平行四边形ABDC是菱形： √5 (2)3 625度5+1 【分析】(I)先证明△OAC≌△OAB,得到∠OAC=∠OAB,结合己知条件AB=AC,ABI‖CD可推导四 边形ABDC是平行四边形，又有邻边相等，即证四边形ABDC是菱形： (2)连接CB交4D于点H,根据C是4CB的中点，可知CM=CB,从而得到A1BC 是等边三角形，最后 结合菱形的性质以及等边三角形的边角关系即可解答： (3)已知⊙O的半径是2，且△COD是等腰三角形，分三种等腰三角形的情况讨论求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：连接CB交AD于点H, :C是4CB 的中点， ∴.CA=CB. .AB=AC, ∴，AB=AC=CB △ABC是等边三角形， ∠BAC=60°， ~四边形ABDC是菱形， ·AC=CD,AD平分∠BAC,AD⊥BC,AH=DH, 2C4D-Bc=30,∠Aic=90. 在RtAACH中，∠CAH=30°， .CH-AC AM C .AD=2AH=3AC 35/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC AC 3 AD 3AC 3; C D B (3)解：若⊙0的半径OA=OC=2,设∠OAC=a, 由(I)知，AC=CD=AB,∠ODC=∠OAC=a,连接CO, 当△COD是等腰三角形，分类讨论： ①当OC=OD=2时，则∠ODC=∠OCD=∠OCA=a&,∠C0D=2a, 由三角形内角和定理可得，a+a+2a=180°，解得a=45°， ∠C0D=90°， D=V0C2+0D2=2W2 根据勾股定理得 故1B=CD=2V2 ②当OC=CD=2时， 则∠COD=∠ODC=a, 0A=0C, ∠OAC=∠OCA=a, .∠C0D=a+au=2a, 即2a=a,解得a=0,不符合题意，舍去： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ③如图，当DO=CD时， D 0 B .OA=OC .∠OAC=L0CA=a, ∠ODC=∠OAC=a, ,∠OAC=∠CAD,∠OCA=∠CDA, .△DACACAD， :4c=04 AD AC 即AC2=OAAD, 设AC=CD=D0=x,则AD=x+2, .x2=2(x+2) 即x2-2x-4=0, 解得=5+1，名=-5+1合)， .CD=V5+1 ·四边形ABDC是菱形， ..AB=CD=5+1 5.(2026上海宝山二模)如图1，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CP是⊙0的切线，P为切 37/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，连接BP、OP D B B C 图1 图2 备用图 Q)求证：CP2=AC.BC; (2)如图2，过点B作BD∥OP交⊙O于D, O聚BD=18,BP=65,求CP的K: BC ②连接CDDP,如果ACDP是以CD为腰的等腰三角形，求CP的值. 【答案】I) 证明：连接AP, A O B :AB是⊙O的直径， .∠APB=90°， .∠A+∠ABP=90°， :CP是⊙O的切线，P为切点， .OP⊥PC, .∠OPB+∠CPB=90°， ..OB=OP, .∠OPB=∠ABP, .∠A=∠CPB, 又.∠C=∠C, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△CPB一△CAP, CP AC .CB CP' .Cp2=AC·BC: BC3 2)①20：②PC3 【分析】(I)连接AP,证明△CAP∽aCBP,即可得证； (2②①作OH⊥BD于点1，作BG1OP于点G,垂径定理得到BH-号8D=9,证明四边形OGBH为矩 形，得到OH=BG,OG=BH=9,设OO的半径为r,在Rt△OBH中，由勾股定理得 OH=OB-B=-9,在R△BGP中，由勾股定理得BG2=BP2-PG2=(65-(-9,进而得到 r2-g=(65-(-9,求出r的值，证明a0GB0PC,列出比例式进行求解即可：②分CD=CP和 CD=DP两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)略 2)②解：①作OH L BD于点，作BGLOP于点G,则BM=D=9, ..OPII BD ∴BG⊥BD, .四边形OGBH为矩形， ∴.OH=BG,OG=BH=9, 设⊙O的半径为r,则OP=OB=r, ∴.PG=OP-OG=r-9 39/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△OBH中，由勾股定理得OH=OB2-BH2=r2-92, 在Rt△BGP中，由勾股定理得BG2=BP2-PG2=(65-(-9), .OH =BG r2-92=(65-6-9, 解得r=15或r=-6(舍去)： :BG=0H=S2-9=12 :BG⊥OP,OP⊥PC .BG∥CP, ∴.AOGBPAOPC, PC OP PC 15 ∴BG0G,即12=9， .PC=20: ②当CD=PD时，延长DB交CP于点E, OP∥BD,OP⊥PC, DE⊥PC, ∴DE垂直平分PC, .BP=BC, ∴.∠BPC=∠BCP, :∠BPC+∠OPB=90°，∠OCP+∠POC=90° .∠OPB=∠POB, .BP=OB, ..BP=OB=OP, .△POB为等边三角形， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠P0B=60°， .∠0CP=30° :BC=BP,BP=OP, ..BC=OP, BC OP ∴.PCCP tan30°=V 3 当CD=CP时，连接OD,PD交OC于点E,则OP=OD, P ∴.OC垂直平分DP,∠OPD=∠ODP, .∠OED=∠BED=90°， .OPIl BD .LOPD=∠BDP,∠POB=∠DBO, .∠ODP=∠BDP ∴.∠DOB+LODP=LDBO+∠BDP=90°， .∠DOB=∠DBO, .OD=DB ..OD=OB=DB. “.△OBD为等边三角形， .∠DB0=60°， .∠POB=∠DB0=60°， .OP=OB, .△OPB为等边三角形， ∴.∠OPB=60°，BP=OP, .∠0P℃=90°， 41/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠PC0=30°，∠BPC=∠0PC-∠0PB=30°， .LBPC=∠BCP, ..BC=BP=OP, BCOP ∴.PCCP =tan30°= 3； BC3 综上： PC-3· 6.(2026上海崇明·二模)如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，过点C的直线交BA的延长 线于点D,点E是线段OB上一点，且满足OE=AD,过点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC 于点G,且∠F=2LABC. G G D OE 图1 图2 备用图 (I)求证：∠ACD=∠ABC: CF (②)如图2，当BE=30E时，求CD的值； ⊙)设F与C的交点为P,连接OP,交BC于点M,若以°为圆心， E长为半径的圆与以P为圆心， PM为半径的圆外切，求sin∠ABC的值. 【答案】I) 证明：连接OC,如图， F C G B E :EF⊥BD .∠DEF=90°， .∠D+∠F=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠AOC=2∠ABC,∠F=2∠ABC, .∠F=∠AOC, ∴.∠D+∠AOC=90°， ∴.∠DC0=90°， ∴.∠DCA+∠ACO=90°， AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠AC0+∠OCB=90°， ∴.∠ACD=∠OCB, .OC=OB, .LOCB=∠ABC, ∠ACD=∠ABC: CF 1 2cD=3 5-1 3)2 【分析】1)连接OC,先推导出∠F=∠AOC,得到∠DCA+∠AC0=90,∠AC0+∠0CB=90°，则 ∠ACD=∠OCB, ∠OCB=∠ABC, 继而证明 得到<4CD=乙ABC ,即可解答： AD CD (2)连接OC,设OE=x,则HD=x,推导出△ACD∽aCBD,△DCO∽△DEF,得到CDBD CD DO 3x-5x DEDF,求出CD=3x或-3x(舍去)，得到6FDF解得DF=10x,求出CF=DF-CD=7x,即可解答： (3)设OM=OE=y,BE=a,推导出△OBM∽aABC,得到4C=20M=2y,由(2)可知 AD AC CD2=AD.BD=y(3y+2a)=3y+2y,ADACPADCB,得到CD=BC,求出 BC=(2CD=12y+8W,再根据勾股定理，得到AC2+BC2=AB,求出a=VBy或VBy(舍去)，得到 43/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 in∠ABC=OMy-V5-1 0B=y+V5y=(3+1y,则 OB（V3+1)y2,即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：连接0C,如图， C B OE 设OE=x,则AD=x,BE=3OE=3x, .:OB=OE+BE =4x, ..OA=OB=4x,AB=20B=8x, .BD=AD+AB=9x.DO=AD+AO=5x. ∴.DE=D0O+OE=6x, 由(1)可知∠ACD=∠ABC,∠DCO=∠DEF=90°， ∠D=∠D, ∴.△ACD∽△CBD,△DCO∽ADEF AD CD CD DO CD BD'DE DF' ..CD2=AD.BD=x.9x=9x2 解得CD=3x或CD=-3x(舍去)， :3r5x 6x DF 解得DF=10x, ·CF=DF-CD=7x, CF_7x1. CD 3x 3' (3)解：如图， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DA E 设OM=OE=y,BE=a, ∴.DA=OE=y,OB=y+a ∴.BD=DA+2OB=3y+2a AB=20B=2y+2a :BC切于以OE为半径的OO于点M, .OM⊥BC,OM=OE=y ∴.∠OMB=∠ACB=90°， ∠OBM=∠ABC, ∴.△DBMAABC, OM OB 1 AC AB 2' .AC=20M=2y 由(2)可知 CD2=AD.BD=y.(3y+2a)=3y2+2ay △DAC∽△DCB, AD AC CD BC y=2y 即CDBC' BC-2CD C-(2CD)12+8 AC2+BC2=AB2 45/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2y)}2+12y2+8ay)=(2y+2a2 4y2+12y2+8ay=4y2+8y+4a2 3y2=a2 解得aV3 或 y《舍去)， :.0B=y+3y=(3+y sin∠ABC= OM y V3-1 B3+1y2 7.(2026:上海普陀·二模)扇形AOB与扇形COD组成一个如图1的图形，其中扇形AOB的圆心角等于 ”,点C、D分别在半径OM、OB上，分别记扇形10、房COD的圆心角所对的饭为B与CD 90 半径长分别为R与r. 图1 图2 ①已知B的长与CD的长相等，1C=6,求这个图形的面积S(结果保留”)： 2)连接CD,作CED关于直线CD的对称图形CE'D. O连接AB,如果CE'D与AB交于点MN(点M在点N的左侧)，且AM=MN,求R与r之间的数量关 系； ②如果CE'D所在的圆与AB所在的圆内切于点F(如图2所示)，点P是CF上一点，连接FP并延长交 FP=2+1 AC于点O,当P0时，求∠CQF的度数. 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】1)27π Q)0R=3r ∠CQF=82.5° 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形 性质，平行线分线段成比例等知识点， (1)根据MB的长与CBD =3,R=9 的长相等和扇形弧长公式，求出 ,再利用扇形面积公式求解. 0.00与BC交点为P,延长00交1B于O,连接 00, OM O,MO (2)①记O的对称点为， ，关键是表示出 各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为， 为0,00与8C交点为G,连接PG,0P ,作 OH⊥PG OHG OHP 于H,这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得 ∠HPO=30°，∠HO,P=60° ∠0PF=52.5° 再利用等腰三角形求出 根据平行线分线段成比例知 ∠CQF=∠GPF=∠HPO+∠OPF 【详解】(1)解：由题可知OA=R=OC+AC=r+6, P0r+6创 180 .∠C0D=360°-90°=270°， =ar_270nr ceD180180 90π(r+6)270πr 180 180, 解得r=3,故R=9, S=Si+ -4zR+hr_90mx9x9,270rX3×3_81r+27r=27元. c0D360360 360 360 44 OO0 CD OM (2)①如图，记0的对称点为， 与 P交点为2，延长o0交4B于0，选 47/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 ◆E D B 由对称性可知P是CD中点，由△OC CD=V20C=√2r 是等腰直角三角形， OP-ICD= 2 2'且OP⊥CD, 再由对称性可知 0=20P=V2r AOAB同样是等腰直角三角形，AB=√20A=V2R,O0=V2p 2 :CD‖AB .OQ⊥AB ∴.O是AB中点也是MN中点， N=B=R 由已知得 3 3 6, ∴02=00-00= 2R-2r OM=r 且 t△OMg 在 中，由勾股定理得 0M2=0Q2+Mg2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -g-j 解得R=3r或0.6r, 由题可知R之”， 故R=3r ②如图，记O的对称点为， 0.00与8C交点为G,连接PG,OP,作OH1P 作 于H, H B 由于CE'D所在的圆与AB所在的圆内切于点F, ∴.OF=r 由① oG-qG- 2, *FG=OF+0G-2+ 2, 2+V2 2 FG 0G2. =1+2=FP PO, .PG‖O9 ∴.∠CQF=∠GPF=∠HPO+∠O,PF PG∥Og, ∴.∠HG0=∠AOF=45°，O,H⊥PG,△OHG ,再由 知 是等腰直角三角形， 49/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0H=0Gcos45°= 2 .sin∠HPO= OH 1 0p2. ∴.∠HP0=30°，∠HOP=60° ∴.∠P0F=180°-∠H0P-∠H0,G=180°-60°-45°=75° 4QPF 是等腰三角形， ∴∠0PF=180°-∠P0,F-180°-75° =52.5° 2 2 ∴∠CQF=∠GPF=∠HP0+∠0PF=30°+52.5°=82.5° 8.(2026:上海浦东新·二模)在ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE,EF, DE=DC 图1 图2 图3 I)如图1，连结BD,如果EF∥BD,求证：△ECFn△ADE: 22知anc=v5 连结R ①如图2，如果点D,E关于直线4F对称，求 ADr:S,8cD的值； CF ②如图3，如果AF=V5DF,∠AFE=∠EDC,求FD的值. 【答案】(1) 解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD,ADBC, .∠ADE=∠DEC ..DE=DC, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠C=∠DEC .∠C-∠ADE :BC=AD,∠C=∠ADE,CD=DE, ∴.△BCD≌△ADE ,EF∥BD, ∴.△ECF∽△BCD .△ECF∽△ADE. 2)08:②2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、平行四边形的性质等： (I)先证明△BCD≌△ADE,结合△ECF∽△BCD,即可证明结论： (2)①作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于O,容易证得 AD DE 03,6 DE=EC,设HC=a'可得到AD=AE=3a,进而可证得AE=EG=3a'结合FCCG=3 PF 3 PF AP 可得到PQ4:②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P,设DP=m,可求得DPPF,进而可求 得∠DFP=∠PA,得到∠AOD=90°，∠FOD=90°，证明DEFFOD,可求得D5=6m,进而可求 海r6 【详解】(1)略 (2)解：①作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于O,延长AF 交BC延长线于点G. 设HC=a,则HD=HC,tanC=v5a.DE=DC=VHD2+HC=V6a 51/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E :点D,E关于直线AF对称， AD=AE」 ∴.∠ADE=∠AED. DE DC, ∴.∠DEC=∠DCE :∠ADE=∠DEC, :.∠ADE=∠AED=∠DEC=∠DCE, .△ADE∽△DEC AD DE DEEC· :DE=DC,DH⊥BC, ∴.EC=2HC=2a. AD 6a .6a 2a .AD=3a. ∴.AD=AE=3a :D,E关于直线AF对称， ∴.∠DAF=∠EAF. AD BC ∴.∠DAF=∠G ∴、∠G=∠EAF .'AE=EG=3a ..CG=a. AD‖BC, .△ADFAGCF,△DPF∽aCOF DF AD FCCG =3.5-PE 3，FCFQ: 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PF=3 :.FO PF 3 ..PO 4. 1 SAD-PF S.AD.PQ F 2 3 PO 8 ②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P. D D B E 设DP=m AD川BC, .∠PDF=∠C PF=DP.tan∠PDF=V5m,sim∠DFP=G 6 DF=DP+PF=V6m 4F=5DF .AF =30m. AP-V4F-DF=5m .AD=4m PF AP .DPPF· ∴.△DPF∽△FPA. ∴.∠DFP=∠PAF. 设∠DFP=∠PAF=a. 53/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠PDF=90°-a」 .∠C=∠DEC=∠ADE=90°-a ∴.∠FAP+∠ADE=90° .∠AOD=90° ∴.∠FOD=90° OD=AD:sin∠PAF=4m-sin∠DFp=26 -71 3 ,∠EDF=∠AFE,∠EDF+∠DFO=9O°， ∴.∠EFD=∠AFE+∠DFO=90° ∴.LEFD=∠FOD. 又∠ODE=∠FDE, ∴.△DEF△FOD DF DE ∴.DODF. DE-V6m 2 DC=V6m 3 2 .CF=V6m 1 2 、、○6”2 1 DF√6m2 9.(2026上海徐汇·二模)在四边形ABCD中，AD川BC,点E在边CD上，且CE=3DE,AB=2AE,连 接AE、BE. D B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠AEB=∠ABC: 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD ②)如图2，当AB=CD=BE时，求BC的值： 3)如图3，当四边形ABCD为矩形且AB=8时，点O在线段BE上，且⊙O截AB、CD两边所得的两条弦 相等.如果⊙0与⊙C的公共弦所在直线恰好经过点B,⊙C的半径为3，求此公共弦的长. 【答案】I) 证明：如图，延长AE交BC延长线于点F, A B .ADI BC, ∴.△ADEAFCE, DE AE .CE FE' CE=3DE, AE DE 1 FE CE3 ∴.FE=3AE .AF=AE+EF=4AE, AB=2AE, AE 1 AB 2AE1 AE AB 六AB2,AF=4AE2,即ABAF, ,∠BAE=∠FAB, ∴.△BAEP△FAB, .∠ABE=∠AFB, .∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE,∠ABF=180°-∠AFB-∠FAB, ∴.∠AEB=∠ABC 3 2)7 55/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 62v6 【分析】(I)延长AE交BC延长线于点F,由ADI‖BC,可得△ADE∽aFCE,再证明△BAE∽aFAB,即 可证明结论： (2)延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M,过点E作 EN⊥BC于点N,同理(1)可得CG=3AD,BG=2BE,设AD=x,AB=CD=BE=4a,则CG=3x BG=&a,DE=a,CE=3a,求出BN,NE,在RtABNE中，利用勾股定理即可求解： (3)过点0作OH1CD于点”，连接0C.CT,设FG与0C交于点P,由条件先可得4D=BC=25 BE=4N5,再由O0藏MBCD两边所得的两条弦相等，可得OH-方4D-号4C-5,再证明△OBC是 等边三角形，可得∠OCB=60°，再由FG中⊙0，⊙C的公共弦，可得CE垂直平分FG,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M, 过点E作EN⊥BC于点N, G 同理(I)可得，△ADE∽△GCE, .CE =3DE, AD DE 1 CG CE 3 ..CG=3AD 同理(I)可得，△BAEP△GAB, BE AE 1 ·BGAB2: .BG=2BE, AD=x,AB=CD=BE=4a ,CG=3x,BG=8a,DE=a,CE=3a, ·ADII BC,AH⊥BC,DM⊥BC, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形AHMD是矩形， :HM=AD=x,DM=AH, 在RtAABH和RtADCM中 AB=DC AH DM, :.RtABH≌RtADCM(直角三角形全等的判定定理)， ∴.BH=CM, .BH+CM=BG-CG-HM=8a-3x-x=8a-4x, CM=BH=8a-4)=4a-2x, 在RtABH中，DM2=AH2=AB2-BH2=(4}-(4a-2x}=16a-4r :DM⊥BC,EN⊥BC, .△CEN∽aCDM. CE EN CN .CD DM CM· CE2 EN2 CN2 3a} EN2 CN2 CD DM2 FcM，即(4a16xa-4r2(4a-2x, :.EN-9xa-x CN=3a-3 4 x, 在RtaBNE中，BN2+NE2=BE2, 2 2 解得a=3, 7 .BC=BG-CG=8a-3x=8xx-3x 2 3, 57/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD-x-3 BC7 7 3 (3)解：如图，过点O作OH⊥CD于点H,连接OC,CF,设FG与OC交于点P, D ,四边形ABCD为矩形且AB=8, :4E-4B=4,C-A0DE=4D-48=2,则CE=CD-DE=6:∠BCD=∠D=9p, 4 4 在Rt△ADE中，AD=VAE-DE2=V4-2=2V5 在RtABCE中，BE=VBC2+CE=2+62=45, ,⊙O截AB、CD两边所得的两条弦相等， .点O到AB和CD的距离相等， :.OH-1AD=1BC= 21 :OH⊥CD,∠BCD=90°， .OH∥BC, .△EOH AEBC, EO OH 1 EB BC 2' .EB=2EO. .点O为EB的中点， :0C-)BE=0B=25 2 OC=0B=BC=23 .△OBC是等边三角形， .∠0CB=60°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :FG中⊙O和⊙C的公共弦， ..OF=0G.CF=CG. ∴.CE垂直平分FG, .∠BPC=90°，FG=2FP, ∠PBC=90°-∠OCB=30°， .CP-]8C= 在RtAPCF中，FP=VCF2-CP=V32-3=6, FG=2FP=2V6 10.(2026上海青浦二被)已知△4BC中，4C=C=5,B=25,点P是别线C8上一点，连接4D, 圆O经过A、B、D三点. 0 D B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在线段BC上时， ①记圆O交AC于点F,求证：AF=BD; ②设CD=m,用m表示圆O的半径： Q)如图2，在线段AD的右侧，以AD为底边作等腰△EAD,且始终满足∠EAD=∠BAC.若以C为圆心， CE为半径的圆C与圆O有公共点，请直接写出线段CD的取值范围. 【答案】(I)①证明：连接BF,DF, 在△ABC中，AC=BC=5, 59/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAC=∠ABC, DF=DF ,在圆O中， 根据圆周角定理可知，∠DBF=∠DAF, ∴.∠BAD=∠ABF, ∴.AF=BD: V5m2-30m+125 ② 4 20<CDs3或CD≥ 3 【分析】(1)①根据同弧所对的圆周角相等即可求解： ②由外接圆的圆心是中垂线的交点可知O在中垂线上，进而可知an∠BCH=2,根据正切值可得 0G=5+m 4,进而根据勾股定理即可求解： (2)证明△ABCP△ADE和△ABD△ACE,得出对应边的关系，设CD=m,然后分两种情况进行讨论， 表示出相关线段的长度，以及求出两个圆的半径以及圆心距，利用圆心和圆心距的关系列出方程求解. 【详解】(1)①略 ②解：：圆O是△ABD的外接圆， 所以O是三边中垂线的交点， 如图，取AB的中点H,连接CH,OH,取BD的中点G,连接OG, .CH⊥AB,OG⊥BC,OH⊥AB, .点O在线段CH上， .AC=BC=5 AB=25 BH-14B-5 2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CH-BC2-BI=25 BH5 1 tan∠BCH= CH252, CD=m, ..BD=5-m. .GD=BG=5-m 2 ..CG=CD+GD=5+m 29 :tan∠BCH= 0G1 CG2 :0G=5+m.1-5+m 224 OB=BG2+0G2 V5m2-30m+125 V5m2-30m+125 则圆O的半径为： (2)解：①如图所示，当点D在BC线段上时， (H0 G D ,△ABC中，AC=BC=5, .LBAC=∠ABC, ,△EAD是以AD为底边的等腰三角形， ∴.∠EAD=∠EDA, ,∠EAD=∠BAC, ∴.∠ABC=∠EDA, 61/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABC∽AADE :4=D25 AC AE 5 .∠EAD=∠BAC, .∠BAD=∠CAE, .△ABDAACE, .∠ABD=∠ACE, ∴点E的运动轨迹为直线CE, :=BD25 AC CE 5, 设CD=m (0<m<5) 由()可知0G=5+m 4，BD=5-m; sim∠BCH=BH=V5OG BC 5 OC, :0c=55+ CE-15(s-m) , 2, B=0D=V5m2-30m+125 由(1)可知 4 圆C的半径 R=CE=55-m) 2, 当两个圆外切时，d=OC=r+R, 5m2-30m+125,5(5-m）_V5(5+m） 多 4, 解得m=3或m=0: 当两个圆内切时， ,点C在圆O外， .R>r, ..d=OC=R-r, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 √5(5-m）√5m2-30m+125_5(5+m) 即 4 4, 解得m=3或m=0: .0<m≤3： ②如图所示，当点D在CB延长线上时，(m>5), A D B BD=m-5.CE-BD5 (m-5)CG-3+c4-5 2 C+5=5+m 2 2, 0-c 4 由勾股定理得 0=v0g2+cG-5 6+m) 0B=0D=V0G2+BG2=5m2-30m+125 4 V5m2-30m+125 ⊙0的半径= 5+m) 4 ⊙C的半 R、 2(m-5d=5 4 当两个圆外切时，d=r+R, 5m2-30m+125,5(m-5)_5(5+m) 即 4 2 4, 解得m25 3； 当两个圆内切时， :点C在圆O外， 63/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .R>r, ..d=R-r, 5(m-5）V5m2-30m+125_V5(5+m） 即2 4 4, 解得m= 25 3 25 经检验，当m= 5m-5）5m-30m+125-055+m）_105 3时， 2 4 方程等号两边代数式的值不相等， 25 ·此时，m=3(舍去)， 即此时，当两个圆内切的情况不存在： 25 m≥ 3 2 综上，0<m≤3或m 3:即0<CD≤3或CD≥5 31 11.(2026上海静安·二模)菱形ABCD中，点E在线段AD上，连接CE、BE, D 图1 图2 备用图 (I)如图1，连接AC交BE于点F,若EC=DC,求证：∠EBC=∠BAC: (②)如图2，AB=6,∠ABC=60°，点P在线段BE上，且满足∠BCP=∠BEC,设AE=x,BP=y, ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域： ②当AE=3时，以AE为半径的⊙A和以BP为半径的⊙B是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如 果不相交，请说明理由。 【答案】) 证明：，EC=DC, ∠D=∠CED, ,四边形ABCD为菱形， 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,:.∠ABC=∠D,∠BAC=∠CAE, .∠ABC=∠CED :∠AEC+∠CED=180°， ·.∠AEC+∠ABC=180°， 点A、B、C、E四点共圆， .∠EBC=∠CAE, .∠EBC=LBAC: 36 9√47 y= (0≤x≤6) (2)①Vx2+6x+36 ;②相交，14 【分析】(1)由等边对等角可得∠D=∠CED,由菱形的性质可得∠ABC=∠D,∠BAC=∠CAE,再证 明点A、B、C、E四点共圆，得出∠EBC=∠CAE,即可得证： (2)①作BH⊥DA,交DA的延长线于点H,由菱形的性质可得AB=BC=6,AD川BC,求出 M=AB=3.BH=3N5:可符E=X+3,由勾殷定理可得BE=P+6r+36,再证明。RCP-BEC, 相似三角形的性质计算即可得出结果；②当AE=3时y=2√分 7,则=AE=3.=P=12 ,结 12万-3<6< 12√7 +3 合7 7T⊙，得出以AE为半径的OA和以BP为半径的⊙B相交，设两圆相交于MN,连接 AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于点G,则AM=AN=AE=3, BM=BN=BP-127 ,由垂 径定理可得GM=GN=号N,B⊥MN,设4G=0则BG=6-a:再结合勾取定理计算即可得出结果。 【详解】(1)略 (2)解：①如图，作BH⊥DA,交DA的延长线于点H, 65/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H D B ,四边形ABCD为菱形， .AB=BC=6,ADlI BC .∠BAH=∠ABC=60°， .∠ABH=90°-∠BAH=30°， 4H4B=3。 .BH =VAB2-AH=3V3 .HE=AH+AE=x+3. BE-BH+H+6x+36 ':∠BCP=LBEC,∠CBE=∠PBC, .△BCP∽△BEC, BC BP ·BEBC' 6 .Vx2+6x+366」 36 y=- -(0≤x≤6) x2+6x+36 36 ②当4E=3时，'=3+6×3+367， ·=AE=36=BP=12 7, 12√7 ,AB=6,且7 3<6<12 73 ∴.以AE为半径的OA和以BP为半径的⊙B相交， 如图，设两圆相交于MN,连接AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于点G, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则AM=AN=AE=3, BM=BN-BP=12 由垂径定理可得：GM=GN-=号W,AB⊥MN, 设AG=a,则BG=AB-AG=6-a, cN2=N2-40=3-a,6N=Bw-BG- 2-6-, --6 解得.a=S7 8, ..AG=57 28 GN=VAW2-4G=9y4五 28 MN=2GN= 9V47 14. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与 性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键 12.(2026上海虹口二模)如图1，在扇形A0B中，∠A0B=90°，点C是弧AB上一点，点D是半径OB 上的点，连接CD,∠OCD的平分线和∠COD的平分线相交于点P,连接BP. 67/132 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ⊙ 图1 图2 备用图 (1)求证： ∠0P8=90°+)∠0DC, 2 (②)连接BC(如图2)·如果CD⊥OB,CP=10,△OPB的外接圆⊙M与扇形AOB所在的圆⊙O相交. 1 ①当os∠CBD=4时，求OM与O0的公共弦的长： ②连接AM和AP,AP交OC于点E,当AM⊥OP时，求tanZPAM的值和OE的长. 【答案】I) 解：：CP平分∠OCD,OP平分∠COD, .∠POC=∠POD,∠PCO=∠PCD, OC=OB,∠POC=∠POB,OP=OP, ∴AOCP≌aOBP(SAS) .∠OPC=∠OPB, 在△OCD中，∠COD+∠OCD+∠ODC=180°， 即2∠POD+2∠PCO+∠ODC=180°， ∠POD+∠PC0=90°-1∠0DC. 2 :∠0PC=180°-∠P0c-∠PC0=180°-(90°-5∠0DC=90°+ 2 ∠ODC, ∠0PB=∠0PC=90°+5∠0DC: 2 (2)①40： 1 ②tan∠PAM=3OE=65 【分析】(1)连接PB,由CP平分∠OCD,OP平分∠COD,得∠POC=∠POD,∠PCO=∠PCD,进 而可证，00e,0ap用∠0rC=∠0Pg:即得<POD+nc0=90-0C,得到 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠0PC=90°+)∠0DC,即可求证： (2)①由CD⊥OB得∠ODC=90°，由(1)知∠OPB=135°，由aOCP≌aOBP得CP=BP=10, 1 ∠OPC=∠OPB=135,即得∠CPB=90,BC=10N2,利用os∠CBD=4可求出BDCD:进而利用 勾股定理可求出圆半径R=20N5 OB 设两圆另一交点为，由 ∠OPB=135° 得劣弧的圆心角 ∠OMB=9O°，又由OM垂直平分公共弦BO,可得点B、M、Q共线，BO为圆M直径，再利用等腰直 角三角形的性质等腰求出BM即可求解；@延长CD交圆O于点N,由垂径定理得 C=BN ∠BCD=∠BNC-B0C,由AM1OP符A0:AP,即得∠PM=号01，再证明。40Pe,08C,得 ∠OHP=∠BOC,OP-BC-10N2,即得∠P1M=号B0C=∠BCD,延长Op交BC于R:曲三线合-得 R为BC中点，可得R=PR=52,OR=15,得到am∠B0R-}:再证明∠P4W=∠BOR-=∠COP 进而即可求解。 【详解】(1)略 (2)①CD⊥OB. ∴.∠CD0=90°，即∠ODC=90° 由(1>结论可得，∠0PB=90+号∠0DC=90+45°=135， △OCP≌△OBP(SAS) ∴.CP=BP=10.∠OPC=∠OPB=135°， .∠CPB=360°-135°-135°=90° :BC=VCP2+BP2=√100+100=10W2 ·cos<CBD=BD1 69/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BD=K ,则 C=4k=10√2 k5 2,即D=2 2, :CD=VBc2-BD-200-252-V20-25=小875-5y60 4 2, 设圆0半径为R,则OB=OC=,0D=0B-BD=R-52 2, 在RtAODC中，OC2=OD2+CD2, 即R2=R5235 2 2, R=20W2 解得 设圆O与圆M的另-一个交点为2，连接B0、OM, ·BO是两圆的公共弦， ∠0PB=135°，优弧0B所对的圆心角为2×135°=270°， ∴劣弧0B所对的圆心角∠OMB=360°-270°=90° :.OM⊥BM, 又：OM垂直平分公共弦BO, .OM⊥B0, :BM⊥OM,BO⊥OM,且B为公共点， B、M、O三点共线， BO过圆心M,即BQ是圆M的直径， O、B都在圆上， ..OM=BM, ∴.△OMB 是等腰直角三角形， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BM -OB= 2 ×20W2=20 2 .BQ=2BM=40. ∴.⊙M与⊙0的公共弦长为40： ②延长CD交圆O于点V, CD⊥OB, ∴.OB垂直平分弦CN, .BC=BN BC=BN .∠BCD=∠BNC, :∠BNC=5∠BOC, ∠BCD=∠BOC, 2 :AM⊥OP,M是圆心，OP是圆M的弦， ∴OG=PG,即AM是OP的垂直平分线， :.A0=AP, AM平分∠0aP,即<PM=<0MP. .AM⊥OP,CB⊥OP, .AM∥BC, .∠AFO=LCBO, :OA⊥OB,CD⊥OB. .∠AOB=∠CDB=90°， ·LOAF=∠BCD,即∠PAM=∠BCD 71/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OAP=∠BOC, 在△AOP和△OBC中， AO=OB,∠OAP=∠BOC,AP=AO=OC, ∴.△AOP≌aOBC(S,A,S) ∴OP=BC=10N2∠OAP=∠BOC ·∠PAM=∠BOC=∠BCD 延长OP交BC于R, :OP平分∠BOC,OC=OB, ∴OR⊥BC,R为BC中点， :.BR-BC=5 2 ,△CPB是等腰直角三角形，R为BC中点， ÷PR=BR=52 ∴.OR=0P+PR=10W2+5V2=15V2 ∴.在Rt△BOR中， tan∠BOR=BR-sV2-l OR15V23, :∠OIr=∠B0c,∠PAW-号0D,∠a0R=∠C0P-号BoC. .∠PAM=∠BOR=∠COP, 1 ∴.tan∠PAM=tan∠BOR= 3 :AM⊥OP, ∴.∠PAM+∠APG=90°， .∠COP+∠APG=90°， .∠0EP=90°， :∠BOR=LCOP, 1 :.tan∠COP=tan∠BOR= 3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE 1 .0E3' 设PE=x,则OE=3x, ..PE2+OE2=OP2, x2+3x2=(102, 解得25 ,OE=3x=65 B 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和 性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键 13.(2026上海闵行二模)已知：如图，B为半圆O的直径，点E为CD的中点，连接OE交弦CD于点 G、交弦AD于点P,且∠APO=∠ABD,连接AC、BD, G G F P BA 图① 图② 备用图 Q)如图①，求证：四边形ABDC是等腰梯形： (②)点M在直径AB上(M不与A、B重合)，连接CM交AD于点F. FM I.如图②当CM⊥AD'且M为AO的中点时，求CM的值； IⅡ.连接BF,半圆O的半径为1，∠BFM=∠ACM.当△AFM为直角三角形时，求AM的长. 【答案】I) 73/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：AB为半圆O的直径， ∴.∠ADB=90° ∠DAB+∠ABD=90°. :∠APO=∠ABD, .∠DAB+∠APO=90° ∴.∠AOE=∠EOB=90°. .AE=BE “点E为D 的中点， .CE=DE .AC=BD :AD=BC,∠CDA=∠DAB,AC=BD .∠CAB=∠DBA AB‖CD 四边形ABDC是等腰梯形. 2L.4:Ⅱ.3-V5 【分析】(1)根据4P0=∠1BD,证明∠40E=∠B0B=90°，则点E为的中点，再根据点E为⑦ 的中点，可得4C=BD 则MC=BD,ABICD,∠CAB=∠DB ,即可得证： (2)I,设AM=a,则OM=a,OA=OB=2a,BM=3a,先证明四边形CMBD是平行四边形，再证明 △AFM∽△DFC,即可求解：Ⅱ.分三种情况讨论：当∠AFM=90°时，当∠AMF=90°时，当 ∠MAF=90°时，分别求出AM的长， 【详解】(1)略 (2)解：I.设AM=a, M为AO的中点， ∴.AM=OM=a ∴.OA=OB=2a. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BM=3a CM⊥AD,∠ADB=90°， ∴.CM∥BD AB∥CD, “.四边形CMBD是平行四边形. .CD=BM=3a. AB∥CD ∴.△AFM∽△DFC FM AM a 1 CFCD3a3· FM 1 CM4. Ⅱ.如图，当∠AFM=90°时， 设AM=x,则BM=2-x, 由(I)可得四边形CMBD是平行四边形， .CD=BM=2-x.CM=BD .∠BFM=∠ACM,∠BFM+∠DFB=∠ACM+∠CAF=90°， ∴.∠DFB=∠CAF .∠CFA=∠FDB=90°」 ∴.△CAF∽△BFD CF AF BD FD CM∥BD, AM AF FMAM MBFD,BDAB· CFAM BDMB· 75/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CM-FM AM CM MB :.1-FM_AM CMMB· :.1-FM_AM BDMB· :.1-AM_AM ABMB· ..I-X=_x 22-x, 解得x=3+5(舍)，x2=3-V5 ..AM=3-5 如图，当∠AMF=90°时， D E AM ○ B.:∠BFM=∠ACM∠BFM+∠FBM=∠ACM+∠CAM=90° ∴.∠FBM=∠CAM ∠CAM=∠DBA, ∴.∠FBM=∠DBA 此时点F与点D重合，此种情况不存在， 当∠MAF=90°时， ∠MAF=∠DAB<90°， ∴.此种情况不存在。 综上所述， AM=3-5 14.(2026:上海黄浦·二模)如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦AB所在的挡板上，且 ∠AOB=90°，现在弦AB上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧AB上的两个 亮点C、D恰好能将弧AB三等分！ 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 备用图 (I)求证：CD‖AB: (②)试说明：点M、N不是弦AB的两个三等分点： )假设弦AB上的开缝位置P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光 束通过缝隙P、Q后最终照射在弧AB上的两个亮点恰好是C、D,并求∠ASB的大小 【答案】1) 证明：：点C、D恰好将 AB 三等分， .4C=CD-DB :.∠AOC=∠COD=∠BOD 如图：取AB的中点E,连接OE, D ..OA=OB .OE⊥AB,∠AOE=∠BOE :∠AOC=∠BOD=30°， .∠AOE-∠AOC=∠BOE-∠BOD ∴.∠COE=∠DOE .OE平分∠COD 在△COD中，OC=OD,OE平分∠COD .OE⊥CD 77/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OE⊥AB,OE⊥CD CDI‖AB: (2) 解：由(1)可得：∠AOC=∠COD=∠BOD. :∠A0B=90°， .∠C0B=60°. .∠AOB=90°，OA=OB, .∠AB0=∠OAB=45°. B三等分， AB 点C、D恰好将 :AC-CD-DB AC-CD-BD .∠AOB=90° .∠AOC=∠COD=∠B0D=30°， ..OA=OC=OD. ∠0AC=∠0CA=∠0CD=180°-30 2 =75°， CD‖AB, .∠OMN=∠OCD=75°，同理可得：∠ONM=∠ODC=75°， ∴.∠OMN=∠OWM=75°， 如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作MI⊥AO于点I,则四边形MIOF是矩形，MF=BF, OF=IA,∠FMB=45°， .∠OMF=∠OMN-∠FMB=30°， .OM=20F, 设OF=a,则OM=2a,IA=M=a 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BF-MF=VOM:-OF-a AM=AP+MF-a 、MB=VBF2+MF2=V6a :4B-AM+MB=(+6)a AM √2a 11 ..AB +V6a1+万3，即点M不是4B的三等分点， 同理：点N不是AB的三等分点， 点MN不是弦AB的两个三等分点. 3)30° 【分析】(1)先说明∠AOC=∠COD=∠BOD,如图：取AB的中点E,连接OE,进而说明OE平分 ∠COD,利用等腰三角形的性质可得OE⊥CD,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证明结论： (2)先根据己知条件说明∠AB0=∠OAB=45°，如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作M⊥A0 于点L,则四边形MIOF是矩形，MF=BF,OF=IA,∠FMB=45°，∠OMF=30°，进而得到 OM=2OF;设OF=a,则OM=2a，IA=M=a,利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得 AM1,1 MB=6a,AM=Va,则B=(5+v6)A,易得AB1+55,即点M不是4B的三等分点：同理： 点N不是AB的三等分点，从而证明结论： (3)如图：连接AC,CD,BD,运用等腰三角形的性质以及相关已知条件可得∠ACM=∠AMC=75°，即 AC=CM:设AC=CD=BD=2b,则AM=NB=2b'利用AB=J3+i可得AB=2(V5+1b;如图：取 4B的中点B,则OE⊥4B,易得OE=(5+b,∠MOE=15,ME=(5-b:如图：连接CP,DP并 延长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线上，连接SO延长交AB、 2(5+1 CD于G,H,然后求得AP 3 PG=5:连接AC,过C作CI1AP,则 31 79/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V3+1 h= b AC=2b,∠CAl=30°，HG=CI=b,设SG=h,则SH=h+b,证明△SPG∽aSCH,可求得”2-V5", 利用三角函数可符am∠4SG=2-5,即∠45G=15”,进而完成解答。 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图：连接AC,CD,BD W B :点C、D恰好将B 等分 AC=CD-DB AC-CD-BD :∠A0B=90°， ∴.∠AOC=∠COD=∠BOD=30°， ...OA =OC=OD. :∠0ac=∠0c4=∠0cD-180,30°=75. 2 CD‖AB, :.∠OMN=∠OCD=75°，同理可得：∠ONM=∠ODC=75°， ∴.∠OMN=LONM=75°， ..OM =ON. .∠OMN=∠AMC=75° .∠ACM=∠AMC=75° ..AC=CM. 设AC=CD=BD=2b,则AM=NB=2b, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM 1 由(2)解答过程可知：AB√5+1， 2b1 ·AB5+1解得：AB=2(N5+1b, 如图：取AB的中点E,则OE⊥AB, B D :OA=OB,∠AOB=90°， :OE=AB=EA=EB=(5+1b,∠M0E=)∠C0D=15°， ME=4E-AM=(3+1)6-26-(3-1)6 ÷an☑M0E=aml50=ME_（5-I 0E(3+1 2-2-5,即m5 tanl5°=2-V5 如图：连接CP,DP并延长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线上， 连接SO延长交AB、CD于G,H, ÷4G=号4B=(5+b,CH=CD=b,∠AS8=2∠4SG P、恰好是弦B的两个三等分点，4B=2(5+b, 25+1 :0=4G-4P=5+625+65b 3 3 如图：连接AC,过C作CI1AP,则AC=2b,∠CAI=∠OAC-∠OAB=30°，HG=1C 81/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H D ..HG=CI=- 4C=b 设SG=h,则SH=h+b, :CDI‖AB, .aSPG∽aSCH, 5+1b :SG=PC,即_h=3,解得：h= 5+1b, SH CH h+bb 2-5 SG= 5+↓b 2-V3, an∠ASG=AC_ (5+)b =2-5 SG √3+1 b 2-5 tanl5°=2-√5 .∠ASG=15°， .∠ASB=2∠ASG=30° 15.(2026·上海杨浦二模)如图，在梯形ABCD中，BC>AD,AB=CD,ADIIBC, D D 图(1) 图(2) )当AD=8,BC=11,AB=5时，求CosB的值 (2②)若等腰梯形ABCD的腰长等于上、下底的比例中项，F为边CD上一点，E为边AD上一点： AE2 BC ①若CF=AD,求证：SAME=SAc8r 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②连接BD,是否存在等腰梯形ABCD,使得△BCD为等腰三角形，若存在，请直接写出cos∠ABC的值， 若不存在，请写出理由. 【答案】1)10 (2) ①证明：，等腰梯形腰长是上下底的比例中项， BC AB2 AB=AD-BC:变形得ADAD: AE BC CFAD' AD,得AE=BCF AE2 AB2 AD· 如图，过点B作BT⊥DA延长线于点T,过点B作BR⊥CD于点R, E D R B 2二-- 在等腰梯形ABCD中，∠B=∠C,AD‖BC, ∴∠BAT=LB=LC, .sin∠BAT=sinC, AB :sinC=BR :sin∠BAT=B BC ∴BT=ABsin∠BAT,BR=BCsinC, AE.BT=1. 1 SABE= ,AB-sim∠B4T.S.cw-CF,BR-=Cr-Csin∠acD, 2 SABE 2AE-ABsin /BAT AB.4B-CF AD AB AD.BC=1 :S.CBF CF.BCsin∠BCD BC.CF AD.BC AD·BC, SAABE=SACBF ； ②存在， cos∠ABC=V2 4 83/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H,则四边形AGHD是矩形，得出 GH=AD=8:AG=DH,再证明BG=CH,求出BG=(BC-HG):2= 2,即可求解： BC AB2 AE2 BC (2)①由等腰梯形腰长是上下底的比例中项，得出ADAD2,结合CFAD,得出 AF=AB.CF AD,过 点B作BT⊥DA延长线于点T,过点B作BR⊥CD延长线于点R,证明sin∠BAT=sinC,再求出 S.e 3EBr-AE~ABsn∠B4D,S.cw-CF-BR=Bc-CFsin∠BCD,f代入 =2 AB.AEsin∠BAT S.CBF )BC,CFsin∠BCD化简即可求解： ②设AB=a,BC=b,AD=c,其中b≠C,由等腰梯形腰长是上下底的比例中项，得出a=bC,同(1) 可得cos∠ABC=b-C 2a,分当BD=CD时、当BC=CD时、当BD=BC时，分别进行讨论判断即可. 【详解】(I)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H, O H ,在梯形ABCD中，ADIIBC, .AG⊥AD,DH⊥AD, ,四边形AGHD是矩形， .GH=AD=8.AG=DH. AB=CD ,Rt△ABG≌RIADCH(HL) ..BG=CH, BC=11, BG=(BC-HG)÷2=3 2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..Cos B=BG 3 AB10: (2)解：①略 ②存在，理由： 设AB=a,BC=b,AD=c,其中b≠c, ,等腰梯形腰长是上下底的比例中项， ..a2=bc, 过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H, A D 同(1)可得cos∠ABC= BG b-c AB2a· 当BD=CD时， .LC=∠CBD ,在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠C, ∴：∠ABC=∠CBD,即AB与BD共线，不存在： 当BC=CD时， .AB=CD=a,BC=b, .b=a, .a2=bc, .b2=bC,得b=c,即BC=AD,不存在： 当BD=BC时，如图，过点B作BP⊥CD于点P, D .CP=DP=CD=a 2 .cosC= CP a BC 2b' 85/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :LC=∠ABC, a b-c 2b=2a,得a2=b2-bc .a2=bc, .b2-bc=bc,得b=2c, 4-be=2 ,得4sV2 &os∠A8C=6-c-2c-eV2 2a2W2c4: 综上，存在， cos∠ABC=V2 4 16.(2026上海虹口三模)如图1，已知4C是半圆0的直径，点D为O1延长线上一点，点B为AC上 一点，连接BD交半圆O于点E,点P为半径OA上一点，连接PE, R 图1 图2 A (备用图) (备用图) (I)如果OA=OP.OD,求证：△DEP∽△DOB: OP ②)如图2，∠AOB=90,BE:ED=2:3,如果。EPA是以AE为腰的等腰三角形，求B0的值： ③)当cos∠BOC=3时，如果BOIAE,AP=3,AE平分∠PED:求CD的长. 【答案】I)证明：连接BP、OE,如图， B 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据圆的半径相等可知：OA=OB=OE, OA2=OP.OD. ..OE2=OB2=OA2 OP.OD, OB OD OE OD .OPOB·OPOE .∠BOP=∠DOB,∠EOP=∠DOE, .△BOPn△DOB,△EOP∽aDOE, .∠OBP=∠ODB,∠OEP=∠ODE, ∴.∠OBP=∠ODB=∠OEP. ∴点B、E、O、P四点共圆， ∴.∠BEO=∠BPO .∠BOD=180°-∠OBP-∠BPO,∠PED=180°-∠BEO-∠OEP. ∠BOD=∠PED. :∠BDO=∠PDE, △DEP∽△DOB 35-10 (2)5或5 6)18 【分析】(I)通过已知的线段之间的关系证明△BOPADOB,△EOP∽aDOE,据此证明点B、E、O、 P四点共圆，再利用三角形内角和为180°以及平角为180°，证明∠BOD=∠PED,问题随之得证： (2)连接BC,过点E作EM⊥OD于点M,设BE=2k,ED=3k,即BD=5k,k>0,设圆的半径为 ,即OC=OB=OA=r,r>0,根据四边形AEBC内接于圆O,证明∠AED=∠BCD,进而证明 △EDA∽aCDB,由此可根据线段之间的比例用k、r表示出AD,进而可以表示出OD,再在△DOB也表示 出OD,两个式子相等，即可求出k、T之间的数量关系：根据△EPA是以AE为腰的等腰三角形，分类讨论 当AE=PE时，过点B作BG⊥CD于点G,再根据平行线分线段成比例，可以用k表示OM、AM、OP, 即可求解：当AE=AP时，直接利用已经证明的△EDAACDB,表示出AE,即有AP,则OP=OA-AP, 问题得解： (3)连接BC,根据已知的余弦值表示出G0、B0之间的关系，设G0=t,B0=3t,进而可表示出C0、 87/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BG、BC、BG,结合四边形AEBC内接于圆O,证明∠OBD=∠BCD,进而证明△ODB∽aBDC,可得 BD DA Rt△BGD BD DA DA 之间的关系式，再在 中，又可得到一个、 “之间的关系式，进而可用t表示出 则可表示出BD,再根据平行线分线段成比例，可以用t示DE,再证明aPDE∽aBDO,即可求出t值，问 题随之得解。 【详解】(1)略 (2)解：连接BC,如图， B BE:ED=2:3, .设BE=2k,ED=3k,即BD=5k,k>0, 设圆的半径为r,即OC=OB=OA=r,r>0, :∠AOB=90°. :8C-2 .CD=AC+AD=2r+AD,OD=OA+AD=r+AD. ,四边形AEBC内接于圆O, .∠BCA+∠AEB=180°， ,∠AED+∠AEB=180°， ∴.∠AED=∠BCD .∠EDA=∠CDB, ∴.△EDAACDB. CD BC BD 六DEAEAD: 即2+D=25效 3k AE AD' :(2r+AD)AD=15A: 解得： AD=V15k2+r2-r (负值舍去)， 失0D=AD+r=15K+P,即0D°=152+r2 ,∠AOB=90°， 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.∠DOB=90°，即△DOB是直角三角形， .0D2=BD2-B02,即0D2=25k2-r2, :15k2+r2=2562-2 解得”=5 即0D=V152+r2=2W5k 根据△EPA是以AE为腰的等腰三角形，分情况讨论： 当AE=PE时，过点B作EM⊥OD于点M,如图， B PMA PM -MA-7PA. .EM⊥OD,BO⊥OD .EM//BO DE BE 3k 2k DMOM,即DM=OM, ,2k（DM+0M)=20D. :.0M=2k+3k 5k ,；DAL=2oD 5 ÷M=OA-OM=5 k PM-AM= 2k, 5 OP-0A-PM-AM= -k 5 3535 从.OP5=563 BO r5k 5 当AE=AP时， 89/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△EDAACDB BC BD V2r 5k AEAD,即AEV15k2+2-r, AE=√2k 解得： AP=AE=2k OP=OA-AP=5k-√2k OP5k-√2k5-√10 ..BO 5k 5, OP 35-V10 综上：B0的值为5或5： (3)解：连接BC,过点B作BG⊥CD于点G,如图， B GO P BG⊥CD, :cos∠BOC=G0 BO :cos∠B0C=1 3 :cos∠BOC=G01 BO3· 设G0=t,B0=3t, :C0=0A=B0=3t,CG=21,BG=VB02-G02=2W21 BC=BG+GC=23 .BO∥AE, ∠AED=∠OBD, :四边形AEBC内接于圆O, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BCA+∠AEB=180°， :∠AED+∠AEB=180°， ∴.∠AED=∠BCD, .∠OBD=∠BCD, :LODB=∠BDC, .△ODBABDC, OD BD OB31+AD BD 3t ·BD=CD=BC,即BD=61+AD-23 BD2=(6t+AD)(3t+AD)=AD2+9tAD+1812 .BG⊥CD, ∴.在Rt△BGD中，BD2=GD2+BG2, 即BD=(G0+01+AD+(22=(4+AD+(22, :AD+9MD+182=(4+AD}+(22 解得AD=6t, BD=(4+4D)+(2)=63 :BO∥AE, DE AD DE= 6-61_2 ·BDOD,即BDOA+AD913: DE 6t 6t2 BD OA+AD 9t 3' DE=2BD=43t 3 .B0=C0. .∠CBO=∠BCO, ∴.LBOD=∠CBO+∠BCO=2LBCO, ,AE平分∠PED, ∴.∠PED=2∠AED, 又，∠AED=∠BCD. 91/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠PED=∠BOD 又：∠PDE=∠BDO, ∴.△PDE∽△BDO. PD DE PD-DExBD4x63-8 BDDO,即 DO 9t AP=3,AP+AD=PD .3+6t=8t, .CD=C0+OA+AD=12t=18, 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形对角互补，余弦等知识，此 题始终围绕构造相似三角形来作答， 17。(2026上海率贸三模)已知1B是O0的弦，C为张18中点.D为D8中点，点5、F分别在而 和 DE=D 上，且 ,联结DE、DF、CE、CF D D C C 图1 图2 备用图 ()如图1，CE∥DF,判断四边形CEDF的形状，并说明理由； (2)如图2，如果⊙0的半径为5，弦AB=8. ①当∠EDF=120°时，求∠FCB的余切值： EM ②联结AD,与CE交于点M,当E是AD的中点时，求CM的值. 【答案】(I)菱形， 理由如下： 如图，联结DC,过点O作OG⊥DE,OH⊥DF,垂足为点G、H, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是弦的中点， 是 的中点， C AB D ADB ∴DC过圆心O ⊙0 中， DE=DF .DE DF, OG⊥DE,OH⊥DF, :.DG=IDE.DH=TDF, 2 :DG=DH, .OD=OD ∴.Rt△DGO≌Rt△DHO(HL) .∠EDC=∠FDC, CElIDF,.∠ECD=∠FDC, ∴.∠EDC=∠ECD ∴.DE=CE,∴CE=DF, .四边形CEDF是平行四边形 DE=CE,四边形CEDF是菱形. 5w5 55-5 2)①11；②8 【分析】(I)联结DC,过点O作OG⊥DE,OH⊥DF,垂足为点G、H,由垂径定理得DC过圆心O, 由DE-DF得DE=DP,由OG1DE,OH LDF,根据垂径定理得DG=DH,根拓L证明 RIADGOS≌RtADHO,得∠EDC=∠FDC,由CEIIDF得∠ECD=∠FDC,进而证明DE=CE=DF,得四 边形CEDF是平行四边形，由DE=CE得四边形CEDF是菱形. (②①联结EF,交DC于点P,联结B、OF,由C是弦4B的中点、D是DB 的中点根据垂径定理 得DC⊥AB,在RIAOBC中，由勾股定理得OC=3,由题意得在Rt△DPF中，∠PDP=6O°，根据 93/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan60°= BnP。PFBx则OP5,在RAOPE中，根据股定理列天于 关系式，求解得DP的长，进而计算PF,CP的长，在Rt△FPC中，计算∠PFC的余切值，进而可得 ∠FCB的余切值： ②联结DC、EF交于点P,交AD于点N,联结OE交AD于点Q,联结OA,由C是弦AB的中点，根据 DC11B,在Ra01C中，由勾股定理得OC=3,在Ra1DC中，由勾股定理得 AD=45 垂径定理 ,由E是D的中点，根据垂径定理得OE1AD,A0=DQ-D=25,在RaOD0中，由勾股定理得 00=V5 根据目条件易通过4S证明0002,0EP,每EP=D0=25.0P=0Q=5 进而得 NP DP DP=5-V5,由EFIIAB得△DNP一△DAC,得ACDC,计算得" n NP=5-V5 2,进而得 EN=EP-NP=55-5 EM EN 二，由EFIAB得AEMN一△CMA,得CC,计算即可. 【详解】(1)略 (2)解：①如图，联结EF,交DC于点P,联结OB、OF, D 是弦 的中点，是 的中点， .·C AB D ADB ..DC⊥AB AB=8, 1 .AC=CB=AB=4, 2 OB=5, .0C=V0B2-CB2=V52-42=3 DE=DF’ ∠EDC=∠FDC=)∠EDF=60°， .DC⊥EF, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 RADPE中，an60°=p=V3,设DP=x,PF=V5x,则oP=5- DP ∴.在Rt△OPF中，OP2+PF2=OF2, 5-x+(3x=s2 x=0（舍)，x2= 2 :CP=0C+0P=3+5-§-1PF-5 22 , 5V3 中，cot∠PFC=P 2 5V5 在 CP 11 11 Rt△FPC DC⊥AB,DC⊥EF, .EF I AB .∠FCB=∠PFC, coFCB-cotPFC= 11: ②如图，联结DC、EF交于点P,EF交AD于点N,联结OE交AD于点Q,联结OA, 是弦 的中点， 是 的中点， B C AB D ADB ,DC⊥AB :AB=8 ÷AC=CB=AB=4, OA=5, .0C=V0A2-AC2=V52-42=3 95/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DC L AB,DC=OD+OC=8.AC=4. .AD=VAC2+DC2=V42+8=45 E是D的中点，OE是半径， :0B⊥4D40=D0-54D=25, OD=5, 00=V0D2-D02=52-(25=5, :∠OQD=∠OPE=90°，∠QOD=∠POE,OD=OE, △ODQ≌aOEP(AAS) ∴EP=D0=2W5OP=O0=V5 DP=5-5 由①得，EFAB,∴.△DNP一△DAC, NP DP NP 5-5 NP-5-5 ACDC即48， 2 EW=EP-WP=2V5-5-5_55-5 2 2, EF‖A ,∴.△EMN一△CMA, 5V5-5 MC-C-2 EM EN 55-5 4 8 18.(2026上海闵行三模)己知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4.点D在边AB上， OA与⊙B外切于点D,且OA、⊙B分别与边AC、BC交于点E、F,连接EF, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 图2 备用图 Q)如图1，当EF‖AB时，求⊙A的半径： (②)连接DE、DF,当△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°时，求DF的长； ®)如图2，连接DP,射线E交OA于点S,射线4F交⊙8于点”，记D正、G、示、丽的长分别 为人、专、4，当54=244时，求DFE的度数 【答案】0)6-2V3 @4-含5 3)90° 【分折】（少设O4的半径为，则O8的半径为4-，根据30”的直角三角形.可行4C=25,8C=2 30° AE BF 再根据平行线分线段成比例，得4C8C,代入求解即可： (2)过点D作DH⊥AC于H,根据等腰三角形的性质和角之间的关系，易得△BDF是等边三角形， ∠EDF=45°，即△DEF是等腰直角三角形，再利用“AAS”可得△DEH≌△ECF,从而DH=CE,即 }=25-,可得，则D=4子5，量后根搭等边三角形的性质，即可求解， (3)连接AG,BH,根据弧长公式，代入化简可得∠EAG=∠FBH,再根据等腰三角形的性质和对顶角 的性质，可得∠CEB=∠C℉A,分别利用“两对应角相等”和“两对应边成比例及夹角相等”的三角形相似， 可得△ACF∽△BCE,△CEF∽aCBA,利用相似三角形的性质可得∠CFE=30°，最后再根据∠BFD=60°， ∠DFE=180°-∠CFE-∠BFD,计算即可. 【详解】(1)解：设⊙A的半径为r,则⊙B的半径为4-r, 97/132 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4, ..AC=23 BC=2 :EF‖AB :E、BF r 4-r AC8C,即252，解得，=6-2N5 ⊙A -2√3 的半径为 (2)过点D作DH⊥AC于H, H E入F 图1 :AD=AE∠A=30° ∠ADE=∠HED=75°， :∠A=30°，∠ACB=90°， ∠B=60°， BD=BF, ∴△BDF是等边三角形，即LBDF=60°， ∠EDF=180°-∠BDF-∠ADE=180°-60°-75°=45°， :∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形，即DF=EF, ·∠HEF=∠HED+∠DEF,∠HEF=∠CFE+∠ACB,∠DEF=∠ACB=9O°， .∠HED=∠CFE, ∠DHE=∠C=90°， ∴.△DEH≌△ECF(AAS) :DH=CE, 即时-25-，解得r含5， 1 DF=BD=4-45】 3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)AG,BH, G 图2 ×l24=2444 πr∠EAGπ(4-r）∠DBF_2πr∠EADπ(4-r）∠FBH .180 180 180 180 .∠EAG·∠DBF=2∠EAD·∠FBH, ∠EAD=30°，∠DBF=60°， .∠EAG.60°=2×30°.∠FBH, .∠EAG=∠FBH, :△AGE和△BFH都是等腰三角形， :ZGEA=ZBFH, .∠CEB=LCFA, ∠C=∠C, ∴.△ACF∽△BCE, AC CF CF CE BCCE,则AC=BC, ∠C=∠C, .△CEF∽aCBA, ∠CFE=∠CAB=30°， ~△BDF是等边三角形， .∠BFD=60°， ∴.∠DFE=180°-∠CFE-∠BFD=90° 19.(2026·上海静安·三模)探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系.请你对下面这个图形展开了综合性 研究，己知直角三角形ABC,∠ABC=90°，AB=5,BC=12,在BC边上有一点H. 99/132 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键.在发 现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律 (I)小张同学发现，点B在以AC为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于 该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一 半.”的 这个结论成立是 .() A.逆命题，必然事件 B.逆命题，不可能事件 C.同义命题，必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形() A.内角平分线的交点B.中线的交点 C.各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据。 3)当△ABH和△ACH的内切圆半径相等时，求：BH的长； (4)下列说法正确的是()（多选题) A.点H可能在△ABH和△ACH的内切圆上 B.△ABH和△ACH的内切圆可能相切 C.△ABH和△ACH的内切圆的圆心距可能为6 D.除直线AH外，同时与△ABH和△ACH的内切圆相切的直线最多有3条 【答案】I)A (2)A 6)25 (4)BCD 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了勾股定理的运用，掌握圆的性质是做题的关键， (1)根据圆的性质得到相关结论 (2)根据三角形内切圆的定义得到三角形内切圆的圆心是三角形的内心， (3)利用三角形的内切圆半径公式分别表示出△ABH和△ACH的内切圆半径，进而求解BH的长 (4)根据三角形内切圆的性质求解。 【详解】()原定理“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半”的逆命题是“若一个三角形一条边 上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”，根据圆的性质，若中线等于边的一半，则 该点在以该边为直径的圆上，因此三角形为直角三角形，结论是必然事件，所以A选项是正确的 专题17 解答题第25题（代几综合，压轴题） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 解答题第25题（代几综合，压轴题） 2026、2025、2024、2023、2022 第 25 道代几综合压轴题均设置多层递进小问，融合四边形、圆、相似、勾股定理等核心几何知识，依靠辅助线构造全等、相似建立等量关系求解。命题载体逐年切换，2022、2024、2025 侧重平行四边形、梯形直线型几何；2023 加入半圆模型，2026 全面升级为半圆综合压轴，圆相关定理占比大幅提升。近年明显变化：前两小问侧重基础证明与线段计算，最后一问增设等腰三角形分类讨论、参数求值，逻辑链条更长，对数形结合、分类思想、多定理综合调用能力要求显著提高，整体综合性与区分度持续上升 一、解答题 1．（2026·上海·中考真题）在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 2．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 3．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 4．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 5．（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 一、解答题 1．（2026·上海宝山·二模）如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点． (1)求证：； (2)设的中点为点， ①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值； ②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长． 2．（2026·上海松江·二模）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，且，求的正切值； (3)以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长． 3．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 4．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，求的值； (3)连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 5．（2026·上海宝山·二模）如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 6．（2026·上海崇明·二模）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 7．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 8．（2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 9．（2026·上海徐汇·二模）在四边形中，，点在边上，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长． 10．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 11．（2026·上海静安·二模）菱形中，点E在线段上，连接、． (1)如图1，连接交于点F，若，求证：； (2)如图2，，，点P在线段上，且满足，设，， ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由． 12．（2026·上海虹口·二模）如图，在扇形中，，点是弧上一点，点是半径上的点，连接，的平分线和的平分线相交于点，连接． (1)求证： ； (2)连接（如图）．如果，，的外接圆与扇形所在的圆相交． ①当时，求与的公共弦的长； ②连接和，交于点，当时，求的值和的长． 13．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 14．（2026·上海黄浦·二模）如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点C、D恰好能将弧三等分． (1)求证：； (2)试说明：点M、N不是弦的两个三等分点； (3)假设弦上的开缝位置P、Q恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧上的两个亮点恰好是C、D，并求的大小． 15．（2026·上海杨浦·二模）如图，在梯形中，，，， (1)当，，时，求的值 (2)若等腰梯形的腰长等于上、下底的比例中项，F为边上一点，E为边上一点； ①若，求证：． ②连接，是否存在等腰梯形，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请写出理由． 16．（2026·上海虹口·三模）如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． (1)如果，求证：； (2)如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)当时，如果，，平分，求的长． 17．（2026·上海奉贤·三模）已知是的弦，为弦中点，为中点，点、分别在和上，且，联结、、、． (1)如图1，，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，如果的半径为5，弦． ①当时，求的余切值； ②联结，与交于点，当是的中点时，求的值． 18．（2026·上海闵行·三模）已知：在中，，，．点在边上，与外切于点，且、分别与边、交于点、，连接． (1)如图1，当时，求的半径； (2)连接、，当是直角三角形，且时，求的长； (3)如图2，连接，射线交于点，射线交于点，记、、、的长分别为、、、，当时，求的度数． 19．（2026·上海静安·三模）探究与应用： 在研究平面几何时，要把握图形与图形之间的位置关系以及对应关系．请你对下面这个图形展开了综合性研究，已知直角三角形 ， ， ， ，在 边上有一点H． 【定理探究】：定理是我们解决几何问题的起点，定理的条件和结论交换之后的真假往往也很关键．在发现定理的过程中，我们往往可以从特殊值出发，猜测一般化的规律． (1)小张同学发现，点B在以 为直径圆上，由此他得出结论：“若一个三角形一条边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形是直角三角形”这个命题是“直角三角形斜边上中线长等于斜边长的一半．”的_________，这个结论成立是__________．（     ） A．逆命题，必然事件         B．逆命题，不可能事件         C．同义命题， 必然事件 (2)三角形内切圆的圆心是三角形（     ） A．内角平分线的交点         B．中线的交点                 C．各边垂直平分线的交点 【位置关系】：与圆有关的位置关系是平面几何问题的重要模块，也是现实工程测量的重要依据． (3)当 和 的内切圆半径相等时，求： 的长； (4)下列说法正确的是（     ）（多选题） A．点H可能在 和 的内切圆上 B． 和 的内切圆可能相切 C． 和 的内切圆的圆心距可能为6      D．除直线外，同时与 和 的内切圆相切的直线最多有3条 20．（2026·上海·三模）如图，扇形中，，点在线段的延长线上，满足，连接，交劣弧于点，连接，点是线段上一点，满足． (1)当时，求的长； (2)若，为y，求y关于x的函数关系式，并求定义域； (3)延长、交于点，如果四边形是一个轴对称图形，求的余弦值． 21．（2026·上海·三模）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 22．（2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 23．（2026·上海闵行·一模）如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 24．（2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 25．（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 专题17解答题第25题（代几综合， 5年真题1年模拟 五年真题分类园 一、解答题 1.(1)①证明：如图，作OG⊥AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC, B D 图1 CZ-CD AB=CD, .AG=CZ. .OA=OC,∠AG0=∠CZ0=90°， RtAOAGS≌RtaOCZ(HL) .0G=0z .∠PG0=∠PZ0=90°，OP=OP, 、RtAOPG≌Rt△OPZ(HL) .∠APO=∠CPO； ②PH=3 ； PQ√2 (2)AQ3 2.()①证明：如图所示，延长FE,AB交于H, 1/19 让教与学更高效 压轴题) 函学科网 D H人-- E (1) :四边形ABCD是平行四边形， .AB‖CD ∴.∠EBH=∠ECF,∠EHB=∠EFC, ,E是边BC中点， .BE=CE △BEH≌△CEF(AAS) .EH=EF,∠H=∠CFE, AE =EF, .'AE=EH, ∴.∠H=∠BAE, ∴.∠BAE=∠CFE: 2 ②15 21F-53+6 3 3.(I)证明：延长DE,CB交于点G, B AE DE :EB EG' www.zxxk.com 让教与学更高效 ADI‖BC 可学科网 AE=AB DF=CD 3 AE 1 DF 1 EB2 FC2' DE DF ∴.EGFC, .EF∥BC: 6 2)①2：②V5 4.(1) 证明：AC=AB .∠ABC=∠C .OD=OB .∠ODB=∠ABC, ∴.∠C=∠ODB .OD∥AC, F是OB的中点，OG=DG, .FG是△OBD的中位线， .FG∥BC,即GEI/CD :四边形CEDG是平行四边形： a1+V33 1 3)2 5.(I)①证明：如图，连接AC交BD于O, A E B P ·平行四边形ABCD www.zxxk.com 让教与学更高效 3/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..0A=OC, .AE=CE,OE=OE, ∴.△AOE≌△COE(SSS), .∠AOE=LCOE, .∠AOE+∠C0E=180°， ∴.∠COE=90°， ∴AC⊥BD, 平行四边形ABCD, ∴四边形ABCD是菱形： ②6v2 v10 (2)5 一年模拟练测园 1.(1) 证明：AB=AC,DE=DB, .∠B=∠ACB=∠DEB. .∠A=180°-2∠B,∠BDE=∠CDF=180°-2∠B, .LA=∠CDF, a0CF:4C=(小5-小4@)同 2.(1) 证明：：四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC=CD,∠B=∠D,ADIBC .CE=CG ∴.BC-CE=CD-CG .BE=DG :△4DG≌aABE(SAS) .∠DAG=∠BAE, 可学科网 ADI BC, .∠DAG=∠F .∠BAE=∠F, ∠B=∠B .△BAE∽△BFA, BA BE BF BA' BC BE BF BC' .BC2=BE·BF: √3 (2)3 3)2 3.(1) 证明：BC=CD .OC⊥BD 又.OC⊥CE, .BD∥CE: g25 625-2或25 4.(1) 证明：如图，连接OC、OB, C B .AB=AC O ∴.△OAC≌△OAB(SSS) .∠OAC=∠OAB, www.zxxk com 让教与学更高效 A=0A OB=OC 5/19 函学科网 :AB∥CD .∠OAB=∠CDA, .∠OAC=∠CDA, .AC=DC. AB=AC, :.AB=DC, 又：AB∥CD, “四边形ABDC是平行四边形， AB=AC “平行四边形ABDC是菱形： 5 (2)3 e25欧5+1 5.(1) 证明：连接AP, A B AB是⊙O的直径， ∠APB=90° ∠A+∠ABP=90°， ,CP是⊙O的切线，P为切点， .OP⊥PC .∠OPB+∠CPB=90°， ..OB=OP, .∠OPB=∠ABP, .∠A=∠CPB, www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 又.∠C=∠C, △CPB-△CAP, CPAC ∴.CBCP' .CP2=AC.BC; BC3 (2)①20：②PC3 6.(1) 证明：连接OC,如图， C G D B E EF⊥BD .∠DEF=90°. .∠D+∠F=90° ∠AOC=2∠ABC,∠F=2∠ABC, ∴.∠F=∠AOC .∠D+∠AOC=90, ∴.∠DC0=90°， .:.∠DCA+∠ACO=90. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90, .∠AC0+∠OCB=90°， ∴.∠ACD=∠OCB, .OC =OB, .∠OCB=∠ABC, :.∠ACD=LABC: CF 1 2)cD=3 www.zxxk.com 让教与学更高效 7/19 函学科网 5-1 3)2 7.(1)27元 2)0R=3r ∠CQF=82.5° ② 8.(1) 解：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD,AD‖BC, ∠ADE=∠DEC. .DE DC. ∴.∠C=∠DEC .∠C=∠ADE ,BC=AD,∠C=∠ADE,CD=DE, △BCD≌△ADE」 EF∥BD, ∴.△ECF∽△BCD .△ECF∽△ADE. 3 ②0g:②时 9.(1) 证明：如图，延长AE交BC延长线于点F A D E ·ADBC, △ADEAFCE. DE AE :CE FE' ..CE=3DE. AE DE 1 ∴FECE3 www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .FE=3AE, .'AF=AE+EF =4AE, AB=2AE, AE 1 AB 2AE 1 AE AB AB2,AF=4AE2,即ABAF, .∠BAE=∠FAB, △BAE∽△FAB, .∠ABE=∠AFB :∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE,∠ABF=180°-∠AFB-∠FAB, .∠AEB=∠ABC ②)7 @26 10.(1)①证明：连接BF,DF, B D 在△ABC中，AC=BC=5, .∠BAC=∠ABC, ,在圆O中， DF=DF 根据圆周角定理可知，∠DBF=∠DAF, .∠BAD=∠ABF, .AF BD: V5m2-30m+125 ② 4 ②0<CD≤3或CD≥ 3 11.(1) 9/19 可学科网 www.zxxk.com 证明：EC=DC, .∠D=∠CED, ,四边形ABCD为菱形， .∠ABC=∠D,∠BAC=∠CAE, .∠ABC=∠CED .∠AEC+∠CED=180°， .∠AEC+∠ABC=180°， ∴点A、B、C、E四点共圆， .∠EBC=∠CAE, .∠EBC=∠BAC: 36 y=- —(0≤x≤6) 9√47 (2)①Vx2+6x+36 ;②相交，14 12.(1) 解：，CP平分LOCD,OP平分∠COD, ∴.∠POC=∠POD.∠PCO=∠PCD. OC=OB,∠POC=∠POB,OP=OP, ∴.△OCP≌aOBP(SAS) ∴.∠OPC=∠OPB. 在△OCD中，∠COD+∠OCD+∠ODC=180°， 即2∠POD+2∠PC0+∠ODC=180°， ∠P0D+∠PC0=90°-)∠0DC. 21 :∠0PC=180-∠P0C-∠PC0=180°-(90°-∠0DC=90°+ 1 2 :∠0PB=∠0PC=90+)∠0DC: (2)①40： 1 ②tan∠PAM= 3,0E=6√5 13.1) 解：AB为半圆O的直径， 让教与学更高效 ODC 可学科网 ∴.∠ADB=90° ..∠DAB+∠ABD=90° :∠APO=∠ABD, .∴.∠DAB+∠APO=90° .∠AOE=∠EOB=90°」 :AE=BE “点E为D 的中点， .CE=DE .AC=BD AD=BC,∠CDA=∠DAB,AC=B ·∠CAB=∠OBA ABI‖CD 四边形ABDC是等腰梯形. 2I.4;Ⅱ.3-V5 14.(1) AB 证明：，点C、D恰好将 三等分， 4C-CD-DB .∠AOC=∠COD=∠BOD. 如图：取AB的中点E,连接OE, B D ..OA=OB. www.zxxk.com 让教与学更高效 11/19 函学科网 www.zxxk.com OE⊥AB,∠AOE=∠BOE, .∠AOC=∠BOD=30°， ∴.∠AOE-∠AOC=∠BOE-∠BOD .∠COE=∠DOE .OE平分∠COD 在△COD中，OC=OD,OE平分∠COD .OE⊥CD ,OE⊥AB,OE⊥CD CDI‖AB; (2) 解：由(1)可得：∠AOC=∠COD=∠BOD, .∠AOB=90°， .∠COB=60° .∠AOB=90°，OA=OB, .∠AB0=∠0OAB=45°， ,点C、D恰好 AB三等分， :AC-CD-DB AC-CD-BD .∠AOB=90°， :.∠AOC=∠COD=∠BOD=30°. ..OA=OC=OD. :∠0AC=∠0CA=∠0CD=180°-30 =75° 2 CDI AB :∠OMN=∠OCD=75°，同理可得：∠ONM=LODC=75° .∠OMN=∠ONM=75°， 如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作M⊥AO于点I, OF=IA.∠FMB=45°. 让教与学更高效 则四边形MIOF是矩形，MF=BF, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OMF=∠OMN-∠FMB=30°， .OM=20F. 设OF=a,则OM=2a,LA=IM=a BF=MF=JOM-OF=3a AM=A+M=2a MB=BF2+MF=J6a :4B-AM+MB-(+6)a AM √2a 1 .'AB 5+V6a1+53,即点M不是4B的三等分点， 同理：点N不是AB的三等分点， ∴点M、N不是弦AB的两个三等分点. 3)30° 15.0)10 (2) ①证明：，等腰梯形腰长是上下底的比例中项， BC AB2 AB=ADBC,变形得AD=AD, AE2 BC CFAD 6B: CFAD,得AE=1BCF AD 如图，过点B作BT⊥DA延长线于点T,过点B作BR⊥CD于点R, 13/19 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A E R B555---- ,在等腰梯形ABCD中，∠B=∠C,AD川BC, .∠BAT=∠B=∠C, .sin∠BAT=sinC, :sin∠BAT=B AB ,sinC=BR BC· .BT ABsin /BAT,BR=BCsin C. 1 S.406=7AE BT= 3E,ABsm∠BT,S.wCF-CF.BC-sin∠BcD, SE=2 AEABSin/BAT AB.AB-CF AD AB' 2 AD.BC=1 ￥S&car)CF·BCsin.∠BCD BC.CFAD·BCAD·BC, SAABE=S△CBF ②存在， cos∠ABC=V2 4， 16.1)证明：连接BP、OE,如图， P A 根据圆的半径相等可知：OA=OB=OE, .OA2 OP.OD. ..OE2 =OB2=OA2=OP.OD. OB OD OE OD ·OPOB,OPOE, .∠BOP=∠DOB,∠EOP=∠DOE, ∴.△BOPn△DOB,△EOP∽aDOE, 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠OBP=∠ODB,∠OEP=∠ODE, ∴.∠OBP=LODB=∠OEP 点B、E、O、P四点共圆， ∴.∠BEO=∠BPO. :∠BOD=180°-∠OBP-∠BPO,∠PED=180°-∠BEO-∠OEP. .∠BOD=∠PED, .∠BDO=∠PDE, △DEP∽△DOB 35-V10 (2)5或5 3)18 17.(1)菱形， 理由如下： 如图，联结DC,过点O作OG⊥DE,OH⊥DF,垂足为点G、H, D 是弦 的中点，是 的中点， …C AB D ADB ∴DC过圆心O ⊙0 在中， DE=DF .DE=DF, OG⊥DE.OH⊥DF, ADG=DE,DH=DF】 2 2 .DG=DH. .OD=OD ∴.Rt△DGO≌Rt△DHO(HL) ∴.∠EDC=∠FDC. 15/19 西学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 CEIIDF,.∠ECD=∠FDC, ∴.∠EDC=∠ECD DE=CE,∴.CE=DF, “.四边形CEDF是平行四边形， DE=CE,四边形CEDF是菱形. 5V3 5v5-5 (2)①11；②8 18.a)6-25 ②4-5 3)90 19.(1)A (2)A 826 (4)BCD 20.I)BE= 2)少=V48+x2-2x(0≤x<4) 3)cos∠0AC= √65 4或5 21.(1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE, :四边形ABCD是平行四边形， .AB CD. .∠B=∠PCG, .∠AFE=∠PCG. .·∠AFE=∠QFG 可学科网 .∠PCG=∠QFG LFG0=∠CGP, .∠CQE=∠P, .CE=BE,BE=EF .EF=EC, 又.∠CEQ=∠FEP △EFP≌△ECQ(AAS) (2)4; 2n+1 (3)6n+6 22.(1) 解：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC. A E D AB·DEAD 则：S,cn1BCDF BC·DFCD, 2 AB AD 又：BCCD' .DE=DF, ∴.BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD； .16 2)03:②y=W5-1x（x>0) 23.(I)①证明：，BD是边AC上的高， .∠ADC=∠BDC=90° ∠ABC=90°， www.zxxk.com 让教与学更高效 17/19 可学科网 .∠A+∠C=∠CBD+∠C=90° .∠A=∠CBD .△ADC△BDC, AD BD ·BDCD .BD2=AD.CD: ②cotC= S.80D=2-2 (2)S.CoH 24.(1) 证明：：四边形ABCD为菱形， .AB=AD,∠ABE=∠ADF, :AE⊥BC,AF⊥CD, .∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE和△ADF中， 「∠AEB=∠AFD=90° ∠ABE=∠ADF AB=AD △ABE≌△ADF(AAS) .BE =DF, :∠MBE=4E,0r- 1 ∠ADF ∴.∠MBE=∠NDF, 在△BME和△DNF中， [∠MBE=∠NDF BE=DF ∠AEB=∠AFD=90°' △BME≌△DNF(ASA) .BM DN. www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 5-1 (2)2 6)2+22 25.(1)240: 2 (2)3； √22-V62 3)4或2. www.zxxk.com 让教与学更高效 19/19