四川省成都市树德中学2025-2026学年高二下学期数学周考6

**基本信息** 成都树德中学高二（下）数学周考卷，以导数、数列、解析几何等核心知识为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查运算能力、推理能力及模型观念，解答题如函数单调性讨论、椭圆综合应用等，体现对数学思维与语言表达的综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|导数计算、数列递推、椭圆中点|基础概念辨析，如切线倾斜角考查几何直观| |多选题|3/18|等差数列求和、函数奇偶性|选项分层，如函数极值点判断考查推理意识| |填空题|3/15|等比数列求和、抛物线焦半径|情境简洁，如导函数奇偶性应用考查抽象能力| |解答题|5/77|空间几何证明、数列通项与求和、函数切线与单调性、椭圆方程与面积、函数零点与不等式|综合性强，如四棱锥二面角计算考查空间观念，椭圆面积最值问题考查模型意识|

成都树德中学高2024级高二（下）数学周考（六） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导正确的是（     ） A. B. C. D. 2. 在数列中，已知，，则 A.3 B.4 C.5 D.6 3. 曲线在点处的切线倾斜角为（     ） A. B. C. 或 D. 4.椭圆与直线交于A，B两点，则线段AB的中点为（     ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小为（     ） A. B. C. D. 7.已知，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线C的离心率的取值范围为（     ） A. B. C. D. 8.已知数列满足：，，下列说法正确 的 是（     ） A.数列单调递增 B.存在，使得 C.的最小值为 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列的前n项和为，若，，则下列一定为负数的有（     ） A. B. C. D. 10.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（     ） A. B.当时， C.当且仅当 D.是的极大值点 11.已知函数，若关于x的方程恰有三个不同实根，，且满足，则下列说法正确的有（     ） A. 的 极小值为 B. C.为定值9 D.的取值范围为 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的前项和为，若，，则            。 13. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则            。 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则                        。 四、解答题：本大题5个小题，共77分. 各题解答必须答在答题卡上 （必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15.（13分） 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接。 （1） 证明：； （2） 求平面与平面所成角的余弦值。 16.（15分） 记为数列的前项和，已知。 （1） 求的通项公式； （2） 设，记数列的前项和。若对任意的，范围。 17.（15分） 设函数。 （1） 若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2） 在（1）的条件下求的单调区间和极小值； （3） 若在上单调递减，求的取值范围。 恒成立，求的取值 （其中为自然对数的底数）； 18.（17分） 已知椭圆 的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于，两点. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 若不过，且直线，，的斜率成等差数列，求的取值范围； （3） 若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值. 19.（17分） 已知函数，. （1） 讨论的单调性； （2） 若有两个零点，求的取值范围； （3） 若，且不等式在上恒成立，求的最小值. 数学周考参考答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A B A D B C 二、多选题： 9、ACD  10.ABD  11、ACD 三、填空题： 12、84  13、  14、2025 四、解答题： 15、（1） 在四棱锥中，取中点，连接，因为四边形是等腰梯形，，，，所以，，则四边形是平行四边形，则，是直角三角形，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以。 （2） 取的中点，连接，，由（1）知，，平面，由为等边三角形，得，则直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，设平面的一个法向量， 则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得；设平面与平面的夹角为，则，，所以平面与平面的夹角的余弦值为。 16、（1） 因为，故，，故即，，而，故，故，故，所以是首项为4，公比为的等比数列，故。 （2）（i），，故，所以，所以。若对任意的，恒成立，当为正偶数时，，因为，故为增数列，故此时的最小值为，故；当为正奇数时，，同理此时的最小值为，故，故。 17、（1） 由题可得，因为曲线在点处的切线与直 线垂直，所以，解得； （2）由（1）知，令，解得 由，解得，由，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值； （3）由在上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，所以， 令，易知在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即的取值范围为。 18、（1）由题意得，所以 又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得即，整理得，解得（舍去负根）所以 所以椭圆的标准方程为 （2）设，因为不过，所以 设，， ，化简得 ， 因为直线，，的斜率成等差数列，所以即 又，，所以， 整理得，将，代入化简得，整理得，即 解得（舍去），所以，代入得，整理得解得或，故的取值范围为 （3）设，解得， 故，，所以，设，则，其斜率为，又，所以 ，因为在椭圆上，所以 解得 不妨令则， 所以点到直线的距离 所以面积 化简得 ，令，则 ，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最大值为. 19（1）由题意，， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令，得， 当，，当， 在单调递增，在单调递减 （2）有两个零点，等价于有两个实数根，即， 即，等价于与有两个交点． 由得，， 当，，当，， 在单增，单减．且，， ，，，，且时，，图象如图， 的取值范围是 （3）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立． 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以              因为，所以， 又因为，所以，所以的最小值为 ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $